Modelling of soil compactor work tool interaction Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 625.73

МОДЕЛЮВАННЯ ВЗАЄМОДІЇ РОБОЧОГО ОРГАНУ УЩІЛЬНЮЮЧОЇ МАШИНИ З ҐРУНТОМ

В.М. Богомаз, магістр, К.Ц. Главацький, доцент, к.т.н., Дніпропетровський національний університет залізничного транспорту імені академіка В. Лазаряна

Анотація. Вирішена задача визначення зони напруженого стану у масиві ґрунту від дії на нього робочого органу ущільнюючої машини. Ця зона являється ядром ущільнення і впливає на його несучу здатність. Співставляючи зону і величину напруження у ґрунті з його міцністю, можна знайти оптимальні параметри процесу ущільнення ґрунту.

Ключові слова: ґрунт, ущільнення, зона, інтенсивність, модель.

Вступ

Ущільнення ґрунтів перед будовою різного роду інженерних споруд (автодоріг,

залізничних колій та ін.) є найважливішою операцією технологічного процесу будівництва.

Ущільнення ґрунтів проводиться, як відомо, машинами різної дії: вібраційної,

трамбуючої, статичної, комбінованої. При цьому дуже важливо знати, як розподіляються напруження в

ущільнювальному середовищі під робочим органом відповідної машини, щоб визначати з деяким ступенем точності якість ущільнення ґрунту.

Аналіз публікацій

Серед численних робіт, присвячених темі статті, найбільш характерними і

узагальнюючими є роботи [1, 2, 3], в яких автори приділяють увагу взаємодії робочих органів ґрунтоущільнюючих машин з ґрунтом з точки зору фізико-механічних характеристик ґрунту, раціональних параметрів робочого органу і зменшення опору переміщення рушія. Але вирішення задачі стосовно визначення меж поширення пружно-пластичної деформації у ґрунті від дії на нього робочого органу ущільнюючої машини і опорного елементу рушія землерийно-транспортної машини, і

напружень, що виникають при цьому, та прийняття рішень на основі співставлення даного напруження з межею міцності ґрунту стосовно оптимізації процесу ущільнення ґрунту не проводилось.

Мета і постановка задачі

Метою статті є оптимізація технологічного процесу ущільнення ґрунту. Однією з задач, що сприятиме досягненню мети, є визначення величини і меж поширення напруження і пружно-пластичної деформації в ґрунті для порівняння їх з межею міцності, пружності і пластичності ґрунту, і прийняття на основі цього рішень щодо оптимізації технологічного процесу ущільнення ґрунту за рахунок вибору параметрів машини і товщини шару відсипки ґрунту.

Рішення задачі

Розглянемо розподіл напружень в ґрунті при його ущільненні катком статичної дії. При цьому в першому наближенні змоделюємо ґрунт як однорідне пружне ізотропне середовище. Ґрунт деформується при однократному навантаженні і невеликому інтервалі навантажень в близькій до лінійної залежності від навантаження. Цей факт дає нам можливість використати теорію пружності до ґрунтів. Таким чином, представимо ґрунт лінійно деформованим середовищем. Це і буде розрахунковою

моделлю для розрахунку напружень в цьому середовищі. При цьому зазначимо, що деформація ґрунту в даному випадку розкладається на деформацію стискання та деформацію зсуву. Деформація стискання пропорційна навантаженню. Використання теорії пружності передбачає такі обмеження:

- деформації, що виникли при прикладанні сили, повністю зникають в момент закінчення дії сили;

- момент кінцевого стискання співпадає з моментом прикладання сили;

- середовище, яке стискається, є цілісним (континуум);

- лінійна залежність напруження від деформації;

- початковий напружений стан ґрунту, який виник до прикладання вивчаємих силових факторів, не враховується;

- склад ґрунту однаковий у всіх точках масиву;

- ґрунт - є ізотропним середовищем, тобто його механічні властивості однакові у всіх напрямках.

Задача знаходження складових напружень у будь-якій точці масиву ґрунту від вертикальної зосередженої сили, яка прикладена до точки на його горизонтальній поверхні, якщо початкові напруження дорівнювали нулю, була вирішена французьким вченим Буссінеском у 1885 році.

