Модельный подход к анализу целочисленных инвестиционно'финансовых активов Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Ik3(9) 2007

А.В. Мищенко, Е.В. Виноградова, Л.С. Хайрулина

Модельный подход к анализу целочисленных инвестиционно-финансовых активов

Статья посвящена моделированию и анализу получаемых на основе решений задач оптимизации портфельных инвестиций при условии ограничений на целочислен-ность лотов. Рассматриваются двухкритериальные модели оптимизации портфельных инвестиций: максимизация доходности при заданном уровне риска портфеля и минимизация риска портфеля при заданной величине прироста инвестиционных ресурсов. Представлены результаты численных экспериментов по данным котировок Российской торговой системы и оценок информационно-аналитических агентств.

Статья подготовлена по материалам исследования, поддерживаемого Российским гуманитарным научным фондом (проект № 05-02-02012).

Рынок капиталов в настоящее время представляет собой быстро развивающуюся структуру российской экономики. Он предлагает различные виды инвестирования, при оценке эффективности которого аналитиками широко используются методы и модели оценки и прогнозирования стоимости финансовых активов [1]. Среди них можно отметить классические модели анализа портфельных инвестиций, такие как модель Марковица и ценовая модель рынка капиталов (САРМ).

Эти модели предоставляют инвесторам возможность поиска решений, максимизирующих прибыль от реализации инвестиционного проекта при желаемом уровне риска, или, наоборот, снизить риск при заданном уровне дохода. В теории такие подходы допускают дробление финансовых активов в общем портфеле инвестиций на доли, каждая их которых может быть представлена дробным числом (от 0 до 1). На практике же это зачастую не осуществимо, так как ценные бумаги продаются неделимыми лотами.

В данной статье представлены результаты проведенного сравнительного анализа целочисленных и непрерывных методов оптимизации портфеля финансовых активов

1 www.solver.com.

как на теоретическом уровне, так и на уровне численных экспериментов с использованием фактических данных.

В настоящее время для решения задач оптимизации методами линейного и нелинейного программирования финансовыми отделами предприятий и специалистами по работе с ценными бумагами используется специальный модуль «Поиск решения» (Solver), который входит в стандартную комплектацию программы Microsoft Excel. На самом деле Solver — это отдельный программный продукт, разработанный не корпорацией Microsoft, а фирмой Frontline Systems1, которая специализируется на экономическом программном обеспечении. Но разработчик согласился бесплатно распространять Solver вместе с программой Excel в пакете MS Office.

«Поиск решения» является программно-ориентированной надстройкой, написанной на языке программирования Visual Basic. Модуль «Поиск решения» представляет собой стандартизированную модель поиска оптимального портфеля при заданном уровне риска или доходности и имеет ограничения по объему вводимых данных, что является существенным минусом при обработке больших массивов ценных бумаг.

128

Ив3(9) 2007

К тому же существенный недостаток данной программы — ее несовместимость с реальными торговыми системами в целях получения данных о текущих котировках на фондовых биржах и внесения изменений в текущий портфель.

Эти недостатки полностью решены в программе выбора оптимального портфеля ценных бумаг MARKET. Это специализированный лицензионный продукт, поэтому он не столь распространен как общедоступная и общеизвестная программа Excel. Стоимость программы MARKET равна примерно 160 долл. США.

Программа MARKET представляет собой наукоемкое программное обеспечение, разработанное фирмой FineSoft Ltd. в области «Выбора оптимального решения». В основе вычислительного алгоритма программы лежит метод «Ветвей и границ» — один из лучших методов дискретного математического программирования.

Программа разработана в среде Visual Basic Microsoft Corp. с аппаратно-зависи-мыми компонентами, выполненными в системе программирования Pascal Borland Corp. Она полностью решает задачи, поставленные в начале данной главы, поэтому может быть одной из главных составных частей проектируемой автоматизированной системы выбора оптимального портфеля ценных бумаг.

Функциональное назначение программы

Программа MARKET выполняет процедуру поиска оптимального инвестиционного портфеля при задании необходимых исходных данных и определенных ограничительных условий для общего риска портфеля или общей доходности портфеля. Она также дает возможность формировать актуальный оптимальный инвестиционный портфель на основании постоянного обновления реальных рыночных данных (котировок акций), благодаря непосредственному взаимодействию с ресурсами торговых систем, таких как Российская торговая система (РТС) и

Московская международная валютная биржа (ММВБ).

Для экономиста программа MARKET обладает возможностями выбора оптимальной структуры распределения ресурсов при инвестициях в различные виды продукции с учетом условий, налагаемых требованиями компаний и предпочтениями инвесторов. Она является эффективным инструментом маркетинга для определения максимального выигрыша от инвестиций, накопленных за счет нераспределенной прибыли в ценные бумаги.

Для акционера и брокера эта программа обладает возможностями выбора оптимальной структуры портфеля ценных бумаг, при условиях, налагаемых на комбинацию пакетов требованиями компаний-эмитентов и предпочтениями инвесторов. Программа позволяет получать оценки максимального выигрыша от инвестиций в ценные бумаги при заданном уровне общего риска портфеля, и оценки минимального риска всего портфеля при заданном уровне доходности.

Прямое назначение программы — быстрая коррекция структуры портфеля ценных бумаг при любой скорости изменения котировок, предпочтений и фундаментальных условий.

Рассмотрим дискретную ценовую модель рынка капиталов. Пусть известен перечень лотов, в которые входят ценные бумаги одного вида, а их объем (количество акций каждого вида)задан числами V1, V2, ..., Vn. Известна начальная стоимость каждой акции а, в момент времени t=0 и вероятностное распределение будущей стоимости акций каждого вида в момент времени t = T.

Будем предполагать, что по каждому виду финансовых активов известны так называемые р-коэффициенты (р,, , = 1, 2, ..., n), которые задают количественную оценку риска по каждому виду ценных бумаг [2]. В этих условиях задачей инвестора, владеющего фиксированным объемом инвестиционных ресурсов F, является приобретение тех лотов, которые он сможет продать в момент времени t = T, получив при

i CJ

1=5

SS

0

1 !

I

I

ca

129

N93(9) 2007

этом максимальным ожидаемым прирост данных ресурсов АР.

Сформируем оптимизационную задачу определения инвестиционного портфеля с учетом вышеприведенных предположений. Пусть будущая стоимость /-го актива задается распределением у], ..., ут с вероятностями ръ ..., рт. Тогда математическое ожидание будущей стоимости /-го актива

т

есть величина у, =^у/р,.

