Моделирование взаимодействия в вычислительной среде тренажёрной системы как системе массового обслуживания Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Larkin EvgeniyVasilevich, doctor of technical sciences, professor, manager of department, elarkinamail. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Privalov Aleksandr Nicolaevich, doctor of technical sciences, professor, privalov61 ai mail.ru, Russia, Tula, Tula State Pedagogical University named after L.N. Tolstoy

УДК 681.5 (519.95)

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СРЕДЕ ТРЕНАЖЁРНОЙ СИСТЕМЫ КАК СИСТЕМЕ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

А.Н. Привалов

Рассмотрен подход к моделированию информационного взаимодействия между субъектами вычислительной среды тренажёрной системы как системы массового обслуживания. Предложена модель автономного генератора, формирующего поток заявок на обслуживание, как элементарная подсеть Петри - Маркова. Показано преобразование её в полумарковский процесс, приведены выражения для расчёта количественных характеристик. Разработана методика ликвидации петель в графе полумарковского процесса.

Ключевые слова: тренажёрная система, элементарная подсеть Петри-Маркова, система массового обслуживания, автономный генератор заявок, полумарковский процесс, граф состояний.

Современные тренажёрные системы и комплексы являются сложными системами, функционирующими под управлением вычислительной среды. Вычислительная среда тренажерной системы включает значительное количество субъектов (центральная и периферийные ЭВМ, файл-серверы, контроллеры сенсоров и исполнительных механизмов и т.п.), взаимодействующих между собой. При этом, как правило, субъекты действуют автономно, по известному алгоритму, а взаимодействие осуществляется через формирование потоков запросов одного из субъектов на взаимодействие с другими субъектами. Поэтому каждый из взаимодействующих субъектов вычислительной среды может рассматриваться, с одной стороны, как программный генератор потока запросов на обслуживание, а с другой стороны, как программный обслуживающий прибор системы массового обслуживания. Это создаёт предпосылки для того, что к исследованию процессов, протекающих в вычислительной среде, может быть применен аппарат теории массового обслуживания (СМО).

Факторами, влияющими на эффективность функционирования СМО, являются плотность потока запросов на обслуживание, формируемых генератором, и задержки, вносимые обслуживающим прибором. Однако оценка и первого, и второго фактора на этапе проектирования программного обеспечения тренажерной системы представляет собой известные трудности. Трудности являются преодолимыми, если воспользоваться аппаратом сетей Петри - Маркова.

Как правило, субъект взаимодействия, представляющий собой обслуживающий прибор, который функционирует по определенному алгоритму, имеющему классическую структуру (оператор «Начало», последовательность операторов и оператор «Конец»). Начало алгоритма связывается с поступлением в обслуживающий прибор запроса на обслуживание. Конец алгоритма связывается с окончанием обслуживания запроса. Модель алгоритма представляет собой элементарную сеть Петри - Маркова, в которой позиции моделируют процесс интерпретации операторов алгоритмов, а переходы - переключение процессора с выполнения одного оператора на интерпретацию следующего. По модели может быть рассчитан случайный интервал времени, затрачиваемый на выполнение алгоритма. Этот интервал определяет время обслуживания заявки обслуживающим прибором. По этой же модели может быть оценено и увеличение времени обслуживания заявки в системах с прерываниями.

Субъект взаимодействия, являющийся генератором заявок в вычислительной среде также работает по заданному алгоритму. При этом алгоритм может быть как классическим, так и циклическим. Классические алгоритмы генерируют ограниченные серии заявок на обслуживание. В этом случае поток генерируемых заявок является нестационарным.

Циклические алгоритмы получаются путем соединения оператора «Начало» с оператором «Конец». Часть из операторов алгоритма, расположенных между оператором «Начало» и оператором «Конец», являются операторами обращения в СМО. Для подобных структур характерным являются стационарные потоки генерируемых заявок.

Рассмотрим структуру циклического алгоритма, который получается, если оператор «Начало» соединить с оператором «Конец». Алгоритмы указанного типа являются характерными для контроллеров сбора информации от датчиков положения имитаторов органов управления, программного имитатора фоноцелевой обстановки, имитаторов шума и т.п. В результате автономного функционирования генерируется поток запросов, передаваемых на обслуживание алгоритма.

Моделью подобного алгоритма является элементарная подсеть Петри - Маркова, приведенная на рис. 1.

