CC BY
29
12. Расчет давлений в узлах графа сети
Как было сказано выше, давления Pj, j є V1 являются переменными модели, а давления во всех остальных узлах (Pj, j g V1)— выражениями. Будем считать, что узлы j є V1 имеют уровень 1. Узел имеет уровень (i +1), если он соединен ветвью леса с узлом уровня i. Задача расчета давлений состоит в их вычислении во всех узлах графа сети по известным значениям расходов в дугах и давлений в узлах уровня 1. Для этого должен быть задан лес графа сети.
Расчет давлений во всех узлах графа сети происходит последовательно, начиная с давлений в узлах уровня 1, которые являются известными. Таким образом, расчет давлений осуществляется путем последовательного обхода каждого дерева леса графа сети.
13. Заключение
Предложен объектно-ориентированный подход к построению математических моделей газотранспортных систем в стационарном режиме. Получены две математические модели УПР в ГТС: базовая и модифицированная, для построения которых вводятся специальные классы и подклассы математических моделей элементов ГТС. Примененный подход позволил сформировать математическую модель всей
УДК 517.544.3:517.947.48
МОДЕЛЮВАННЯ ІМПУЛЬСНИХ СКЛАДОВИХ ВНУТРІШНІХ ЗАДАЧ АТМОСФЕРНОЇ ЕЛЕКТРИКИ ДЛЯ ЛІТАЛЬНИХ АПАРАТІВ
ПЛОТНИЦЬКИЙ Т.А., МУХІНА М.П.____________
Розглядається математична модель електромагнітної взаємодії блискавки з літальним апаратом, що представляється на класі так званих внутрішніх задач низькочастотної електродинаміки. Запропонований методологічний підхід дозволяє отримати умову нехтування дифузійно-магнітної складової наводок.
Вступ
Згідно зі статистичними відомостями, ураження літального апарата (ЛА) блискавкою відбувається один раз на 10-15 тис. годин нальоту. До 1988 року влучення блискавки в ЛА вважалося явищем випадковим. Але дослідження встановили, що у 80 % випадків ЛА сам провокує блискавку, рухаючись у секторі з конвективним рухом мас повітря із хмарами — носіями електричного заряду. Навіть при наявності простих систем, що мають різний потенціал, рух ЛА викликає підсилення поля в 10100 разів. Підсилення залежить від конфігурації ЛА, матеріалу його конструкції, протяжності вихлопного струменя двигунів. Літак типу Airbus, наприклад, підсилює поле в 50 разів.
Ураження блискавкою, що донедавна вважалося незначною подією, тепер може стати реальною не безпекою (внаслідок розекранування ЛА шляхом введення в конструкцію композитних матеріалів) для бортового обладнання, зокрема для ПЕОМ, що
70
газотранспортной системы и любого ее фрагмента, не привязываясь к конкретным моделям ее элементов, и, в то же время, при построении модели ГТС учитывать особенности моделей ее элементов путем введения классов и подклассов.
Литература: 1. Довідник експлуатаційникові газонафтового комплексу // В. В. Розгонюк, Л.А. Хачикян, М.А. Григіль, О. С. Удалов, В.П. Нікішин. К.: Росток, 1998. 432с.
Поступила в редколлегию 20.11.2001
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Евдокимов А.Г.
Адаменко Вера Анатольевна, канд. техн. наук, доцент кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: системный анализ, оптимальное стохастическое управление, условная оптимизация. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. +380572-40-94-36.
Адаменко Андрей Викторович, инженер-программист АОЗТ СП “МонИс”. Научные интересы: автоматизированные системы управления, системный анализ, условная оптимизация. Адрес: Украина, 61644, Харьков, ул. Октябрьской революции, 99, тел. +380572-15-80-57.
Тевяшева Ольга Андреевна, аспирант НТУ “ХПИ”. Научные интересы: системный анализ, теория оптимальных решений. Адрес: Украина, 61000, Харьков, пр. Фрунзе, 21, тел. +380572-20-57-74.
