CC BY
35
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ВЕЛИЧИНЫ КРЕДИТНЫХ РИСКОВ ОТ ФИНАНСОВОГО ПОЛОЖЕНИЯ ОРГАНИЗАЦИИ
Д. А. ЕНДОВИЦКИЙ,
доктор экономических наук, профессор, проректор по экономическомуразвитию и инновациям E-mail: eda@ekon.vsu.ru
К. В. БАХТИН,
аспирант кафедры «Экономический анализ и аудит» E-mail: kbakhtin@mail.ru Воронежский государственный университет
Предложены две новые модели, использующие количественные и качественные показатели деятельности заемщика: модель принятия решения о кредитовании; модель расчета резерва на возможные потери по ссудной задолженности при кредитовании юридических лиц. Для разработки модели оценки кредитного риска заемщика был использован Data Envelopment Analysis (DEA). Для предсказания банкротства DEA-подход дает результаты не хуже, чем дискриминантный анализ.
Ключевые слова: риск, кредит, модель, резервы, оценка.
Оценка кредитного риска и классификация кредитов осуществляются кредитными организациями самостоятельно на основе профессионального суждения кредитных работников, что приводит к многообразию методик анализа, различиям в их информационном обеспечении. В процессе деятельности банк совершенствует свои методические материалы, адаптирует их с учетом влияния внешних и внутренних условий. В сложившихся условиях банковской деятельности весьма актуальными являются прикладные разработки в области анализа кредитоспособности заемщиков.
В конце 1960-х гг. стал использоватьсядискри-минантный анализ с целью формирования одного общего показателя деятельности организации. Главным преимуществом множественного дискри-
минантного анализа (МДА) является рассмотрение целого ряда взаимосвязанных показателей, характерных для идентичных компаний. При использовании МДА рассчитывается дискриминантная функция 2, которая учитывает коэффициенты регрессии и факторы, характеризующие финансовое состояние заемщика. Z-oцeнкa является сигналом предупреждения о возможном банкротстве организации. Для применения такой модели требуется репрезентативная выборка организаций по различным отраслям и масштабам деятельности, а для расчета коэффициента регрессии—достаточное число обанкротившихся хозяйствующих субъектов. Наиболее распространенной моделью МДА является модель Альтмана [1] из пяти показателей, которая оценивает общее финансовое положение организации.
Кроме МДА-моделей использовались упрощенные модели. Так, В. Бивер [4] добавил к общепринятым финансовым индикаторам коэффициент (отношение чистой прибыли и амортизации к сумме долгосрочных и краткосрочных обязательств). Коэффициент Бивера был получен с помощью одномерного анализа. Для него существуют нормативные значения, несоответствие которым сигнализирует о высокой вероятности банкротства.
В течение последующих десятилетий исследователи развивали множественный дискриминантный анализ, появились вероятностные модели (Логит и
2
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жг0-ръ%ъ.'н'р?4?:ж'иъ4
Пробит), совершенствовались модели с помощью математического программирования классификационных деревьев. К примеру, в отличие oтZ-oцeн-ки, прогнозирующей общее финансовое состояние организации, модель У. Чессера [11] оценивает частный аспект — вероятность невыполнения заемщиком всех условий кредитного договора, под которыми подразумевается полное погашение в срок всех платежей по основному долгу и процентам.
В российской банковской практике МДА-мо-дели практически не используются. Как правило, финансовый показатель, входящий в систему показателей оценки финансового состояния и превосходящий оптимальное пороговое значение, добавляет к рейтинговой оценке потенциального заемщика определенный балл. Редко принимаются во внимание качественные характеристики деятельности: отрасль, деловая репутация, конкурентоспособность продукции и др.
Предлагается математическое описание двух новых моделей, которые помогутустранить выявленные недостатки:
1) модель принятия решения о кредитовании;
2) модель с использованием количественных и качественных показателей для определения размера резерва на возможные потери по ссудной задолженности при кредитовании юридических лиц.
Окончательное решение по размеру создаваемого резерва при кредитовании юридических лиц должно выноситься на основе профессионального суждения кредитного инспектора согласно Положению Банка России от 24.03.2004 № 254-П «О порядке формирования кредитными организациями резервов на возможные потери по ссудам, по ссудной и приравненной к ней задолженности» (с учетом ограничений, установленных пп. 3.4 и 3.7.2) и внутренним документам кредитной организации. А предлагаемая методика только оказывает в этом помощь.