ЭППМ описывается следующей системой математических выражений: Ч*= {77*, Л/}; 77* = {А\ I* КЛ/ = (Е*(*)}

кА = (о(Аг/)7(А'.-)); КА = ^АЬ)]{ка)\ (2)

где а0(ь)-псевдоиозиция со временем выполнения, определяемым несмещенной ¿-функцией Дирака, которая моделирует в циклическом алгоритме переключение из оператора «Конец» в оператор «Начало», происходящее не более, чем за один такт машинного времени.

Рис. 1. Модель циклического алгоритма

Характерной особенностью ЭППМ (1) является ее сильная связность, что следует из общих свойств произвольной ЭППМ [1].

Выберем из множества переходов 2к пару переходов гц^е 2к и

г^е гк, для которых существует путь через псевдопозицию

= Согласно свойствам ЭПП [1], из гКк2) в лю-

бую позицию а^ка)еАк имеется хотя бы один путь, т.е. (гць) —Ф0. В любой позиции а^) в переход также существует хотя бы один путь, т-е. ±0.

Выберем из множества Ак произвольную пару позиций: а^еАк и ащ^Ак. Согласно приведенным свойствам для данной пары позиций существуют следующие две тройки путей: ((аЛка)

-юКка))) и {{ат (?т что и доказывает силь-

ную связность ЭППМ рассматриваемого типа.

Вследствие сильной связности в ЭППМ рассматриваемого типа теряется смысл начального перехода и конечного переходов и, следовательно, в описании (1) отсутствует вектор начальных распределений

Другой особенностью ЭППМ является то, что во множество X входят только примитивные переходы, т.е. если г-(кг)еХк, то |/А(г-(г))| = 1, |0А(г-(г))| = 1. Это следует из автономности функционирования алгоритма (отсутствие синхронизации), а также отсутствия начального и конечного переходов. Следст-

гук

вием наличия во множестве X только примитивных переходов является отсутствие в описании Мк матрицы логических условий Лк.

Третьей особенностью ЭППМ является то, что для любой позиции

. к

а]-(ка)& А справедливы выражения:

3 (кг) ^

^ 1 ^-(ка)-(кг)' - (кг )=1(кг) о

(г = 1,0(ка) £ - (ка)£ 3 (ка);

(3)

1к (ка) - (кг )( №

0_

¥

1(ка) - (кг )(г №

£ ¥, 0 (кг) £ -(ка) £ 3(ка), 1(кг) £ - (кг) £ 3 (кг). (4)

Выражение (3) констатирует тот факт, что из любой позиции ЭППМ обязательно будет выполнен полушаг в сопряженный переход. Выражение (4) определяет, что полушаг в сопряженный переход будет сделан за конечное время. Оба выражения (3) и (4) вытекают из свойства отсутствия «зависания» циклических алгоритмов в одном из операторов.

Для преобразования ЭППМ в полумарковский процесс отобразим в ЭППМ (1) множество позиций во множество позиций. В результате получим полумарковский процесс, характеризующийся тройкой

$ = {а, як, кк (г)}, (5)

где а- множество состояний; Я - матрица смежности (матрица переключений); кк (г) - полумарковская матрица;

^ = А = {а0(ка> а1(ка> ..., aj(ka), ..., а3(ка)};

Як

як ■ як

[г-(ка)1 (ка) ]; 0(ка)£ - (каI 1 (ка) £ 3(ка)

(6)

кк (г ) = ь~1 [ь[кк (г )]■ ь[кк (г )1

к

0(ка)0(ка)

к

-(ка)0(ка)

к

у"3 (ка )0(ка)

(г) (г) (г)

к

0(ка )1 (ка)

к

-(ка)1(ка)

к

(г)

(г) >(')

к

0 (ка) 3 (ка)

к

- (ка)3 (ка)

к

(г) (г) )(г)

3(ка)1 (ка) \ / 3(ка)3(ка)\ /у

Полумарковский процесс (5) является существенным, так как переключения [2, 3] описываются сильносвязным графом. Полумарковский процесс, описывающий функционирование алгоритма, является возвратным, что следует из сильносвязности графа и выражений (3), (4). В том случае, если не все ненулевые элементы полумарковской матрицы (6) определяют вырожденный закон распределения с нулевым математическим ожиданием, полумарковский процесс является однородным.

0

Таким образом, полумарковский процесс $является однородным, все его состояния являются существенными, поэтому он является эргоди-ческим [2, 3].

