CC BY
33
УДК 532.529.2:537.112 Д. — . НЕНИШЕВ
Омский государственный технический университет
МОДЕЛИРОВДНИЕ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ СЛДБОПРОВОДЯЩЕЙ ЖИДКОСТИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
На основе четырехкомпонентной модели слабопроводящей жидкости, включающей нейтральную компоненту, положительные и отрицательные ионы и электроны, сделано математическое описание процессов образования зарядов, прохождение электрических токов, возникновение течений и теплообмена в жидкости в сильном электрическом поле.
Ключевые слова: слабопроводящая жидкость, положительные и отрицательные ионы, теплообмен, электрическое поле.
1. Общие сведения
Под слабопроводящей жидкостью понимают молекулярное соединение жидкой консистенции, преимущественно органичной природы, с удельной проводимостью менее 10—6 (Ом м) — 1 [1]. Прохождение электрического тока в таких жидкостях сопровождается рядом явлений, характерных для этого класса веществ: это нелинейности вольтамперных характеристик, процессы образования объемных электрических зарядов, электрогидродинамические явления [2].
Свободная конвекция вообще является одним из универсальных видов макроскопического движения жидких и газообразных сред в природе и представляет один из важных классов рабочих процессов в технике и технологии, а также различных явлениях в таких областях знания, как физика, химия, биология.
В современных моделях свободной конвекции объединяются практически все случаи течений при отсутствии заданной условиями задачи внешней скорости жидкости. Главными разновидностями течений такого типа являются течения, вызываемые массовыми силами гравитационного и негравитационного типа. Из последнего класса в настоящее время наиболее интенсивно изучаются течения жидкости под действием сил поверхностного натяжения, сил электрической и магнитной природы, механических сил, вызывающих вращения или колебания объема жидкости. В данной статье моделируется свободная конвекция в поле электрических сил. Такую свободную конвекцию называют также электрической конвекцией.
Известно, что интенсивность гравитационной конвекции характеризуют критерием Грасгофа
Ог =
g ■ р-М■ Ьъ
(1)
том же объеме. Таким образом, если пренебречь силами и явлениями, обычно оказывающими меньшее влияние,получим
ри
впЕ0Ь . и = О
Р
(2)
Запишем критерий Рейнольдса
иЬ
Яв = —
( Рп )
(3)
и найдем электрический критерий Грасгофа
Рп
(4)
где А1 — перепад температур стенки и жидкости.
Найдем критерий, который характеризовал бы интенсивность электрической конвекции. Будем при этом исходить из следующих соображений. Течение слабопроводящей жидкости в электрическом поле, как указывалось выше, вызывается кулоновскими силами. Скорость течения и, создаваемую на длине Ь в области жидкости, возмущенной полем Ед, можно вычислить, приравнивая кинетическую энергию жидкости ри2 /2, приходящуюся на единицу объема, к работе силы электрического поля епЕд на пути Ь в
Электрический критерий Грасгофа Сгэ является аналогом критерия Грасгофа гравитационной конвекции (1) и является величиной, характеризующей интенсивность течений, вызываемых силами электрического поля, и показывает соотношение вязкостных и электрических сил в потоке.
2. Постановка задачи. Система уравнений и граничные условия Рассмотрим слабопроводящую несжимаемую жидкость с постоянными физическими свойствами, находящуюся в плоской двухмерной полости. Физическая модель полости и система координат представлена на рис. 1. В левой стенке полости, выполненной из твердого диэлектрика и находящейся при температуре Т1, встроен металлический электрод, на который подается отрицательный потенциал — ф с от источника высокого напряжения. Правая стенка металлическая, имеет температуру Т2 и к ней приложен нулевой потенциал. Верхняя и нижняя стенки диэлектрические и теплоизолированы. Неоднородность электрического поля в полости может достигаться изменением размера катода /.
