CC BY
30
MODELUL MATEMATIC AL ELEMENTULUI REZISTIV DIN MICROFIRE A DIVIZORULUI DE TENSIUNE iNALTA.
V.Berzan (Institutul de Energetica al A§M)
Rezumat. S-a propus modelul matematic al elementului rezistiv al divizorului de tensiune inalta din microfire reprezentat ca o linie lunga cu capacitate longitudinala. S-au formulat conditiile de continuitate a curentului §i tensiunii la frontierele de divizare a portiunilor pentru care se considera ca parametrii lineici au valori constante. S-a propus schema in diferente finite §i s-a analizat stabilitatea ei. Aceasta schema este neevidenta §i pentru obtinerea solutiei numerice s-a propus pentru utilizare metoda interatiilor multiple prin disparalelizarea procedurii de calcul, precum §i algoritmul procedurii iteratiilor multiple reie§ind din ipoteza, ca in punctele de ruptura sunt cunoscute valorile solutiei - valorile functiei cautate.
Cuvinte-cheie: divizor de tensiune inalta, microfire rezistive, model matematic.
Mathematical model of a resistive element made from a microwire of a high-voltage divider of a voltage
V.Berzan (Institute of Power Engineering of ASM)
Abstract. It is proposed the mathematical model of a resistive element of a high-voltage voltage divider made from a microwire. The model is presented as a long line with longitudinal running capacity. There are formulated conditions of continuity for a current and voltage on borders of sections with various values of running parameters which are constant within the limits of this section. It is proposed the scheme in final differences and the analysis of its stability is executed as well. This scheme refers to a class of implicit schemes and for getting the numerical decision it is recommended to use a method of repeated iteration with multisequencing of procedures of the numerical calculation. It is offered the algorithms of repeated iteration on the assumption of that in points of discontinuity of the solution values of this solution are known.
Key words: high-voltage divider, microwire, mathematical model.
Математическая модель резистивного элемента из микропровода высоковольтного делителя
напряжения В. Берзан (Институт Энергетики АНМ)
Аннотация. Предложена математическая модель резистивного элемента высоковольтного делителя напряжения из микропровода исходя из его представления в виде длинной линии с продольной погонной емкостью. Сформулированы условия непрерывности для тока и напряжения на границах участков с различными значениями погонных параметров, которые в пределах этого участка принимают постоянные значения. Предложена схема в конечных разностях и выполнен анализ ее стабильности. Эта схема относится к классу неявных и для получения численного решения рекомендовано использовать метод многократной итерации с распараллеливание процедуры численного счета, предложен алгоритм многократной итерации исходя из предположения, что в точках разрыва решения известны значения этого решения.
Ключевые слова: высоковольтный делитель напряжения, микропровод, математическая модель.
1.Introducere
In prezent masurarea, evidenta §i distribuirea energiei se realizeaza cu ajutorul transformatoarelor de masurare inductive sau capacitive. Neajunsul lor consta in gabaritele mari §i masa mare, precum §i eroarea ridicata de masurare, ceea ce conduce la aparitia dezechilibrului dintre fluxurile de putere §i dintre energia electrica livrata §i achizitionata. De exemplu, in domeniul transportului electric feroviar §i urban masurarea §i evidenta energiei electrice se realizeaza cu eroare in limitele de 1-5 %.
Tendinte moderne de dezvoltare a echipamentului energetic de masurare sunt orientate spre: majorarea preciziei convertoarelor de masurare inductive §i capacitiv-rezistive de tensiune inalta, cre§terii preciziei §i rapiditatii de reactie a echipamentului, sporirii numarului de marimi electrice §i a parametrilor retelelor electrice ce se masoara in timp real, mic§orarii masei §i gabaritelor echipamentului de masurare.
Analiza realizârilor pe plan mondial indicâ, câ solutionarea complexâ §i În plin volum a sarcinilor enumerate nu este posibilâ la utilizarea convertoarelor inductive §i capacitiv-rezistive.
O solutie de perspectivâ privind problema abordatâ o constituie construirea echipamentului energetic de mâsurare pe baza conductelor din microfire rezistive cu izolatie din sticlâ. Acest echipament este cunoscut sub titlul de divizoare de mâsurare din microfire rezistive (DMMR).În Republica Moldova este acumulatâ o bogatâ experientâ În domeniul de cercetare §i elaborare a microconductelor turnate cu izolatie din sticlâ, În cercetarea §i elaborarea elementelor, traductoarelor §i aparatelor pe baza conductoarelor din microfire rezistive (CMR) [1 -7].
