CC BY
10ВЫСОКОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ, Серия А, 2004, том 46, № 2, с. 321-329
- МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 541.64:539.199
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ДЕНДРИМЕРОВ МЕТОДОМ БРОУНОВСКОЙ ДИНАМИКИ. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА1 © 2004 г. С. В. Люлин*, А. В. Люлин**, А. А. Даринский*
*Институт высокомолекулярных соединений Российской академии наук 199004 Санкт-Петербург, Большой пр., 31 **Dutch Polymer Institute and Department of Applied Physics, Technische Universiteit Eindhoven P.O. Box 513 5600 MB Eindhoven, The Netherlands Поступила в редакцию 15.04.2003 г.
Принята в печать 11.09.2003 г.
С помощью компьютерного моделирования методом броуновской динамики исследованы статистические свойства нейтральных и заряженных дендримеров до шестой генерации (382 группы) в разбавленных растворах. Объемные взаимодействия описываются отталкивающим потенциалом Леннарда-Джонса, соответствующим атермическому растворителю. Электростатические взаимодействия рассмотрены в приближении Дебая-Хюккеля. Полученные радиальные функции распределения плотности мономеров имеют максимум в ядре и спадают к периферии. Средний радиус инерции слабо меняется с ростом радиуса Дебая rD. Набухание нейтрального дендримера хорошо описывается среднеполевой теорией Флори. Для нейтральных дендримеров найден фрактальный размер df= 2.77, для заряженных df= 2.63 (rD = 0.8) и df= 2.42 (rD = 100). Концевые группы распределены по всему объему дендримера. Максимум в распределении концевых групп смещается к периферии с ростом rD.
ВВЕДЕНИЕ
Дендримеры представляют собой монодисперсные макромолекулы с регулярной сильно-разветвленной архитектурой [1-3]. Они являются объектом интенсивного теоретического и экспериментального исследования благодаря своим уникальным свойствам, обусловленным регулярностью дендримеров. В последнее время активно изучается поведение дендримеров в растворах в связи с их применением в микробиологии и медицине.
Разнообразие синтезируемых дендримеров делает возможность их использования в качестве молекулярных "контейнеров" для транспорта различных соединений [4] (например, для доставки лекарств, генов, ДНК и т.д.).
Существует большое количество теоретических работ и работ по численному моделированию
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 02-03-33135 и 03-03-06379), фонда ШТАБ (грант 00-712), программ SUPER.NET и 51М11 Европейского научного фонда.
Е-таН: sefge@imc.macro.ru (Люлин Сергей Владимирович).
конформационных и статистических свойств дендримеров в разбавленных растворах. В них показано, что в отличие от теоретических предсказаний de Gennes и Hervet [5] даже в хорошем растворителе дендримеры представляют собой достаточно компактные структуры, плотность которых уменьшается от ядра к периферии. Такая структура связана с наличием объемных взаимодействий. Концевые группы дендримеров не локализуются на поверхности, а распределены по всему объему. Основная часть аналитических и численных исследований посвящена свойствам нейтральных дендримеров. Однако большинство водорастворимых дендримеров содержат функциональные группы, которые могут быть ионизованы при изменении рН раствора. В качестве примера можно упомянуть астрамол [6, 7] и полиамидоаминные [8] дендримеры.
В работе Welch и Muthukumar [9] методом Монте-Карло проведено моделирование статистических свойств заряженных дендримеров в разбавленных растворах. Показано, что дендримеры могут менять размер и профиль плотности при изменении концентрации соли в растворе в результате усиления электростатических взаимо-
\*=1\ >
Рис. 1. Свободносочлененная модель дендриме-ра с жесткими связями, состоящего из "палочек" и "бусинок". Показан дендример генерации # = 2 с длиной спейсера 5=1.
действий. Концевые группы смещаются на периферию. Метод Монте-Карло был использован и для изучения комплексов, состоящих из заряженных дендримеров и противоположно заряженных полимерных цепей [10]. Однако этот метод [9,10] не позволяет исследовать динамические свойства дендримеров.
Наиболее точным методом компьютерного моделирования дендримеров в растворе является метод молекулярной динамики [11]. При этом необходимо рассматривать растворитель явным образом, что резко увеличивает машинное время, необходимое для получения репрезентативных результатов. Возможности метода молекулярной динамики ограничены исследованием движений на достаточно малых пространственных и временных масштабах.