Рішення задачі про розподіл напружень у масиві ґрунту від зовнішнього вертикального навантаження, рівномірно розподіленого по прямій (рис. 1), призводять до визначення двох нормальних складових напружень і однієї дотичної, якщо положення точки в масиві ґрунту задано в полярній системі координат за формулами, [1]

2 = 2р Ч Р

(1)

де Ь - кут, який складає радіус-вектор г з віссю Z; р - інтенсивність навантаження на одиницю довжини прямої, напрямок якої співпадає з віссю X.

Інтенсивність навантаження, яка

приходиться на таку тонку елементарну смужку, дорівнює

Ф = Руії-У ,

де Зу - нескінченно мала відстань по ширині смуги навантаження.

Рис. 1. Схема рівномірно розподіленого навантаження і полярної системи координат в плоскій задачі

Розглянемо випадок вертикального навантаження, розподіленого по

горизонтальній поверхні ґрунту з будь-яким характером нерівномірності її розподілу (рис. 2).

Рис. 2. Розрахункова схема для визначення напружень у точці М

Величина Ау може бути виражена через радіус-вектор г та кут Р залежністю

Ау =

г ЧА Р cos Р

Змінна інтенсивність навантаження по полосі шириною Ь, яка співпадає з віссю Y, дорівнює Ру, Н/м2. Розіб'ємо смугу

навантаження по її ширині на нескінченно тонкі смужки, паралельні довжині.

тоді

ф =

РуГ Р

cos Р

(2)

Для знаходження значення Z шляхом інтегрування необхідно в (1) для

г

вертикальної

нормальної складової напруження за інтенсивність рівномірно розподіленого навантаження по прямій прийняти (2); тоді

dZ = ^ Чcos! = 2 Чр Ч^ ЧCOSÜ.. (3)

Р r Р у cos b r Сумарне напруження від дії вертикального навантаження, розподіленого по всій смузі, отримаємо після інтегрування виразу (3) по полярному куту

a = 0,8

2 Р2

Z = — Чт p cos2 b db

P e y

(4)

Рис. 3. Схема контакту катка з площиною

Розглянемо розподіл напружень в ущільнювальному середовищі в залежності від його характеристик та від розташування (координат) спостережної точки у масиві ґрунту. Деформування поверхонь при контактному стисненні пружних тіл достатньо охарактеризовано, якщо визначені закон розподілу навантаження на поверхні контакту, форма та площина поверхні контакту. При вирішенні цієї задачі зазначимо, що на поверхні контакту відсутні дотичні зусилля та розміри площини контакту не перевищують декількох відсотків від загальних розмірів тіла та його поверхні.

Півширина плями контакту циліндра з ґрунтовим півпростором (враховуючи припущення, що модуль пружності матеріалу катка значно більший, ніж модуль деформації ґрунту та значення квадратів коефіцієнтів Пуассона значно менші за одиницю) знаходиться за відомою з курсу теорії пружності залежністю [1]

PD

El

(5)

де D - діаметр катка; Е - модуль деформації ґрунту; І - ширина катка; Р -вага катка.

По аналогії з теорією Герца припустимо, що епюра розподілу тиску по площині контакту циліндра з площиною має вигляд еліптичного півциліндра. Розглянемо поперечний переріз вальця та ґрунту. При цьому отримаємо розподіл навантаження у вигляді кульового сегмента (рис. 3).

Тиск у будь-якій точці по ширині смуги контакту

q = Яол1 - -т

a

(6)

де - найбільший тиск у точці О (рис. 3); а - півширина плями контакту.

Найбільший тиск по площині контакту катка з ґрунтом знаходиться при зазначених умовах [3]

Чо =

2P p al

(7)

Таким чином розрахункова схема має вигляд, який зображений на рис. 4. На ній видно, що положення точки у масиві ґрунту буде задаватись за допомогою двох кутів j j та j 2 , які відкладаються від вертикальних прямих, що проходять через кінці площини контакту

з координатами по осі X відповідно a та

- a. Причому, вони додатні, якщо відкладаються проти годинникової стрілки. Розглянемо випадок, коли точка, в якій визначаються напруження, знаходиться в межах площини, обмеженої прямими x = - a та x = a (зона 2 на рис. 4), тобто xО [ - a, а] .

