Моделирование зажигания лиственного дерева наземным грозовым разрядом в приближении крупных сосудов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Г. В. Кузнецов

д-р физ.-мат. наук, профессор, декан ТЭФ Томского политехнического университета

Н. В.Барановский

канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник Обособленного структурного подразделения НИИ прикладной математики и механики Томского государственного университета

УДК 614.84:533.6

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАЖИГАНИЯ ЛИСТВЕННОГО ДЕРЕВА НАЗЕМНЫМ ГРОЗОВЫМ РАЗРЯДОМ В ПРИБЛИЖЕНИИ КРУПНЫХ СОСУДОВ

Представлена физико-математическая постановка задачи о зажигании лиственного дерева в приближении крупных сосудов. Задача рассматривается в плоской постановке в полярных координатах. Проведено исследование процесса разогрева ствола лиственного дерева под действием тока наземного грозового разряда. Изучено влияние влагосодержания крупных сосудов и процесса испарения из них влаги на формирование температурного поля в горизонтальном сечении ствола дерева.

Ключевые слова: зажигание, наземный грозовой разряд, испарение, приближениt крупных сосудов, теплоперенос.

Введение

Электрический ток наземного грозового разряда [1] в стволе дерева протекает по областям, насыщенным влагой [2]. Существует два основных типа распределения в древесине покрытосеменных. Если сосуды имеют в основном одинаковый диаметр и равномерно распределены в годичном кольце, древесину называют рассеяннососудис-той [2]. Древесину с сосудами неодинакового диаметра, наиболее крупные из которых сосредоточены в ранней ее части, называют кольцесосудистой [2]. Между этими двумя крайними типами встречаются и различные промежуточные. В пределах данных крупных типов распределения отдельные сосуды могут быть изолированы друг от друга или встречаться группами разных размеров и форм. Сосуды, расположенные группами, уплощены (т.е. имеют границы, параллельные поверхностям r = const и ф = const) вдоль линии их контакта друг с другом [2]. Изучение проводимости у разных видов с помощью радиоактивного фосфора и красящих веществ показывает, что у одних видов сосуды связаны только в пределах слоя прироста, тогда как у других наблюдается связь между отдельными такими слоями [3].

Цели исследования — разработка физико-математической модели зажигания лиственного дерева в приближении крупных сосудов и анализ влияния влаги на формирование температурного поля с учетом ее испарения.

Физическая постановка задачи

Рассматривается отдельно стоящее дерево лиственной породы (относится к покрытосеменным). В фиксированный момент времени в ствол дерева ударяет наземный грозовой разряд. Электрический ток наземного грозового разряда протекает по стволу. Предполагается, что ствол дерева представляет собой проводник электрического тока типа резистора, для которого справедливы законы Ома и Джоуля - Ленца [4]. В различных сечениях ствола параметры тока принимаются одинаковыми. Основные допущения: 1) влагопроводящие пути расположены группами, т.е. могут быть объединены в крупные пучки (сосуды); 2) сосуды уплощены вдоль линии контакта; 3) сосуды связаны между отдельными кольцами прироста. Совокупность выше указанных допущений и составляет базис приближения крупных сосудов. Испарение влаги описывается уравнением Кнудсена - Ленгмюра [5]. Образующиеся водяные пары мгновенно уходят из древесины, в результате выделения джоулева тепла происходит ее разогрев. При достижении критических значений тепловых потоков из крупных сосудов сердцевины к поверхности и ее температуры происходит зажигание лиственного дерева. Задача решается в полярных координатах в плоской постановке. Моделируется горизонтальный срез ствола дерева. Схема области решения представлена на рис. 1, а, границы областей — на рис. 1, б.

