CC BY
27
НТП И ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПРОИЗВОДСТВА
УДК 621.3.01
П. Я. ПРИДУБКОВ, канд. техн. наук, доцент
Українська державна академія залізничного транспорту, м. Харків
І. В. ХОМЕНКО, канд. техн. наук, доцент
Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут», м. Харків
ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІОНАЛЬНОГО ЗВ'ЯЗКУ МІЖ ПИТОМОЮ ПРОВІДНІСТЮ РЕЧОВИННОГО СЕРЕДОВИЩА І ЇЇ ДІЕЛЕКТРИЧНОЮ ПРОНИКНІСТЮ
Исследовано электрическое поле материальной среды, показано, что диэлектрическая проницаемость вещественной среды является её удельной ёмкостью, установлена функциональная связь между удельной проводимостью вещественной среды и её диэлектрической проницаемостью.
Досліджено електричне поле матеріального середовища, показано, що діелектрична проникність речовинного середовища є її питомою ємністю, встановлен функціональний зв'язок між питомою провідністю речовинного середовища і її діелектричною проникністю.
Вступ
Одним з основних структурних параметрів електроустановок, як і усіх електротехнічних пристроїв [1], є електрична ємність. Вона реалізується в пристроях або як окремий елемент - конденсатор, або як характеристика того або іншого елемента, наприклад, робочої ємності ліній електропередавання. Ця ємність суттєво впливає на режими в електричних мережах та системах Ефективне і надійне функціонування проектованих електроустановок та пристроїв можна досягти лише в тому випадку, якщо при їх розробці електрична ємність враховується у повному обсязі .
Тому уточнення характеристик поняття «електрична ємність», дослідження їхніх аналітичних зв'язків з іншими структурними параметрами дозволяє усвідомити електричні процеси, що протікають в електротехнічних пристроях, і, таким чином, підвищити ефективність їхнього проектування, тому що забезпечує необхідною базою процес створення нових методів розрахунку.
Завданням дійсної роботи є дослідження електричного поля в речовинному середовищі
і його аналітичних залежностей. Крім того уточнення за допомогою цих залежностей характеристик поняття «електрична ємність» у деякому об’ємі речовинного середовища й, таким чином, підвищення ефективності рішення проблем функціонування й проектування електричних пристроїв та електроустановок.
Основна частина
Основні рівняння електромагнітного поля, постульовані Д. Максвеллом, повною мірою описують електромагнітні процеси всіх електротехнічних пристроїв [2]. Зміст першого
рівняння Максвелла полягає в тім, що всяка зміна електричної індукції в часі
струм зсуву, як і струм провідності {8пр ), викликає вихрове магнітне поле {гоН)
- - dD
ШН = ^ ^ _
Співвідношення між векторами індукції і напруженості електричного поля, що враховує наявність зв'язаних зарядів у речовинному середовищі, описується вираженням:
/ = є0 Е + Р,
таким чином, струм зсуву 8зс складається із двох складових [3]:
- dD d (є0 Ё) ЖР
5 зс =--------------= 40 у +
dt dt dt .
Складова Є0 е) являє собою струм зсуву, що відбиває процеси в самому полі, у просторі
Ж
між атомами речовини й усередині них. Складова ЖР , обумовлена швидкістю зміни
Ж
поляризації діелектрика, є додатковим струмом зсуву, що викликається зміною поляризації речовини в результаті зміни електричного поля.
Для однорідного й ізотропного речовинн ого середовища [2]:
D = еаЕ ,
тому
dD = Ж (є аЕ )
Жґ Жґ ,
таким чином [3],
гоИ=*- + ^_
Тому що відповідно до закону Ома в диференціальній формі [2]:
8 пР = УЕ,
то перше рівняння Максвелла можна представити в наступному виді:
- - Ж (є Ё)
гоИ = уЕ + К а ’.
^ Ж
- Ж (є Ё) .