Convertizoarele rezistive de mâsurare a tensiunilor Înalte sunt realizate constructiv ca lanturi de elemente rezistive elementare cu scopul obtinerii valorilor necesare a rezistentei §i a coeficientului de divizare a tensiunii pentru alimentarea circuitelor de intrare a componentelor electronice ce proceseazâ §i prelucreazâ informatia. De obicei aceste echipamente sunt individuale §i neportabile, §i la utilizarea În calitate de divizoare de tensiune Înaltâ În sistemul energetic pot fi influentate puternic de perturbatiile electromagnetice din statiile de transformare a tensiunilor §i În centralele electrice, inclusiv conditionate de sarcini neliniare. Investigatiile experimentale orientate spre ridicarea indicilor de performantâ a divizoarelor rezistive de tensiune Înaltâ utilizate pentru mâsurarea tensiunilor alternative În conditii reale de exploatare sunt destul de costisitoare. Din aceste considerente simularea matematicâ a regimului de functionare În baza utilizârii modelelor matematice adecvate realizârii constructive a divizorului [8,9] se prezintâ ca o solutie bunâ privind ridicarea indicilor lui de calitate §i elaborare a metodelor de verificare metrologicâ.
Scopul acestei lucrâri constâ În elaborarea modelului matematic al DMMR apt sâ descrie veridic procesele Într-o bandâ largâ de frecventâ; inclusiv §i cele conditionate de tensiunile temporare §i de impuls.
2.Particularitatea realizarii constructive a divizorului de tensiune înaltâ
Divizoarele rezistive de mâsurare a tensiunilor Înalte sunt realizate constructiv În formâ de coloane formate din elemente rezistive unitare. Elementele unitare rezistive dupâ realizarea constructivâ sunt similare cu bobinele de inductantâ §i/sau cu Înfaçurârile transformatoarelor de putere. O astfel de realizare constructivâ ca a bobinei de inductantâ asigurâ rigiditatea electricâ suficientâ a izolatiei dintre douâ spire vecine, precum §i Încadrarea În cerintele ce se referâ la valoarea rezistentelor bratelor divizorului. Cea mai simplâ constructie a elementului rezistiv din microfire o prezintâ bobinarea Într-un strat cu un microfir rezistiv a unei carcase cilindrice din material izolator. În Fig. 1 este prezentatâ schematic varianta de realizare constructivâ a elementului elementar rezistiv al divizorului.
În scop de protectie coloana rezistentelor unitare se amplaseazâ Într-o cuvâ din material cu electroconductivitate potentialul câruia este egal cu potentialului pâmântului. Ca rezultat apar scurgeri de curent prin capacitâtile noi formate. Scurgerile de curent sunt conditionate §i de imperfectiunea izolatiei - componenta curentului de electroconductivitate de asemenea nu este egalâ cu zero. Vom mentiona, câ stratul rezistiv posedâ inductivitate, iar Între spirele lui de asemenea apare o capacitate nedoritâ. În afarâ de valoarea lineicâ a rezistentei longitudinale R0
toti parametrii mentionati influenteazâ asupra repartitiei tensiunii În rezistenta unitarâ §i sunt surse de erori la transmiterea conversia tensiunii Înalte În tensiunea mâsuratâ la ieçire din divizor.
Fig.l. Schema realizârii constructive a elementului unitar a divizorului rezistiv din microfire.
Mârimile enumerate se pot prezenta prin valori lineice a elementului unitar rezistiv a divizorului: capacitatea lineicâ C0, inductivitatea lineicâ L0, electroconductivitatea G0, rezistenta longitudinalâ R0 §i capacitatea longitudinalâ a spirelor vecine K0. Definirea În a§a mod a unor
mârimi specifice realizârii date constructive ne permite sâ examinâm rezistenta unitarâ ca o linie lungâ cu parametri distribuiti, cu capacitate longitudinalâ §i la Întocmirea modelului sâ utilizâm schema echivalentâ, care este propusâ pentru descrierea bobinelor transformatoarelor de putere §i a liniilor lungi [8,9].
3. Schema echivalentâ çi modelul matematic al rezistorului unitar din microfire
În cazul realizârii constructive a pârtii active a elementului unitar rezistiv prezentatâ În Fg.l. este veridicâ urmâtoarea schemâ echivalentâ, care include §i capacitatea longitudinalâ K0 (Fig2).
Fig.2. Schema echivalentâ a portiunii elementului rezistiv Ecuatiile integralo-diferentiale pentru schema echivalentâ (Fig.2) sunt urmâtoarele:
-°U = Lo d + Roii;
dx 0dt 4,1 d ii di2_ d u
-------------= C0-------+ G0U;
dx dx d t
d u
— ¡Ldr, ç J 2
'-о 0
d x K,
du d
T3 = C0 ~ZT~, T4 = G0 u, (i1 + i2) = T3 + T4 ,
d t dx
(1)
unde K - capacitatea longitudinalâ, care revine la o unitate de lungime a Înfaçurârii rezistorului; L, R Q, G - parametrii distribuiti ai Înfaçurârii rezistorului unitar.