Пусть в моделируемом циклическом алгоритме некоторые операторы формируют запросы на обслуживание в СМО. Это могут быть операторы опроса датчиков или операторы передачи данных другому субъекту взаимодействия. В ЭППМ (1), моделирующей циклический алгоритм, эти операторы образуют подмножество позиций, а полумарковском процессе

(5), сформированном из ЭППМ (1), подмножество состояний

0^а, 0 = {аць), ..., акщ, ..., а3(кр))}. (7)

Очевидно, что каждое переключение из одного выделенного состояния подмножества 0 в другое выделенное состояние того же подмножества формирует одну заявку на обслуживание. При этом все промежуточные переключения, имеющие место между двумя выделенными переключениями, заявок на обслуживание не образуют.

Без нарушения общности рассуждений можно считать, что выделенные состояния полумарковского процесса имеют индексы с наименьшими значениями, т.е. -(к0 = -(ка) при [1(ка) = 1(к0] £-(ка) £ [3(к0 <3(ка)]. Такая индексация всегда может быть обеспечена, поскольку и а/из

(6) и 0 из (7) представляют собой неупорядоченные множества, т.е. списки. Матрица кк (г) при изменении индексов может быть получена из исходной путем соответствующей перестановки строк и столбцов.

Для определения времени переключения полумарковского процесса из одного состояния в другое представим каждое выделенное состояние а-(к0) (рис. 2, а) в виде двух состояний: начального с индексом, определенным неравенствами 1(к0 £-(ка) = -(к0] £3(к0, и конечного с индексом, определенным неравенствами 3(ка) + 1(к0 £ -(ка) = -(к0 + 3(ка)] £3(ка) + 3(к0 (рис. 2, б). Для сформированных таким образом начального и поглощающего состояний, по определению

Щт) = 0; 0(а-(кр)+3(ка)) = 0, (8)

где /(...) и 0(...) - входная и выходная функции вершины графа состояний, соответственно.

Начальные состояния формируют подмножество 0' = {ацк0, ..., а-ь), ..., а3(к0)}. Поглощающие состояния формируют подмножество 0" = {а1(к0)+3(ка), ..., а-(кЬ)+3(ка), ..., а3(к0)+3(ка))}. В подобном случае процесс переключений представляет собой блуждания по графу состояний, причем каждая случайная последовательность переключений начинается в одном из начальных состояний подмножества 0' и оканчивается в одном из поглощающих состояний подмножества 0".

187

\

/

/

\ /

б

Рис. 2. Формирование начального (а) и конечного (б) состояний в эргодическом полумарковском процессе

В соответствии с приведенным разделением должна быть преобразована полумарковская матрица Ик{В процессе преобразования в матрицу вводятся слева Лкр) нулевых столбцов, а снизу нулевых строк. После преобразования она принимает вид

л* (О

о

о

О

о о

о

Ч(ка):(ка)

Ь(кр)Лка)

''К*» )[(•/+№)]

Ч(каУ(ка)

О

о

Ъ(ка№+\Кка]\

О О

О

(9)

Назовем сформированную таким образом матрицу расширенной и обозначим через А у)- Для расширенной матрицы может быть най-

дена характеристическая матрица по зависимости

= (10)

По характеристической матрице могут быть найдены: - взвешенная плотность распределения времени переключения в результате блужданий по эргодическому полумарковскому процессу из состояния а^р) в состояние а^щ

Ктт

и>=1

в

1т 1

(П)

-вероятность переключения из состояния а^р) в состояние а^щ

Р]Ш (ь)

= Ё] ь- I; т[* ь (*)]

5 )Г I

w=1o

I (р)

Я:

(12)

рк =(р (р)/ (р));

-плотность распределения времени переключения из состояния а^р в состояние а^р

fl (

з № (р)

Ё Ь-(г )= Г=1

1 з (р)

)]Г I,

1 т\

¥ ¥ Г Т

Ё! ь-ч з " (5 )]Г I,

г=1 0

I (р)

(13)

йг

В (11), (12), (13) I з ь - вектор-строка, все элементы которого, кроме з'(к/))-го, равны нулю, а элемент з(кр))-й равен единице; Iвр- вектор

столбец, все элементы которого, кроме /(кр)-го, равны нулю а /(кр)-й элемент равен единице; в- знак операции транспонирования;

1з (щ)=(0,...,0, 1, 0, ..., 0);

1(ка) з (кЩ) J (кЩ) + 3 (ка)

(Щ) = (0,...,0, 1, 0, ..., 0);

1(ка) / (кЩ) 3 (кЩ) + 3 (ка)

(14)

1(ка) <д(кр), /(кЩ <3(кр). Для плотности распределения времени переключения из состояния азкЩ) в состояние а^р могут быть получены числовые характеристики: - математическое ожидание

Гк=(тЛкщ)1 (кр));

Ё ь-1

¥ I

т" = г г=1

Т] ( АР)/ (*Р) ! ¥ ¥

0 ё ! ь-

Г=1 0

I

з (кр)

И Ь (5 )

Г 1в 1/(ар)

-гйг.