Розглянемо трикутник A MAP. В ньому: Р MPA =90°- j j, Р MAB =90°+ j та Р AMP = = j j - j , AP = a - x . Використовуючи у цьому трикутнику теорему синусів, отримаємо

R

a - x

sin(90 - j 1) sin(j 1 - j ) '

2

Виразимо довжину радіус-вектора R

r (a - х) cos j j sin (j j -j) ■

Аналогічно, з трикутника D QMA

(a + х) cos j 2

(8)

R =

sin (j 2 + j )

(9)

j і

ж x + a ц

j 2 = arctg з---------ч.

и z ш

Таким чином, для визначення складових напружень у точці масиву ґрунту необхідно задати відстань х до неї від центральної осі Z та глибину її розташування я .

Для зручності виконання розрахунків використаємо у (13) відносні координати точок; тоді (13) набуде вигляду

j і

. ж s arctg з

1 ц.

з 7 -Ч’ и к ш

(14)

Рис. 4. Розрахункова схема для визначення складових напружень у масиві ґрунту

Прирівнявши (8) та (9) після спрощення виразів, отримаємо

a (b 4tg j + c)

Sin (j 1 + j 2 ) ’ де b = 2cos j 1 4cos j 2; c = - sin(j 1 - j 2). Підставимо (10) у (6) і отримаємо

(10)

q = 4о

1 (b 4tg j + c)

]/ sm2 (j 1 + j 2)'

(11)

Вертикальне напруження у будь-якій точці масиву розраховується за (4).

Підставимо (11) у (4) і отримаємо

j 2

1 -(»j¿ cos2 ? ^ j (12)

Sin (j 1 + j 2 )

Для знаходження кутових координат точки масиву скористаємось їх залежністю від звичайних прямокутних координат я тах

де s = — - відносні горизонтальні відстані; а

я

k = — - відносні глибини. а

При цьому слід зауважити, що залежності (11) та (12) у першій та третій зонах (рис. 4) зберігають свій вигляд. У першій зоні ф 1 > 0 та ф 2 < 0 , а у другій - ф 1 < 0 та ф 2 > 0.

Для рівномірно розподіленого по смузі контакту вальця з ґрунтом навантаження, при його максимальній інтенсивності q0 = 1 Н/м2, величини відповідних складових напружень для точок, розташованих у масиві ґрунту, наведені у табл. 1.

Таблиця 1 Значення вертикальної складової напружень 2, Н/м2

z a X a

0,01 0,25 0,50 1,00

0,01 1,00 0,968 0,868 0,05

0,25 0,97 0,936 0,825 0,233

0,50 0,894 0,858 0,745 0,303

0,75 0,800 0,767 0,668 0,338

1,00 0,707 0,68 0,601 0,352

1,25 0,625 0,603 0,543 0,353

1,50 0,555 0,539 0,493 0,346

1,75 0,496 0,484 0,449 0,335

2,00 0,447 0,438 0,411 0,322

3,00 0,316 0,313 0,302 0,264

4,00 0,243 0,241 0,236 0,217

5,00 0,196 0,195 0,193 0,182

j

2

X

6,00 0,164 0,164 0,162 0,156

7,00 0,141 0,141 0,140 0,136

8,00 0,124 0,124 0,123 0,12

10,00 0,100 0,099 0,099 0,098

15,00 0,067 0,066 0,066 0,066

20,00 0,05 0,05 0,05 0,05

30,00 0,033 0,033 0,033 0,033

Закінчення табл. 1

Аналізуючи дані, наведені у табл. 1, визначаємо, що при фіксованій відносній глибині залягання точки масиву ґрунту зі збільшенням відносної горизонтальної відстані значення вертикальної складової напруження зменшується за законом, близьким до параболічного (рис. 5), а при фіксованій відносній горизонтальній відстані зі збільшенням відносної глибини збільшується до певної величини, а потім різко зменшується (рис. 6).

