CC BY
42
УДК 539.12
Моделирование взаимодействия топологических
солитонов
Ю. П. Рыбаков, М. Б. Фомин
Кафедра теоретической физики Российский университет дружбы народов Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6
В статье анализируется геометрическая структура солитонов в 5Г/{2) и 5и(2)/?/(1) ки-ральных моделях. Разработанный метод применяется для моделирования системы двух взаимодействующих солитонов с единичными топологическими зарядами.
Ключевые слова: модель Скирма, киральная модель, солитон, топологический заряд.
1. Введение
В 1961 году Т. Скирмом была предложена модель для единого описания мезонов и барионов, в которой физическое поле принимало значения на многообразии группы 5(7(2) [1]. Подход Скирма основывался на оригинальных физических гипотезах, согласно которым барионы являются топологически нетривиальными возбуждениями пионного поля. При этом возникающий в теории топологический заряд играет роль барионного.
Интерес к модели Скирма вновь возрос в 80-е годы в связи с работами Виттена [2,3], в которых он показал, что такого рода теория может быть получена как низкоэнергетический предел квантовой хромодинамики в рамках 1/ЛГс-разложения в приближении большого числа цветов.
2. Группы симметрии и полевое многообразие
Одновременно внимание было привлечено к другим топологическим полевым моделям, обладающим схожими свойствами. Эти свойства можно сформулировать следующим образом. Ключевую роль при построении модели играет требование инвариантности относительно киральной группы Gchx которая спонтанно нарушается до подгруппы Я. Впоследствии такие модели получили название «киральные». Физическое поле Ф(г) принимает значения в однородном пространстве М = Geh/H. Оно задает отображение Ф : Ä3 -> М, которое при наложении естественных граничных условий на пространственной бесконечности можно рассматривать как Ф : S3 -+ М. Если третья гомотопическая группа тгз(А/) нетривиальна, конфигурационное пространство {Ф(г) : Sa -* М} разбивается на гомотопические классы, каждому из которых можно сопоставить целочисленный гомотопический инвариант
— топологический заряд Q. Наиболее интересны случаи, когда п3(М) = Z. Этому критерию удовлетворяет выбор Geh — SU(2), Н - U( 1), М = SU(2)/U(\) — S2 и Gch = SU(n)L x SU(n)R, H « diag(SC/(n)x, x SU{n)я), M = SU{n). В последнем случае при n = 2 имеем топологию модели Скирма. Группа SU(2) гомеоморфна трехмерной сфере, и топологический заряд интерпретируется как степень отображения S3 S3. В случае выбора М =» S2 прообразами точек на двумерной сфере при отображении R3 ~~> S3, задаваемом полевой конфигурацией, являются замкнутые контуры. Геометрический смысл топологического заряда в этом случае
— коэффициент зацепления контуров (инвариант Хопфа).
3. Структура лагранжианов киральных моделей
При конструировании лагранжианов киральных моделей используют принципы, основанные на учете спонтанного нарушения киральной симметрии [4,5]. Если построить для поля g(f, i) : R3+1 -+ Gch лагранжиан Щ^д^д), удовлетворяющий двум требованиям:
— инвариантность относительно локальной группы Я
h(r,t) : g^t) g(r,t)h(r,t),
— инвариантность относительно глобальной группы Gch
9о ■ g(r,t) -+5ofl(f,i),
то в силу первого условия полевая функция для такого лагранжиана принимает значения в пространстве левых классов смежности Gch/H, то есть является киральным полем. Если ограничиться членами второго и четвертого порядков по производным, то лагранжиан киральной модели приобретает вид
где
2Я = Тс В „В", = il = 9+d„g = AI1-f Вц, F^A) = д^А» - диА^ + [Afl, А„].
Здесь Ац и В^ — соответственно проекция тока на Alg(H) и ее ортогональное дополнение.