живиться струмом із малою напругою, і інтегрованих електричних систем управління, які мають стійку тенденцію до широкого розповсюдження.
За статистичними даними США, їх транспортні ЛА в середньому зазнавали один удар блискавки на кожні 2 тис. годин нальоту. Ушкодження, що при цьому виникали, могли мати широкий спектр інтенсивності: від незначних, ледь помітних впливів, до катастрофічних, пов’язаних головним чином із займанням палива в паливних баках [1].
Поширення струму блискавки по обшивці ЛА викликає перенапруги (так звані наводки) на ізоляції внутрішніх кіл відносно корпусу. Рівень наведених імпульсів напруги може складати декілька кіловольт [2]. У літературі прийнято виділяти три основні типи наводок залежно від шляхів проникнення електромагнітного поля:
— проникнення електричного поля безпосередньо крізь обшивку, з урахуванням геометрії обшивки та впливу поверхневого ефекту — так звана дифу-зійно-резистивна складова наводок;
— проникнення магнітного поля крізь обшивку ЛА, з урахуванням кривизни корпусу та нерівномірності розподілення струму блискавки — так звана дифузійно-магнітна складова;
— проникнення електромагнітного поля крізь різноманітні отвори в обшивці (ілюмінатори, радіопро-зорі елементи, щілини та ін.), з урахуванням геометричних розмірів отворів та місця розташування досліджуваного кола — так звана апертурна складова.
Моделювання елктромагнітної взаємодії електричних розрядів з ЛА є надзвичайно складною внутРИ, 2002, № 1
рішньою задачею. Існує необхідність в її декомпо-зиції з метою спрощення та виділення основних компонент, що дають найбільший внесок у загальну величину впливу електричних розрядів на ЛА.
1. Тангенціальний еквівалент електричного розраду
Електричний еквівалент зовнішньої задачі. При
розряді блискавки в просторі з’являються рухомі заряди (тобто електричний струм), що супроводжуються електромагнітним полем. Цей вид струму є рухом елементарних часток у діелектричному середовищі вздовж певних траекторій. На практиці вони імітуються тонкими провідниками, густиною яких прийнято нехтувати, або лініями потоку, що стають провідними при зміні агрегатного стану діелектричного середовища (плазмовий стан повітря). Тому можна допустити, що при грозовому розряді створюється гіллястоподібна система провідних каналів вздовж основного. Такі струми J будемо називати сторонніми, що є зовнішніми чинниками електромагнітних процесів в обмежених областях, які займає обшивка ЛА з відмінними від зовнішнього середовища електрофізичними характеристиками.
SO.; nS = S;, дS; = lt. (1)
Магнітний еквівалент. Зв’язок між електричним струмом і напруженістю магнітного поля встановлюється законом повного струму:
rot H = I + J . (2)
В Q 0 струми провідності I відсутні, бо середовище діелектричне, тому там буде найпростіша система
рівнянь відносно вектора H при заданому векторі сторонніх струмів:
rot H = J в Q о. (3)
Це рівняння має безліч розв’язків. Один з них можна вибрати так, щоб виконувалось треттє рівняння Максвелла
div H = 0 в Qo, Hn = 0 на S . (4)
Ці умови визначають H єдиним чином; позначимо
цей розв’язок літерою Г (магнітний еквівалент), так що
rotГ = J,divГ = 0 в Qо, Гп = 0 на S . (5)
Обшивка ЛА, що є границею досліджуваної області, найчастіше провідна, тому там має місце інший вид струму — це струм провідності I, густина якого пропорційна напруженості E електричного поля.
Припущення. Будемо нехтувати струмами зміщення, що виникають внаслідок електричної поляри-зованості речовини при високій частоті.
Межа внутрішньої задачі. ЛА займає в просторі обмежену область D, границю якої можна ототожнити з тонкою провідною оболонкою Q (обшивкою), принаймні їх зовнішні границі S збігаються (рисунок).