Рис. 5. Залежність величини вертикальних напружень від відносної горизонтальної відстані при k = 2

У верхньому рядку табл. 1 знаходяться відносні горизонтальні відстані від вертикальної осі координат, на якій знаходяться точки з напруженнями, які визначаються. У першому стовбці табл. 1 знаходяться відносні глибини розташування точок кожної вертикалі. Щоб отримати величину складової напружень для заданої інтенсивності навантаження, необхідно помножити число, наведене в табл. 1, на задану величину інтенсивності q0.

Рис. 6. Залежність величини вертикальних напружень від відносної глибини при 5 = 1

Слід відзначити, що при s < 1 вертикальні напруження зі збільшенням відносної глибини плавно зменшуються, а при s і 1 збільшуються до певної глибини (причому, як видно з табл. 1, чим більше тим глибше точка з максимальним значенням вертикального напруження), а потім напруження різко зменшується.

Приблизні межі зон з однаковими значеннями вертикальних напружень, побудовані за даними табл. 1, зображені на рис. 7.

Z = 0,483-0,2077*х+0,0224*хп2

я а X а

1,50 2,00 3,00 5,00

0,01 0,00 0,00 0,00 0,00

0,25 0,011 0,002 0,00 0,00

0,50 0,053 0,013 0,002 0,00

0,75 0,105 0,033 0,006 0,001

1,00 0,148 0,059 0,013 0,002

1,25 0,18 0,084 0,021 0,003

1,50 0,202 0,107 0,032 0,005

1,75 0,215 0,126 0,043 0,007

2,00 0,221 0,14 0,053 0,01

3,00 0,215 0,164 0,088 0,025

4,00 0,191 0,161 0,105 0,039

5,00 0,167 0,148 0,109 0,051

6,00 0,146 0,134 0,107 0,059

7,00 0,130 0,121 0,102 0,063

8,00 0,116 0,110 0,096 0,065

10,00 0,095 0,092 0,084 0,064

15,00 0,065 0,064 0,062 0,054

20,00 0,05 0,049 0,048 0,044

30,00 0,033 0,033 0,033 0,032

Рис. 7. Ізобари вертикальних напружень у масиві ґрунту

Цифри на рисунку означають частку величини напруження від максимального зовнішнього навантаження.

Розглянемо просторову задачу розподілу вертикальних напружень у масиві ґрунту. По аналогії з теорією Герца припустимо, що епюр розподілу тиску по площині контакту циліндра з площиною має вигляд еліптичного півциліндра. Розташуємо систему прямокутних координат, як показано на рис. 8.

G

к ^ ї

Аг /

/v ^ Г~~Т~7\ /і / /і /

/ /Ш \ / vA 7 Х

у 0 D F 7

1 ¡<МІ МІЬм)

МАСИВ ГРУНТУ /

В

Рис. 8. Розрахункова схема для визначення складових напружень у точці пружного напівпростору

На рис. 8 паралелепіпед ABCDKERG - є масивом ґрунту, в якому розглядається розподіл напружень. Прямокутник OPRS -площина, по якій розподілений тиск заданий функцією Q (х, у) .

Для вирішення цієї задачі скористаємось залежністю Буссінеска

Z = — Ч 2p r

(15)

де Р - сумарна величина сили, що передається від вальця на ґрунт; у - кут, що утворюється між вертикаллю та радіус-вектором г точки.

Припустимо, що точка, в якій визначаються напруження має координати М(х = Ь, у = с, ¿) (рис. 8), тоді квадрат довжини радіус-вектора буде визначатися за відомою з курсу аналітичної геометрії залежністю

= (х - b)2 + (y - c)2 +

(16)

Величину навантаження Р знайдемо інтегруванням функції розподілу тиску q (х)

0 г 1 0 Й І І щ

при х 0 І- а, а\ та у о 2, 2 ^

_

2 a

.1-а

2

P = q т Т\ 1 - —dxdy .

а

(17)

Підставляючи (16) та (17) у (15) та

z

враховуючи, що cos у = —, отримаємо

r

Z =

2Яо z 3 2p

_ Ж

2 а З

з_

ґ т т

З

2 з л

и

ч . (18)

25- ^dxdy

ч

ч

ш

де х, у, 2 - проекції радіус-вектора г точки на відповідні осі координат.