Именно такой вид имеет лагранжиан модели Скирма:
LSk = Тт (L^) + ^ IV [Ьц, L„]2 ,
где L^ — a+dtla, а € SU(2). Функционал энергии оценивается снизу через линейную функцию от топологического заряда
Hsk[a(r,t)\ > 6\/27r2^ \Q [a(f, i)]|,
что обеспечивает устойчивость полевых конфигураций, реализующих нижнюю грань функционала энергии в каждом гомотопическом классе.
Лагранжиан киральной модели для многообразия двумерной сферы был предложен Л.Д. Фаддеевым [6]:
Lf = Х2дцПад^па - jUuf"', где n е S2 — единичный трехмерный вектор,
Uu = 2eabcnadtibbdunc.
Соответствующий функционал энергии также допускает оценку снизу через функцию от топологического заряда [7,8]:
¿Mn(r,t)] > (4тг)233/8л/2 |0[гг(г,£))|3/4 •
4. Методы отыскания солитонных решений
Эффективный способ отыскания статических солитонных решений в топологических полевых моделях дает теорема Коулмэна-Пале [9,10J, согласно которой поиск решений следует осуществлять, используя подстановки, инвариантные относительно некоторой группы симметрии модели. Полной группой симметрии модели Скирма является произведение группы Лоренца и внутренней группы преобразований
Г = Лх 50(4)/, где 50(4)/ = SU{2)l х SU{2)h/Z2.
При поиске нетривиальных решений с учетом граничного условия lim а(гЛ) — I на пространственной бесконечности приходится сужать Г до
diag(50(3)s х 50(3)/),
где 50(3)s — группа пространственных поворотов, а 50(3); — группа внутренних преобразований, которая задается наложением условия gL = gR, где gL е SU{2)Ij% 9а £ SU(2)п. Соответствующим инвариантным полем является знаменитый «ежовый» анзац Скирма
a(f) = exp|w(|fl)|^Öf
где матрица О € 50(3) задает ориентацию солитона, т<, i = 1,2,3 — матрицы Паули, а функция д(г) удовлетворяет граничным условиям 0(0) = ш, в{оо) = 0. Топологический заряд такой конфигурации Q = п.
Энергия «ежовых» решений при малых n (n ^ 5) имеет характер спектра ротатора [11]:
_ п(п + 1)
-kn --2-
где Es = Е\ « 8,2x47r(e/A) — энергия решения с зарядом Q — 1, которое получило название «скирмеон». Скирмеон реализует минимум энергии в своем гомотопическом классе [12], и поэтому является абсолютно устойчивым. Квазиклассическое квантование модели Скирма в рамках метода коллективных координат на базе этого решения приводит к удовлетворительному описанию статических свойств нуклона [13]. Что же касается «ежей» во втором и более высоких гомотопических классах, то они неустойчивы по отношению к вариациям, моделирующим развал на несколько скирмеонов. Такой результат обосновывает необходимость дополнительных исследований, особенно во втором гомотопическом классе, в рамках которого могут быть описаны дейтрон и система двух взаимодействующих нуклонов.
Рассмотрим структуру поля «ежового» решения при п ^ 2. Пространство R3 в этом случае разбивается на п сферических слоев, разделенных сферами, целиком отображающимися в северный или южный полюс 53, где sin0 = 0. Сферы с фиксированным радиусом г, лежащие внутри слоя, отображаются в соответствующие двумерные сферы с фиксированным в в полевом многообразии со степенью 1. Такая многослойная структура появляется как результат выбора группы инвариантности.
Можно предложить другой тип «одночастичных» полевых конфигураций в гомотопическом классе с <2 > 2. Пусть, как и в случае скирмеона, в точке, рассматриваемой как центр частицы, в — 7г. Остальное пространство представляет собой систему поверхностей, гомеоморфных 52, каждая из которых отображается в некоторую сферу в = const в полевом многообразии со степенью отображения Q.