1=1

В этих обозначениях задача выбора инвестиционного портфеля может быть представлена следующим образом:

£Vx(у, -а,) + F-

i=1

¿VX«, < F,

i=1

±vxa ß

■ max,

F

<ß r

со о

со

0

1 I

0

1

U

I

I

I

i

I *

S

, n.

(1) (2)

(3)

(4)

х, е {0,1}, / = 1, 2.

Здесь ргр есть максимальное допустимое значение риска инвестиционного портфеля. Дискретный характер изменения искомых переменных означает, что х, =0, если лот V не вошел в инвестиционный портфель, и х =1 — в противном случае. Оптимальное решение задачи, если оно существует, должно определить те лоты из множества Уи ..., Уп, которые, не нарушая заданных ограничений (2)-(4), максимизируют целевую функцию (1).

Для решения задачи может быть использована следующая схема метода ветвей и границ.

Шаг 1. Вычисление верхней оценки решения задачи (1)-(4).

Для получения верхней оценки решения заменим ограничение (4) на ограничение следующего вида:

0 < x < 1, i = 1,

(40

Тогда задача (1)-(4) становится задачей непрерывного линейного программирования, и ее оптимальное решение может быть

получено с использованием, например, симплекс-процедуры.

Обозначим решение задачи (1)-(4') через хопт, а соответствующее ему значение целевой функции (1) — через FB. Отметим, что х°пт не является допустимым решением исходной задачи (1)-(4). Очевидно, что значение целевой функции (1) задачи (1)-(4) на оптимальном решении не может превышать величину Fa.

Шаг 2. Вычисление нижней оценки решения задачи (1)-(4).

Определение нижней границы решения Fн осуществляется путем поиска некоторого допустимого решения задачи (1)-(4) и вычисления на этом решении значения целевой функции (1), которое и принимается за F^ Необходимо отметить, что чем ближе значение Fн будет к значению F^ тем более эффективно будет работать в дальнейшем схема алгоритма, а если F^ FB, то найденное выше решение и будет оптимальным. Если получено, что F^ FB, то осуществляется переход к следующему шагу метода.

Шаг 3. Анализ текущих оценок при формировании портфеля.

Если на втором шаге алгоритма выполняется соотношение Fhi<FB, то следует перейти к формированию нового портфеля. Для этого вычисляют текущие верхние оценки решения задачи по формуле:

Рт0к( K) =£ V; у i + FB( N/K), (5)

isK

где К — множество лотов, которые уже вошли в портфель; N — множество всех лотов; N/K — количество не приобретенных лотов;

F(N/K) — верхняя оценка решения задачи (1)-(4) на множестве лотов N/K и объеме финансовых ресурсов

FK = F-£a,V.

isK

Дальнейшее формирование нового портфеля происходит только в случае выполнения следующих условий:

Рт0к(K) > FH[

(6)

130

=1

№3(9) 2007

X (Va ,ß, )/ F <ß r

(7)

В случае если хотя бы одно из ограничений (6) или (7) не выполняется, происходит переход к формированию другого портфеля. Если условия (6) и (7) выполняются, то выбирается очередной лот для включения его в портфель. При этом получаем новое множество приобретенных лотов Кь Очевидно, что K с K1.

Далее на множестве К вычисляется F^K) по формуле (5) и проверяется выполнение условий (6)-(7). Осуществляя последовательно приведенную процедуру, в итоге получим, что либо формируемый портфель будет отбракован, либо остаток финансовых средств будет недостаточен для приобретения еще хотя бы одного лота. В последнем случае вычисляем на полученном допустимом решении значение целевой функции (1). Обозначим эту величину как F*. Если F*> FH, то в дальнейшем полагаем F^F*, и переходим к формированию очередного инвестиционного портфеля. Алгоритм завершается, если при очередной корректировке Fн получим F^ F^ или если все варианты формирования портфеля рассмотрены. Тогда в качестве оптимального выбирается тот портфель, который соответствует последнему (максимальному) значению Fн.

Далее используем целочисленную модель Марковица минимизации риска портфеля, в которой, как и ранее, будем полагать, что активы можно приобретать только лотами.

Определим при этом значение x , = .

Тогда задача Марковица может быть сформулирована следующим образом:

n n

X о2x,2у2 + YiYjXiXjcoVj ^ min, (8)

,=1 ,=1 jn

¿Y/Va, < F, (9)

=1

+ ^F-¿у.уа,^> F + AF, (10)

у, е{0,1},,= 1,2,..., n, (11)

где а2 (х, - х-, )2, а искомая переменная

/=1

у =1, если /-й лот включен в инвестиционный портфель, и у, =0 — в противном случае. Величина АР задает минимально необходимый прирост инвестиционных ресурсов при реализации активов портфеля в момент времени Г = Т. Значения ооуц вычисляют как попарные ковариации активов / и у (у = 1,...,п; у = 1,...,п;/ф у).

Опишем метод направленного перебора, реализующий схему метода ветвей и границ для этой задачи.

Шаг 1. Вычисление верхней границы оптимального значения целевой функции (8).

Для этого решается вспомогательная задача следующего вида:

X Y/Vl + If-X YVa,

,=1 V ,=1

n

X Y Va, < F,

• max,

(12)

(13)

131

CJ

SS 00

0 ?

1

и

I

со

у е{0,1},/= 1,..., п. (14)

Она является задачей линейного программирования с булевыми переменными. Получив ее решение уопт, сравниваем значение целевой функции (12) с правой частью ограничения (10) — если уопт<Р + АР, то задача (8)—(11) решения не имеет.

Если значение целевой функции (12) на оптимальном решении уопт>Р +АР, то вычисляем на этом решении значение целевой функции (8) и принимаем его за величину верхней оценки Яв задачи (8)-(11).

Шаг 2. В качестве нижней оценки Ян можно взять портфель, состоящий из одного лота, на котором а2 ^тнп.

1 /=1, п

Если Ян< 1/в, то переходим к шагу 3. Если Ян = Яв, то оптимальное решение найдено.

Шаг 3. Вычисление текущих нижних оценок решения для анализа различных вариантов формирования портфеля.

Вычисление (при условии, что в портфель уже вошли лоты множества К с N и выполняется неравенство ^у!У!а,< Р)

/еК

производится по следующей схеме.

n

n

=1

N93(9)2007

0 £

1 I

0

1

и

I

I

I

I

I

Ьс

I?