Ч (кр)

И Ь (5 )

Г 1в 1/(АР)

(15)

йг

дисперсия

Вк = (в1 (кв)г (р))

Ё ь-1

¥

г=1

0] (кв)/ (АР) Г ¥ ¥

0 Ё ! Ь-

Г=1 0

з Ш (в),

ку I

I з (кр)[И * (5 )

Г1 в 1 / (кр)

г2 йг - т2

Ч (кр)

И Ь (5 )

Г1 в 1 / (кр)

йг

з (кр)/ (кр)

; (16)

Если вместо полумарковской матрицы *к (г) задана стохастическая

[р I (ка)/(ка)],

матрица Р

тических ожиданий Тк =[Т (ка)/ (ка)] и дисперсий В =\в] (ка)/ (ка то элемен-

з( а)/( а) , а также матрицы числовых характеристик, матема-

> (ка)/ (ка,:

189

ты матриц вероятностей р

(р ] (Д)г (р)

Т''к _ Т'

] (ь)1 №)) и числовых характеристик ), _р"(т)1 (ж\) для плотности распределения (13) мо-

1](кщ)1 ($)}>» - г/тт

гут быть получены непосредственно путем обработки числовых матриц:

гу1

0

_ ^ J 0

Р /(кр)/(кр)_ 1 1 /(кр)Рк 11(кр);

I 1 /{фк ® }0(кР)

Т/(кР)1 (кр)

к

(17)

(18)

1Р к

I1 / (кр)[р 'к ®(рГ+тГ ® Тк

р' _ _

Р/(кр)1 (кр) _

I (кр)

- т2

I рк

/(кр)/ (кр)'

(19)

где Рк

тк

Т], Б] - матрицы, получаемые из матриц р

Тк _[Т/ {ка )г (ка)] и Б к _[Р

\-Р/(ка )1 {ка)],

/{Ы)1 {ка)] путем дописывания слева З(крР) нулевых

столбцов, а снизу —/(кр) нулевых строк.

Отметим, что если в исходной ЭППМ имеется 1(кД)) выделенных позиций, то для определения всех вероятностей (плотностей распределения, математических ожиданий, дисперсий) необходимо выполнить [1(кД))]2 вычислений. В результате формируется полумарковский процесс, структура переключений которого представляет собой полный граф с петлями, вид которого приведен на рис. 3.

Полумарковский процесс имеет вид

ук = р К ]к, Л *к (()}, (20)

где Д- множество состояний; Я'к - матрица смежности (матрица переключений); к 'к (;) - полумарковская матрица;

Р'к = {РккЬ ...Д^р ..., р(кр))}; Я'к _

»к

'1 1 1 1

11

1 1

1

(21)

К(кр)1(кр)(;) . .. К 'кр)г (кр)(; ) .. . К1 (кр) J (кр)(; )

кк (;)_ К(Ь)1(Ь)(;) . . К]{кр) г (кр)(;) . . К](кД) J (кД(; ) . (22)

ч К (кр)1(кр)(; ) . . (р)г (кр)(; ) . . К (кр) J (кр)(;

190

оо

оо

оо

Рис. 3. Полный граф с петлями, представляющий структуру упрощенной ЭППМ

Для определения параметра потока заявок в систему массового обслуживания рассмотрим эргодический полумарковский процесс, включающий два состояния и описываемый множеством (рис. 4, а)

Мх

И?1

и

оДМО о ,

(23)

Тх

Т2

О

б

Рис. 4. К вопросу о вероятности пребывания процессаМ\.а - в состоянии 1; б-в состоянии 2

Математическое ожидание времени пребывания полумарковского

оо

процесса в состояниях 1 и 2 соответственно: Т\2 = и

О

оо

Т21 = \h2\itydt. Среднее время возврата в состояние 1 (2) равно тх = 7\ + О

Г2(рис. 4, б). Для внешнего по отношению к данной системе наблюдателя вероятность того, что в произвольный момент времени процесс находится в состоянии 1,

п

щ =

где Ту- математическое ожидание времени пребывания процесса в состоянии 1, Ту- математическое ожидание времени возврата в состояние 1.