При поиске инвариантных полей для таких конфигураций требуется сузить группу Г до 50(2), которая задается гомоморфизмом S0(2)s S0(2)/ групп пространственных и изотопических поворотов. Такие гомоморфизмы классифицируются с помощью целого числа тп и задаются соотношением
Фх - тф,,
где V>¿ и ipa — углы поворотов в соответствующих пространствах. Поле, инвариантное относительно таким образом заданной группы 50(2), имеет вид
9 = 0(р, z), p = 0{p,z), 7 = ггир + ф,г).
Здесь использованы цилиндрические координаты (р, г, <р) в R3 и параметризация
а - cos 9 ■ I -f sin 9(ti cos ¡3 cos 7 4- r2 cos /3 sin 7 + т3 sin /3)
элементов SU{2). Выбранному типу полевой конфигурации соответствуют граничные условия 6(0,0) = я- и lim0(p, z) = 0 на пространственной бесконечности. При этом топологический заряд Q = т.
В случае выбора т = 2 такая полевая конфигурация реализует минимум функционала энергии во втором гомотопическом классе [14]. Как следствие, масса соответствующего солитона меньше двух масс скирмеона [15]:
Е2 = 1.92 Es.
5. Описание системы двух солитонов в модели
Скирма
В пользу того, что основное дибарионное состояние в модели Скирма описывается аксиально-симметричным солитоном с т = 2, говорит тот факт, что, как мы покажем ниже, этот солитон является естественным результатом слияния двух взаимодействующих скирмеонов. Задача о взаимодействии скирмеонов актуальна, поскольку может дать ответ на вопрос, воспроизводится ли в рамках модели Скирма потенциал нуклон-нуклонного взаимодействия. Поскольку такая задача в динамической постановке чрезвычайно сложна, заменим ее следующей статической задачей. Зафиксируем в пространстве К3 точки г\ и гг, разнесенные на расстояние Ь вдоль оси 2 и соответствующие топологическим центрам скирмеонов. Будем считать искомой двухсолитонной конфигурацией ту, которая доставляет минимум функционалу энергии при ограничении
а(п) - а(г2) = -I.
Задача с таким условием физически эквивалентна введению внешних источников, помещенных в точки т\ и гг.
Для значений Ь, значительно превышающих характерный размер скирмеона, решение поставленной задачи хорошо приближается так называемым продакт-анзацем [1]:
a(r) = as if-bez) as (órj
где аз{г) — поле скирмеона, матрица б е 50(3) определяет взаимный разворот скирмеонов. Это позволяет, проинтегрировав тензор энергии-импульса по плоскости, разделяющей скирмеоны, вычислить силу притяжения между ними [16, 17]. Компонента силы, действующая вдоль линии, соединяющей скирмеоны, имеет вид
Рг = 1 + |£|2 ^ + к*~2к^ '
где к — вектор-параметр матрицы О, ае = (247га2)/(А2Ь2), коэффициент а определяет убывание поля скирмеона на пространственной бесконечности (9(т) = аг-2).
Притяжение между солитонами будет максимальным, когда они развернуты друг относительно друга на угол тг вокруг оси, перпендикулярной оси Такой результат имеет и топологическое обоснование: в этом случае сферы, охватывающие скирмеоны, «соприкасаются» точками, отображающимися в один и тот же элемент полевого многообразия.
В случае 6 = 0 решением статической задачи о взаимодействии скирмеонов является аксиально-симметричный солитон с т ~ 2, поскольку он удовлетворяет наложенным условиям и реализует безусловный минимум энергии во втором гомотопическом классе.
Можно проследить гомотопию системы при уменьшении параметра Ь, переводящую полевую конфигурацию, описываемую продакт-анзацем с разворотом на угол 7г, в аксиально-симметричный солитон [14]. Будем анализировать структуру прообразов точек с в = const в полевом многообразии.