Метод броуновской динамики представляет компромисс, позволяющий исследовать динамические процессы на больших масштабах. Этот метод был успешно применен ранее одним из авторов для численного моделирования разбавленных растворов дендримеров, находящихся под действием сдвигового потока [12-15]. В указанных работах, в частности, было получено немонотонное поведение характеристической вязкости при нулевом потоке при увеличении ММ, что согласуется с известными экспериментальными данными.
В настоящей работе мы используем метод броуновской динамики для исследования равновесных
статистических свойств нейтральных и заряженных дендримеров различных генераций с учетом объемных и электростатических взаимодействий. Полученные результаты будут использованы в дальнейшем при анализе динамических свойств разбавленных растворов нейтральных и заряженных дендримеров.
МОДЕЛЬ ДЕНДРИМЕРА И МЕТОД МОДЕЛИРОВАНИЯ
Мы рассматриваем свободносочлененную модель дендримера с жесткими связями, состоящего из "палочек" длиной / и "бусинок" с коэффициентом трения С, (рис. 1). Исследованы дендримеры с трехфункциональными группами. Генерации дендримера нумеруются, начиная с нулевой, состоящей из четырех "бусинок", включая ядро. Общее число "бусинок" N в дендримере генерации g может быть определено с помощью выражения
N = 3*(2*+1-1)+ 1, (1)
где ^ - длина спейсера между точками ветвления. В данной работе рассмотрен случай 5=1.
Исследованы дендримеры до шестой генерации включительно (Ы = 382). Большинство результатов получено для дендримеров до # = 5.
В системе учитываются объемные и электростатические взаимодействия. При описании динамики дендримеров необходимо учитывать и гидродинамические взаимодействия. Однако для анализа равновесных статистических свойств такой необходимости нет. Поэтому в настоящей работе рассматривается протекаемая модель дендримера. Растворитель представляется как вязкая среда, действующая на "бусинки" дендримера посредством сил трения и случайных сил. Использованная конечно-разностная численная схема основана на уравнении Егтак-МсСаттоп [12-16]
0 Д/ V Г^Т-"0 ч ,<-14
г,- = г, + -р^Оц?! + Ф/ (Аг) (2)
}
Здесь г,° - радиус-вектор 1-й частицы (г = 0 соответствует ядру) перед очередным шагом интегрирования, кв — константа Больцмана, Т — абсолютная температура, - тензор диффузии, Аг - шаг интегрирования.
в уравнении (2) - полная сила, действующая на у'-тую "бусинку":
Р? = (3)
к = 1 ' г
где ии соответствует объемным взаимодействиям между частицами, ис - потенциал электростатических взаимодействий, ок- уравнение на /с-тую жесткую связь, ц* - соответствующий множитель Лагранжа.
Случайная сила Ф° в уравнении (2) удовлетворяет условиям
<Ф°) = 0 (4)
<Ф?(Д*)Ф?(ДО> = 2 А(5)
В отсутствие гидродинамических взаимодействий тензор диффузии - диагональный, = = къТ/С,. Чтобы сохранять фиксированное значение длины связей /, используется алгоритм ЗНАКЕ [17] с толерантностью 2 х 10-6. Более детально использованный метод изложен в предыдущих работах [12-15].
Объемные взаимодействия в уравнении (3) описываются отталкивающим потенциалом Лен-нарда-Джонса ии с радиусом обрезания гсиго# -2.5о. Объемные взаимодействия действуют между "бусинками", не связанными химически. Выбранный отталкивающий потенциал взаимодействия ии{гу) между "бусинками" с номерами / и у соответствует атермическому растворителю
ии(ги) = Х^)12 (6)
и 11
(гу - расстояние между "бусинками" с номерами / и у). Мы выбрали используемые ранее параметры потенциала Леннарда-Джонса а = 0.8/ и е = 0.3квТ [12-15].
Моделировались дендримеры, в которых заряжены только концевые группы. Электростатиче-
ские взаимодействия описываются потенциалом Дебая-Хюккеля
ис 1 и2 V ехР("Угр) т
^ =^ .2 ——• (7) '.у = 1
где Ыт- общее число концевых групп в дендриме-ре, Гу - расстояние между г'-й и у-й концевыми группами, имеющими заряд д, Хв - бьеррумовская длина, характеризующая интенсивность кулонов-ских взаимодействий в среде с диэлектрической проницаемостью £
Гр в уравнении (7) - радиус Дебая, являющийся мерой ионной силы раствора и зависящий от концентрации и заряда ионов в растворе:
1 !ri = (9)
/
(с, и Zi - концентрация и заряд /-го иона соответственно).