Conditiile initiale sunt nule:
u( x,0) = i1 ( x,0) = i2 ( x,0) = 0 sau
( ^ d u ( x, 0)
u ( x, 0) =-------------------= 0.
d t
Vom lansa ipoteza ca examinâm o linie lungâ la capâtul câreia poate fi regimul de scurtcircuit (SC), sau regimul de mers în gol (MG) §i conditiile de limitâ în sectiunile de frontierâ sunt urmâtoarele:
du(l,t) ^
u(0,t)= f0 (t), u(l,t)=0 (SC) sau —0 (MG) (2)
dx
În caz câ la capâtul liniei este conectatâ o rezistentâ §unt R, sau în caz general o impedantâ Zs aceasta ne permite sâ formulâm urmâtoarele conditii de limitâ marginale:
u(l, t ) = Ri, + L — + — JidT.
V W Si Si r J l
dt C
(3)
s 0
Domeniul de variatie a argumentului xe[0,/] se divizeazâ în Q segmente, în interiorul cârora coeficientii L0, R, C0, G0, K0 au valori constante. În sectiunile frontierelor de contactare a segmentelor x=xk, k=1, 2, ....Q-1 sunt valabile conditiile de continuitate a solutiei:
[u]=[i}]= [i2]=0.
(4)
Din sistemul de ecuatii (1) vom obtine expresia functiei u(x,t). Din ecuatia trei a sistemului (1) avem:
d 2u d xdt
Substituim curentul L din sistemul initial de ecuatii
(5)
-d = Lo ^ + R, i;
dx 0dt ^
d i d —1 + — dx dx
f
dLu
dxdt
-n d
C00 + Go u-
dt
(6)
Din prima ecuatie a sistemului (6) obtinem:
ii =-J
f 1 d u -R0(t-t)
0 Lo d x
dT,
§i din ecuatia a doua obtinem relatia integro-diferentialâ pentru functia u(x,t)
d
dx
d2u ^ dxd t
d u r d
Co~T~ + Go u -J^T~
dt dx
- d f
V Lo dx J
- RR0(t-t)
dT
(7)
Dupâ derivarea functiei (7) obtinem urmâtoarea relatie:
e
1 d u ) -R0(t-т)
У Lo dx J
d2
dT = Q —- + Go d t
du d2 did)
K0 n
У d x J
d t d t d x
§i cu ajutorul (7) ne eliberâm În relatia (8) de componenta prezentatâ de integral. Dupâ o modificare a ecuatiei (8), obtinem expresia:
-Q
d2u d2 d ( d u ) ( RQ Л—u d R d
O2
d t d t dx
d x
+
G, +^
L
d t
d t L0 d x
K
d u dx
d
f
dx
1 du
\
У L0 dx
G, Ro
L
u.
(9)
4. Schema numerica de calcul în diferente finite çi stabilitatea ei
Q
Vom suprapune pe portiunea [0,/] = Xk_i,Xk] o retea uniformâ cu pasul hk pe
k=1
fiecare segment [Xk ,Xk\, unde h=(X-Xk )/Nk pentru k=1, 2,
Nodurile retelei le vom nota astfel:
x
N
XN-1 + ihi, t 0,1, . ., Nk. x0 XN-1, xNb XN. ( x0 0, x l
N-1, xNk Xk . Ул0 0, x Nq
Pentru fiecare portiune [Xk , XJ vom aproxima În diferente finite ecuatia (9):
Q іun V -ГіK un-) 1
0,i \ t ) tt _V 0,i-1/2 1 ,x J x _|j
Gn
R,,, Q о,
L
,i J
u о -
i ,t
R
L
" іK0i-1/2ui,x )x
i,x
У L,,i-1/2 J x
go,A„
L
(10)
pentru xi ; i = 0,1...,Nn; N = 1,2,...,Q.
Vom utiliza la aproximare indici Întregi §i semiÎntregi pentru coeficientii, cârora În interiorul portiunilor [Xk , XJ le atribuim valori constante. Coeficientii vor fi diferiti pentru o valoare fixâ i, pentru i=0 sau i=Nk.
Vom cerceta stabilitatea schemei ce este descrisâ e relatia (10). Dacâ În schema canonicâ În diferente cu trei nivele este valabilâ egalitatea:
Ву^+тХу^+Ау^О,
În acest caz se Îndeplineçte inegalitatea operationalâ
B > 0, R = R*, A = A* > 0, R -1A > 0.
y
1
Pentru aceste conditii schema numericâ de calcul pentru modelul liniei lungi cu capacitate longitudinalâ va fi stabilâ.
Pentru schemade calcul (10) aceçti operatori se descriu de relatiile:
Bu =
G,. +
L
'0’ i J
u - і K0 u ) ;
i T V 0,i-1/2 i,x )x ’
L,
2Rui = C0Ui -іKoi-1/2uix )x ;
f
Au. — —
u
У L,,i-1/2 J
GqA,
L
Valoarea pozitivâ a coeficientului B, reiese din inegalitatea:
і Bu, u ) =
(f
Go +
RC
L
u, u
f
R іKoUx )x , u
У L0
Л
G, +
RCo
УУ
L
<o J J
K0Ux
R
—u
У Lo J x J
> 0.