Геометрична модель внутрішніх задач
Квазістаціонарність. Будемо розглядати квазістац-іонарні процеси, а саме: чинниками електромагнітного поля є сторонні струми, що описуються вектор-функцією з відокремленою часовою змінною:
N
J =Z Jі (X,УZ) -Є; Ц) . (6)
і=1
Лінійність рівнянь Максвелла всередині ЛА дає змогу розв’язувати їх для кожного доданка окремо і потім при потребі скористатись законом суперпозиції для лінійних систем. Для імпульсних задач залежність t ^ 0(t) характеризується швидким згасанням і прийнятно апроксимується експонентою з великим показниковим множником а :
0;(t) = ехр(- а д) (аі » 1. (7)
Щоб відобразити нульове значення 0(0) , вважають 0(t) = ехр(-at) - ехр(-pt) (р >> а» 1, або з урахуванням коливальності 0 :
0(t) = ехр(-at) sin pt. (8)
Позитивність (додатність) 0 можна представити функцією
Поза ЛА середовище діелектричне — Q 0 (повітря) і лише в ньому наявні сторонні струми J [3]. Внутрішня частина оболонки ш 0 теж діелектрична, проте сторонні струми там відсутні (як і струми провідності).
Оболонка Q замкнена, хоч і неоднорідна. В ній можливі діелектричні включення Q; , яким належить частина S; поверхні S, так що границю поверхні S; позначимо літерою І; .
Лінії, що є границями апертур Q; , будемо ототожнювати з границями S;:
РИ, 2002, № 1
0(t) = exp(-at) sin2 pt =
= — exp(-at)(l - cos2pt),
що зводиться до попередніх виразів (7) або (8).
Загалом, розглянуті апроксимації можна описати єдиною функцією, якщо вважати показник комплексним (з від’ємною дійсною частиною):
71
9(t) = exp(-kt) (k = -a + ip, P^a» 1. (9)
Практична наявність невеликої кількості коливань відображається співвідношенням між а і Р, а відсутність коливань — відсутністю Р (тобто Р = 0).
2. Структура електромагнітного поля
Електростатичні складові діелектричного середовища. Квазістаціонарність сторонніх струмів вказує, що магнітний потенціал теж має квазістаціо-нарний вигляд:
Г = Г(х,y,z)-0(t) ^ rotГ = J(х,у,г)вОо.(10)
Це рівнянння не залежить від t , тому функції Г і J називатимемо амплітудами.
Після того, як функція Г вже визначена, загальний розв’язок (2) можна представити у вигляді
H = T + Vp, A p = 0 в Q о. (11)
Останнє рівняння гарантує соленоїдальність магнітного поля, яка випливає з рівнянь Максвелла.
Відсутність сторонніх струмів, а також діелект-ричність внутрішнього середовища, дають змогу представити магнітне поле у вигляді
H = Vq, A q = 0 в о о . (12)
Квазістаціонарне поле в провідній обшивці. В обшивці дещо складніша система, хоч у ній відсутні сторонні струми. Натомість тут присутні струми провідності, які в найпростішому випадку пропорційні напруженості електричного поля E з коефіцієнтом а , що відображає провідність обшивки Q. Таким чином,
I = gE, J = 0 в Q.
Тоді рівняння Максвелла в обшивці набувають вигляду
rot H = gE , rot Е = -Bt. (13)
Тут щільність ліній B магнітного потоку Ф пропорційна (при припущенні ізотропності матеріалу обшивки) напруженості магнітного поля H з коефіцієнтом р, який називається магнітною проникністю обшивки.
Зауваження. Коефіцієнт р в повітряному середовищі Q 0 і ® 0 близький до р 0, що відповідає вакууму.