Для построения моделей требуются количественные характеристики, полученные на основе анализа бухгалтерской отчетности заемщика: показатели ликвидности активов и баланса, финансовой устойчивости, оборачиваемости, рентабельности.
Качественные характеристики, необходимые для построения моделей и проведения анализа:
1) виддеятельности (производство/торговля);
2) наличие положительной деловой репутации, кредитной истории (да/нет);
3) конкурентоспособность продукции (да/нет);
4) прогноз бурного развития отрасли (да/нет);
5) большая степень зависимости от решений одного или нескольких собственников (да/нет).
Указанные качественные характеристики заемщика определяются на основе профессионального суждения кредитного инспектора. Для корректного построения моделей и их апробации требуются достоверные количественные данные заемщика.
Для модели принятия решения о кредитовании предлагается использовать следующие показатели:
1) решение о выдаче (да/нет);
2) сумма запрашиваемого кредита,тыс. руб.;
3) дата составления бухгалтерской отчетности;
4) внеоборотные активы,тыс. руб.;
5) оборотные активы,тыс. руб.;
6) дебиторская задолженность,тыс. руб.;
7) денежные средства,тыс. руб.;
8) капитал и резервы,тыс. руб.;
9) долгосрочные обязательства,тыс. руб.;
10) краткосрочные обязательства,тыс. руб.;
11) кредиторская задолженность,тыс. руб.;
12) выручка от продажи товаров, работ, услуг (заминусом НДС, акцизов),тыс. руб.;
13) валовая прибыль,тыс. руб.;
14) прибыль (убыток) от продаж,тыс. руб.;
15) прибыль (убыток) до налогообложения, тыс. руб.;
16) виддеятельности (производство/торговля);
17) наличие положительной деловой репутации (да/нет);
18) конкурентоспособность продукции (да/нет);
19) прогноз бурного развития отрасли (да/нет);
20) большая зависимость от одного или нескольких собственников (да/нет).
Для модели определения размера резерва на возможные потери по ссудной задолженности необходимы показатели 2—20, а также размер расчетного резерва (в % от суммы основного долга по ссуде).
Минимальное значение наблюдений (анализируемых заемщиков), которое необходимо для построения моделей, — 100, при этом требуются достоверные данные заемщика без случайного проставления характеристик (иначе в рамках модели возможно получение незначимых коэффициентов или коэффициентов с неправильным по экономическому содержанию знаком).
Для модели принятия решения необходимы данные не только по заемщикам, которым были выданы кредиты, но и по заемщикам, которым отказано в выдаче кредита. При этом при формировании базы данных следует вносить данные только тех заемщиков, причиной отказа которым явились неудовлетворительные характеристики их деятельности. Не следует включать заемщиков, которые по своему желанию отказались от дальнейшего
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жго-ръЯ-Ъ.'Н'Р?4'К'ШЪ.Ъ4
з
рассмотрения кредитной заявки и у которых банк не нашел достаточного обеспечения.
Остановимся более подробно на математическом описании предлагаемых моделей.
В модели принятия решения о кредитовании зависимой переменной выступает качественная переменная (решение о выдаче кредита), которая принимает только два значения: не выдать или выдать кредит, 0 или 1.
Пусть — вектор-столбец наблюдаемых показателей по /-му заемщику, Ь — вектор-столбец оценок этих показателей.
Тогда для моделирования значений вероятности Р(У, = «выдать кредит») подбирают функции, область значений которых определяется отрезком [0; 1], а (х/Ь) играет роль аргумента этой функции, т. е.:
Р (у(.= «выдать кредит») = Р(у = 1) = где Р — вероятность выдачи кредита надежному заемщику;
— вектор-столбец, состоящий из 0 (в случае невыдачи кредита) и 1 (в случае выдачи кредита);
х — вектор-столбец наблюдаемых показателей по /-му заемщику;
Ь — вектор-столбец оценок этих показателей; /=1,..., И, N — количество кредитных заявок потенциальных заемщиков. Функция ^должна быть непрерывной, неубывающей функцией. Наиболее часто в качестве функции ^используют:
1) функцию стандартного нормального распределения (Пробит-модель);
2) функцию логистического распределения (Логит-модель):
е"
^ (") = Л(") = ---.