Autocorelarea coeficientului R, reiese din simetria functiei biliniare (Ro u, Z):
Т іRU, Z) = іCоU, Z) - ііK0Ux )x , Z) = іCоU, Z) + іK0UxZx ).
Autocorelarea §i valoarea pozitivâ a coeficientului A se poate demonstra prin urmâtoarele transformâri. Dacâ este valabilâ relatia:
f ґ
і Au, z ) =
л л
L
■u-
+
У У 0 J x
GRl
У L0
U, Z
У L0
ux, Zx
+
G,, R
У L0
u, Z
reiese, câ coeficientul A are proprietâti de simetrie §i deci,
і Au, u ) = f ^ Щ, ux \ +
Sâ verificâm veridicitatea conditiei R -—A > 0.
4
Fie câ este valabilâ relatia:
GR
У L0
u, u
> 0.
R -1A\ u u1 = \ іСоМ u) + -1 іК0щ, щ ) -1 4 J J Т Т 4
ux, ux
У L0
u, u
Deoarece este valabilâ relatia
T
1
Q
іK0Ux, ux ) = Z іK0,kux, ux ) > Z
N=1 N=1
\
ту 8 N N
K0,k~j~Ui , U
У lN J
unde
lk = Xn - Xn-1, N = 1,2,...,Q, si
§i deci reiese câ
У L0
ux, ux
=Z
k=1
Q
У Lo,n
ux, ux
<Z
k=1
4_L
У hk L0,k
■uk,uN
1 ) і Q
R - - A I u, u \>Z
4 J j ir=i
(f
УУ
1C + 4 K _8_______1
_2 C0,k + 2 K0,k J j2t
k k 0,k
G0,kR,k
Л
4L,
Go nR ,k 4L
* uk, uN
0,N J Л
> min
N
— C +—K — - 1
fc- 1 -*»-п t- _
2 0,N 2 0,N J ?2J
т т lN N L0,k
і u )2 > 0.
‘0,N J
(11)
Fie câ valoarea minimalâ a relatiei (11) se realizeazâ pentru conditia k=m. În acest caz obtinem inegalitatea:
1 f 8K ) 1 f G R )
1 ^ , 8K0,m . 1 л , G0,mÂ\),m 12
C +
C 0,m +
>
m J m 0,N
ht L
1 + -
În baza inegalitâtii obtinute formulâm conditia de stabilitate a schemei numerice de
calcul:
hm L0,m
C +-
C0,m +
8Kn. \
l
mJ
1 +
G0mR0m
(12)
К
sau
т< К
G0,mR0,m 2
=hmAm і hm ) ,
T
4
unde Am (hm ) =
L0,m ir , 8Ko,m 1
C0,m + j V m y
Y | G0,^-R0,m i,2 m
Pentru a pästra valoarea maximalä a numärului lui Kurant in interiorul portiunilor [Xk ,
XJ, k=1, 2, ..., Q, pa§ii hk se determinä in a§a mod, ca produsul hkA(hp) sä nu depindä de
portiunea respectivä. Vom descrie un posibil algoritm de determinare a valorilor pa§ilor hk.
Alegem portiunea divizatä pe line unde avem cea mai mare valoare a vitezei de propagare a undei, sau cel mai mic interval de timp i •
min t = min k k k
Xk Xk i min - Xk Xk-1
<x
0,k
unde a =
- - viteza undei la propogarea pe portiunea k a liniei. Vom nota aceastä
II c
yL0,kC0,k
portiune cu indícele m §i vom calcula valoarea pasului h :
pentru Nm = 2,3,4.
(13)
Pasul de divizare a timpului se determina din relatia (12).
Pentru portiunea selectata pasul de divizare a timpului este egal x=hmA(hm). Trebuie de mentionat ca §i in interiorul altor segmente de asemenea este de dorit indeplinirea conditiei x=hkA(hj). In acest caz pasul hk se calculeaza tinand cont de relatia hkA(h¡)=hA(h).
Deoarece variabila t deja este cunoscuta, iar hkA(hj)=x §i din (12), obtinem urmatoarele
relatii:
f GR C
2 i , G0,k1\),k j 2
1 + -
-h:
= h L
hk L0,k
C0,k +
8Ko k 1 l,
k y
h:
'0,k
C0,k +
-T
2 G0,kR0,k j 2 -------------h,,
lk
= t2:
hk2 =
‘0,k
C0,k +
lk
-T
i
2
T
Dacä vom determina valorile pa§ilor hk conform algoritmului propus, atunci aceasta este
echivalent conditiei, cä in formula (11) valoarea minimalä se obtine pentru orice k.