Упорядочиваются все лоты множества Ы/К по соотношению

11 >7^ > >Гт_ «1 а2 ат

и проверяется выполнение условия

XУУ,у , + Рв(ЫК) > Р+АР. (15)

/еК

Если (15) выполняется, то осуществляется переход к проверке выполнения следующего неравенства:

Е°2х? + 2 X X ^¡х-х +

/еК /, ¡еК 1)/

+ т1п{0, а,х,(п - к) + 2со^рХтХр}< Яв. (16)

где covmp — минимальная отрицательная ко-вариация двух активов из множества активов Ы/К;

хт, хр — равномерное распределение остатка капитала в долях после приобретения акций множества К; ст^ — минимальная дисперсия для множества активов Ы/К;

п-к — число лотов в множестве активов Ы/К;

{р \2

Р-X V а,

¡еК

Р(п - к)

В последнем случае проверяется значение целевой функции (8) на сформированном портфеле и, если оно меньше, чем Яв, то полагаем в дальнейшем, что Яв равно полученному значению целевой функции (8). Работа алгоритма завершается, если при очередной корректировке Яв получим Яв=Ян, или же после того, как просмотрены все варианты формирования инвестиционного портфеля. В этом случае в качестве оптимального портфеля выбирается тот, которому соответствует последнее (минимальное) значение Яв.

Теперь рассмотрим целочисленную задачу формирования инвестиционного портфеля Марковица на максимум доходности при ограничении на величину риска портфеля. С учетом использованных выше обозначений эта задача может быть формализована следующим образом:

X уу>( у,

)+р

• тах,

XУХ2СТ2 + 2XXУ УХ Хсоу, < НГр

/=1 /=1 ¡я

^уЦа, < Р,

/=1

У, е {0,1}.

(17)

(18)

(19)

(20)

— доля финансовых

средств, оставшихся после приобретения лотов множества К, равномерно распределенная междуактивами множества Ы/К.

Если неравенство (16) выполняется, то выбирается очередной лот из множества Ы/К, для включения в формируемый портфель, образуется множество лотов, включенных в портфель К (КсК^ и вычисляется текущая верхняя оценка для лотов множества К1.

Процесс формирования портфеля заканчивается, если при очередном включении нового лота в портфель не выполняется условие (15) или (16), либо за остаток средств нельзя приобрести ни один из лотов, не включенных в портфель.

Будем применять для решения целочисленной задачи (17)-(20) используемую ранее схему метода ветвей и границ.

Шаг 1. Вычисление верхней оценки оптимального значения целевой функции задачи (17)-(20).

Эта оценка может быть получена путем исключения ограничения (18) и замены (20) на ограничение вида:

0 <У < 1, , = 1,...,п. (21)

Тогда максимум доходности портфеля задачи (17), (19), (21) может быть получен, как

предлагалось ранее, путем упорядочения

у, —

лотов по величине соотношения —,, =1, п.

а

Перегруппируем лоты в порядке убыва-

ния величины

а,

11 а1

. Г2_

: а 2

132

хд =

п

№3(9) 2007

Далее будем приобретать лоты в порядке

у,

убывания величины — до тех пор, пока не a,

будут израсходованы все средства в объеме F. Этот портфель, очевидно, будет оптимальным решением задачи (17), (19), (21).

Если портфель к тому же удовлетворяет ограничениям (18) и (20), то он также будет и решением исходной задачи (17)-(20). Если последнее условие не выполняется, то осуществляется переход к шагу 2.

Шаг 2. Определение нижней оценки оптимального значения целевой функции задачи.

В качестве нижней оценки задачи (17)-(20) можно принять объем исходных инвестиционных ресурсов F. Содержательно это означает, что ни один лот не приобретается, и, следовательно, величина риска равна 0.

Шаг 3. Вычисление текущих верхних оценок оптимального значения целевой функции при формировании инвестиционного портфеля.

Вычисление текущей верхней оценки для частично сформированного портфеля при условии, что в портфель уже вошли лоты множества К, происходит по следующей формуле:

Рт0к( к) =£y,V + FB( N/K).

ZeK

Кроме того, формируемый портфель должен удовлетворять ограничениям по уровню риска, т. е. условию (18). Следовательно, после того как в портфель включены лоты множества К, должно выполняться следующее неравенство:

¿о2x2 + 2 X X covjxx +

,'eK ,,jeK jу

+ min{0, a2x2(n - k) + 2covmpxmxp}< Яф. (22)

Переменные в левой части имеют тот же смысл, что и в (16).

После того как вычислено значение FgeK(K) проверяется выполнение условия:

FT0K( K) < Fh.

(23)

Если условия (22) и (23) выполнены, то происходит выбор очередного приобретаемого лота и формируется инвестиционный портфель, в который входит множество ло-

тов К (Kс K1). Если на множестве К соотношения (22) и (23) выполняются, то процесс формирования портфеля продолжается. В противном случае он отбраковывается, и происходит переход к формированию нового инвестиционного портфеля.

Если согласно приведенному выше алгоритму удалось сформировать портфель, для которого выполняются ограничения (18)-(20) и при этом значение целевой функции (17) Р*>Рн, то полагаем Рн = F*, и далее осуществляется переход к очередной итерации алгоритма формирования нового инвестиционного портфеля.

Работа алгоритма заканчивается в случае, когда после очередной корректировки Рн, получим Рн = Рв, или когда все варианты формирования портфеля рассмотрены. В качестве оптимального портфеля выбирается тот, который соответствует последнему (наибольшему) значению Рн.

Рассмотрим несколько примеров формирования оптимального портфеля ценных бумаг при целочисленных и непрерывных ограничениях. В качестве исходной информации используем реальные данные о котировках, предоставляемые РТС, и значения коэффициентов риска (р,), рассчитанные информационным агентством «МФД-Инфо-Центр» и компанией EGAR Technology.

Коэффициент риска определяется нами относительно индекса РТС для акций 68 российских эмитентов, представленных на фондовом рынке.

В целях инвестирования рассматривались 7 российских акций (табл. 1), входящих в двадцатку самых высоколиквидных ценных бумаг российского фондового рынка (так называемые голубые фишки): EESR — РАО «ЕЭС России» обыкновенные, LKOH — «ЛУКойл-Холдинг» обыкновенные, RTKM — «Ростелеком» обыкновенные, GUMM —ГУМ обыкновенные, SNGSP — «Сургутнефтегаз» привилегированные, TATN — «Татнефть» обыкновенные, YUKO — «ЮКОС» обыкновенные. Указанные акции торгуются лотами стандартного объема — по 100 акций в каждом.