Рис. 1. Структура двухскирмеонной конфигурации
Среди таких прообразов (рис. 1) есть особая поверхность, соответствующая некоторому значению во, представляющая собой связную сумму двух сфер. Эта поверхность разбивает пространство R3 на три области. Две внутренние области содержат точки п и гг и имеют топологию, схожую с топологией скирмеона. Внешняя же область, где 0 < в0, есть совокупность вложенных друг в друга 52-поверхностей, каждая из которых отображается в сферу В = const в 5*7(2) со степенью 2, то есть имеет структуру солитона с т = 2. При сближении скирмеонов во увеличивается, объем двух внутренних областей уменьшается, и в пределе fi = Г2 аксиально-симметричный солитон восстанавливается полностью.
Перечисленные результаты легли в основу построения оптимальных конфигураций, описывающих легкие ядра и барионы с барионным числом Q < 10 [18,19].
6. Топологические солитоны в модели Фаддеева
При отыскании солитонов в SU(2)/U{1) киральной модели воспользуемся методикой, описанной в разделе 4: для каждого значения топологического заряда выделим класс «одночастичных» полевых конфигураций и в рамках этих классов рассмотрим конфигурации, обладающие максимальной симметрией.
Будем параметризовать полевое многообразие S2 единичным трехмерным вектором п, и при анализе отображений п(г) : R3 —> 52 будем изучать структуру прообразов 5х-линий n3 = const. Для «одночастичных» конфигураций при наложении условия Q ^ 0 в простейшем случае такими прообразами являются торы 51 х 51 = Г2. Пусть С0 — замкнутый контур на полевом многообразии S2, соответствующий некоторому значению п3 = а>о (рис. 2). Его прообраз Т0 - W^Co) разбивает R3 на две области — внешнюю и внутреннюю, отображающиеся в разные части 52, разграниченные линией С0. Внешняя область тора отображается в ту часть 52, в которой лежит северный полюс па ~ <5а3.
При увеличении п3 от и0 к единице контур Со стягивается к северному полюсу 52. Соответствующий ему тор расширяется во внешнюю область и в пределе вырождается в некоторую линию Ьм, проходящую сквозь тор То. При уменьшении п3 от и>о к —1 соответствующий тор стягивается к некоторой линии ¿>$ во внутренней области. В свою очередь, есть прообраз южного полюса па = -6а3.
Прообразом точки п е Сц является замкнутый контур Ъ = п-1(п), лежащий на То (или, возможно, несколько контуров). Их положение на торе классифицируется группой торических узлов, элементы которой задаются парой взаимнопростых чисел (тп,к). Соответственно контур (контуры) Ь обходят тор То т раз «поперек» и к раз «вдоль». Выделенный класс «одночастичных» конфигураций К3 —> 52 характеризуется тремя целыми числами (т,к,1), где I — количество компонент связности контура 6, и принадлежит гомотопическому классу с индексом Хопфа С} — 12тк.
Максимальной группой инвариантности описанных полевых конфигураций является 50(2), которая задается гомоморфизмом 50(2)§ —► 50(2); коррелированных изотопических и пространственных поворотов. Углы соответствующих поворотов связаны соотношением
ф\ — т1фа.
Поле, инвариантное относительно таким образом заданной группы 50(2), имеет вид:
/3 = г), 7 = 1{гтр - £(сг, т)),
где (/?,7) — угловые координаты на 52, (<т,т, </>) — тороидальные координаты в К3. Граничные условия для функций имеют вид
и(ст, 0) = 7г, ш(а, оо) — О,
£(сг + 2тг, т) = т) + 2пк.
Вариационные оценки энергии солитонов методом пробных функций показывают, что основное состояние в гомотопическом классе с топологическим зарядом ф реализуется при т = <2, / = к = 1. При этом в первом и втором гомотопических классах
< Ех < 160 • 4тг2еА, Е2 < 233 • 4тг2£А,
то есть повторяется свойство модели Скирма: аксиально-симметричный солитон с - 2 энергетически устойчив по отношению к распаду на два солитона с единичным зарядом.