Valorile calculate ale pa§ilor h¿ de obicei nu vor corespunde unui numär intreg pentru
spatiul portiunilor [Xk , XJ. De aceea, este necesarä recalcularea pa§ilor hk §i t dupä coordonatele
spatiale §i de timp pentru a obtine coicidenta plasei de calcul cu frontierile de divizare a liniei. La recalculare determinäm numärul întreg de divizare pe portinile Nk :
-1 +1
h
§i, prin urmare, calculäm valoarea paçilor pentru variabila spatialä
X, - X.
k X x-1 Nk
Conform valorii precizate hk, determinäm pasul de divizare a timpului: ^ k = hk A{^k j
T=minx k
§i în calitate de valoare finalä a variabilei t, selectäm pasul minimal din subspatiu k, deci,
in
k
Acest t, desigur va fi mai mic decât valoarea maximalä admisä, conform conditiei Kurant, dar cu cât este mai mare numärul de pa§i initiali N (13), cu atât mai mult numärul Kurant se
apropie de unitate.
5. Algoritmul de rezolvare a sistemului de ecuatii în diferente finite
Schema în diferente finite (10) este de tip neevident §i de aceea, pentru obtinerea solutiei este utilä utilizarea metodei multiplelor interatii.
Deoarece coeficientii pe parcursul liniei au valori constante doar în interiorul portiunilor selectate, cea mai comodä este metoda multiplelor interatii prin desparalelizarea procedurii de calcul.
Calcularea fiecärui interval al timpului se efectueazä în baza relatiilor:
ai u>i-i -bi ui+ci uLi=ftk >z'=l,2,■■■, n k-1;
u0 =Uk-1, ukNk =Uk k=1,2,...,Q (14)
Fie cä initial, în punctele cu rupturi ne sunt cunoscute valorile solutiei U0, UI,...,UQ. În acest caz, dacä utilizäm procedeul de rezolvare prin metoda simplä de multiple interatii pentru sistemul de ecuatii (14), de exemplu de Q ori, se poate obtine solutia cäutatä. Dar intial valorile
U0, U1,...,UQ nu sunt cunoscute. De aceea, se propune de utilizat procedura de rezolvare prin
I0 0I
metoda multiplelor iteratii a trei probleme de tipul (14) pentru douä functii fundamentale 9 , 9 §i a functiei din partea dreaptä F:
atfâ - bp + Cp = 0 i = 1,2,..., Nk-1
'k^A0k
ik „A0k
sJQk i
(Po = 1
,J°k n
Pn> = 0
( / )
aP -bkp01k + Cfr™ = 0 i = 1,2,...,Nk-1
,„01 k 1 P = 1
( II )
a¡F~-1 -bkFk + CF^ = fk i = 1,2,...,Nk -1 \Fk = 0, Fk = 0
( III )
10 01
Functiile p , p - sunt solutii a ecuatiei (14) cu partea dreapta nula pentru conditiile de limita 1, 0 sau 0, 1. Functia F este solutia ecuatiei (14) cu partea dreapta egala cu valoarea
functiei fik pentru conditiile de limita nule. Toate trei functii nu necesita cunoaçterea valorilor
reale uiîn punctele de ruptura, deci a valorilor U, U,..., U. În baza acestei proceduri obtinem Q ori solutiile pentru cele trei tipuri de probleme I, II §i III formulate anterior. Deoarece coeficientii în interiorul portiunilor de divizare a liniei au valori constante, reiese ca valorile marimilor
ak ,bk ,Ck §i fk nu depind de indicele i, deci în acest caz operam cu tipul de iteratie multipla
cu coeficienti constanti. De exemplu, vom ilustra metoda în baza obtinerii solutiei pentru problema I:
„k,n10k ikm10k . s-^km10k r¡
a p i-1 -b p i +C p i+1 =0
10k
p 0 =1,
10k p =0
i=1,2,..., Nk -1
Obtinînd valorile tuturor functiilor p10k ,p01k, Fjk , se poate determina solutia (daca
cunoaçtem
valorile U, U,..., uQ).
k t jk-1 10k - Tjk 01k . T?k
ui =U p/■ +U p/■ + Fi ■
(15)
Pentru determinarea valorii U trebuie sa formulam ecuatiile (14) pentru conditiile în nodurile de racordare i=Nk. Atunci, relatia (14) pentru nodul i=Nk se transforma în expresia:
nk i,k uk ,.k .r^k k _fk
aNk UNk -1 bNk UNk Nk UNk +1 J Nk .
k k k k k k k
Vom întroduce în relatia obtinuta formula (15):
a
N
lTîk-1 ...10k . TjkQ1k. 77k \ ik Tjk .
(U pNk-1 +U pNk-1 + FNt-1 )-b-'U +
N
(uk p
+CkN¡ (Ukp10(k+1) +Uk+1p01 k+r>
+F
k+1
)=f
k
Nk
<
k
În relatia obtinutâ s-a tinut cont, câ ukN =Uk. Grupând coeficientii pe lângâ variabilele
u_1 k k+1
necunoscute u , U , U , obtinem relatia:
т tV -і ( s-, k 1ük\ г T k Í ik k üik s^k rrk1ü < k+1) \ .