CJ

С?

SS

0

1 t

I

I

CO

133

Ik3(9) 2007

Таблица 1

Прогнозируемое изменение курсов, долл. США за 1 акцию

Параметр EESR LKOH RTKM GUMM SNGSP TATN YUKO

Текущий курс 0,28 34,6 2 2,3 0,54 1,76 0,5

Прогнозируемый курс 0,34 39,88 2,41 1,92 0,64 1,74 0,55

Коэффициент риска акций 0,92 1,45 0,88 0,31 1,21 1,25 1,62

Пример 1. Формируется начальный портфель ценных бумаг из 4 акций: EESR, LKOH, RTKM и GUMM в предположении, что инвестор располагает суммой в размере 1900 долл. США и общий риск портфеля (рп) не должен превышать 1,25.

Непрерывная задача линейного программирования (лоты могут приобретаться частями) для данного инвестиционного портфеля может быть успешно решена с помощью процедуры «Поиск решения» программы Excel. Результаты решения представлены в табл. 2. со Искомое решение — переменные Xi не-§ прерывной оптимизационной задачи — вы-<§ делено жирными линиями и представляет § собой те пропорции, в которых инвестору g наиболее выгодно приобрести лоты, чтобы sg получить максимальный доход 232,13 долл. ■¡р. и не превысить граничного значения риска ! всего портфеля 1,25 (выделено курсивом). § Пример 2. Теперь расширим инвестируете мую область на акцию «Сургутнефтегаза»,

§ присоединив ее к сформированному в пре-§

§

I

! I

Ьс

I

i

I?

I

дыдущем примере портфелю и сохранив все ограничения на риск и инвестируемую сумму. Оказалось, что при этих условиях оптимальное решение не может быть найдено. Требуется увеличить инвестируемую сумму до 2000 долл., тогда возможно найти решение, показанное в табл. 3.

Несмотря на то что была добавлена акция с высоким коэффициентом риска, это позволило незначительно снизить общий риск портфеля до 1,2499, что подтверждает аксиому о снижении риска инвестиционного портфеля путем его диверсификации.

Примеры 3 и 4. Проиллюстрируем данное утверждение еще несколькими примерами, увеличив последовательно инвестиционный портфель до 6 (табл. 4) и 7 (табл. 5) акций.

Акции «Татнефть» имели больший коэффициент риска, чем акции компании «Сургутнефтегаз», но, как показывает решение, несмотря на это дополнительная диверси-

Таблица 2

Оптимальный инвестиционный портфель из 4 акций (при условии дробления лотов)

Параметр EESR LKOH RTKM GUMM Итого Лимит

Начальная стоимость 1 акции 0,28 34,6 2 2,3

Будущая стоимость 1 акции 0,34 39,88 2,41 1,92

Количество акций в лоте 100 100 100 100

Коэффициент риска акций 0,92 1,45 0,88 0,31

Инвестиции в акции 28 1451,68 200 220,32 1900 1900

Общая доходность по акциям 6 221,53 41 -36,4 232,13

Доля риска акций в портфеле 0,01 1,11 0,09 0,04 1,25 1,25

Доля акций в портфеле 1 0,42 1 0,96

134

№3(9) 2007

Таблица 3

Оптимальный инвестиционный портфель из 5 акций (при условии дробления лотов)

Параметр ЕЕЭЯ икон яткм вимм ЭЫвЭР Итого Лимит

Начальная стоимость 1 акции 0,28 34,6 2 2,3 0,54

Будущая стоимость 1 акции 0,34 39,88 2,41 1,92 0,64

Количество акций в лоте 100 100 100 100 100

Коэффициент риска акций 0,92 1,45 0,88 0,31 1,21

Инвестиции в акции 28 1504,66 200 230 37,34 2000 2000

Общая доходность по акциям 6 229,61 41 -38 6,91 245,52

Доля риска акций в портфеле 0,01 1,09 0,09 0,04 0,02 1,2499 1,25

Доля акций в портфеле 1 0,43 1 1 0,69

{

со ^

55

о ?

л

I

I

со

Таблица 4

Оптимальный инвестиционный портфель из 6 акций (при условии дробления лотов)

Параметр ЕЕЭЯ икон ягкм вимм ЭЫвЭР ТАТЫ Итого Лимит

Начальная стоимость 1 акции 0,28 34,6 2 2,3 0,54 1,76

Будущая стоимость 1 акции 0,34 39,88 2,41 1,92 0,64 1,74

Количество акций в лоте 100 100 100 100 100 100

Коэффициент риска акций 0,92 1,45 0,88 0,31 1,21 1,25

Инвестиции в акции 28 1158,66 200 230 37,25 176 1829,91 2000

Общая доходность по акциям 6 176,81 41 -38 6,90 -2 190,71

Доля риска акций в портфеле 0,01 0,84 0,09 0,04 0,02 0,11 1,11 1,25

Доля акций в портфеле 1 0,33 1 1 0,69 1

Таблица 5

Оптимальный инвестиционный портфель из 7 акций (при условии дробления лотов)

Параметр ЕЕЭЯ икон яткм вимм ЭЫвЭР ТАТЫ уико Итого Лимит

Начальная стоимость 1 акции 0,28 34,6 2 2,3 0,54 1,76 0,5

Будущая стоимость 1 акции 0,34 39,88 2,41 1,92 0,64 1,74 0,55

Количество акций в лоте 100 100 100 100 100 100 100

Коэффициент риска акций 0,92 1,45 0,88 0,31 1,21 1,25 1,62

Инвестиции в акции 28 1539,93 200 0 54 0 0 1821,93 2000

Общая доходность по акциям 6 235 41 0 10 0 0 292

Доля риска акций в портфеле 0,01 1,12 0,09 0 0,03 0 0 1,25 1,25

Доля акций в портфеле 1 0,45 1 0 1 0 0

135

№>3(9)2007

фикация дает существенное уменьшение риска портфеля до 1,11. При этом понижение курса акций «Татнефть» повлекло за собой снижение общей доходности портфеля.

Доходность данного портфеля самая максимальная из ранее рассмотренных, что достигается, главным образом, благодаря покупке акций «ЛУКойл».

Теперь перейдем к рассмотрению более реалистичной для фондового рынка ситуации на примере тех же портфелей, но когда акции приобретаются лотами, и сравним полученные результаты.

Пример 5. Для портфеля, состоящего из 4 акций, оптимальное решение не может быть найдено при прежних ограничениях, поэтому потребовалось увеличить сумму инвестирования до 2000 долл. (табл. 6).