7. Взаимодействие солитонов в модели Фаддеева
Как мы установили, свойства уединенных солитонов модели Скирма похожи на аналогичные свойства солитонов модели Фаддеева. Это дает основание ожидать аналогичное повторение при изучении свойств двухсолитонной системы. Однако при постановке статической задачи о взаимодействии двух солитонов в 5У(2)/Г/(1) модели возникает сложность, связанная с формализацией условия фиксации центров солитонов. Их естественно выбирать в области максимальной плотности энергии, но в нашем случае эта область не локализована. Ею является 51-линия, лежащая внутри тора. Можно воспользоваться тем обстоятельством, что лагранжиан киральной модели представим в 1/(1) локально-инвариантной форме для поля а(г,£) 6 5С/(2), и наложить то же условие фиксации центров г\ и г2, что и в модели Скирма. Получив решение аш(г) для задачи о взаимодействии в такой постановке, можно перейти к полю па с помощью отображения Хопфа
пЫЪ = \тг(тааш(г)т3аш(г)+),
где та, а = 1,2,3 — матрицы Паули.
Решением такой задачи в случае = т2 является аксиально-симметричный солитон с тп = 2. В случае же разнесения центров г\ и г2 на очень большое расстояние Ь решение хорошо приближается суммой полей двух солитонов с тп = 1, некоторым образом ориентированных друг относительно друга.
Для выяснения того, какая именно ориентация соответствует минимуму энергии, проанализируем выражение для силы взаимодействия солитонов. Последнюю можно вычислить, проинтегрировав по плоскости, разделяющей солитоны, тензор энергии-импульса, выраженный через поле а(г,£) б 5[/(2) [17]:
Fz = --——-рт— {Яс^Ы^з + с2с3сМз - cxc2did2 - cxc3d2 - c2c3cii -
(l + |c|2)(l + |d|2)
- dvd3Cl + c2d2 -fedi- c3d3 - 2 [(I + 4) (1 - d23) + (c? - 4) (dl - c£)]} ,
где ae = 96(тга2А2)/Ь4, cud - вектор-параметры поворотов первого и второго солитонов, коэффициент а определяется асимптотическим .поведением поля солитона на пространственной бесконечности.
Максимальное притяжение достигается, когда оси солитонов сонаправлены и перпендикулярны оси Z, при этом их взаимный разворот составляет ж.
Как и в случае модели Скирма, проанализируем структуру полевой конфигурации, описывающей два взаимодействующих солитона. Будем рассматривать поверхности /3(f) = const. В К3 имеются две области, соответствующие соли-тонным «сгусткам», в которых поле nfnt{f) обладает структурой поля солитона с единичным зарядом. Эти области ограничены двумя тороидальными поверхностями /3(f) = w0, которые соприкасаются в одной точке (рис. 3(a)). Тот факт, что солитоны развернуты на угол г, обеспечивает равенство значений n-поля в точках, которыми соприкасаются торы. При уменьшении ш от соо до нуля анализируемая поверхность расширяется во внешнюю область и приобретает топологию тора с одной ручкой (рис. 3(b)).
Линии 7 = const, лежащие на ней, бывают двух типов. Одни (линия М од-носвязны и обходят поверхность один раз «вдоль» и два раза «поперек», другие (линия Ь2) имеют две компоненты связности. При сближении fj и г2 значение шо увеличивается, размеры областей солитонных «сгустков» уменьшаются, линии типа ¿1 вытесняют двусвязные линии, и в пределе ri = f2 восстанавливается структура аксиально-симметричного солитона с m = 2.