U (aNn ф N'„ j-U {Ч- ~aNt ф N, -CNk ф N< ) j'
4-Tjk 'і ( Г^к müK k 'і)\_ fk k т^ікк ^k т^к 'і
'U {CNv ф j=fNk ^м^^-і^м/і ,
(16)
4 ' Nk ) " Nk aNk^ Nk-і Nk і
unde k=1, 2, .., Q-1;
Uü =Vі, UQ =V2 - §i în acest caz V, =f(t); iar V=0.
k
Rezolvând acest sistem de ecuatii cu metoda de multiple iteratii, obtinem valorile U, iar
din (15) valorile mârimilor uN .
Vom transcrie în formâ de (14) schema în diferente finite (10):
^ - 2un ' un-1 (кг-тК' I - 2 (ki-1/2uinx jx
ґ'’ u, —г ■ ”,
Ci
+
(ki-1/2un- jx
т2
n'1 „ n-1
г l
Lo,t J 2т
K,(k^'Sj,-іi-1/2WSj, (
Т
2т
Т v
V Т0,г-1/2 J
КА
0,і
Т
-u ;
Cn'1 il n'1 \ .
0,iuг -(ki-1/2ui,x jx'
RoA
0,i
L
n'1
u -
'0,i J
( k,_V2H^ j = Cu - CoX-^ і к, j, '
ki—1/2Xl- j
т
RoCo, L
тК0,г
2L
і k-.uS j,
n-1
u -
'0,i
1
u
V Lo,i-1/2 J
2 R0,iG0,i n rn
-т -------------u = Ji ■
L
'0,i
Dacâ derivata {к^ц2u¡ x j se descrie pentru interiorul portiunii [Xkl ,Xk], atunci
coeficientul k y este o constantâ §i plasa este uniformâ:
г
2
2
Іkl—1l2Ul,x j^ =
„V 'i.V.^V
-, u.-,]—2u 'u / -kk—і i 1-і
h
к=і,2...£.
În sistemele de ecuatii I, II, III coeficientii §i paçii plasei de calcul vor avea valori constante; care se determinâ din relatiile:
al = - Kok
h2
т Ro,
Л
C = a '
C0,i ai ;
Ъ = Cok k +-
Л
0, k
L
— a — C '
ai Co i ;
0, k J
f L, ’ = 2C„k U - C k«r1 - 2Ko ,u" ' K o Ui ' т
í
L
'0, k J
* n-1 т Кк v n-1 . т n 2 RKkC0,к к
*Ui -^Y~ K0kkUu» U'^ ~T~
2 L0,k L0,k L0,k
U. ■
Pentru sistemul de ecuatii (16) derivata trebuie descifratâ, tinând cont de diferentele valorilor diferitor pa§i hk, hk+¡ §i de valorile coeficientilor. Derivata în nodul i=Nk se descrie de
relatia:
{K0,Nt-H2UNtx)x
K.
UNt '1 UN,
h
к —K *
K 0, Ni -1/2
h
к J
Y Â4
A0i+1
Nt '1 "N,
uN uN 1
h
'k '1
h
l J
л b -hk ' hk '1 unde h k — ~
2
Coeficientii de pe lângâ functiile fundamentale se calculeazâ din relatiile:
nk __K _J__________r_K_K 1 _ Kk
MM 0 k - - n
hknk 2 L’k °’khkhk
Khk
i+—-
2 T'
. z bk y
UKT. UM, -1 1
k
Г*к — — K
AT. Kl
0,k '1
K
0,k '1
0,k
^k\+1
^k^k+l
\ tR,A
1 + —-
2 T'
к z 4 J
ЪkC,k+i
uf nf
G' ' ЪЪ.
k t t
Lk
-ak —Ck
^aî. '—'A.
În ecuatiile cu çtrih sunt notate valorile coeficientilor R, L, G, C în punctele de rupturâ a solutiilor i=Nk. Aceste valori se pot determina ca valori de limitâ din stânga §i dreapta punctului
de rupturâ, dar este mai util de folosit media aritmeticâ, deci:
nt _ ^P.k + Rp.k+l T r _ L0,k + L0,k+\ r" — G°’k + G0,k+1 nt _ C0,k + C0,k+ï
k~ 2 > k- 2 > k- 2 ’ k~ 2 '
Pentru realizarea algoritmului de calcul vom deduce formula iteratiilor multiple pentru sistemul de ecuatii (14).
Vom transcrie sistemul de ecuatii (14) în forma urmâtoare:
I aiui-1-bkuk + CkX+i - fk , i -1,2,...,Nk-1
(17)
|< - A, uNt - B
Solutia o câutâm ca functia uk -a¡uf+j +P i §i atunci este valabilâ relatia uk-1 -ai +P. Substituim în (17) valoarea uk_j :
i-bU + Clrk
ak (a,-U<k + P-1 )-bkuk + CkiUkn - fi (a‘a,_i -bk)uk - -CkAi + f.k-ak1 '
simplificâm relatia §i determinâm valoarea variabilei uf :
, a] Pi- fk
7 k i ¿+1 i i i
- - a ! a 7 - a, a
Egalând coeficientii de pe lângâ necunoscute, obtinem formulele pentru calcularea valorilor coeficientilor a §i P :
^k
Cl . n ak P-1- f* .