Целочисленная задача по поиску оптимального портфеля акций более адекватна реальному положению вещей на торго-1а вых площадках, так как на них лоты акций § не принято дробить. В тоже время целочис-^ ленные ограничения сужают возможности § инвестирования и получения «дополнитель-§ ной» доходности за счет дробления лотов. | Пример 6. Для инвестиционного портфе-■1р. ля, состоящего из 5 и 6 акций, в условиях | целочисленных ограничений на покупку ло-§ тов, также не может быть найдено опти-£ мального решения. Возможность сформи-

§ ровать оптимальный инвестиционный порт-§

§ I

I

I

Ьс

I £

I?

I

фель дает увеличение суммы инвестиций до 4500 долл. (табл. 7 и 8).

Оптимальные портфели, представленные в таблицах идентичны по своему составу, поскольку добавление 6-й акции в портфель не повлияло на результат решения.

Пример 7. Результаты расчета, представленные в табл. 9, наглядно демонстрируют повышение общего риска портфеля ценных бумаг вследствие включения в него акций с высокой степенью риска (р).

Таким образом, моделирование и анализ результатов решения двухкритериаль-ной задачи формирования оптимального портфеля инвестора на фондовом рынке показывает, что учет дискретности состава лотов акций, котирующихся на этом рынке имеет значение с точки зрения оценки рис-ковости и эффективности этого портфеля. Применение же при анализе портфельных инвестиций непрерывных двухкритериаль-ных моделей, как правило, менее адекватно условиям задачи, поскольку в реальной практике торги ценными бумагами на фондовых рынках проходят фиксированными лотами.

Следует отметить, что в теории непрерывная модель оптимизации инвестиционного портфеля дает некоторую гибкость при выборе объектов инвестирования. Благодаря возможности дробления лотов область ин-

Таблица 6

Оптимальный инвестиционный портфель из 4 акций (при покупке акций лотами)

Параметр EESR LKOH RTKM GUMM Итого Лимит

Начальная стоимость 1 акции 0,28 34,6 2 2,3

Будущая стоимость 1 акции 0,34 39,88 2,41 1,92

Количество акций в лоте 100 100 100 100

Коэффициент риска акций 0,92 1,45 0,88 0,31

Инвестиции в акции 28 0 200 0 228 2000

Общая доходность по акциям 6 0 41 0 47

Доля риска акций в портфеле 0,11 0 0,77 0 0,88 1,5

Доля акций в портфеле 1 0 1 0

136

№3(9) 2007

Таблица 7

Оптимальный инвестиционный портфель из 5 акций (при покупке акций лотами)

Параметр БЕвй икон ЙГКМ вимм выввр Итого Лимит

Начальная стоимость 1 акции 0,28 34,6 2 2,3 0,54

Будущая стоимость 1 акции 0,34 39,88 2,41 1,92 0,64

Количество акций в лоте 100 100 100 100 100

Коэффициент риска акций 0,92 1,45 0,88 0,31 1,21

Инвестиции в акции 28 3460 200 0 54 3742 4500

Общая доходность по акциям 6 528 41 0 10 585

Доля риска акций в портфеле 0,01 1,11 0,04 0 0,01 1,17 1,25

Доля акций в портфеле 1 1 1 0 1

{

со ^

о ?

л

I

I

со

Таблица 8

Оптимальный инвестиционный портфель из 6 акций (при покупке акций лотами)

Параметр ЕЕЭЙ икон ЙГКМ виММ SNвSP TATN Итого Лимит

Начальная стоимость 1 акции 0,28 34,6 2 2,3 0,54 1,76

Будущая стоимость 1 акции 0,34 39,88 2,41 1,92 0,64 1,74

Количество акций в лоте 100 100 100 100 100 100

Коэффициент риска акций 0,92 1,45 0,88 0,31 1,21 1,25

Инвестиции в акции 28 3460 200 0 54 0 3742 4500

Общая доходность по акциям 6 528 41 0 10 0 585

Доля риска акций в портфеле 0,01 1,11 0,04 0 0,01 0 1,17 1,25

Доля акций в портфеле 1 1 1 0 1 0

Таблица 9

Оптимальный инвестиционный портфель из 7 акций (при покупке акций лотами)

Параметр EESR икон RTKM вимм SNвSP TATN уико Итого Лимит

Начальная стоимость 1 акции 0,28 34,6 2 2,3 0,54 1,76 0,5

Будущая стоимость 1 акции 0,34 39,88 2,41 1,92 0,64 1,74 0,55

Количество акций в лоте 100 100 100 100 100 100 100

Коэффициент риска акций 0,92 1,45 0,88 0,31 1,21 1,25 1,62

Инвестиции в акции 28 3460 200 0 54 0 0 3792 4500

Общая доходность по акциям 6 528 41 0 10 0 5 590

Доля риска акций в портфеле 0,001 1,11 0,04 0 0,01 0 0,02 1,19 1,25

Доля акций в портфеле 1 1 1 0 1 0 1

137

Ив3(9) 2007

О с

4 ¡3

5 "в"

« I-

3 й-

о =

700 600 500 400 300 200 100 0

,585,00 ¡585,00 ! 590,00

! 232,13 . 245,52 __1292,00

*- 1190^71___ --- |

Т

¿^7,00

4 5 6

Количество видов акций, входящих в портфель -Доходность портфеля при дроблении лотов -Доходность портфеля при покупке акций лотами

Рис. 1. Доходность портфеля инвестиций

1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

4- —4

—--X---

со

0

1 <0

со

0

£

1

I

0

1

и

I

I

I

I

I

Ьс

I?

5 6

Количество видов акций, входящих в портфель

- Риск портфеля при дроблении лотов

- Риск портфеля при покупке акций лотами

Рис. 2. Зависимость риска портфеля от количества акций

вестирования (количество приобретаемых видов акций) шире, чем в целочисленных моделях. Так, результаты табл. 2-4 показывают, что в этом случае в формировании портфеля участвуют все предлагаемые акции, но в решение они вошли в дробном виде.

Не всегда можно получить и удовлетворительное решение дискретных задач оптимизации. Это типично для случая, когда инвестор располагает небольшой суммой свободных денежных средств (100-150 тыс. руб.). Тогда его инвестиционный портфель может ограничиться 1-2 акциями (например, стоимость одной акции «Сбербанка» по состоянию на 9 февраля 2007 года составляла 89900 руб.). В такой ситуации применение дискретных задач оптимизации невозможно. Поэтому на помощь приходят целочисленные методы, которые оказываются ближе к рыночной действительности, хотя запрет на дробление лотов накладывает жесткое ограничение на область инвестирования. Таблицы 6-9 содержат искомые перемен-

ные равные 0, что означает отсутствие лота в портфеле.