Величина А.в в воде при комнатной температуре равна ~7 А, что близко к значению длины сегмента для обычных гибких полимеров. Поэтому можно предположить без потери общности, что
Мы рассмотрели два случая: q = 0 (нейтральный дендример) и q = 1. В работе использованы те же значения радиуса Дебая rD, что и в работах
Welch и Muthukumar [10]: rD= = 0-8,1.54,8.96
и 100, что соответствует различным значениям концентрации соли в воде (от 0.28 моль/л до бессолевого раствора).
Как обычно, мы используем безразмерные величины, выраженные в единицах длины /, энергии квТ, коэффициента терния времени С,12/квТ, заряда е. Безразмерный шаг интегрирования равен At = 10"4. Это значение At было выбрано для того, чтобы максимальное перемещение "бусинки" за один шаг не превышало 10% от длины связи.
Для генерирования начальной конфигурации дендримера мы использовали процедуру, предло-
Rl
10
-1_I_I I I 111
10
100
N
Рис. 2. Средний квадрат радиуса инерции для
нейтральных и заряженных дендримеров как функция числа генераций g (а) и средний радиус
инерции /?£ = ^^ в зависимости от числа "бусинок" в дендримере N (б). 1 — нейтральный денд-ример; 2 - заряженный дендример, г0 = 0.8; 3 -заряженный дендример, г0 = 100.
женную Murât и Grest [11]. Генерация g = 0 создается присоединением Ъ = 3 цепей из s = 1 мономера к ядру в трех произвольно выбранных направлениях. Каждая "бусинка" соединена с соседней жесткой связью длиной /. Следующая генерация получается присоединением Ъ - 1 связей к каждой концевой группе предыдущей генерации. Новый мономер считается присоединенным, если расстояние между ним и любым уже присоединенным мономером г > гпц„ = 0.08с. Если после 500 попыток новый мономер не может быть добавлен, процедура построения начинается заново с другими значениями случайных чисел.
После генерации начальной конфигурации дендримера он приводился в равновесие в течение
5 х К^-Ю6 шагов. Длина процедуры эквилибра-ции зависела от размера дендримера и концентрации соли в растворе. Достижение равновесия контролировали с помощью мгновенных значений квадрата радиуса инерции. После достижения равновесия выполняли 9-11 серий моделирования по 106 шагов интегрирования каждый. Рассчитанные характеристики усредняли по всем сериям.
РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Средний квадрат радиуса инерции
В качестве характеристического размера дендримера можно использовать средний квадрат радиуса инерции /г^ , который определяется следующим образом:
N
(Ю)
я = 0
где гс - радиус-вектор центра масс дендримера,
Rg может быть измерен экспериментально, например с помощью малоуглового нейтронного рассеивания (SANS) [18].
Полученные значения Rg в зависимости от числа генераций g для нейтральных дендримеров показаны на рис. 2а в логарифмическом масштабе.
Рассчитанные величины радиуса инерции можно сравнить с предсказаниями Boris и Rubinstein [19], полученными в рамках среднеполевой теории Флори. В этой работе авторы предполагали, что радиус инерции дендримера пропорционален среднему размеру линейной цепи, соединяющей ядро с концевой группой. Тогда свободная энергия дендримера представляется в виде
(11)
= ^a2-31na + gj<|)0oc3
Здесь - радиус инерции дендримера, /??0 - радиус инерции идеального (без объемных взаимодействий) дендримера, а = - коэффициент набухания дендримера. Первый член уравнения соответствует упругому гауссовому растяжению,
второй - связан с потерей энтропии вследствие ограничения объема, третий - отвечает энергии парных объемных взаимодействий.
Средняя плотность сегментов ф в дендримере описывается как
а
Nv Nv -з . -з ф = — = —« =ф0а ,
r:
R
(12)
«о
Rg0 = (g+1)
1/2
(13)
q2 _ 3(12 х 2 + 4(3(g + 1) -2)2 - 1)
8°--77l 2
(3(2 -1)+ 1) (14)
Зависимость а от числа генераций, установленная при моделировании указанным методом, показана на рис. 3. Мы подобрали значение параметра объемных взаимодействий V = 0.41 в теории Флори так, чтобы получить наилучшее согласие с результатами моделирования методом броуновской динамики (сплошная линия).