При I = 21 поле в полости однородное, при I < 21 — неоднородное. Пусть в объеме жидкости протекают реакции ионизации нейтральных компонентов на положительные и отрицательные ионы и реакции ион-ионной и электрон-ионной рекомбинации. Пусть также с катода в жидкость поступают электроны за счет автоэлектронной эмиссии и отрицательные
впЕоЬ
2
3
епЕоЬ
3
впЕ 0-Ь
Огэ =
2
V
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №1 (107) 2012 ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №1 (107) 2012
224
Рис. 1. Физическая модель и система координат
д , , д , ч
— (и • п_) + — (Й • п_) + Ь_ •
дх
ду
дф
дх
ду
дф
ду
- В _
(2 2 Л
д2п_ д п
дх2 ду2
+ (о _ Р ц • п+ • п_;
(11)
д , \ д , х ------(и • пе ) +----(Й • пе ) + Ье •
дх
ду
( 2 2 А
д пе д пе
------- +---------
дх 2 ду 2
дф
дх
ду
дф
ду
_ реі • п+ • пе ;
(12)
ионы за счет отрицательной поверхностной ионизации, а с анода - положительные ионы в результате положительной поверхностной ионизации. Силы гравитации и поляризации отсутствуют, а процесс установившийся. С учетом этого, система дифференциальных уравнений, описывающих зарядообразо-вание, течение, теплообмен и протекание тока слабо-проводящей жидкости в электрическом поле будет иметь вид [3]: уравнения гидродинамики
ди дЙ — + — = 0.
дх ду '
-и ] + -(и'9)
дх ду
др рдх
д2и д2и дх 2 ду 2 др е(п_ + пе _ п +) дф
дх
22
— (и • &) + — Й2 ) = V
дх
ду
Гд2Й д2Й дх 2 ду 2
др е(п_ + пе _ п+) дф
рду
уравнение энергии
дд
ду
— (и • Т ] + — (9 • Т ]= а дх ду
(д2т д2Тл
дх 2 ду 2
е (Ь+ п + + Ь_ п _ + Ьепе) Ср -Р
(, л2 (д А2 дф
дф
дх
ду
уравнение Максвелла
д2ф д2ф е , ч
— + — = ----------------(п_ + пе _ п+).
дх ду ЕЕ0
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
уравнения неразрывности плотностей потоков положительных ионов п+, отрицательных ионов п_ и электронов пе:
дд — (и • п+) + —(й • п+) _ Ь+ •
дх
ду
дф
дх
д
ду
\
дф
ду
- В+
22 д п+ д п+
дх
ду2
+ о _ р/; • п+ • п_ _ ре/ • п+ • пе; (10)
уравнение теплоотдачи
(дТ Л
Т, _ Т2
дх
]_ х - е п_ • ( и + Ь_ дф^ _ В_ дп_
- V дх дх
]_ у - е ( п_ • V + Ь_ дф _ Б_ дп_
ду ду
]ех - е пе ( и + Ье V дф дх _ в- 1 1 е <§ ^
е - у е ] пе • ( и + Ье V дф ду, _ В- 1 1 е <§ ^
]+х - е п+ • ( и _ Ь+ V дф дх _ В+ 1 1 дд
]+ у -
дф
ду
о+
дп +
ду
(13)
уравнение плотности общего тока
] = т! ]х2 + ]у2;
]х = ]-X + ]ех ~ ]+ XI ]у = ]-у + ]еу ~ ]-у , (14)
где осевые компоненты:
(15)
(16)
(17)
Граничные условия для системы уравнений (5) — (12) записываются таким образом: при х = 0, 0 £ у < Ь : Т = Т1; и = 9 = 0:
к = . п_|к- ппи . п+|к- 0. ф|к- _фс .
дф дп+ дп_ дпе
-0
на остальной границе; (18)
дх дх дх дх
при х = Ь. 0 < у < Ь : Т = Т2. и = 9 = 0.