(а)
(Ь)
Рис. 3. Структура двухсолитонной конфигурации в SU(2)/U(1) киральной модели
8. Заключение
Подводя итог, отметим, что в данной работе предложены топологические методы, позволяющие восстановить картину взаимодействия солитонов в широко известных моделях Скирма и Фаддеева. Показано, что таким способом воспроизводятся многие результаты, обычно получаемые громоздкими численными методами. Хочется верить, что развитие указанных методов позволит получить решение многих интересных задач физики солитонов.
Литература
1. Skyrme Т. Н. R. A non-linear field theory // Proc. Roy. Soc. — Vol. A260, No 1300. - 1961. - Pp. 127-138.
2. Witten E. Global aspects of current algebra // Nucl. Phys. - Vol. 223, No 2. -1983. - Pp. 422-432.
3. Witten E. Current algebra, baryons and quark confinement // Nucl. Phys. — Vol. 223, No 2. 1983. - Pp. 433-444.
4. Finkelstein D. Kinks // J. Math. Phys. - Vol. 7, No 7. - 1966. - Pp. 1218-1225.
5. Balachandran A. P., Stern A., Trahern G. Nonlinear models as gauge theories // Phys. Rev. - Vol. 19, No 8. - 1979. - Pp. 2416-2425.
6. Фаддеев JI. Д. В поисках многомерных солитонов // Нелокальные, нелинейные и неперенормируемые теории поля. — Дубна: ОИЯИ, 1977. — С. 207-223.
7. Вакуленко А. Ф., Капитанский JI. В. Устойчивость солитонов в нелинейной S2 сигма-модели // Докл. АН СССР. - Т. 246, № 4. - 1979. - С. 840-842.
8. Рыбаков Ю. П. О солитонах с индексом Хопфа // Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. — Вып. 12. — 1981. — С. 147-154.
9. Palais R. The principle of symmetric criticality // Comm. Math. Phys. -Vol. 69, No 1. - 1979. - Pp. 19-30.
10. Ладыженская О. А., Капитанский Jl. В. О принципе Коулмэна нахождения стационарных точек инвариантных функционалов // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. - Т. 127. - 1983. - С. 84-102.
11. Нисиченко В. П., Рыбаков Ю. П. О спектре масс в модели Скирма // Проблемы квантовой и статистической физики. — М.: УДН, 1981. — С. 49-52.
12. Рыбаков 10. П. Поиск абсолютного минимума энергии в киральных моделях // Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. — Вып. 13. — 1982. — С. 187-192.
13. Adkins G. S., Nappi С. R., Witten Е. Static properties of nucleons in the Skyrme model // Nucl. Phys. - Vol. B228, No 3. - 1983. - Pp. 552-566.
14. Кожевников И. P., Рыбаков Ю. П., Фомин М. Б. Структура топологических солитонов в модели Скирма // Теоретическая и математическая физика. — Т. 75, № 3. - 1988. - С. 353-360.
15. Копелиович В. Б., Штерн Б. Е. Экзотические скирмеоны // Письма в ЖЭТФ. - Т. 45, № 4. - 1987. - С. 165-168.
16. Рыбаков Ю. П. Связанное состояние двух скирмеонов // Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. — Вып. 14. — 1984. — С. 166-170.
17. Фомин Г. Б. О взаимодействии киральных солитонов // Проблемы статистической физики и теории поля. — 1990. — С. 79-86.
18. Braaten Е., Townsend S., Carson L. Novel structure of static multisoliton solutions in the Skyrme model // Phys. Lett. - Vol. B235. - 1990. - Pp. 147-152.
19. Battye R. A., Sutcliffe P. M. Symmetric Skyrmions // Phys. Rev. Lett. -Vol. 79, No 3. - 1997. - Pp. 363-366.
UDC 539.12
Modelling of Topological Solitons Interactions Y. P. Rybakov, M. B. Fomin
, Department of Theoretical Physics Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia
We study the geometric structure of topological solitons In 5(7(2) and SU(2)/U(l) chiral models. We apply the suggested method to modelling the behavior of two Interacting solitons endowed with unit topological charges.