1 + е"
Выбор этих распределений не случаен: логистическое распределение удобно на практике для расчета коэффициентов. Согласно же центральной предельной теореме, если случайная величина и представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, то случайная величина Л имеет распределение, близкое к нормальному.
Теоретически трудно отдать предпочтение тому или иному распределению. На практике сначала оценивают модели для каждого распределения, только за-темделаютнеобходимые выводы. Однако даявыборок с небольшим разбросом объясняющих переменных качественные выводы, полученные при использовании Пробит — и Логит-моделей, совпадают:
Для оценки параметров Ь модели применяют метод максимального правдоподобия. Наблюдения
уг, у2,..., уп независимы (независимы заемщики). С учетом того, что у( принимает значения 0 или 1, функция правдоподобия имеет следующий вид: Ь = Ь(у1,..., уп) = П (1 - F(xl'Ь)) П F(xl'Ь).
У, = 0 У =1
Логарифмируя, получаем выражение логарифма функции правдоподобия:
I = 1п Ь = £[У, 1п ^(X 'Ь) + (1 - У,) 1п(1 - ^(X 'Ь))].
/
Для нахождения максимума логарифмической функции правдоподобия необходимо выполнение следующего условия:
д 1п Ь
дЬ
= 0.
Отсюда получаем уравнение правдоподобия:
я =у(У,/(X,'Ь) _ (121МШ)Х = 0 (1)
дЬ , ^(хгЬ) 1 - ^(хЬ) 1 '
Уравнение (1) при использовании стандартного нормального распределения и логистического распределения нелинейно относительно Ь, и для его решения применяются эконометрические пакеты.
В результате получим модель экспресс-анализа кредитоспособности организации-заемщика, а также оценки коэффициентов, входящих в модель. Эти коэффициенты показывают, на сколько увеличивается вероятность выдачи кредита при изменении одной из характеристик заемщика при прочих равных. При обращении заемщика с кредитной заявкой в банк следует ввести количественные и качественные показатели его деятельности в предлагаемую модель. Если в результате применения этой модели вероятность Р > 0,5, банку следует принять положительное решение о кредитовании заемщика.
Практическая значимость предлагаемых моделей состоит в следующем:
1. Получение обоснованных точных, а не интервальных оценок количественных и качественных показателей заемщика.
2. Анализ основных качественных характеристик заемщика.
3. Возможность использования моделей в дополнение к действующей в кредитной организации методике оценки кредитоспособности юридических лиц. В дальнейшем, при успешной апробации результатов исследования, предлагаемые модели можно использовать в качестве основных.
Основная цель множественного регрессионного анализа — построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности. При построении модели с помощью множественной регрессии для определения размера резерва на возможные потери по ссудной
4
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жгвРЪЯЪ'НР^'Х'ШЪ'^
У1' ' 1 Х11 • • x1 p " bo" e1
У2 = 1 Х21 • • x2 p • b1 + e2
Уп . 1 xn1 • • xnp bp. _en _
задолженности при кредитовании юридических лиц возникает задача исследования зависимости одной независимой переменной от нескольких объясняющих переменных. Обозначим ¿-е наблюдение зависимой переменной у , а объясняющих переменных — хй, ха,..., х1р. Тогда модель множественной регрессии можно представить в виде:
у = Ь0 + Ь1» ха + Ь2»ха+... + Ьр»хф + гр где 1=1,2 ,..., я;
п — количество наблюдений; р — количество факторов; ошибка £; удовлетворяет предпосылкам: математическое ожидание ошибки равно нулю, дисперсия постоянна для любого / (условие гомоскедас-тичности), ошибки е;и ^не коррелированны. Удобна матричная форма записи:
или Y = Xb + г,
которую можно рассматривать как систему уравнений. Применяя метод наименьших квадратов, получаем, что решением является вектор-столбец: Ъ = (Х'Х) ЛХ'У. (2)
Теорема Гаусса—Маркова утверждает, что при выполнении указанных предпосылок для ошибок оценка, полученная методом наименьших квадратов по формуле (2), является наиболее эффективной, т. е. обладает наименьшей дисперсией в классе линейных несмещенных оценок.