Рассмотрим более общий случай полумарковского процесса с двумя состояниями, в котором существует возможность переключения из состояния 1 в состояние 1 и из состояния 2 в состояние 2. Процесс описывается множеством

М2

{U}.

1 п

vl

huit) hl2(t)\

ММ ^22 (0>

а его структура представляется полным графом с петлями (рис. 5, а).

(25)

Рис. 5. Упрощение процессаМ2: а-упрощенное представление; б- полный граф с петлями

Ликвидация петли в состоянии 2 полумарковского процесса может быть сделана в соответствии с нижеследующей методикой.

Методика 1. Ликвидация петель в графе полумарковского процесса Ликвидация петель в вершинах графа, характеризующего полумарковский процесс, иллюстрируется рис. 6, где показана вершина т с петлей рис. 6, а и та же вершина после упрощения (рис. 6, б).

Рт\-> Тг

р'т2, Гт2

1 ) Р

РтЫ Ттдг Р тХ-> ТтИ

а б

Рис. 6. Ликвидация петель в процессе М: а - вершина тс петлей;

б- вершина тпослеупрощения

Рассмотрим полумарковский процесс со структурой

М= \ {т,п\|

1 ч

о о г

Km(t) КМ о о .

(26)

Для плотностей распределения Итт(1) и Итп(1) известны математические ожидания Ттт, Ттп и вероятности ртт, ртп. Переключение из состояния т в состояние п может быть осуществлено следующим образом:

- непосредственно со временем Ттп и вероятностью ртп;

- с однократным переключением в состояние т и последующим переключением в состояние псо временем Ттт + Ттп и вероятностью рттртп;

- с У-кратным переключением в состояние т и последующим переключением в состояние псо временемУТтт + Ттп и вероятностью (ртт) ртп;

Для внешнего наблюдателя в течение всего времени внутренних (из т в т) переключений полумарковский процесс будет находиться в состоянии т. Поэтому взвешенная плотность распределения времени пребывания в состоянии т без учета внутренних переключений будет определяться в виде

^т п (1^

Фтп (1 )]■ I ЛФтт (*)]} У=1

(27)

Из (24) могут быть получены:

- вероятность переключения в состояние п после пребывания в состоянии т, как бесконечная сумма членов геометрической прогрессии

/ _ ¥ У _ ртп . /^ойл

ртп _ 1 ртп' ртт _ ; (28)

у=0 1 — ртт

- математическое ожидание суммарного времени пребывания в состоянии т с последующим переключением в состояние п путем приведения к бесконечной сумме членов геометрической прогрессии

¥

1 (Ттп + У Ттт )рттртп

т' _ у_0__ т + Тттртт . (29)

1тп / 1тп "г '

ртп 1 - ртт

- дисперсия суммарного времени пребывания в состоянии т с последующим переключением в состояние п путем приведения к бесконечной сумме членов геометрической прогрессии

тп + У—тт ) + (Ттп + уТтт ) ]рттртп Тт

г2

тп

— _ тп

рт п

1

оо

^тп +

^штРшш , ТттРтт

1 Ртт - Ртт ) Таким образом, процесс (26) упрощается до процесса (рис. 6, б)

'0 1V0 Н'тп (г)

(30)

М = \{т, п},

00

0

0

(31)

в котором ликвидирована петля.

Плотности распределения, вероятности и числовые характеристики упрощенного процесса (31) определяются по зависимостям соответственно (27), (28), (29) и (30).