С другой стороны, для второго вириального коэффициента взаимодействия точечных частиц V справедливо соотношение [22]
V = (1/2)J(1 -е
-ии(г)/квТ 3 )а г
(15)
Для потенциала Леннарда-Джонса, использованного в данной работе (см. уравнение (6)), мы получили значения коэффициента V = 0.46, что хорошо согласуется с результатами, приведенными
1.7
1.5
1.3
где N- общее число мономеров в дендримере, v -параметр объемных взаимодействий одного мономера и ф0 - средняя плотность идеального денд-римера. Минимум свободной энергии определяет равновесное значение параметра набухания а.
Boris и Rubinshtein [19] в качестве Rg0 использовали выражение для размера гауссового клубка
1
5 g
Чтобы определить значения параметра а для дендримеров, рассмотренных в настоящей работе, мы сравнили полученные методом броуновской динамики значения Rg с соответствующими значениями R^ для идеального дендримера без объемных взаимодействий. Вместо уравнения (13) мы использовали выражение для R^, полученное La Ferla с соавторами [20] с помощью топологического индекса Винера [21]:
Рис. 3. Зависимость параметра набухания нейтрального дендримера а - Rg/Rgo от числа генераций g. Точки - эксперимент, кривая - расчет по теории Флори с параметром объемных взаимодействий v = 0.41.
выше. Таким образом, набухание нейтрального дендримера хорошо описывается в рамках сред-неполевой теории Флори.
Для заряженных дендримеров увеличение радиуса Дебая (уменьшение концентрации соли в
2
растворе) приводит к небольшому росту Rg по сравнению с нейтральными дендримерами (рис. 2а). На рис. 26 показана молекулярно-массовая зависимость среднего радиуса инерции Rg = , с помощью которой можно рассчитать фрактальный размер дендримера df по средней части кривых (10 < N< 100), предполагая их линейность:
1 Id,
Rg~N '
(16)
Для нейтральных дендримеров генераций g = 0-4 мы имеем df = 2.77.
Фрактальные размеры нейтральных дендримеров обсуждались ранее в работах разных авторов. Используя скейлинговый подход Zimm и Stockmayer [23] получили фрактальный размер дендримеров df = 4. De Gennes и Hervet [5] приводят значение df= 5. Lescanec и Muthukumar [24] использовали модель кинетического роста и получили df = 4.55. Murat и Grest [11] провели моделирование методом молекулярной динамики с учетом объемных взаимодействий в растворителях различного качества, и по их данным df= 3 для всех рассмотренных случаев. Mansfield [25], используя метод Монте-Карло в рамках решеточ-
(а)
(б)
Рис. 4. Характерные мгновенные конфигурации незаряженного (а) и заряженного (г0 = 1.54) ден-дримера генерации # = 4 (б). Заряженные концевые группы не закрашены.
У\х\
7 г
ной модели дендримера, получил значения фрактального размера, лежащее в интервале 2.45-2.76. Последние результаты находятся в хорошем согласии с нашими.
Для заряженных дендримеров мы наблюдали небольшое уменьшение фрактальных размеров: 4 = 2.63 (г0 = 0.8) и ¿} = 2.42 (г0 = 100) по сравнению с нейтральным дендримером. Это означает, что внутри заряженного дендримера становится больше "свободного" места при увеличении масштабов электростатических взаимодействий. Это соответствует увеличению г0, т.е. дендример становится более "проницаемым".
Полученный вывод подтверждается анализом мгновенных конфигураций дендримеров (рис. 4). Заряженный дендример имеет более рыхлую структуру, чем нейтральный.
Радиальная функция распределения плотности
Распределение мономеров внутри дендримера может быть охарактеризовано радиальной функцией распределения плотности р(г). Для ее расчета мы разделили пространство на концентрические сферы с центром, расположенным в центре масс дендримера. Средняя плотность мономеров в сферическом слое на расстоянии г от центра р(г) определяется соотношением
р(г) = ^
(17)
где {п(г)) - среднее число "бусинок" в слое объема
Рис. 5. Радиальная функция распределения плотности для нейтральных дендримеров различных генераций. Цифры у кривых - величины
De Gennes и Hervet полагали [5], что радиальная функция распределения плотности имеет минимум в ядре дендримера и затем монотонно увеличивается к периферии. Однако, как показано в дальнейшем с помощью численного моделирования [9-13, 24—26], радиальная функция распределения плотности имеет максимум в центре и спадает по мере удаления от него. Результаты нашего моделирования для дендримеров до шестой генерации включительно согласуются с этими представлениями (рис. 5).