Рисунки 1 и 2 отражают зависимость доходности и риска инвестиционного портфеля от количества видов акций в его составе.

Графики демонстрируют существенно более высокие показатели доходности портфеля при решении задачи его формирования с целочисленными ограничениями при практически близких показателях риска обоих портфелей. Значит, и реальная практика также должна быть в пользу целочисленной модели, так как доходность является главным критерием инвестора при выборе финансового портфеля.

Список литературы

1. Мищенко А.В., Попов А.А. Модели управления портфельными инвестициями. М.: РЭА им. Г. В. Плеханова, 1999.

2. Шарп У. Ф., Александер Г.Дж., БейлиДж. В. Инвестиции / Пер. с англ. М.: Инфра-М, 2003.

138

ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА ________—

-^ №>3(9)2007

Алексенцева Ольга Николаевна — старший преподаватель кафедры Информационных систем в экономике Саратовского государственного социально-экономического университета.

Бочаров Евгений Петрович — к.ф.-м.н., д.э.н., профессор, заведующий кафедрой Информационных систем в экономике Саратовского государственного социально-экономического университета.

Бояринов Юрий Геннадьевич — к.т.н., доцент кафедры Информатики филиала Московского энергетического института (ТУ) в Смоленске.

Бугорский Владимир Николаевич — к.э.н., профессор факультета Информационных систем в экономике и управлении Санкт-Петербургского государственного инженерно-экономического университета.

Виноградова Елена Владимировна — аспирантка Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана.

Власова Екатерина Аркадьевна — старший преподаватель кафедры Математических и инструментальных методов экономики Московской финансово-промышленной академии.

Дли Максим Иосифович — д.т.н., профессор, заведующий кафедрой Менеджмента и информационных технологий в экономике филиала Московского энергетического института (ТУ) в Смоленске.

Дорофеев Андрей Сергеевич— старший преподаватель кафедры Вычислительной техники Иркутского государственного технического университета.

Дорошенко Наталья Борисовна — преподаватель кафедры Психологического консультирования факультета Психологии Пятигорского государственного лингвистического университета.

Емельянов Александр Анатольевич — д.э.н., профессор, проректор по ^-образованию Московской финансово-промышленной академии.

Емельянова Наталья Захаровна — к.э.н., доцент кафедры Экономики и управления Московского энергетического института (ТУ).

Ермошин Дмитрий Владимирович— начальник информационного отдела ОАО «Саратовские обои», аспирант кафедры Информационных систем в экономике Саратовского государственного социально-экономического университета.

Каширская Елизавета Натановна — к.т.н., профессор кафедры Прикладной информатики в экономике Всероссийской государственной налоговой академии Минфина России.

Клименко Александр Викторович — чл.-корр. РАН, д.т.н., профессор, директор Института проблем энергетической эффективности Московского энергетического института (ТУ).

Котляров Иван Дмитриевич — к.э.н., старший преподаватель кафедры Информационных систем в экономике Санкт-Петербургского государственного инженерно-экономического университета.

Меркулина Ирина Анатольевна — к.э.н., профессор, заведующая кафедрой Прикладной информатики в экономике Всероссийской государственной налоговой академии Минфина России.

Мищенко Александр Владимирович — д.э.н., профессор Государственного университета — Высшая школа экономики.

НикитинАлександр Павлович— к.т.н., профессор кафедры Прикладной информатики в экономике Всероссийской государственной налоговой академии Минфина России.

Сосинская Софья Соломоновна — к.т.н., профессор кафедры Технологии машиностроения Иркутского государственного технического университета.

Стоянова Ольга Владимировна — к.э.н., доцент кафедры Менеджмента и информационных технологий в экономике филиала Московского энергетического института (ТУ) в Смоленске.

Фомин Владимир Ильич— к.т.н., профессор, декан факультета Информационных систем в экономике и управлении Санкт-Петербургского государственного инженерно-экономического университета.

Хайрулина Ляйля Сайяровна — аспирантка Российской экономической академии им. Г.В. Плеханова.

Юрин Павел Викторович — аспирант кафедры Вычислительной техники Иркутского государственного технического университета.

139

Нв3(9) 2007

Имитационная модель производственного процесса как элемент системы управления промышленным предприятием

Е.П. Бочаров, О.Н. Алексенцева, Д.В. Ермошин

Статья посвящена применению имитационных моделей в процессе управления предприятием. В качестве примера рассматривается использование модели производственного процесса в контуре управления ОАО «Саратовские обои». Для построения модели использовалась система имитационного моделирования GPSS World. Подготовка исходных данных для работы модели осуществлялась с помощью пакета статистического анализа STATISTICA. В свою очередь, данные для анализа предоставлялись корпоративной информационной системой «Галактика».

В статье рассмотрены такие аспекты, как выбор инструментальных средств, постановка задачи построения имитационной модели, а также анализ результатов моделирования, проведенный с использованием пакета STATISTICA. Представлены структурная схема производственного процесса, блок-схема имитационной модели, а также графики результатов моделирования. Также приведена концепция применения метода статистических испытаний (метода Монте-Карло) средствами GPSS World, включающая создание специального командного файла, обеспечивающего цикл расчетов с инициацией генераторов случайных чисел и запись результатов в текстовый файл с последующей обработкой результатов пакетами статистического анализа (STATISTICA, Excel).

Управление рисками муниципальных проектов с применением имитационных моделей

Н.З. Емельянова

Риск инвестора-землепользователя как экономическая категория имеет ряд особенностей. Это не только риск невыполнения инвестиционного проекта, но и дополнительный риск, связанный с ухудшением финансового состояния в связи с отвлечением значительных средств инвестора на выкуп права использования земли и арендные платежи, которые могут ослабить его финансовое состояние. Город, с одной стороны, должен получать эти средства, а с другой — увеличение соответствующих платежей может привести к прекращению реализации проекта, тогда администрация получит обратно неосвоенный участок, или к тому, что участок будет использоваться не по целевому назначению.