Для ликвидации петли в состоянии 1 процесса (25) предположим, что петля в состоянии 2 ликвидирована, плотность распределения и математическое ожидание времени пребывания в состоянии 2 И 21(г) иТ21 определены по зависимостям (27) и (29) соответственно. Введем два псевдосостояния: 1 и 1" с плотностями распределения времени пребывания в них, определенными несмещенной ¿-функцией Дирака (рис. 5,б). Будем считать, что переключение из состояния 1 в состояния 2 или 1 происходит по следующему алгоритму: сначала в соответствии с вероятностями р11 и р12, получаемыми из взвешенных плотностей распределения И11(г) и И12(г), выбирается апостериорное состояние, в котором процесс должен оказаться после переключения, и это состояние запоминается. После временной задержки, определяемой плотностью распределения времени, соответствующей выбранному и хранимому в памяти апостериорному состоянию, происходит переключение из состояния 1 в состояние 1. Если выбранное апостериорное состояние было 2, то из 1 происходит переключение в 2 с нулевой задержкой по времени. После этого с соответствующей задержкой И 21(г) процесс переключается в состояние 1". Если выбранное апостериорное состояние было 1, то процесс из 1 переключается непосредственно в 1" с нулевой задержкой по времени. Из состояния 1" с нулевой временной задержкой процесс переключается в состояние 1. В итоге введение псевдосостояний 1 и 1 " не влияет на временные и вероятностные характеристики возврата в состояние 1, поэтому плотность распределения времени пребывания в состоянии 1 до любого переключения равна И11(г) + И12(г), а среднее время пребывания в состоянии 1

Т1 = Т11Р11 + Т12 Р12 .

Если рассматривать процесс

Г 0 1 1 ^ (

{1X2}, 0 0 0 ,

V 0 1 0, V

0 0 0

5(г) 5(г)

0 0

И21(г) 0

(32)

л

как одно состояние со средним временем пребыванияТ21 = Т2, то случай графа с петлями сведен к графу без петель и для внешнего по отношению к процессу наблюдателя вероятность пребывания в состоянии 1 определяется зависимостью (24).

Добавим к эргодическому полумарковскому процессу (25) состояние Этаким образом, что он будет описываться множеством

ГО 1 1 ^

М3 = < {1,2,3}, 1 О 1 ,

(1 1 0, (

¿11 (г) ¿21 (' )

¿лл (г)

¿12 Ь ) ¿22 ) ¿32 Ь )

¿13 Ь У ¿23 (? ) ¿33 Ь)

(ЭЭ)

Полумарковский процесс с добавленным состоянием остается эрго-дическим (рис. 7).

Введем два псевдосостояния: 1 и 1" с плотностями распределения времени пребывания в них, определенными несмещенной ¿-функцией Дирака (рис. 7, б). Будем считать, что переключение из состояния 1 в состояния 1, 2 или 3 происходит по следующему алгоритму: сначала в соответствии с вероятностями р11, р12 и р13, получаемыми из взвешенных плотностей распределения ¿п(г), ¿12(г) и ¿13(г), выбирается апостериорное состояние, в котором процесс окажется после переключения, и это состояние запоминается. Далее, после временной задержки, определяемой плотностью распределения времени, соответствующей выбранному и хранимому в памяти апостериорному состоянию, происходит переключение из состояния 1 в состояние 1, после чего с нулевой задержкой по времени происходит переключение в выбранное апостериорное состояние. Если апостериорное состояние было 1, то происходит непосредственное переключение из 1 в 1" с нулевой временной задержкой. В итоге при переключении из состояния 1 в сопряженные состояния 1 ", 2 и 3 процесс оказывается в соответствующем апостериорном состоянии через соответствующий временной интервал, а введение псевдосостояния 1 не влияет на временные и вероятностные характеристики переключения.

Также не влияет на временные и вероятностные характеристики введение псевдосостояния 1 ": процесс переключается из состояний 2 или в псевдосостояние 1", после чего с нулевой задержкой по времени происходит переключение в 1. Таким образом, часть полумарковского процесса, включающая состояния 1, 1", 2 и 3 со всеми связями между ними, может быть представлена одним состоянием, 2 (на рис. 5, б показано в виде штрихового круга), а сам полумарковский процесс может быть представлен в виде

М

{1,2}, (0

1

о ¿12 (г ) ¿21 (г) о

(34)

Рис. 7. Упрощение полумарковского процесса М3: а -полумарковский процесс; б- при несмещенной 8-функции Дирака

Среднее время пребывания процесса в состоянии 1 определяется зависимостью Тх = риТи + РиТп + РпТи. Для внешнего по отношению к данной системе наблюдателя вероятность того, что в произвольный момент времени процесс находится в состоянии 1, определяется зависимостью (24), в которой Ту- математическое ожидание времени пребывания процесса в состоянии 1 ;Г- математическое ожидание времени возврата в состояние 1.

Пусть полумарковский процесс имеет N состояний, является эрго-дическим и представляется в виде

/¿пМ ... НигЬУ

{I N1

(\ ... г (

... 1, э V

Ьт(*) -

/J

(35)

Предположим, что среднее время пребывания процесса в состоянии 1 определяется зависимостью

N

Т1= ХаА^ (36)

п=1

а вероятность пребывания в состоянии 1 для внешнего наблюдателя - зависимостью (24).