Отже, друге рівняння в системі (13) можна записати у вигляді
pHt + rot Е = 0 в Q . (14)
Наявність похідних по t лише по H дає можливість виразити Е через rot H і виключити його з системи (13). В результаті матимемо рівняння другого порядку
72
GpH t + rotrot H = 0, (15)
в якому часову змінну t можна відокремити при комбінуванні амплітуд з cosPt і sin Pt . Представимо магнітне поле у вигляді
(HjcosPt + H2 sin pt) exp(-at) . (16)
Після підстановки H в (15) і прирівнювання амплітуд при cos Pt і sin Pt отримаємо систему стаціонарних рівнянь другого порядку відносно Hi і H2 . Якщо ввести комплексну амплітуду
H = Hi + i H2, k = -a + ip, тоді дійсна частина комплексної функції
He~k 1 = (Hj + i H2)(cosPt - i sin pt)e~at
збігатиметься з (16), а амплітуда H задовольнятиме комплексному рівнянню
rotrot H = Gp kH в Q . (17)
При P = 0 воно буде дійсним, в якому H2 = 0 , а в загальному випадку - це система рівнянь відносно Hi і H2 .
Калібрування магнітного поля. За сторонніми струмами можна знайти в Q 0 ^Ш0 функцію Г, яка на поверхні S тангенціальна, причому Г = 0 всередині і на внутрішній межі обшивки, що збігається з межею до 0 внутрішній області. Для однорідного рівняння (17) теж можна знайти розв’язок, що збігається з Г на д Q , принаймні, в тангенціальному напрямку. Тому можна “довизна-чити” Г на весь простір, одночасно визначивши її в Q з умов
rotrotГ = Gp kГ, divГ = 0 в Q, Гт = 0
на до0 ,[Гт] = 0 на S . (18)
Тут квадратні дужки означають зміну вказаної в дужках функції при переході через границю. Рівність зміни нулю означає, що Гт неперервна на S і, отже, неперервною буде нормальна складова rot Г .
Згідно з законом повного струму неперервною буде і нормальна складова струмів I + J при переході через поверхню S. Таке поле задовольнятиме системі (2) у всьому просторі, що вимагається від рівнянь Максвелла. Проте рівняння Максвелла (14) на границі можуть не виконуватись, якщо тангенціальна складова EТ електричного поля має розриви на границі дО.. При відсутності розривів неперервною буде нормальна складова Bn вектора індукції B = pH.
Якщо Гп на границі не дорівнює нулю, то вектор рГ несоленоїдальний, бо Гп = 0 на границі зі сторони діелектричного (повітряного) середовища, а тому
Гп Ф 0 ^ [рГп ] Ф 0 на дО..
РИ, 2002, № 1
“Підправити” поле H зі сторони діелектричного середовища можна лише градієнтами гармонічних функцій
H = T + Vp в Qо, H = Г + Vq в ш о , (19)
які однозначно визначаються своїми значеннями на границі діелектрика, тому в нашому розпорядженні лише дві функції на границях обшивки Q .
В обшивці магнітне поле можна теж “підправити” потенціальною функцією Vu, потенціал якої збігається з p і q на границі д Q . Цим забезпечується неперервність Их на д Qо • Але Vu не задовольняє рівнянню (18) , тому треба її підправити соленоїдальною в обшивці функцією h так, щоб функція h + Vu задовольняла (17) і зберігалась неперервність тангенціальною складвою магнітного поля. Так буде, якщо
rotrot h = ад k(h + Vu) в Q, hx = 0 на d Q • (20)
Співвідношення на межі обшивки. Соленоїдальність h вимагає солено'їдальності Vu, звідки випливає, що Aw = 0 в Q, u = p на S, u = q на да о •
Задача, таким чином, звелась до вибору таких функцій p і q на границі, щоб нормальна складова індукції B = дН була неперервною на границі
дО..
Отже, розглянута задача в однорідних областях тривимірного простору і формально визначений загальний розв’язок. Залишились двовимірні мно-
говиди S і да о , на яких рівняння Максвелла втрачають зміст, бо при підході до границі вони містять похідні вздовж нормалі до цих поверхонь, причому нормальні похідні містять тільки тангенціальні складові векторів електромагнітного поля.