Многие соотношения между параметрами объекта экономики, переходного процесса и режимами пре-

доставления инвестиционных сумм заранее неизвестны. Имеется только информация о процессах и функциональных связях между ними. В качестве методологических средств создания моделей применены два метода: аппарат структурного анализа и имитационного моделирования. С помощью структурного анализа проводится иерархическая послойная декомпозиция объекта экономики с целью выявления элементарных процессов, имеющих дело с материальными, информационными и денежными ресурсами.

Структурная схема является графом имитационной Pilgrim-модели. Она позволяет с помощью формализованных действий создать имитационную модель объекта экономики и в любой момент времени получать параметры задержек, остатки и дефицит любого ресурса: материального, информационного или денежного. Эта модель дает возможность «наблюдать» поведение исследуемой системы в режимах и ситуациях, натурное воспроизведение которых на реальном объекте экономики нежелательно, невозможно или приведет к катастрофическим последствиям.

Построен граф типовой модели объекта экономики, который в конкретном случае может быть доработан для получения рабочей модели. Выделены основные тренды изменения результатов деятельности инвестора-землепользователя при реализации инвестиционного проекта, связанные с параметрами проекта и объекта инвестирования. Эти тренды позволили в первом приближении получить функцию системы «администрация — инвестор — инвестиционный процесс».

Модели обучающего курса в разработке систем дистанционного обучения

А.С. Дорофеев, С.С. Сосинская

Обсуждаются актуальные вопросы разработки систем дистанционного обучения и мультимедийных обучающих курсов. Авторы отмечают необходимость построения соответствующих математических моделей, а также применения объектно-ориентированного подхода к созданию информационных образовательных технологий. Рассмотрен вопрос системного подхода к моделированию обучающего курса и процесса обучения. Отмечается необходимость включения в обучающую систему понятия «цели обучения», которые определяют, что должен знать и уметь обучаемый после изучения курса.

Предлагаемая авторами методика моделирования базируется на использовании сетей Петри и цепей Маркова. Приведено обоснование эффективности ис-

140

пользования данного математического аппарата, а также описание соответствующей математической модели. В качестве инструментария используется программное средство автоматизации классических сетей Петри Visual Petri. Также рассматривается сквозной подход к проектированию и разработке обучающей системы с использованием различных моделей и CASE-средств структурного и объектно-ориентированного анализа.

Разработанная система была испытана на спроектированном авторами учебном курсе по дисциплине «Информатика и программирование».

Системная реализация дистанционного лабораторного практикума

П.В. Юрин

На сегодняшний день актуален вопрос реализации дистанционных лабораторных практикумов по техническим дисциплинам. Автор описывает случаи, когда нецелесообразно использование имитационной модели практикума и необходимо обеспечение доступа к реальному оборудованию, а также формулирует требования к соответствующему программно-аппаратному обеспечению.

В качестве примера одного из элементов системы дистанционного лабораторного практикума — лабораторной установки — рассматривается учебная научно-исследовательская лаборатория, разработанная на кафедре Вычислительной техники Иркутского государственного технического университета. Рассказывается о разработке в нем новой системы дистанционного обучения на базе международного стандарта SCORM.

Вниманию читателя предлагается описание модульной структуры системы, а также особенностей разработки ее программного обеспечения. Дается описание математических моделей системы дистанционного лабораторного практикума, в которых последняя представляется как однофазная и двухфазная система массового обслуживания. Приводятся формулы расчета основных характеристик системы, необходимые для построения программного обеспечения дистанционного лабораторного практикума на основе современных сетевых и клиент-серверных технологий.

О пользе мультимедийных комплексов в профессиональном образовании: вопросы психологии

Н.Б. Дорошенко

В статье дан анализ психологических и нейрофизиологических аспектов феномена массовой увлечен-

NвЗ(9)2007

ности компьютерами людей разных возрастов и вытекающей отсюда возможности эффективного применения компьютерных технологий в образовательном процессе. По мнению автора, любой вузовский преподаватель обладает возможностью превратить свой курс или предмет в любимый и значимый. Этому способствует знание современных точных наук о природе человеческого восприятия, переработки информации и формирования нового опыта в требуемом высшей школой формате.

Магия внимания к компьютерам людей различных возрастов заключается во взаимодействии когнитивных систем мозга и двух зрительных систем (вентральной и дорсальной) в процессе обработки поступающей с экрана монитора информации различного рода. В статье приведено достаточно подробное описание того, как человеческий мозг воспринимает эту информацию и формулирует психологические особенности процесса обучения с помощью информационных технологий, привлекающие человека к такому способу получения знаний. Таким образом, имеет смысл приучать студентов к восприятию данных научных исследований в различных областях человеческих знаний, в том числе и с помощью нового поколения электронных учебников и мультимедийных комплексов.

Но, по мнению автора, никакие технические средства обучения не должны полностью заменить собой живое общение с преподавателем, они лишь призваны стать эффективным дополнением к лекционным курсам и семинарским занятиям. Включение информационных технологий в учебный процесс должно стимулировать преподавателей повышать свою «конкурентоспособность» по отношению к мультимедийным учебным курсам.

Дипломное проектирование и выпуск конкурентоспособных информатиков-экономистов

И.А. Меркулина, А.П. Никитин, Е.Н. Каширская В статье представлен анализ выпускных квалификационных работ (ВКР) по специальности «Прикладная информатика в экономике», выполненных за последние годы на факультете Информационных технологий Всероссийской государственной налоговой академии Минфина России. Рассмотрена специфика требований к содержанию работ по различным направлениям дипломного проектирования студентов данной специальности.

Авторы отмечают, что в настоящее время ключевое значение при разработке информационных сис-

141

тем приобретает анализ данных для получения новых знаний о потенциальных возможностях и перспективах развития предприятия. Обсуждаются области приложения профессиональных навыков и умений выпускников, наиболее часто встречающиеся практические задачи, качественное решение которых требует привлечения информатиков-экономистов.

Описаны основные этапы подготовки дипломных работ, а также взаимосвязь ВКР с курсовыми работами, выполняемыми студентами в ходе учебного процесса. Приведены данные о распределении ВКР по областям применения и тематике, а также по выбираемым инструментальным средствам реализации проектируемых систем. Проанализирована связь тематики ВКР с современными потребностями рынка в специалистах данного профиля.

Симуляторы GPSS World и Actor Pilgrim: экономика и массовое обслуживание

А.А. Емельянов

В настоящее время используются десятки видов компьютерного моделирования. Особую популярность завоевывает так называемое имитационное моделирование.