Добавим в процесс (7У+ 1)-ое состояние таким образом, чтобы его эргодичность не нарушалась. Введем псевдосостояния Г и Г' с плотностями распределения времени пребывания в них $7) и предположим, что процесс функционирует в соответствии с описанным выше алгоритмом. При переключении из состояния 1 в сопряженные состояния происходит промежуточное переключение в Г, а при переключении из 2,3,...,7У+1в1

196

происходит промежуточное переключение в 1". В этом случае (36) преоб-

N+1

разуется в выражение Т = X РъТп, а вероятность пребывания в состоя-

п=1

нии 1 для внешнего наблюдателя определяется зависимостью (24).

Состояние 1 было выбрано произвольно. Таким образом, методом математической индукции доказано утверждение, что для внешнего, по отношению к эргодическому полумарковскому процессу, наблюдателя вероятность пребывания процесса в момент начала наблюдения в одном из состояний равна математическому ожиданию плотности распределения времени пребывания в этом состоянии, деленному на математическое ожидание полного времени возврата в данное состояние.

Среднее время пребывания полумарковского процесса (20) в состоянии рКщ

3 (Ар)

Т]т= х Рда(ар)т;(Ар)/(Ар) . (37)

/ (Ар)=1(Ар)

Определим время возврата Щр полумарковского процесса (20) в состояние Ррар). Для этого подвергнем матрицу ¡г"А (г) (см.(20)) следующим преобразованиям:

- строка с номером У(Ар) переносится в строку с номером

[(3+1)(АР)];

- строка]{Арр матрицы Н"А (г) заполняется нулями;

- в сформированную таким образом матрицу размером [(3+1)(Ар)]х3(Ар|) добавляется нулевой [(3+1)(Ар)]-й столбец.

В итоге матрица имеет вид

ь"А (г)

%р)1(Ар)(г) ... ИГ(Ар)з(Ар)(г) 0

-1)(Ар)]1(Ар)(г) ... ИГ(7-1)(Ар)]з(Ар)(г) 0

0 ... 0 0

ИГ(7+1)(Ар)]1(Ар)(г) ИГ(7+1)(Ар)]з(Ар)(г) 0

И3 (Ар)1(Ар)(г) И7(Ар)1(Ар)(г)

И3 (Ар)3 (Ар)(г) И1Ш (Ар)(г)

0 0

(38)

Состояние Р(Ар) полумарковского процесса Н (г) становится конечным (поглощающим). Из него не может быть произведено ни одно переключение в другие состояния. Вновь введенное состояние рр3+1](Ар) про-

197

А

цесса И (г) является начальным. Среднее время Т3 (Ар) возврата в состояние рррр определяют как время переключения из рру+щр в рр по всем

возможным траекториям.

^ т 0

1 3 (АР)

гйг.

(39)

¥ ¥ /

Т3(Ар) = IX ¿-1 Ч/+1)(АР)(4ь"А (г

0 ^=1 -

где Т(з+1)(Ар) = (0,..., 0,1)- вектор-строка с [3+1 ](Арр элементами;

т 3 (АР) = (0,...,0,1, 0,...,0). 1(Ар) з(Ар)(3 + 1)(Ар) Если в процессе формирования матрицы (г) были получены

матриды РА =[р'з(Ар)/(Ар)) и ТА=[Т](Аа)/(Аа)], то среднее время возврата в состояние рр рассчитывается по зависимости

т 1 (Ар) = X Т(3+1)(Ар)РА" ® ТГ" I10(АР) .

^=1

(40)

Для внешнего наблюдателя вероятность пребывания в момент начала наблюдения в состоянии ррр, в соответствии с (24)

р 3 (АР)

Т3 (АР) Т 3 (Ар)

(41)

С учетом того, что каждое переключение полумарковского процесса (20), (21), (22) формирует обращение в систему массового обслуживания, плотность распределения между двумя обращениями определяется как среднее время пребывания в произвольном состоянии:

3 (Ар) 3 (Ар)

Га(г)= ( X ( 0)р3(АР) ( „X( 0)^з(Ар)/(АР). (42)

3(Ар)=1(Ар) /(Ар)=1(Ар)

Для (42) могут быть найдены: - математическое ожидание

¥ 3 (Ар) 3 (Ар) ^

ТА = Iг , X, *3(АРК X Зр)/(АР)аг; 0 3(Ар)=1(Ар) /(Ар)=1(Ар)