Струм зсуву 5зс = ———- виникає в будь-якому діелектрику, у тому числі й у вакуумі,
Ж
при зміні напруженості електричного поля [3]. Струм провідності 5пр це викликаний
електричним полем, створеним зовнішніми джерелами, упорядкований рух вільних заряджених часток у провідному середовищі. Хоча природа струму провідності й природа струму зсуву неоднакові, обоє вони володіють тією самою властивістю - викликати магнітне поле.
У відсутності зовнішнього електричного поля вхідні в структуру незарядженого діелектрика елементарні заряджені частки розташовуються таким чином, що в будь-якому макроскопічному об’ємі даного речовинного середовища результуючий заряд дорівнює нулю, і поля окремих часток взаємно компенсуються.
Для виникнення електричного струму необхідна наявність причини, що викликала б спрямований рух електричних зарядів. Цією причиною може бути, наприклад, електростатичне поле вакууму. При внесенні діелектрика (речовинного середовища) в електростатичне поле вакууму, як вільні, так і зв'язані заряди, що входять у структуру даного
середовища, починають рухатися - виникає електричний струм 5 . Цей струм існує доти, поки електричне поле в діелектрику не досягне свого сталого, постійного значення, і має дві складові. Струм провідності, обумовлений вільними зарядами, і струм зсуву, що відбиває процеси в самому полі й викликуваний так само зміною поляризації речовини. У результаті руху зарядів відбувається їхній перерозподіл у речовинному середовищі так, що на його поверхні утворяться поверхневі заряди, на одній частині поверхні - позитивні, а на іншій -негативні. Причому, позитивно заряджені частки переміщуються в напрямку зовнішнього поля, а негативно заряджені - у протилежному напрямку. Дані заряди розташовуються так, що пов'язане з ним поле накладається на зовнішнє й викликає зменшення результуючого поля у всіх елементах об’єму діелектрика [3]. Це обумовлено тим, що тіло діелектрика
46
вноситься у вакуум, діелектрична проникність якого менше діелектричної проникності тіла, тому що в речо винному середовищі є, на відміну від вакууму, заряди (вільні й зв'язані). Напруженість Е результуючого поля діелектричного середовища є геометричною сумою
напруженості Е0 зовнішнього поля й напруженості Еі поля зарядів діелектрика. Значення
напруженості Еі поля зарядів речовинного середовища визначається кількістю заряджених
часток, які перебувають на поверхні діелектрика.
Всі діелектричні речовинні середовища мають провідність не рівну нулю, тому на поверхні розподілу вакууму й діелектрика існують поверхневі заряди як зв'язані щільністю а5р, так і вільні щільністю . Нормальна складова вектора електричної індукції на границі
розподілу перетерплює розрив, змінюється стрибком на величину поверхневої щільності вільних зарядів [4], при тім що нормаль спрямована з вакууму в діелектрик (рис. 1):
а = Б - Б 0 = є0 (є Е - Е 0) , (1)
5 п п0 0\ Г п «0/5 V /
де: єг - відносна діелектрична проникність речовини.
а = Б„ - Б
п0
Б
є
є
0
а
Рис. 1
Тому що для однорідних і ізотропних речовинних середовищ:
то:
ЄаЕп - є0Еп0 =
є = + є0 Еп0
а
Е або:
єа = а + Мп°, (2)
а Е Е
п
де: Бп і Еп - нормальні складові відповідно вектора Б електричної індукції й вектора Е напруженості електростатичного поля діелектрика;
Бп0 і Еп0 - нормальні складові відповідно вектора Б0 електричної індукції й
вектора Е0 напруженості електростатичного поля вакууму.