Имитационной моделью называется специальный программный комплекс, который позволяет имитировать деятельность какого-либо сложного объекта. Он запускает в компьютере параллельные взаимодействующие вычислительные процессы, которые являются по своим временным параметрам аналогами исследуемых. В странах, занимающих лидирующее положение по созданию новых компьютерных систем и технологий, направление Computer Science использует именно такую трактовку имитационного моделирования.

Особую популярность приобрела аналоговая разновидность имитационного моделирования — симуляция (англ. simulation) реальных процессов в памяти компьютера в виртуальном времени (в модельном времени, не связанном с реальным какими-либо масштабами). Симулятор — это главное программное обеспечение, которое позволяет корректно и точно моделировать исследуемые процессы в виртуальном времени.

Модель на языке GPSS не компилируется в машинный код и не является программой в обычном понимании. Она выполняется посредством простого и эффективного интерпретатора, который и является симулятором. Но следует понимать, что режим интерпретации замедляет выполнение модели по

сравнению с моделью в виде exe-программы, подготовленной компилятором и собранной редактором связей.

Pilgrim-модель компилируется и выполняется как exe-программа в Windows XP в виде обычного приложения Win API. Ее можно встраивать в программные комплексы, в интеллектуальные системы поддержки принятия решений. Зачастую она выполняется на вычислительной установке, где нет системы имитационного моделирования Pilgrim. Поэтому в составе Pilgrim-модели имеется компактный скоростной диспетчер процессов, который и выполняет функции симуляции.

Данная статья предназначена для тех, кто знаком с GPSS World и хотел бы расширить свои аналитические возможности с помощью Actor Pilgrim. Здесь дан некоторый сравнительный анализ идеологий двух систем, используемых в настоящее время: GPSS World и Actor Pilgrim.

Акторные модели корпоративных информационных систем

Е.А. Власова

Статья посвящена описанию некоторых типовых приемов построения имитационных моделей, которые могут быть полезны при создании моделей корпоративных информационных систем. В качестве инструментального средства разработки рассматривается система имитационного моделирования Actor Pilgrim.

Корпоративная информационная система представлена как замкнутая система массового обслуживания достаточно сложной структуры, рассчитанная, в общем случае, на обслуживание нескольких групп пользователей, и алгоритм работы которой содержит большое количество ветвлений. В зависимости от сложности модели, в статье приводятся различные варианты построения схем зарядки замкнутой модели акторами, имитирующими работу пользователей.

Поставлена задача определения времени реакции системы на запрос пользователя. Приводятся различные варианты ее решения, и дается сравнительный анализ представленных методов. Также предлагается несколько методов программирования условий прохождения актора по графу модели. Рассматривается случайный выбор узла из класса узлов и выбор пути на основании параметра актора. В статье также приведены приемы моделирования составных объектов, принадлежащих к одному классу.

142

Принципы математического моделирования мотивации к труду

В.Н. Бугорский, И.Д. Котляров, В.И. Фомин Мотивация личности к труду представляет собой важный психологический феномен, без понимания и адекватной оценки которого нельзя эффективно решить существенные для экономической практики задачи управления персоналом. В статье представлена соответствующая математическая модель, которая может быть эффективно использована при проектировании систем управления персоналом предприятия, а также основополагающие принципы, на которых должна базироваться модель мотивации при теоретическом подходе. Далее решается задача построения практической модели и приводится математическая постановка задачи. При этом мотивация рассматривается как сила, побуждающая человека совершать определенные действия, и представляющая собой векторную величину. Ставится задача расчета совокупной мотивации как равнодействующей частных мотиваций, а также средней мотивации в коллективе сотрудников.

Авторы формулируют ряд оптимизационных задач, которые могут быть успешно решены с помощью предложенного подхода к математическому моделированию мотивации. Включение соответствующих модулей в программное обеспечение системы управления персоналом будет способствовать повышению эффективности работы компании.

Нейро-нечеткий метод построения моделей сложных объектов

А.В. Клименко, О.В. Стоянова, М.И. Дли, Ю.Г. Бояринов Существует ряд особенностей, свойственных задачам математического моделирования сложных систем, которые ограничивают использование известных методов. Указанное обстоятельство обусловливает необходимость разработки новых методов и алгоритмов математического моделирования, позволяющих расширить область применения технологий интеллектуального анализа данных.

В статье рассмотрен метод интеллектуального анализа данных, в основе которого лежит идея самоорганизации математических моделей и аппарат гибридных нейронных сетей. Предлагаемый метод позволяет строить модели сложных систем в условиях ограниченности объема исходных данных с учетом экспертной информации об имеющихся закономерностях и взаимосвязях.

NвЗ(9)2007

Авторы анализируют особенности задач математического моделирования сложных систем, а также предлагают методику, включающую следующие этапы: формирование обучающих выборок и подготовку структур частных моделей, генерирование частных моделей нейронной сетью, отбор лучших моделей по заданному критерию. Для тестирования разработанной методики был разработан специальный программный комплекс, с помощью которого проводились вычислительные эксперименты. Их результаты свидетельствуют о работоспособности рассмотренного метода и позволяют рекомендовать его для построения математических моделей сложных систем.

Полученные модели в дальнейшем могут использоваться в качестве математического и алгоритмического обеспечения интеллектуальных информационных систем поддержки принятия решений по управлению сложными объектами произвольной природы.

Модельный подход к анализу целочисленных инвестиционно-финансовых активов

А.В. Мищенко, Е.В. Виноградова, Л.С. Хайрулина

Классические модели анализа портфельных инвестиций (такие как модель Марковица и ценовая модель рынка капиталов) предоставляют инвесторам возможность поиска решений, максимизирующих прибыль от реализации инвестиционного проекта при желаемом уровне риска или, наоборот, снизить риск при заданном уровне дохода.

В статье рассмотрена дискретная ценовая модель рынка капиталов, а также описаны двухкритериальные модели оптимизации портфельных инвестиций: максимизация доходности при заданном уровне риска портфеля и минимизация риска портфеля при заданной величине прироста инвестиционных ресурсов. Приведены соответствующие алгоритмы использования метода ветвей и границ. Рассмотрены примеры формирования оптимального портфеля ценных бумаг при целочисленных и непрерывных ограничениях.

На основании проведенного анализа полученных данных сделан вывод о том, что применение при анализе портфельных инвестиций непрерывных двухкри-териальных моделей менее адекватно условиям задачи, поскольку в реальной практике торги ценными бумагами на фондовых рынках проходят фиксированными лотами.

В статье также приведен анализ существующих программных средств решения финансовыми отделами предприятий оптимизационных задач методами линейного и нелинейного программирования.

143