ISSN 0869-7493 ПОЖАРОВЗРЫВОБЕЗОПАСНаСТЬ 2009 ТОМ 18 №5

37

Рис. 1. Геометрия области решения (а) и границы (б): 1 — сердцевина; 2 — кора; 3 — крупные сосуды; — внешний радиус ствола; Я1 — граница раздела сердцевины и коры; Г1, Г,, Г,к — границы областей

Математическая постановка задачи

Математически процесс разогрева дерева наземным грозовым разрядом до момента воспламенения описывается системой нестационарных дифференциальных уравнений теплопроводности: • уравнение для обычной древесины сердцевины:

дТ1 = Х Эф1 д

Р Эф1 Сэф1 ~

г дг I дг

дТ1

Кф±_ д 2Т1

г 2 дф 2

- 5;

уравнение для слоя коры:

Р 2 с 2

дТ2 Х 2 д

дг

г дг I дг

дТ2

Х 2 д Т2 г 2 дф 2

(1)

(2)

уравнения для крупных сосудов:

дТ3

рэфз сэфз г

Хэфз д2Т3

Х эфз д ( дТ,

дф2

дг ^ дг

+ 3и - вщ5;

р ' '-¡Г = 0; р 5 £ -- ж;

£ф , =1;

, = 4

Ж = А(Рн - Р)/

2 пЯТ

М

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Граничные условия для уравнений (1) - (3): дТ

Гол, Г0.2 = 0; (8)

дф

Г,

Г,о

Г.1

Г,2

Гй

Х

эф1

дТ! = Х дТ2

дг

2 ' Т1 = Т2; дг

дТ

Хэф1 "дТ" = ХЭф3 "дТ" ' Т1 = Т3;

дТ1

(9) (10)

дТ] дТ3

Х эф1 =Х эф ' Т1 = Т3; (11)

дф дф

Х2 -г2 =Хэф3 -Г3' Т2 = Т3; (12)

дг дг

дТ2

X 2 = а(Те - Г2). (13)

дг

Начальные условия для уравнений (1) - (6): г = 0 Г, (г, ф) = Т,о (г, ф), ,= 1,2,3. (14)

Для крупных сосудов в соответствии с публикацией [6]:

¡4(0) = 0,571; (15)

¡5(0) = 0,429. (16) Для обычной древесины сердцевины [6]:

¡4(0) = 0,857; (17)

¡5(0) = 0,143; (18)

Рэф , = Р4ф4 + Р5ф5 + Р6ф6' Сэф , = С4ф4 + С5ф5 + С6ф6,

Хэф , = Х4Ф4 + Х5Ф5 + Х6ф6, (19)

где Г,, РЭфсЭф , Хэф, — температура, эффективные плотность, теплоемкость и теплопроводность соответственно сердцевины (, = 1), коры (, = 2), крупных сосудов (, = 3) ствола; Рь сь Хк — плотность, теплоемкость и теплопроводность органического вещества (к = 4), воды (к = 5) и водяного пара (к = 6); а — коэффициент теплоотдачи; 3 — сила тока; и — напряжение; г, ф — полярные координаты; г — время;

в — тепловой эффект испарения влаги; Ж — массовая скорость испарения воды; А — коэффициент аккомодации; Рн — давление насыщенного водяного пара; Р—парциальное давление паров воды в воздухе; Я — универсальная газовая постоянная; М — молекулярный вес воды; индексы "е" и "0" соответствуют параметрам внешней среды и параметрам в начальный момент времени.

0869-7493 ПОЖАРОВЗРЫВОБЕЗОПАСНаСТЬ 2009 ТОМ 18

2

г

Численное исследование проведено с использованием следующих исходных данных: р3 = 650 кг/м3; с3 = 1670 Дж/(кг-К);

= 0,29 Вт/(м-К) [7]; р4 = 1000 кг/м3; с4 = 4180 Дж/(кгК); \4 =4 0,588 Вт/(м-К); р5 = 0,598 кг/м3; с5 = 2130 Дж/(кг-К);

= 0,024 Вт/(м-К). Параметры испарения: б = 2250 Дж/кг; А = 0,1; Я = 8,31 Дж/(моль К); М = 0,010 кг/моль. Параметры внешнего воздействия: а = 80 Вт/(м2 К); Те = 300 К.