На небольших расстояниях от центра (рис. 5) наблюдаются локальные максимумы и минимумы функции распределения. Это объясняется наличием жестких связей фиксированной длины. "Бусинки" вдали от центра распределены более равномерно внутри дендримера. После режима плато, размер которого увеличивается с ростом числа генерации дендримера, функция распределения монотонно спадает к нулю. Такое поведение находится в хорошем согласии с данными, полученными методом молекулярной динамики [11] и с результатами моделирования методом Монте-Карло на решетке [26].
Радиальные функции распределения плотности р(г) для заряженных дендримеров генераций g = 4 и g = 5 показаны на рис. 6 для различных значений радиуса Дебая rD. Форма функции распределения при этом существенно не меняется по сравнению с нейтральными дендримерами. Одна-
Рис. 6. Влияние радиуса Дебая на радиальную функцию распределения р(г) для дендримеров генераций #=4 (а) и # = 5 (б). 1 - нейтральный ден-дример; 2 - заряженный дендример, гс = 1.54 (а) и гс = 0.8 (б); 3 - заряженный дендример, г0 = 100 (а) иг0= 8.96 (б).
ко максимумы и минимумы становятся более выраженными, соответствуя более сильному внутреннему напряжению в системе.
Распределение концевых групп
Местонахождение концевых групп дендриме-ра важно для многих приложений, поскольку зачастую сами концевые группы и определяют возможность того или иного использования дендримеров. Предыдущие численные и теоретические исследования предсказывают распределение концевых групп по всему объему нейтрального денд-
Рис. 7. Радиальная функция распределения концевых групп р, нейтральных и заряженных дендримеров генерации # = 4 (а) и # = 5 (б). 1 - нейтральный дендример; 2 - заряженный дендример, гв = 0.8; 3 - заряженный дендример, г0 = = 1.54 (а), г0 = 100 (б); 4 - заряженный дендример, г0 = 8.%.
римера. Наши результаты находятся в согласии с этими данными. Распределение концевых групп р,(г) в моделируемых дендримерах приведено на рис. 7 для нейтральных и заряженных дендримеров. Видно, что концевые группы распределены по всему объему дендримера, имея слабо выраженный максимум. Однако увеличение радиуса Дебая ведет к смещению концевых групп на периферию из-за влияния электростатического отталкивания.
Максимум в распределении концевых групп смещается на большее расстояние от центра по мере роста радиуса Дебая, становясь более выраженным.
R
Ри£. 8. Зависимость R, (1) и Rg (2) от числа генераций g для радиуса Дебая rD = 8.%.
Схожее поведение наблюдали и Welch с Muth-ukumar при моделировании методом Монте-Карло [9,10] как для дендримеров, у которых заряжены все точки ветвления, так и для дендримеров с заряженными концевыми группами. Выше некоторого значения rD дальнейшее увеличение радиуса Дебая не ведет к изменению р,(г). Это объясняется тем, что интенсивность электростатических взаимодействий между концевыми группами перестает меняться, когда величина радиуса Дебая начинает превышать размер дендримера.
Положение максимума Rt в радиальной функции распределения концевых групп для случая rD = 8.96 показано на рис. 8 в зависимости от числа генераций в дендримере в сравнении со
средним радиусом инерции Rg = J~R^. Видно, что Rt > Rg, особенно для больших значений g.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Buhleier E.W., Wehner W„ Vogtle F. // Synthesis. 1978. Mb 2. P. 155.
2. Tomalia DA., Baker H., Dewald J.R., Hall M„ Kal-los G., Martin S., RoeckJ., Ryder J., Smith P. // Polymer J. (Tokio). 1985. V. 17. P. 117.
3. Tomalia D.A., Baker H., Dewald J.R., Hall M„ Kal-los G., Martin S., RoeckJ., Ryder J., Smith P. // Macro-molecules. 1986. V. 19. P. 2466.