п_ - пе - 0 . п+ - ппи . ф - 0 . (19)
при у = 0. 0 < х < Ь :
д
+
п
п
+
д
+
п
п
е
е
- В е •
Р
+
п
+
+
п
п
+
+
ди дЙ дТ дф дп+ дп_
ду ду ду ду ду ду
при у = Ь. 0 < х < Ь :
дпе
-0
ду
(20)
дТ
ду
дф дп+
ду ду
0
и - 9 - 0 .
дп_ - дпе
ду ду
-0
(21)
внимание, что на катоде и
дп
дх
Ье дф .
е | Ье дф і ]аэ
к - пе ' к
Юе дх
е • Бе
(22)
где
1аэ
8рЬф,к \дхвіп(ру)
ру
8р(2те ))г 3/ х ехр-----------ф/2|к •в(х)^
3 • И • е
дф
дх
(23)
ф, к 14рєє0
дф
дх
4р • к(2те-ф,\к У2 Т П
Тк
Л • е
дф
дх
(24)
(25)
Р_ • п
д _
а_ - — ехр да
Р_ -
1 + а_
1,66 • 10_27 • ш,
1 1 е дф
ф _ф1 к) + е, —
1 4рєє0 дх к
к • Тк
(26)
где ш0— относительная масса молекулы, п — объемная плотность нейтральных молекул.
Объемная плотность положительных ионов п+
пи
в процессе положительной поверхностной ионизации на аноде в граничном условии (19) определяется из выражений:
Здесь индекс «к» означает на катоде. Третье условие в (18) учитывает плотность потока электронов, инжектируемых с поверхности катода в жидкость, за счет автоэлектронной эмиссии. Четвертые условия в (18) и (19) представляют собой концентрации соответственно отрицательных и положительных ионов, поступающих с поверхности соответственно катода и анода в жидкость в процессах поверхностной ионизации. Пятое условие в (18) и третье в (19) гласят о том, что на катоде положительные ионы и соответственно на аноде отрицательные ионы и электроны не образуются. Последние условия в (18) и (21) физически означают, что нормальная составляющая плотности тока на диэлектрических стенках равна нулю. Условие (20) — есть условие симметрии, первое в (21) — условие адиабатности верхней стенки полости. Вторые условия в (18), (19), (21) — суть условия прилипания, а остальные граничные условия для температуры и потенциала очевидны.
Граничное условие для автоэлектронной эмиссии на катоде (18) можно преобразовать, принимая во
Е =
9 = 0 , Ех „ , к виду:
ох
Ки - Р+
д+
а+ - — ехр
1 + а+
да
е(ф1І к _иі)
+ е
е дф
4рєє0 дх
к Та
(27)
Т -а -Ї -] -Я -
Для объемной плотности отрицательных ионов п~Пи за счет отрицательной поверхностной ионизации в граничном условии (18), можно записать
Р
Система дифференциальных уравнений (5) — (12) с граничными условиями (18) — (21) с учетом соотношений (13) — (17), (22) — (27) дает полное математическое описание поставленной задачи о зарядооб-разовании, течении, теплообмене и протекании тока в полости.
Основные обозначения
х, у — координаты; и — проекция скорости на ось х;
0 — проекция скорости на оси у;
1 — время;
р — гидростатическое давление;
- абсолютная температура;
- коэффициент теплоотдачи; массовая сила; электрический потенциал;
- плотность объемного заряда;
Г — плотность потока заряженных частиц; п — концентрация частиц;
w — эффективная скорость объемной ионизации;
Ъ.. — эффективный коэффициент - ионной ион рекомбинации;
Ъе. — эффективный коэффициент электрон-ионной рекомбинации;
ш0 — молекулярная масса; г — плотность жидкости;
н — коэффициент кинематической вязкости жидкости; а — коэффициент температуропроводности жидкости;
Ср — массовая теплоемкость жидкости;
1 — коэффициент теплопроводности жидкости;
Ь — коэффициент подвижности заряженных частиц;
О — коэффициент диффузии;
е — относительная диэлектрическая проницаемость жидкости;
е0 — электрическая постоянная;
удельная электрическая проводимость жидкости; работа выхода; сродство к электрону;
- потенциал ионизации;
- ускорение свободного падения;
- статистический вес нейтральной молекулы; к — постоянная Планка; к — постоянная Больцмана;
Ше — масса электрона; е — абсолютный заряд электрона.