Система рівнянь Максвелла буде розв’язаною у всьому просторі, якщо тангенціальні складові Ех
і Их будуть неперервні при переході через границю обшивки Q. Для цього можна довільно обирати функції p і q на границі, причому вибір u гарантує неперервність тангенціальної складової магнітного поля на границі.
3. Рівняння на поверхні провідних включень
Псевдодиференціальніхарактеристики поверхні діелектрика. Соленоїдальність магнітного поля у всьому просторі, згідно з (5), вимагає гармонічності p і q в повітрі [4], тобто
A p = о в Оо, A q = о в ш о . (21)
Це означає, що функція p в Qо повністю визна-чаєтся своїм значенням на зовнішній поверхні (так званим слідом p на S) і залежить лише від геометрії границі обшивки. Але функцію p можна також задати значенням нормальної похідної дp / дп на поверхні обшивки, причому між
РИ, 2002, № 1
д p / дп і p на границі обшивки існує взаємно-однозначна відповідність з точністю до p = const.
Зокрема, на поверхні обшивки визначений оператор, що ставить у відповідність довільній функції p на S значення нормальної похідної гармонічної в Qо функції, яка збігається з p на поверхні обшивки. Його позначення:
у^Аоу = д p / дп на S (A p = о в Оо,
p = У наS ). (22)
Аналогічно визначається оператор ао на внутрішній границі да о обшивки:
ао Р = 5 q / дп на да о (A q = о в ш о ,
q = Р на да о). (23)
Хоч ці оператори визначаються похідною вздовж нормалі, але їх не можна визначити зі значенням функції в околі точки, тобто це нелокальні оператори, а тому їх будемо називати псевдодиференці-альними.
Псевдодиференціальні оператори Ао і ао повністю визначаються геометрією зовнішньої та внутрішньої границі відповідно і ніяк не пов’язані з фізичними характеристиками середовища чи їх властивостями.
Спряження полів на межі. Рівняння Максвелла на границі провідної обшивки зводяться до співвідношення
[|дИп] = о на дП, (24)
яке забезпечує виконання граничних умов (18).
Згадаємо, що вектор напруженості магнітного поля має вигляд
Н = (Vq во о , Г + Vu в Q, Го + Vp в Q о} , (25)
звідки можна знайти внутрішню до обшивки нормаль:
Ип = (ао q на да о , Го п + Ао p на S} . (26)
Тут Го _ відома на поверхні обшивки функція, що визйачається сторонніми струмами в зовнішньому повітрі з рівняння (5). З тієї ж причини відомою вважається функція Гп на границі провідної обшивки, що визначається крайовою задачею (18).
Тоді (24), згідно з введеними позначеннями, набуває вигляду
|a(hn +du/ дп + Гп) + |До(Гоп + Аоpj = о на S ,(27)
hn +du / дп + Гп ) + д о ао q = о на да о . (28) Функції p і q збігаються з u на обох поверхнях обшивки, а ^ зв’язана з u співвідношенням (20).
Приклади тангенціальних полів на межі. Згідно з умовою (5) поле Г на зовнішній поверхні плоске,
73
а всередині дорівнює нулю. Імпульсна природа сторонніх струмів вказує, що Гт на поверхні теж змінна за величиною, тому природньо допустити, що в обшивці домінує тангенціальна складова магнітного поля, яка близька до Г . Тоді додаткові до Г складові Ні Vu відіграють другорядну роль і для первинної оцінки достатньо було б обходитись тільки Г -складовою. Це позбавляє необхідності розв’язувати рівняння (27), (28), складність яких значно перевищує проблему визначення Г поблизу поверхні - тобто Гт на S .