Результаты численного моделирования и обсуждение

Сформулированная математическая модель (1) - (6) с краевыми и начальными условиями (8)-(18) решена локально-одномерным конечно-разностным методом [8]. Для решения разностных аналогов дифференциальных уравнений использовался метод прогонки в сочетании с методом простой итерации [9].

Рассматривается следующая схема исследуемого процесса. На ствол дерева, например березы, действует отрицательный грозовой разряд длительностью 500 мс с пиковым током удара 23,5 кА и напряжением 100 кВ. На рис. 2 представлено распределение температуры в горизонтальном сечении ствола дерева в различные моменты времени до зажигания и в момент зажигания ствола дерева током наземного грозового разряда (начальная температура 300 К). На рис. 3 показана зависимость теплового потока к поверхности от времени, на рис. 4 — температуры поверхности от времени. Критериями для оценки наступления зажигания служили условия, приведенные в таблице [7].

Анализ представленных на рис. 2 температурных полей показывает, что в результате действия типичного наземного грозового разряда ствол дерева в области крупных сосудов разогревается до температуры зажигания (более 1000 К). Изучение распределений на рис. 3 и 4 свидетельствует, что по температурному критерию (801 К) и расчетному

Условия зажигания лиственной древесины [7]

Время задержки зажигания, с Тепловой поток, кВт/м2 Температура поверхности, К

136 15 -

61,2 21 645

17,2 42 688

1,8 125 755

0,43 210 801

значению теплового потока (219 кВт/м2) условия зажигания достигаются для типичного наземного грозового разряда. В зоне крупных сосудов формируется повышенное поле температур (примерно на 100 К выше, чем в рассеяннососудистой древесине). Это объясняется тем, что в крупных сосудах содержится большее количество влаги. Образовавшееся поровое пространство заполняется водяным паром. В результате этого эффективная объемная теплоемкость области крупных сосудов падает и

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0 -0.

И * -л «

I И ь ^ У ** — ш Ш Ш

.

1400 1300 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200

Рис. 2. Температурное поле на горизонтальном срезе дерева в различные моменты времени: а — 0,01 с; б — 0,1 с; в — 0,3 с; г — 0,5 с

0869-7493 ООЖАРОВЗРЫВОБЕЗООАСООСТЬ 2009 ТОМ 18

250

0,2 0,3 Время, с

Рис. 3. Зависимость теплового потока к поверхности от времени

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Время, с

Рис. 4. Зависимость температуры поверхности от времени

формируется поле повышенной температуры в данной зоне.

Следует заметить, что внутренние сосуды при прохождении электрического тока также выделяют джоулево тепло, достаточное для воспламенения древесины березы. Однако отсутствие окислителя в этой зоне может привести к тому, что зажигания в реальных условиях на границах внутренних сосудов происходить не будет.

Отметим, что приближение крупных сосудов объясняет случаи, когда на поверхности ствола возникают ожоговые борозды после удара наземного грозового разряда. Происходят разогрев и ожог только в зоне крупного поверхностного сосуда, по которому проходит электрический ток. Межсосуд-

0,2 0,3 Время, с

Рис. 5. Зависимости объемных долей органического вещества (ф4)' влаги (ф5) и водяного пара (ф6) в крупном сосуде от времени

ная часть древесины не разогревается до критических температур.

Заключение

Численно реализована физико-математическая модель разогрева лиственного дерева в результате протекания по нему электрического тока удара молнии. Использовано приближение крупных сосудов. Показана возможность зажигания лиственного дерева в условиях прохождения грозы разрядом класса облако - земля. Установлено, что наличие большого количества влаги в крупных сосудах на начальном этапе замедляет разогрев древесины березы. После испарения всей влаги (примерно за 0,4 с) эффективные теплофизические характеристики крупных сосудов меняются и формируется повышенное по сравнению с рассеянососудистой древесиной поле температур.