Нижние индексы:
+ — положительных ионов;
— — отрицательных ионов; е — электронов; с — на стенке;
8 —
їй _ 5 -
и -
д -да
а
+
+
п
а
2
х
к
е
е
к
у
к
п
пи
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №1 (107) 2012 ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №1 (107) 2012
ж — в жидкости; к — на катоде; а — на аноде;
пи — поверхностной ионизации; аэ — автоэлектронной эмиссии.
Библиографический список
1. Адамчевский, Ч. Электрическая проводимость жидких диэлектриков / Ч. Адамчевский. — Л. : Энергия, 1972. — 295с.
2. Стишков, Ю. К. Электрогидродинамические течения в жидких диэлектриках / Ю. К. Стишков, А. А. Остапенко. — Л. : Издательсво ЛГУ, 1989. — 174 с.
3. Ненишев, А. С. Разработка теории и методов исследова-
ния конвективного теплообмена диэлектрических жидкостей в электрическом поле и создание на их основе высокоэффективной теплообменной аппаратуры / А. С. Ненишев // Фундаментальные исследования в области прикладной физики и математики в технических вузах России. — М. : Физмат, 1995. - Т. 1. - С. 94-96.
НЕНИШЕВ Анатолий Степанович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теплоэнергетика».
Адрес для переписки: 644050, г. Омск, пр. Мира, 11.
Статья поступила в редакцию 12.12.2011 г.
©А С. Ненишев
удк 531.7 В. В. НЕЧАЕВ
Ю. В. БАБКИН А. В. КОЛУНИН
Омский танковый инженерный институт Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия, г. Омск
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ИЗМЕНЕНИЯ ТОКА, ПОТРЕБЛЯЕМОГО ДИАГНОСТИРУЕМЫМ СТАРТЕРОМ ПРИ ПРОКРУТКЕ ДВИГАТЕЛЯ АВТОМОБИЛЯ________________________________
В статье представлены математические зависимости изменения тока, потребляемого диагностируемым стартером при прокрутке двигателя автомобиля.
Ключевые слова: методы диагностирования, момент вращения стартера, ток якоря стартера, холодная прокрутка двигателя.
Методы, используемые при исследовании диагностических моделей, можно разделить на аналитические, графические и графоаналитические.
Аналитические методы позволяют применять удобные способы оптимизации и получить соотношения, характеризующие объект или изменения его состояния. К ним можно отнести известные методы малого параметра, теории чувствительности, математической логики, планирования эксперимента и распознания образов. Аналитические методы достаточно эффективны при проведении анализа любой диагностической модели, однако с возрастанием сложности моделей решение становится слишком громоздким.
Графические методы обладают большей наглядностью и могут служить как непосредственно, так и для иллюстрации аналитических методов. Они весьма полезны при исследовании протекающих процессов или моделей характеристик объекта. Среди графических методов особое место занимают основанные на теории графов — ориентированных и неориентированных. При изучении структурных свойств
графов удобно пользоваться матричными представлениями. Основным недостатком графических методов является недостаточная точность при регистрации результата.
Графоаналитические методы наиболее приемлемы, так как представляют собой различные комбинации графических и аналитических методов. К ним можно отнести наиболее распространенные алгебраические и дифференциальные уравнения. При выполнении анализа непрерывных моделей, представленных линейными алгебраическими и дифференциальными уравнениями, а также применении методов теории графов, широко используется матричный аппарат.
При анализе дискретных моделей довольно часто пользуются аппаратом математической логики, главной задачей которой является структурное моделирование объектов. При помощи такого аппарата можно осуществлять анализ специальных диагностических моделей, характеризуемых конечным числом состояний.
Процесс диагностирования любой системы сводится к определению диагностических параметров.