Розглянемо сферичну оболонку у відповідній системі координат [r,0,ф). Тангенціальне магнітне поле
H = [иг,H,И*} = {0, 0, Н, h = Hr,ф) (29)
направлене вздовж паралелі ф і є інваріантним відносно рівняння (17). Дійсно, хоч ротор магнітного поля тут має інші складові, крім ф - складової, але повторний ротор цієї вектор-функції матиме лише ф - складову:
A h +
h
r 2 sin0
(r2hr)r _ (he sinв)9 + h
r 2 r 2 sin0 r 2 sin0
(30)
Отже, для сферичної оболонки магнітне поле збігається з Г, бо умова (24) тут виконується автоматично:
Bn = ДИп =0 ^ К] = 0 .
Так буде й у випадку циліцдричної оболонки. Для поля, направленого вздовж ф - координати, матимемо вираз для повторного ротора, який містить ненульову лише ф - складову:
[rhr)r h h
— — h77 + 2 — — A h + 2 . (31)
r r2 r2
Неважко переконатися, що і для довільної оболонки обертання з віссю 7 і твірною r (z) матиме місце інваріантність ф -поля відносно рівняння (17). Такі моделі ми називатимемо розгорнутими з приводу відокремлення декартової або близької до неї радіальної координати. Згідно з наведеного вище означення дифузійно -магнітної складової наводок розгорнута модель виключає цей тип наводок, оскільки розподілення струму припускається рівномірним.
Розглянемо біциліндричну систему координат, в якій розмістимо полюси в точках х = +а . Тоді біциліндричні координати (а, т, z) виражатимуть декартові (х, y, z) відомими співвідношеннями, з яких легко знайти коефіцієнти Ляме:
hCT hT
а
-Г--------= h, hz
ch x- cos a
1.
Для тангенціального поля
н = {ист, ит, и7) = \ист, Ит, 0}
остаточно матимемо
rotrot H =
(И,-И.
- Hz,
-П, 0)
і
h
На відміну від розглянутих випадків тут було отримано систему двох рівнянь відносно Ист і Ит, для яких крім того повинна виконуватись умова солено'їдальності магнітного поля:
div н = Т [(ни ДоДш д
Введемо функцію потоку [5]:
0. (32)
НиCT=-uT, Нит= uCT , (33)
тоді рівняння (32) буде виконуватися автоматично, а вираз для подвійного ротору набуде вигляду
rotrot H = -1 {wct , - WT ,0 , (34)
де функція W визначається формулою
W
uaa + итт
h
2 Т uzz
(35)
Отже, рівняння (17) відносно u можна ще раз проінтегрувати. В результаті отримаємо два однакових рівняння, якщо не зважати на константу інтегрування (її можна віднести до функції u , що не впливає на магнітне поле):
UCTCT UTT
h
2
- u77 = ад k u.
(36)
Хоч ця модель також звелась до скалярної, вона більш загальна від осесиметричної, тобто тут плос-копаралельність не відіграє спеціальної ролі.
Розглянемо загальний випадок довільної поверхні S , що задається параметричним рівнянням
r = r(u, v) = { x(u, v), y(u, v), z(u, v)} . (37)
Величина rotrot H , яка фігурує в рівнянні (17), має досить громіздкий загальний вигляд. Запишемо лише вираз для тангенціального поля
H = и,и,и^ = {и1,и2, 0} . Для нього
неважко виписати першу координату подвійного ротора через коефіцієнти Ляме:
74
РИ, 2002, № 1
(rotrot H)1
^ 2
('■2H2)u -(і,я^v
L1 X
1Л2
\ (
J_
^ 2
X r
('■ 1H 0 c
V
(38)
2 2
дє у 1, у 2 — компоненти діагонального метричного тензора; р^ р ^ — коефіцієнти другої квадратичної форми. Тоді цей вираз можна представити з точністю до величини, що не перевищує порядку с, , у вигляді
Друга координата має аналогічний вигляд, а третю (rotrot H 3 =
^ 1 А,
1А2
її МГ (
12 Ч V ) + V u
(і2H2) .