(43)

3 (АР)

ТА = X

3(Ар)=1(Ар)

' 3 (АР)

X Р (АР)/ (АР)Т3(АР)/ (АР) / (Ар)=1(Ар)

X Т(3+1)(Ар) ^=1

РА? ® т;+ ™

]Т0

3(АР)

ОО

Информатика, вычислительная техника и обработка информации дисперсия

¥ 2 J(kp) J(kp) 2

Dk = Jt S p j (kp) S hj (kb)l (kp)dt - Tk; (45) 0 j (kp)=l(kp) l(kp)=l(kp)

J(kp) r r

D = jzzp) /(kp)ZZi(kp)p(kp)l(kp)Tj(kp)l(kp) x

k j(kp)=l(kp) Z I(J+i)(kp)[p7 ® Tf w ) (46)

w=1

/(кр) / 2^2 X I /}(кр)/(кр)М№№) + Т](кр)1(1р))- Тк

I (кр)=1(кр)

Таким образом, по модели программы, представляющей собой ЭППМ, могут быть рассчитаны параметры потока заявок, формируемых данной программой в СМО, например, в центральную ЭВМ тренажёрной системы.

Список литературы

1. Ларкин Е.В., Привалов А.Н. Проектирование программного обеспечения вычислительной среды тренажерных систем. Тула: ТулГУ, 2010. 259 с.

2. Сильвестров Д.С. Полумарковские процессы с дискретным множеством состояний (основы расчета функциональных и надежностных характеристик стохастических систем). М.: Сов.радио, 1980. 272 с.

3. Kendall D.G. Stochastic processes occurring in the theory of queues and their analysis by the method of imbedded Markov chains //Ann. Math. Statist. 1953. № 24.P. 338 - 354.

Привалов Александр Николаевич, д-р техн. наук, проф., privalov. 6la,mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого

MODELING OF THE INTERACTION COMPUTING ENVIRONMENT SYSTEM AS A FITNESS QUEUING SYSTEM

E. V.Larkin, A.N.Privalov

An approach to modeling information interaction between subjects computing environment simulation system as a queuing systemis presented. A model of a stand-alone, forming a stream of applications for service as an elementary Petri-Markov subnetwork. Displaying transform it into a semi-Markov process, given expression to calculate the quantitative characteristics. A method for the elimination of loops in the graph semi-Markov process is designed.

Key words:simulation system,elementary subnet, Petri-Markov queuing system, standalone generator applications, semi-Markov process, the state graph.

Privalov Aleksandr Nicolaevich, doctor of technical sciences, professor, privalov.61 a mail.ru, Russia, Tula, Tula State Pedagogical University

УДК 51-74

УПРАВЛЕНИЕ ГРУППАМИ РОБОТИЗИРОВАННЫХ ПЛАТФОРМ

Т. А. Акименко, А. А. Аршакян, Н.А. Рудианов

Исследуются проблемные вопросы управления группами роботизированных платформ. Построена полумарковская модель циклограммы управления платформой. Получены зависимости для оценки временных характеристик переключения полумарковского процесса в заданные состояния. Результат распространен на группу робо-тизрованных платформ.

Ключевые слова: роботизированные платформы, групповое управление, модель управления, полумарковский процесс, состояния, время блуждания.

Роботизированные платформы с размещенными на них средствами наблюдения и поражения относятся к современным средствам вооружений [1]. Любая роботизированная платформа представляет собой сложный комплекс [2], в который входят технические средства, обеспечивающие:

-перемещение платформы в пространстве (энергетическая установка, трансмиссия, движители);

-наблюдение за полем боя (средства видеонаблюдения в видимом и/или инфракрасном диапазоне, радиолокационная станция, пеленгацион-ная установка и т.п.);

-решение целевых задач (приборы и средства наведения, средства управления стрельбой, вооружение и т.п.);

-управление бортовым оборудованием (бортовая ЭВМ или сеть

ЭВМ);

-связь с пунктом управления и возможно с другими платформами (средства связи).

Каждая из перечисленных функций сводится к выполнению последовательности действий, которые разворачиваются во времени. Каждое действие может быть охарактеризовано случайным временным интервалом, измеряемым от начала действия до его окончания, а также случайным переходом к выполнению другого действия последовательности, если имеется альтернатива продолжения [3, 4]. Один из подходов к моделированию поведения подобного объекта заключается в построении полумарковского