Для чисельного представлення розподілу напружень в ущільнювальному матеріалі розглянемо, наприклад, ущільнення ґрунту (глини з Е = 6 МПа) катком статичної дії середнього типу з параметрами І = 3 м, Р = 20 кН, D = 1м. За формулою (5) отримаємо півширину плями контакту а = 0,03 м. Для отримання умовних значень

2

2

r

z

2

ґ

напружень приймемо q0 = 1 Н/м2. Знайдемо значення умовних напружень у різних точках площини Ь = 0 (площини ZOY), задаючи координати точки у площиніМ(с, і).

Аналізуючи дані табл. 2, зробимо висновок, що при z > 2м та c > 2м величини напруження не перевищують одного відсотка від зовнішнього навантаження. Після

проведення подальших розрахунків при розрізанні простору площинами b = const доведено, що при b > 0,85 також величини напружень не перевищують одного відсотка

від зовнішнього навантаження. Для отримання величини складової напружень для заданої інтенсивності навантаження, необхідно помножити число, наведене в табл. 2, на задану величину інтенсивності q0 навантаження.

В усіх таблицях наведені значення напружень у точці, коли остання знаходиться у позитивному октанті координат. Очевидно, що поверхня, яка обмежує об’єм ґрунту з однаковим напруженим станом, буде симетричною відносно двох площин координат (XOZ та YOZ).

Висновки

Таким чином, в статті вирішена задача визначення зони напруженого стану в масиві грунту від дії на нього робочого органу ущільнюючої машини. Для отримання величини складової напружень для заданої інтенсивності навантаження, необхідно помножити число, наведене в табл. 2, на задану величину інтенсивності q0 навантаження.

Література

1. Хархута Н.Я. Машины для уплотнения

грунтов. - М.-Л.: Машгиз, 1953.

2. Хархута Н.Я. Машины для уплотнения

грунтов. - Л.: Машиностроение, 1973.

3. Ульянов Н.А. Самоходные колесные зем-

леройно-транспортные машины. - М.: Машиностроение, 1976. - 358 с.

4. Безухов Н.И. Основы теории упругости,

пластичности и ползучести. - М.: Высшая школа, 1961. - 537 с.

5. Роза С.А. Механика грунтов. - М.: Высшая

школа, 1962. - 229 с.

6. Пенегин С.В. Контактная прочность и со-

противление качению. - М.: Машиностроение, 1969. - 237 с.

Рецензент: Л.В Назаров, професор, д.т.н., ХНАДУ.

Стаття надійшла до редакції 6 травня 2007 р.

Таблиця 2 Значення вертикальних напружень Z _

Н/м2

z, м c , м

0,1 0,3 0,5 0,75 0,9

1 2 3 4 5 6

0,01 0,949 0,949 0,949 0,949 0,949

0,02 0,832 0,832 0,832 0,832 0,832

0,03 0,707 0,707 0,707 0,707 0,707

0,04 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6

Закінчення табл. 2

1 2 3 4 5 6

0,05 0,514 0,514 0,514 0,514 0,514

0,07 0,394 0,394 0,394 0,394 0,394

0,09 0,316 0,316 0,316 0,316 0,316

0,15 0,196 0,196 0,196 0,196 0,196

0,3 0,099 0,099 0,099 0,099 0,099

0,5 0,06 0,06 0,059 0,059 0,058

1 0,029 0,029 0,028 0,027 0,025

2 0,012 0,012 0,011 0,011 0,01

z, м c, м

1,2 1,5 1,7 1,9

0,01 0,949 0,474 0,00 0,00

0,02 0,832 0,416 0,00 0,00

0,03 0,707 0,354 0,00 0,00

0,04 0,6 0,3 0,00 0,00

0,05 0,514 0,354 0,00 0,00

0,07 0,394 0,197 0,00 0,00

0,09 0,316 0,158 0,00 0,00

0,15 0,195 0,098 0,00 0.00

0,3 0,094 0,05 0,013 0,00

0,5 0,051 0,03 0,014 0,00

1 0,021 0,015 0,011 0,00

2 0,00 0,00 0,00 0,00