Можно принять тот факт, что ошибки в модели не коррелированны (в силу независимости заемщиков) и имеют математическое ожидание, равное нулю. Однако гомоскедастичность не очевидна. На практике дисперсии ошибок редко равны постоянной величине. Поэтому при построении этой модели возникает вопрос о тестировании на гетероскедастичность. Из возможных тестов будет применен тест Уайта, так как он проверяет взаимосвязи без использования каких-либо предположений относительно структуры гетероскедас-тичности. В случае обнаружения непостоянной дисперсии ошибки в модели будут пересчитаны в стандартные в форме Уайта, что позволит получить состоятельную оценку матрицы ковариаций оценок коэффициентов регрессии.
На основе этой модели возможно построение трех ее вариантов:
1)У= Ь0 + Ьх + Ь2»х2+... + Ьр»хр— основной вариант модели.
b • In (х ) —
р v р'
Характеристики нового заемщика подставляются в модель, определяется расчетный резерв у.
Интерпретация коэффициентов: коэффициент bt показывает, на сколько при прочих равных увеличивается размер расчетного резерва при увеличении переменной xj на единицу;
2)y=b0 + bl»\n Ц) + Ь2• In(х2) +. модель с эластичностью объясняющих переменных.
Интерпретация коэффициентов: коэффициент bt показывает, на сколько при прочих равных увеличивается размер расчетного резерва при увеличении переменной xj на1 %;
3) Iny=b0 + bx» In Ц) + Ь2• In (х2) +... + Ь » In (хр) — модель с эластичностью.
Интерпретация коэффициентов: коэффициент bj показывает, на сколько процентов при прочих равных увеличивается размер расчетного резерва при увеличении переменной xj на1 %.
В настоящее время для анализа деятельности компаний часто используют подход с точки зрения технической эффективности. Существует два основных подхода к оценке технической эффективности: Data Envelopment Analysis, использующий математическое программирование, и Stochastic Frontier Analysis с помощью эконометрических методов.
Изначально анализ эффективности применялся в теории фирмы. М. Фаррел [14] развил в своей работе идеи Г. Дебрю [5] и Т. Купманса [8], определяя техническую эффективность для набора экономических ресурсов. Он предложил выделять две компоненты эффективности: техническую эффективность (способность получить максимальный выпуск из ограниченного набора ресурсов) и эффективность распределения (способность использовать ресурсы в оптимальной пропорции при данных ценах).
А. Чарнз, В. Купер и Е. Родис [15] ввели термин Data Envelopment Analysis (DEA); предполагая постоянную отдачу от масштаба, предложили модель оценки технической эффективности, ориентированную на потребляемые ресурсы. Это непараметрический подход к оценке эффективной производственной границы. Метод DEA заключается в нахождении относительной эффективности работы каждого предприятия. Под эффективностью понимается отношение совокупности значений входных параметров к совокупности значений выходных параметров. Это задача многомерного сопоставления, для каждой компании отдельно решается задача оптимизации. Позднее вводились новые предположения, модель с переменной отдачей от масштаба была разработана Р. Банкером, А. Чарнзом и В. Купером [2]. Современные процедуры для DEA как на основе постоянной,
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: •мгоРЪЯЪ'ИРЛ'ХЖКХ*
5
так и переменной отдачи от масштаба изложены в книге Р. Фаре, С. Гросскопфа и С. Ловелла [12]. Полезной в определении изменения производительности факторов производства, технологических изменений для панельных данных является работа Р. Фаре, С. Гросскопфа, М. НорриссаиЗ. Занга [13].
В 1990-хгг. DEA стал активно применяться в кредитном скоринге [10]. Для дискриминантного анализа нужна априорная информация (нужно знать, какие заемщики «плохие», а какие «хорошие»), в то время как для DEA этого не требуется (нужны лишь показатели, которые нужно минимизировать и максимизировать). Следовательно, можно проанализировать больший объем данных только на основе финансовой отчетности. Кроме того, Р. Симак [9] показал, что для цели предсказания банкротства DEA подход дает результаты не хуже, чем использование дискриминантного анализа. Также можно ориентироваться на работу А. Емеля и др. [6], где DEA-подход позволил оценить кредитоспособность 82 турецких промышленных компаний. Полученные оценки эффективности хорошо линейно приближались с помощью параметров, участвующих в расчете; выбрав порог отсечения по эффективности, можно было определить вероятность получения кредита конкретным заемщиком; решения о выдаче кредита согласовывались с экспертной оценкой.