Таким чином, абсолютна діелектрична проникність є а речовинного середовища залежить від щільності вільних зарядів на її поверхні. Поверхневий заряд формується при внесенні діелектрика в електростатичне поле вакууму за рахунок переміщення вільних зарядів під дією електричного поля вакууму. При цьому змінюється, за рахунок зміни поверхневої щільності а 5, і абсолютна діелектрична проникність є а речовинного середовища. Таким чином, протягом усього перехідного процесу, обумовленого внесенням
47
речовинного середовища в електростатичне поле вакууму, абсолютна діелектрична проникність sa діелектрика є функцією часу доти, поки електричне поле в діелектрику не
досягне свого сталого, постійного значення. Отже, щільності струму, викликуваного зміною поверхневого заряду діелектрика при його внесенні у вакуум, відповідає наступне вираження
(якщо допустити, що вектор напруженості Е0 перпендикулярний до границі розділу
діелектрика й вакууму):
8 = d (saE - s0 Е0) . (3)
dt dra 0 0/
Або, з огляду на те, що електрична постійна (е0 = 8,86 -10 -12 Ф/м = const) не залежить
від часу, і незмінним у часі залишається так само й напруженість Е0 електростатичного поля вакууму, то:
s= еЛ + Е^. (4)
a dt dt
т-т dE -de„
Перша складова даного струму еа — є струмом зсуву. Його друга складова Е-
8 ПР = Е^О-. (5)
dt dt струмом, обумовленим зміною поверхневої щільності вільних зарядів, тобто впорядкованим рухом вільних заряджених часток при внесенні діелектрика в електростатичне поле вакууму, таким чином, струмом провідності:
dea dt
Тому що відповідно до закону Ома в диферен ціальн і й формі для провідного середовища струм провідності визначається вираженням 8 пр = уЕ, то:
de
. . у=. , , (6)
Отримана аналітична залежність (6) описує зв'язок між діелектричною проникністю й питомою провідністю будь-якого реального речовинного середовища.
Таким чином, при внесенні речовинного середовища, у якому відсутні діелектрики, що поляризуються, в електростатичне поле вакууму першому рівнянню Максвелла в диференціальній формі відповідає вираження:
- -dea dE - dE
rotH = Е------+ е ---= у Е + е ---
dt dt a dt ,
або:
di
ГЫН = У Е + е a — = 8 пр + 8 с = 8
де: § = є - струм зсуву, що відбиває процеси в самому полі, у просторі між
е „
dt
атомами діелектричної речовини и усередині них.
При наявності в речовинному середовищі діелектриків, що поляризуються, поверхнева щільність зв'язаних зарядів (зарядів поляризації) на поверхні розподілу вакууму И
діелектричного середовища, тобто на поверхні розриву вектора Р поляризації, визначається поверхневою дивергенцією даного векто ра [ 4]:
а*р = -ВіуР = ~{Р - Ро К = 0 - Рп = єо (0 - кЕп), де: Р0 і Р - вектори поляризації із двох сторін від поверхні розриву, причому, Р0 = 0,
тому що у вакуумі відсутні зв'язані заряди;
k = єг -1 - електрична сприйнятливість діелектрика;
п0 - нормаль до поверхні розподілу, спрямована з вакууму в діелектрик. Стало бути:
= Рп0 - Рп = -Є0 (єг - 1)Еп = Є0Еп - ЄаЕп . (7)
- +
- +
І
- +
І
І
І _
- +
Р,
п0
Р.
Рис. 2
Вираження, що відповідає повній щільності поверхневого заряду, може бути знайдене за допомогою складання формул (1) і (7):
О + = *0 {Еп - Еп0 ) . (8)
Отримана формула відповідає загальному принципу лоренцівській теорії
електростатичного поля в діелектриках: якщо враховувати як вільні, так і зв'язані заряди, то всі закони поля можна виражати через вектори напруженості, не звертаючись до векторів електричної індукції й ігноруючи «проникність» середовища [4].