Представленная физико-математическая модель может стать дополнительным модулем в системах оценки лесной пожарной опасности [10, 11]. Кроме того, полученные результаты имеют самостоятельное теоретическое и фундаментальное значение для теории лесных пожаров. Они позволяют объяснить физическую природу исследуемого явления зажигания лиственного дерева наземным грозовым разрядом.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Uman, М. A. Lightning / М. A. Uman. — NewYork : McGraw-Hill, 1969. — 320 p.

2. Эзау, К. Анатомия семенных растений. Кн. 1 / К. Эзау. — М. : Мир, 1980. — 218 c.

3. Braun, Н. J. Die organization des hydrosystems im Stammholz der baume und straucher / H. J. Braun // Deut. Bot. Gesell. Ber. — 1963. — Vol. 75. — P. 401-410.

4. Яворский, Б. M. Справочное руководство по физике для поступающих в вузы и самообразования / Б. М. Яворский, Ю. А. Селезнев. — М.: Наука, 1984. — 383 с.

5. Панкратов, Б. M. Взаимодействие материалов с газовыми потоками / Б. М. Панкратов, Ю. В. Полежаев, А. К. Рудько: под ред. В. С. Зуева. — М.: Машиностроение, 1975. — 224 с.

40

ISSN 0869-7493 ООЖАРООЗРЫООБЕЗООАСНОСТЬ 2009 ТОМ 18 №5

6. Уголев, Б. Н. Древесиноведение с основами лесного товароведения / Б. Н. Уголев. — М. : Лесная промышленность, 1986. — 365 с.

7. Заболотный, А. Е. Определение зон безопасного применения твердотопливных генераторов пожаротушащих аэрозолей / А. Е. Заболотный, М. М. Заболотная, Ю. А. Заболотная [и др.] // Вопросы специального машиностроения. — 1995. — Вып. 7-8. — С. 15-21.

8. Самарский, А. А. Аддитивные схемы для задач математической физики / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич. — М. : Наука, 2001. — 320 с.

9. Самарский, А. А. Теория разностных схем /А. А. Самарский. — М.: Наука, 1983. — С. 33-36.

10. Барановский, Н. В. Модель прогноза и мониторинга лесной пожарной опасности/ Н.В.Барановский // Экология и промышленность России. — 2008. — №9. — С. 59-61.

11. Кузнецов, Г. В. Детерминированно-вероятностный прогноз лесопожарных возгораний / Г. В. Кузнецов, Н. В. Барановский // Пожаровзрывобезопасность. — 2006. — Т. 15, № 5. — С. 56-59.

Материал поступил в редакцию 24.11.08.

© Кузнецов Г. В., Барановский Н. В., 2009 г.

(e-mail: firedanger@narod.ru).

А

Представляем новую книгу

О

QQ

О _Q

СО

«

П0ЖНАУКА

»

СВОДЫ ПРАВИЛ. Системы противопожарной защиты.-2009.-618 с.

С мая 2009 г. введен в действие Федеральный закон №123 «Технический регламент о требованиях пожарной безопасности» (полный текст закона опубликован в журнале «Пожаровзрывобезопасность». — 2009.—Т. 18, №1).

С вступлением в силу указанного закона теряют свое значение многочисленные Нормы пожарной безопасности (МПБ), Строительные нормы и правила (СМиП), регламентировавшие требования пожарной безопасности к зданиям и сооружениям. В качестве нормативных документов добровольного применения введены Своды правил (СП) и Государственные стандарты.

Настоящий сборник включает Своды правил, которые рекомендуются для применения проектными, строительными и эксплуатирующими строительные объекты организациями при решении вопросов обеспечения пожарной безопасности.

121352, г. Москва, ул. Давыдковская, д. 12, стр. 7; тел./факс: (495) 228-09-03; e-mail: firepress@gmail.com

ISSN 0869-7493 ПОЖАРОВЗРЫВОБЕЗОПАСНОСТЬ 2009 ТОМ 18

41