Для оценки DEA использована входо-ориенти-рованная модель А. Чарнза, В. Купера и Е. Родиса [15] с постоянной отдачей от масштаба. Аналогичный подход используется в работе А. Емеля и др. [6], что позволит сравнить результаты для российских и турецких компаний. Стоит отметить, что входо-ори-ентированная задача обеспечивает расчет эффективности с помощью уменьшения затрат и выделения неиспользуемых ресурсов, а выходо-ориентирован-ная задача используется для выяснения максимально возможного результата при сохранении текущего объема использования входных ресурсов.
Введем некоторые обозначения. Существуют ^"входныхи ^выходных параметров, ^фирм. Наблюдение /представлено векторами x¡(c входными параметрами) и у{ (с выходными параметрами). Удобно ввести DEA в виде соотношения набора выходных к набору входных параметров, то есть u'y¡ / v'xp где и — вектор размера Мх 1 весов выходных параметров, v — вектор размера Кх 1 весов входных параметров. Задача выбора оптимальных весов запишется в следующем виде:
шах(и' y ¡ / v' x¡),
u ,v
u'y] /v'Xj < 1, j = 1,2,...,N, (3)
u, v > 0.
Задача (3) представляет определение комбинаций для набора входо-ориентированных и набора выходо-ориентированныхпоказателей, которые ведут к получению наилучшего отношения взвешенной суммы выходов к взвешенной сумме входов. А. Чар-нз, В. Купер и Е. Родис [15] признали право каждого объекта по-разному оценивать важность своих входов и выходов, разрешили применять такой набор весов, который представляет объект в наиболее выгодном свете по сравнению с другими. Последовательная оценка всех объектов осуществляется по наборам весов, оптимальным для каждого из них. При анализе кредитоспособности компаний такое оптимальное отношение является аналогом известного соотношения доходности и риска в экономической деятельности. Как правило, доход растет с уровнем риска, низкий уровень рискованности связан с низким уровнем возможного дохода. То есть стандартной является ситуация, когда компания может приносить высокийдоход, только если подвержена высокому риску убытка.
Решение задачи (3) позволяет получить значения для м и v, где эффективность / объекта максимизируется при условии, что эффективность меньше или равна 1. Возникает проблема с бесконечным количеством решений (если (и*, v*) — решение, то решением является и (au*, av*)). Чтобы этого избежать, следует наложить условие v'x=h max ц ' y,
v ' Xi = 1, (4)
ц ' y J - v ' Xj < 0, j = 1,2,..., N, ц, v > 0.
Введем матрицы Xразмера Кх N и Уразмера Мх N, которые включают все входные и выходные данные соответственно. Используя принцип двойственности в задачах линейного программирования, задача (5) может быть переписана в виде:
min 9,
Ö "h,
-yt+Yk> 0, (5)
дх(-хк>0, À>0,
где 9 — скаляр;
X — вектор констант размера Nx 1.
Задача (5) содержит меньше ограничений по сравнению с задачей (4), К+ М< N+ 1, следовательно, такая постановка задачи предпочтительнее. Получаемое значение 9 и есть оценка технической эффективности для / объекта. 9 меньше или равно 1, при равенстве единицы / объект лежит на эффективной границе. Для определения эффективности всех ^объектов задача линейного программирования должна решаться ^раз.
6
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жго7>ъЯ-Ъ.'Н?>?4?:Ж'КЪ4
Стандартной при использовании Stochasic Frontier Analysis является следующая постановка задачи:
Y = X. В+ V. + U.,
ii^ ii'
где Yi — затраты на производство /-й фирмы;
Xi — вектор параметров выпуска и цен ресурсов размера к xl;
Р — вектор неизвестных параметров; V— случайная величина, ошибка, предполагается iidN{0, а2у);
Uj — неотрицательная случайная величина, характеризующая неэффективность; i= 1,..., N, N— количество организаций. Ключевым моментом является оценка ненаблюдаемой величины Ur Для этого нужно получить математическое ожидание Up условного на наблюдаемой величине (Vi.+ U). Необходимые для оценки технической эффективности выражения содержатся в работах Ж. Жондроидр. [7] и Ж. БатисаиТ Коелли [3].