Таким чином, нормальна складова напруженості Епі електростатичного поля,
створюваного вільними й зв'язаними зарядами речовинного середовища, може бути визначена вираженням:
о, + о„
п0
Епі = Еп - Еп0 =---------------------------------------------------------------------. (9)
Є0
З огляду на те, що в розглянутому випадку:
Е = Еп , а Е 0 = En0,
а так само И на те, що в лінійних речовинних середовищах вектор напруженості результуючого електростатичного поля відповідно до принципу суперпозиції дорівнює геометричній сумі векторів напруженостей електростатичного поля, створюваного зарядами речовинного середовища, і поля вакууму, тобто:
Е = Еі + Е 0, тому: Еі = Е - Е 0. (10)
Тому що позитивні заряди зміщуються в напрямку зовнішнього поля, а негативні - у протилежному напрямку, і лінії електростатичного поля підходять нормально до поверхні розподілу вакууму И діелектрика, то вектори Еі И Е0 мають протилежні напрямки. Таким чином, модуль вектора Е напруженості результуючого поля в діелектричному середовищі буде дорівнює різниці модулів векторів Е0 і Еі, тобто:
ЕІ = |Е01 - |Еі |,
тому:
Еп - Еп0 =-(Е 0| - \Е |)= . (11)
Є 0
Тому що величина :
Е = ^ = Є0 (ЄгЕп Еп0 ) = є е - Е ~ ~ ~ьг^п п0
0
0
є нормальною складовою напруженості електричного поля, створюваного вільними зарядами, а величина:
Е = °*р = Є0 (Еп - ЄгЕп ) = е Є Е
Епр = -- = ----------- = Еп - ЄгЕп
Є Є
00
- нормальною складовою напруженості електричного поля, створюваного зв'язаними зарядами, то:
Еі = Е, + Ер. (12)
У правій частині першого рівняння Максвелла (гоїЙ = 8пр + 8зс) до складу струму
зсуву 8 зс в цьому випадку входить додатковий струм зсуву
ґйРЛ
V йї J
викликуваниИ зміною
поляризації речовини в результаті зміни електричного поля.
Щоб розглянути енергетичні процеси, що протікають у речовинному діелектричному середовищі при зміні напруженості електростатичного поля, наприклад, у момент її внесенні в електростатичне поле вакууму, треба виділити в даному середовищі елементарний об’єм (сV = • Сі).
У процесі створення електростатичного поля в цьому об’ємі від джерела електричної енергії буде взята енергія. У силу малості об’єму можна вважати, що напруженість Е
• сЕ . ^ п ^
електричного поля і її зміни — ті самі в повному об ємі. Робота, затрачувана силами поля на
с
переміщення одиничного заряду на відстань Сї, що дорівнює довжині елементарного об’єму, визначається як [2]:
А = ЕСІ (и = А = |Ш ).
ї
Тому що заряд dq, що проходить через поперечний переріз даного об’єму, у процесі внесення діелектрика в електростатичне поле вакууму може бути знайдений по формулі:
dq = оС8,
то при переміщенні цього заряду уздовж елементарного об’єму електричне поле здійснює роботу, якій відповідає вираження:
СА = оСЗЕЖ = оEdV . (13)
Таким чином, енергія, що виділяється в елементарному об’єму в одиницю часу, визначається як:
йї йї
йа
dV = 8EdV , (14)
де: 8 =----- - щільність повного струму, обумовленого зміною електричного поля
йї
речовинного середовища. Причому: а = + арх, тому: 8 = = 8 пр + 8 зс. Крім того:
йї
я В ■ я йЕ
8 = уЕ , і: 8зс = Єа —, таким чином:
йї
= у ЕЕdV + є аЕ dV = у Е dV +-------
йї йї йї
2
dV
(15)
Але уЕ2dV - енергія, що виділяється у вигляді теплоти в елементарному об’ємі dV в
dv швидкість зміни запасу енергії в електричному полі даного
й ^ 77 2 ^ одиницю часу, а _
йї
ЄаЕ ■
2 J
обсягу [2]. 50
». = єЕ2 = ^. (16)
2 2
Пристроєм, у якому запасається електрична енергія є конденсатор. Основною його характеристикою є електрична ємність. Під ємністю між двома провідними тілами, на яких є рівні по величині й протилежні за знаком заряди, розуміють абсолютну величину відносини заряду на одному з тіл до напруги між цими тілами [5].
На границі розділу провідника й діелектрика при відсутності струму по провідному тілу виконується умова: модуль вектора електричного зсуву Б в будь-якій точці діелектрика, безпосередньо пов'язаною з поверхнею провідного тіла, чисельно дорівнює щільності заряду а на поверхні провідного тіла в даній точці, тобто: Б = а .