'' bk aakk; P bk-ad
a ---------------------• P - 7-1—— • i -1 2 N -1
ai ik k • Bi ik k • 7 1,2,..., Nk 1.
k A
Din conditia de limitâ u0 - A obtinem, câ:
ug -ü-uj +Po - A ^a0 -0, Po - A.
Deci, se poate propune urmâtorul algoritm de calcul pentru determinarea valorilor coeficientilor §i a functiei necunoscute:
1) ag -0, Po - A ;
Cl n ak P- !- fk
bk-a,_rf , P bk-a,_rf
2) a-------------—------ в— 7 Pi-1—Jf— - -1 2 N -1 '
2) ai Tk k , Pi 1k k , 1 1,2,..., Nk 1 ;
3) uNk В ;
4) uN =a iu]N+1 +p i
i=N N ~1, N N ~2 ,...,2,1
6. Rezultate ale testarii modelului matematic
În calitate de problema test s-a selectatat modelarea procesului de propagare a undei în linia lunga fara pierderi çi cu pierderi la aplicarea la intrare a unui semnal sinusoidal pentru regimuri marginale la capatul ei. S-a simulât în baza modelului elaborat çi a algoritmului de organizare a procedurii de calcul numeric propus simularea matematica a procesului de propagare pentru cazul R = G0 = 0 (R=G=0) la prezentarea capacitatii lineica longitudinala în sistemul de
k
unitati relative çi valoarea acesteia s-a determinat din relatia K* = ——. Lungimea liniei este
C0l0
egala cu l = 537m, iar parametrii lineici au valorile L0 = 2.49*10 6H/m §i Q = \.2\*\0 9H/m.
Calculele s-au efectuat pentru trei valori ale capacit atii longitudinale K * = 0; 104 pe parcursul timpului egal cu durata sumara a trei propagari a semnalului în circuitul examinat.
Conditiile marginale de limita sunt urmatoarele:
u(0,t)=sin (5nt) u(0,t)=0 u(0,t)=0
pentru
pentru
pentru
0<t<0,2;
Vt<0,2;
Vt>0.
Pentru cazul K* = 0 nu se depisteaza deformarea impulsului initial avem o coincidenta absoluta cu repartitia spatiala a tensiunii obtinuta in baza metodei caracteristicilor pentru linia ideala (fig.3). Procesul devine mult mai complex in cazul cand capacitatea longitudinala difera de zero (fig.4). In acest caz are loc dispersia energiei impulsului in linia lunga §i atenuarea amplitudinii lui. La masuratori aceasta se spsizpazfl r.a n ptywp Hp flmnlitnrline conditionata de fenomi
nu exista.
Fig.3.Profilul tensiunii în linia ideala SC çi propagarile (1), (2) çi (3) ale
impulsului sinusoidal pentru K = 0
Fig.4. Profilul tensiunii în linia ideala SC çi propagarile (1), (2) çi (3) ale impulsului
sinusoidal pentru K = 10 4
În caz ca linia are pierderi procesul tranzitoriu devine çi mai complex. Astfel pentru valorile
K* = 10 4 çi pierderi în linie conditionate de rezistenta activa longitudinala R* = 0.0133 Om/m,
’ * -9
conductivitatea activa a izolatiei G =2,62*10 Sm/m se observa modificari foarte esentiale ale
caracteristicilor procesului (fig.5). In acest caz atat capacitatea longitudinala, cat §i parametrii de disipare actioneaza in aceia§i directii modificand valoarea amplitudinii tensiunii. Cu scopul observarii acestor modificari in linia cu pierderi punctul de observatie sa deplasat la mijlocul liniei, deoarece in regim de SC avem din conditiile marginale de limita u(l, t) = 0 pentru orice t > 0. In baza rezultatelor obtinute se poate constata, ca modelul matematic propus este robust §i poate fi utilizat pentru simularea proceselor in circuitele cu capacitate longitudinala §i parametrii distribuiti.
0.2 0 -0.2
0 2 4 6 8 1
Fig.5. Influenta capacitätii K = 10 §i parametrilor de disipare R* = 0.0133 Om/m,
G = 2,62*10 S/m asupra caracterului procesului ondulatoriu in punctul x=0,5l al liniei lungi la solicitarea ei cu un impuls sinusoidal
Coincidenta datelor calculelor propagärii semnalului sinusoidal, obtinute cu schemele numerice evidente §i neevidente, este o confirmare a robustetii metodei propuse §i algoritmului numeric pentru calcularea proceselor tranzitorii in structurile cu capacitate longitudinalä distribuitä cum sunt divizoarele de tensiune inaltä din microfire.
Calculele efectuate indicä, cä capacitatea K §i pierderile in linie influenteazä in acela§i mod asupra dinamicii procesului ondulatoriu.