Ж. Жондро и др. рассматривали производственную функцию; ^распределено iid N {0, ст2у); Ut распределено iid | N (0, a2u) |; Ut условное на (Vl + Щ, распределено Nfa^ а2«), где
2- 2 л. 2 м ~Ui)
cz — ст/ + ст/ , И* =---, ст * = -
Далее, для упрощения, опустим индексы /. Таким образом, получим оценку:
E {U\V - U ) = ст*
f ((V - U К)
Ъуa
1 _ F((V - UК )
CTv CT
_ ((V - U К)
CTv CT
(6)
В ряде случаев, например при—^ = 0,5 , оценка
Жондро и др. [7] получается смещенной, поэтому альтернативна (6). Ж. Батисом и Т. Коелли [3] предложено:
E (exp{U } V - U) =
, м*
1 - F (ст*--)
ст*
1 - F(- М*) ' ст*
1 2 ч
ехр(-ц* + — G *)
2
2
С помощью Data Envelopment Analysis можно идентифицировать факторы, влияющие на кредитоспособность организаций. Как уже подчеркивалось, для этого анализа не требуется информация о рейтинге и размере созданного резерва на возможные потери по ссудной задолженности, полученная от кредитной организации после оценки кредитоспособности потенциального заемщика.
Список литературы
1. Альтман Э. Финансовые показатели, дискриминантный анализ и предсказание банкротства компании // Финансы. 1968. № XXIII (4). С. 589-609.
2. Банкер Р. Д. Модели оценки технической неэффективности при анализе границ / Р. Д. Банкер, А. Чарнз, В. В. Купер //Наукаменеджмента. 1984. № 30. С. 1078-1092.
3. БатисЖ.Е. Предсказание технической эффективности компаний с обобщенными производственными функциями и панельными данными / Ж. Е. Батис, Т. Ж. Коелли //Журнал эконометрики. 1988. № 38. С. 387—399.
4. Бивер В. Финансовые показатели как предсказатели банкротства // Журнал исследований в области бухгалтерского учета. 1966. № 4. С. 71—102.
5. Дебрю /[Коэффициент использования ресурсов // Эконометрика. 1951. № 19. С. 273—292.
6. ЕмельА.В. Кредитный скоринг для коммерческих банков / A.B. Емель, М. Орал, А. Рейзман, Р. Йолахан // Социально-экономические и плановые исследования. 2003. № 37. С. 103—123.
7. Жондро Ж. Об оценке технической неэффективности для стохастических моделей производственных границ / Ж. Жондро, C.A.K. Ловелл, И. С. Матеров, Р. Шмидт //Журнал эконометрики. 1982. № 19. С. 233-238.
8. Купманс Т. Анализ производства как эффективной комбинации использования ресурсов. 1951. URL: http:// cowles. econ.yale.edu/P/cm/ml3/ml3-03.pdf.
9. Симак Р. С. Анализ банкротств компаний с помощью DEA: Магистерская диссертация / Р. С. Симак. Университет Торонто: Центр управления технологиями и предпринимательство, 1997.
10. Троутт М. Д. Потенциал использования DEA для определения возможности выдачи ссуды / М. Д. Троутт, А. Рай, А. Занг // Компьютеры и текущие исследования. 1996. № 23 (4). С. 405—408.
11. Чессер У. Предсказания затруднений погашения кредита // Журнал кредитования в коммерческих банках. 1974. № 56 (8). С. 28-38.
12. Фаре Р. Производственные границы / Р. Фаре, С. Еросскопф, С. А. К. Ловелл. Кембридж: Изд-во Кембриджского университета, 1994.
13. Фаре Р. Рост производительности, технический прогресс и изменения эффективности в индустриальных странах / Р. Фаре, С. Еросскопф, М. Норрис, 3. Занг // Обзор американской экономики. 1994. № 84. С. 66—83.
14. Фаррел М. Измерение эффективности производства // Журнал Королевского общества статистики. 1957. № А СХХ, ч. 3. С. 253-290.
15. Чарнз А. Измерение эффективности при принятии решений / А. Чарнз, В. В. Купер, Е. Родис // Европейский журналтекущихисследований. 1978. № 2. С. 429—444.
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жгбРЪЯЪ'НР^Ъ'ШЪ'^
7