Для однорідного ізотропного діелектричного середовища: Д = єаЕ, Тому заряд dq на елементарній поверхні dS {dq = аdS) провідного тіла визначається вираженням:
dq = єaEdS.
Напругою між розділеними діелектриком елементарними поверхнями dS провідних тіл, обумовленого зарядами, що перебувають на них, прийнято розуміти роботу, затрачувану силами поля при переносі одиничного заряду з одного тіла на інше:
du = Edl .
Таким чином, ємність dC між даними елементарними поверхнями, розділеними діелектриком із проникністю є а, визначається як:
сЮ = ^ = єа Щ du Ш ’
тобто:
ас=Єо^І. св
У тому випадку, якщо площі провідних поверхонь dS і відстані dl між ними є одиничними, то:
dC = єа. (17)
Таким чином, абсолютна діелектрична проникність єа речовини є питомою ємністю.
Тому що єaEdS = dШeл - потік вектора електромагнітної індукції через поперечний переріз dS елементарного об’єму речовинного середовища із проникністю єа, тому електрична ємність суть коефіцієнт пропорційності між потоком вектора електричної індукції й напругою, що створює даний потік:
І" єaEdS
J а ш
С = * - = -^. (18)
" ЕеВ и
і
Швидкість надходження енергії в елементарний об’єм речовинного діелектричного середовища при його внесенні в електростатичне поле вакууму характеризується миттєвою потужністю р [6]:
dweл - dE - - - - dEdl
р =-----dV = єаЕ — dl dS = єaEdS
Або:
dt а dt а dt
- - dF -
p = Fdl s—dS = ui3C, (19)
dt
де: u = Fdl - миттєве значення напруги, прикладеної до елементарного об’єму, dF
ізс = sa—dS = 53CdS - миттєве значення струму зсуву, що протікає через dt
елементарний об’єм.
Отже, під миттєвою потужністю слід розуміти добуток миттєвого значення напруги u, прикладеного до елементарного об’єму речовинного середовища, на миттєве значення струму ізс, що протікає через даний об’єм:
Р = иізс.
Таким чином:
. p saFdS dFdl
ізс = — = ~ja^--------------------------, (20)
u Fdl dt
тому:
і„ = Cdu(21) dt
Висновки
Таким чином, уточнено поняття характеристики матеріального середовища «діелектрична проникність» і параметра електротехнічних пристроїв та електроустановок
/ ds \
«електрична ємність», установлена функціональна залежність ( у = ~^ ), Що зв'язує
характеристики фізичних (провідних і діелектричної) середовищ, а так само обґрунтуванні відповідно до теорії поля енергетичні співвідношення у матеріальних середовищах. Все це забезпечує ефективне використання структурного параметра електротехнічних пристроїв електрична ємність в повному обсязі й створює теоретичні передумови для розробки нових методів проектування даних пристроїв та електроустановок.
Список літератури
1. Федоров Н. Н. Основи електродинаміки. - М.: Вища школа, 1965. 328 с.
2. Бессонов Л. А. Теоретичні основи електротехніки. Електромагнітне поле. - М.: Вища школа, 1986. - 263 с.
3. Сукачев А. П. Теоретичні основи електротехніки. Частина Й. Фізичні основи електротехніки. - Харків, 1959. - 460 с.
4. Поливанов К. М. Теоретичні основи електротехніки, ч. 3, Теорія електромагнітного поля. - М.: Енергія, 1969. - 352 с.
5. Шимони К. Теоретична електротехніка. - М.: Мир, 1964. -773 с.
6. Тамм И. Е. Основи теорії електрики. - М.: Наука, 1976. - 616 с.
RESEARCH OF FUNCTIONAL COMMUNICATION BETWEEN PERMITTIVITY OF MATERIAL ENVIRONMENT AND ITS DIELECTRIC PERMEABILITY
P.Y. PRIDUBKOV, Cand. Tech. Sci.
I. V. KHOMENKO, Cand. Tech. Sci.
The stationary electric field of material environment is explored, it is shown, that dielectric permeability of material environment is its specific capacity, functional communication between permittivity of material environment and its dielectric permeability is set.
Поступила в редакцию 02.08 2010 г.