4. Liu MJ., Frechet MJ. // Pharm. Sci. Technol. Today. 1999. V. 2. № 10. P. 393.
5. De Gennes P.G., Hervet H. // J. Physique Lett. 1983. V. 44. P. 351.
6. Kabanov VA., Zezin A.B., Rogacheva V.B., Gulyae-vaZh.G., Zansochova M.F., Joosten J.G.H., Brack-man J. // Macromolecules. 1999. V. 32. № 6. P. 1904.
7. Kabanov V.A., Sergeyev V.G., Pyshkina O.A., Zinchen-koAA., Zezin A.B., Joosten J.G.H., Brackman J., Yoshikawa K. // Macromolecules. 2000. V. 33. № 26. P. 9587.
8. Nisato G., Ivkov R., Amis EJ. // Macromolecules. 2000. V. 33. № 11. P. 4172.
9. Welch P., Muthukumar M. // Macromolecules. 1998. V. 31. № 17. P. 5892.
10. Welch P., Muthukumar M. // Macromolecules. 2000. V. 33. № 16. P. 6159.
11. Murat M„ Grest G. // Macromolecules. 1996. V. 29. №4. P. 1278.
12. Lyulin A.V., Davies G.R., Adolf D.B. // Macromolecules. 2000. V. 33. № 9. P. 3294.
13. Lyulin A.V., Davies G.R., Adolf D.B. Ц Macromolecules.
2000. V. 33. № 18. P. 6899.
14. Lyulin A.V., Adolf D.В., Davies G.R. // Macromolecules.
2001. V. 34. №11. P. 3783.
15. Lyulin A.V., Adolf D.В., Davies G.R. // Macromolecules. 2001. V. 34. №25. P. 8818.
16. Ermak D.L., McCammon JA. // J.Chem. Phys. 1978. V. 69. №4. P. 1352.
17. Ryckaert J.-P., Bellemans A. // Chem. Phys. Lett. 1975. V. 30. № l.P. 123.
18. Scherrenberg /?., Coussens В., van Vliet P., Edouard G., Brickman J., de Brabander E. // Macromolecules. 1998. V. 31. №2. P. 456.
19. Boris D„ Rubinstein M. // Macromolecules. 1996. V. 29. №22. P. 7251.
20. La Ferla R. J. // Chem. Phys. 1997. V. 106.№2. P. 688.
21. Wiener H. // J. Am. Chem. Soc. 1947. V. 69. P. 17.
22. Гросберг А.Ю., Хохлов A.P. Статистическая физика макромолекул. М.: Наука, 1989. С. 88.
23. Zimm В.Н., Stockmayer W.H. // J. Chem. Phys. 1949. V. 17. P. 1301.
24. Lescanec R.L., Muthukumar M. Ц Macromolecules. 1990. V. 23. P. 2280.
25. Mansfield M.L. // Polymer. 1994. V. 35. № 9. P. 1827.
26. Mansfield ML. // Macromolecules. 2000. V. 33. № 21. P. 8043.
Brownian Dynamics Simulation of Charged Dendrimers: Statistical Properties
S. V. Lyulin*, A. V. Lyulin**, and A. A. Darinskii*
*Institute of Macromolecular Compounds, Russian Academy of Sciences, Bol'shoipr. 31, St. Petersburg, 199004 Russia **Dutch Polymer Institute and Department of Applied Physics, Technische Universiteit Eindhoven, P.O. Box 513,5600 MB Eindhoven, The Netherlands
Abstract—Computer simulation by the method of Brownian dynamics is used to study the statistical properties of neutral and charged dendrimers up to the sixth generation (382 groups) in dilute solutions. Excluded-volume interactions are described by the Lennard-Jones repulsive potential corresponding to an athermal solvent. Electrostatic interactions are considered in the Debye-Hiickel approximation. The resultant radial functions of monomer density distribution have a maximum in the core and decline toward the periphery. The average radius of gyration changes with increasing Debye radius rD to a minor extent. The swelling of a neutral dendrimer is adequately described by the Flory mean-field theory. The fractal dimension found for neutral dendrimers is df= 2.77; for charged dendrimers, it amounts to df= 2.63 at rD = 0.8 and df= 2.42 at rD = 100. Terminal groups are distributed all over the dendrimer volume. The maximum in the distribution of terminal groups shifts toward the periphery as rD increases.