(39)
1
2
(rotrot H 3 ~2(v у2 - b2/ У 2) huv ІУ іУ 2 =^3
Рівність нулю змішаної похідної потоку h включає
осесиметричні моделі h = fi (u) + f2 (v), а вираз у дужках є умовою можливості нехтування кривизною поверхні (тобто дифузійно-магнітною складовою наводок):
можна спростити, якщо згадати, що магнітне поле солено'їдальне. Згідно з виразом дивергенції магнітного поля отримаємо рівність
div H
1
^1^ 2
Р 2 H 0 u +М 2) v
0. (40)
V У2 - *2 ІУ 2 = 0 ^ І у 2 = b2 І у 2 •
Отже, отримана умова можливості виключення дифузійно-магнітної складової наводок; похибка при цьому складає не більше порядка товщини обшивки.
Формула (39) повинна підказати умови, при яких можна знехтувати дифузійно-магнітною складовою наводок (тобто величиною третьої координати). Так буде у випадку осесиметричної поверхні, бо тоді напрям магнітного поля збігатиметься з координатним (наприклад u = ф) і перша координата разом із коефіцієнтами Ляме не буде залежати від u, тобто в цьому випадку (39) і (40) є нулями.
Для плоскопаралельних моделей коефіцієнти Ляме не залежать від нормальної координати, тому їх відношення теж буде таким, а випадок осьової симетрії таким буде принаймні для сферичних і циліндричних моделей. З урахуванням (40) праву частину (39) можна представити у вигляді
(rotrot H)3
(lnX2 І Х^с ^1^ 2
Р 2H0u 41H2)v
.(41)
Література: 1.Little P. Lightning Protection for Aircraft// Atom. 1980. №280. Р. 63-67 2. Авакян Г. ОБабиновМ.Б., Борисов Р.К., Ларионов В.П. Воздействие молнии на бортовое оборудование летательных аппаратов // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1990. № 5. С. 101107. 3. Синеглазое В.М., Мухина М.П. Моделирование электромагнитного поля цилиндра, создаваемого током молнии // Электронное моделирование. 2000. Т.22, № 1. С.24-31. 4. МитропольскийЮ.А., Березовский А.А., Данилевич Я.Б., Плотницкий ТА. Метод интегральных уравнений на импедансных поверхностях в задачах низкочастотной электродинамики. Киев, 1982. 40 с. (Препр. / АН УССР. Ин-т математики; № 82.44).
5. Синєглазов В.М., Мухіна М.П. Математичне моделювання електромагнітної взаємодії блискавки та повітряного судна // Міжнародна конференція з автоматичного управління “АВТОМАТИКА-2000”, праці конференції. Т.2. Львів: Державний НДІ інформаційної інфраструктури, 2000. 239 с.
Надійшла до редколегії 24.03.2002
Тепер стає очевидною доцільність введення функції потоку - аналогу (35):
X 2 H1 = -hv, X1H2 = hu . (42)
Цим забезпечується виконання (39), а (40) — після розкладу першого множника за степенями координати С,:
X2 У2 1 + CPj ІУ12 ^1 у 1 1+ СР2 ІУ 22 ^ і Ьд *1 *2
М a1 a2 ,
У2 У1
Ґ
V
1 + с
Р 2
А/
2
У 22 J
Рецензент: д-р фіз.-мат. наук, проф. Барняк М.Я.
Плотницький Томаш Адамович, канд. фіз.-мат. наук, старший науковий співробітник Інституту математики НАН України. Наукові інтереси: математичне моделювання електромагнітних процесів низькочастотної електродинаміки. Адреса: Україна, 04004, Київ, вул. Терещенківська, 3, тел. 224-30-36.
Мухіна Марина Петрівна, асистент кафедри комп’ютерно-інтегрованих комплексів Національного авіаційного університету. Наукові інтереси: моделювання електромагнітного впливу блискавки на літальний апарат. Адреса: Україна, 04358, Київ, просп. Космонавта Комарова, 1, тел. 4-888-555.
РИ, 2002, № 1
75