Concluzii
1. S-a propus modelul matematic in formä de line lungä cu capacitate longitudinalä a rezistorului din microfire realizat in forma unei bobine cu spirele amplasate pe o ca rcasä din material izolant, care contine multe spire. S-au formulat conditiile de continuitate a curentului §i tensiunii la frontierele de divizare a portiunilor pentru care se considerä cä parametrii lineici au valori constante.
2. S-a propus schema in diferente finite §i s-a analzat sabilitatea ei. S-a demonstrat cä la majorarea numärului de ochiuri a plasei de calcul, valoarea pasului de divizare spatialä tinde spre valoarea numärului lui Kurant.
3. Schema in diferente finite pentru circuitul cu capacitate longitudinalä este neevidentä §i pentru obtinerea solutiei numerice s-a propus pentru utilizare metoda iteratiilor multiple prin disparalelizare a procdurii de calcul. S-a propus algoritmul procedurii iteratiilor multiple reie§ind din ipoteza, cä in punctele de rupturä sunt cunoscute valorile solutiei- valorile functiei cäutate. Coeficientii §i pasul retelei se definesc drept märimi constante in modelul matematic elaborat.
4.Rezultatele testärilor modelului matematic propus indicä, cä capacitatea K §i pierderile in aceastä linie influenteazä in acela§i mod asupra dinamicii procesului ondulatoriu. Modelul matematic §i algoritmul de obtinere a solutiei numerice sunt robuste pentru calcularea proceselor tranzitorii in structurile cu capacitate longitudinalä distribuitä cum sunt divizoarele de tensiune inaltä din microfire.
Lucrarea a fost realizata in cadrnl Programului de stat „Ingineria si tehnologiile electronice ín relansarea economiei”, nr. 08.808.05.04A, conducator acad. Dumitru Ghitu, la indeplinirea lucrarilor de cercetare - dezvoltare "Convertoare rezistive electronice §i echipament de masurare a tensiunilor 6,3 -25 kV de curent alternativ”.
Bibliografía
1. Бадинтер Е., Берман Н., Драбенко И.и др. Литой микропровод и его свойства. Кишинев: Штиинца, 1973 - 318 с.
2. Колпакович Ю.И. Чернов А.М. Данилюк И.Я. Методы и аппаратура для метрологического обеспечения измерений в цепях постоянного тока. В кн.: Автоматизация и метрология научных исследований г. Кишинев, Штиинца, 1985, с.20-39.
3. Данилюк И.Я. Колпакович Ю.И. Гришанов И.И. Устройство поверки высоковольтного прецизионного делителя напряжения. А.с.1647418 (CCCP), Бюллетень изобретений, 1991, N 17.
4. E.Badinter,V.Vasiltchuc, Iu.Colpacovitch. Calibratore de rezistenta §i curent Al 5-lea SIMPOZION NATIONAL DE METROLOGIE, Bucure§ti, 5-6 mai, 1994, p.84-85.
5. Daniliuc I., Colpacovici I. Procedeu de acordare a divizoarelor de tensiune. Brevet de inventie nr. MD 820 C2, BOPI nr.8/97.
6. Колпакович Ю., Кожокару Д., Данилюк И. Автономная поверка высоковольтных делителей напряжения в реальных условиях эксплуатации. Academia de §tiinte a Republicii Moldova. Centrul de Metrologie §i Automatizare a cercetarilor §tiintifice. Contributii in metrologie, certificare, informatizare §i inovare. Chi§inau, 2003, p.50-55.
7. Бадинтер Е.,Васильчук В.,Колпакович Ю.,Кожокару Д. Метрологическое обеспечение измерений сопротивления, напряжения и тока. Academia de §tiinte a Republicii Moldova. Centrul de Metrologie §i Automatizare a cercetarilor §tiintifice. Contributii in metrologie, certificare, informatizare §i inovare. Chi§inau, 2003, p.56-62.
8. В.Римский, В.Берзан, М.Тыршу. Волновые явления в неоднородных линиях./Том
2.Переходные процессы в линиях с сосредоточенными параметрами/ Под ред. чл.- корр. АНМ, д.х.т.н. В.М.Постолатий. Кишинэу: Типография АНМ, 2006 г. -264 с.
9. Rimschi V., Berzan V., Tir§u M., Uzun M., Rimschi S. Solutii precise ale ecuatiilor telegrafi§tilor. Acad.de §t. a Moldovei, Institutul de Energetica. - Ch.: Tipografía Acad.de §t. a Moldovei, 2007.-88p.
Informatii despre autor.
V.Berzan. Dr. hab. in tehnica, director adjunct pe probleme de ¡jtiinta a Institutului de Energetica al A§M. Domeniul intereselor ¡jtiintifice: diagnoza indistructiva a echipamentului electroenergetic, procese nestationare in circuite electrice neomogene, modelarea matematica, transportul energiei electrice la distante mari, surse regenerabile de energie. Autor a peste 160 lucrari ¡jtiintifice, inclusiv monografii 10, manuale 2.
