CC BY
21
Металлургия и материаловедение
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЯЗКОГО ПОВЕДЕНИЯ ЖИДКОСТИ И ГАЗА Амосов Евгений Александрович, к.т.н., доцент
(e-mail: amosov-ea@ramblerl.ru) Журавель Леонид Васильевич, к.т.н., доцент Самарский государственный технический университет, г.Самара, Россия
Приведены примеры моделирования закономерностей поведения жидкости и газа, а именно зависимости вязкости от температуры и зависимости вязкости от давления. Рассмотрены простые модели поведения молекул жидкости и газа и связь этих моделей с вязким поведение. Представлена физическая модель плавления твёрдого тела и модель роста энтропии с ростом температуры.
Ключевые слова: вязкость жидкости, вязкость газа, жидкое трение, поведение молекул, модель плавления
Рассмотрим ламинарный поток некоторого газа, который состоит из слоёв, скользящих друг по другу. Допустим, что молекулы газа текут подобно молекулам жидкости, то есть, колеблются около некоторого положения равновесия и смещаются в струе вместе с другими молекулами.
Мысленно представим себе, что с ростом температуры происходит следующее: у молекул газа, находящихся на границе слоя газа, увеличивается размах колебаний, и вследствие этого граница между слоями становится «зубчатой» (рисунок 1).
Рисунок 1 - Модель границ слоёв газа при разных температурах
Чем выше «зубчик», тем в нашей модели сильнее трение между слоями. Размах колебаний х и абсолютную температуру газа Т свяжем, используя известные представления о связи энергии упругой деформации и абсолютной температуры это соотношение получится, если приравнять энергию деформации энергии теплового колебания)
х2 ~ Т.
Отсюда следует что
х ~ Т1/2.
Полагая, что сила трения слоёв пропорциональна высоте «зубчика» (как это происходит при трении твёрдых тел) и зная, что сила трения слоёв друг о друга ^ пропорциональна вязкости п, для вязкости газа п можно пред-
ложить следующую зависимость этого параметра от абсолютной температуры Т
п ~ Т 1/2.
И действительно, при не очень высоких давлениях, как известно из литературы, вязкость газов возрастает пропорционально корню из абсолютной температуры, что согласуется с полученными нами выводами.
Оценим в рамках предложенной модели, как должно влиять повышение давления на вязкость газов. Известно, что при сжатии капли между двумя стёклами, сначала расплющенная капля будет иметь округлую форму, а затем из неё будут высовываться «язычки» (аналоги «зубчиков» в нашей модели). Допустим, что повышение давления в газе также приводит к появлению «зубчиков» между слоями. Так как давление газа (по известному закону Менделеева-Клапейрона) прямо пропорционально абсолютной температуре газа, то можно допустить, что высота «зубчика» зависит от давления также как от температуры.
Иначе говоря, можно допустить, что при высоких давлениях вязкость газов п зависит от давления р по закону
п ~ р 1/2.
Согласно опытным данным, при повышении давления вязкость изменяется как
п
п ~ р ,
где величина п близка к единице.
Таким образом, наши предположения только качественно согласуются с опытными данными о связи вязкости газов с величиной давления.
Промоделируем теперь зависимость вязкости жидкости от её температуры и сравним полученные выводы с известными экспериментальными и теоретическими данными.
Применим к молекулам жидкости закономерности взаимодействия атомов твёрдого тела, а именно закономерности сил притяжения и отталкивания. Из литературы известно, в твердых телах большая энергия взаимодействия атомов и ионов приходится на энергию притяжения. Так как в жидкостях молекулы расположены дальше друг от друга, чем в твёрдых телах, то положим, что их поведение и взаимодействие в основном определяется силами притяжения молекул. Как известно, сила притяжения ¥„ как правило, подчиняются закону Кулона
^ ~ 1/г2,
где г - расстояние между молекулами. Так как по закону трения Ньютона сила трения слоёв жидкости Б и её вязкость п связаны соотношением
^ ~ п,
то, следовательно, можно ожидать, что вязкость жидкости подчиняется следующей закономерности
п ~ 1/г2,
Так как с ростом температуры происходит тепловое расширение жидкостей по закону
г = Ы1+Р0,
где в - коэффициент объёмного расширения, ? - относительная температура, г0 - расстояние между молекулами при нулевой температуре, то можно ожидать, что с ростом температуры молекулы становятся дальше друг от друга и это уменьшает силы притяжения. Вследствие этого, можно полагать, что вязкость жидкости изменяется в соответствие с выражением
п ~ 1/(1+Р02.
Сравним полученные нами выводы с литературными данными о зависимости вязкости жидкости от температуры. Согласно формуле Френкеля -Андрадэ вязкость жидкости
п ~ ехр ШЯТ)],
где Q - энергия активации, Я - газовая постоянная, Т - абсолютная температура. С ростом температуры у молекулы жидкости уменьшается число ближайших соседей. Если мысленно мгновенно заморозить такую жидкость то окажется, что в жидкости, замороженной с более высокой температуры, будет больше вакансий (в тех местах, где раньше были молекулы жидкости). Чем меньше соседей, тем, очевидно, слабее связь молекул. Значит, слабее связь слоёв жидкости. Поэтому вязкость жидкости падает.
На небольшом отрезке температур экспонента, как известно, может быть заменена параболой. Поэтому наши предположения о параболической зависимости согласуются на малом отрезке с представлениями об экспоненциальной зависимости. Иначе говоря, наши выводы о поведении вязкости с ростом температуры достаточно хорошо согласуются с известной формулой Френкеля - Андрадэ.
Согласно уравнению Бачинского, вязкость жидкости зависит от молярного объёма Ум и объёма молекул жидкости У0 как
п ~ 1/(Ум -Уо).
С ростом температуры ? молярный объём возрастает по закону
Ум ~ и
следовательно, можно записать, что по Бачинскому вязкость с ростом температуры изменяется как
п ~ 1/г,
что качественно согласуется с полученными нами выводами.
Согласно экспериментальным данным, вязкость ряда масел изменяется по закону
п ~ 1/1т,
где показатель п =1.5...3.5. Полученная нами величина п=2 попадает внутрь экспериментального интервала, что свидетельствует о возможности развиваемого нами подхода для моделирования поведения жидкости.
Таким образом, наши выводы согласуются с известными теоретическими и экспериментальными данными о влиянии температуры на вязкость жидкостей.
Рассмотрим ещё одну модель поведения молекул жидкости. Представим себе молекулы (атомы) твёрдого тела как упорядоченно расположенные шары, которые колеблются, подпрыгивая на некоторой плоскости перпендикулярно ей (рисунок 2).
Тогда переход вещества в жидкое состояние можно представить себе как появление у некоторой части молекул смещения, направленного параллельно этой поверхности, как показано на рисунке 2 четырёхконечными стрелками. И чем выше температура, тем большее число четырёхконечных стрелок появляется в нашей модели.
Рисунок 2 - Модель поведения молекул жидкости и твёрдого тела
С ростом температуры, как видно из рисунка 2, в жидкости образуются сгущения и разрежения. Разрежения в данной модели, очевидно, уменьшают взаимодействие молекул, что должно приводить к уменьшению вязкости жидкости (которая, как известно, обусловлена молекулярным взаимодействием). Поэтому с ростом температуры вязкость жидкости должна уменьшаться, согласно данному рисунку, что и наблюдается на опыте в действительности.
В случае газа можно ожидать, что наоборот, столкновения молекул в замкнутом пространстве происходят чаще, так как растёт скорость молекул газа (а размер пространства не изменяется). Это приводит к увеличению взаимодействия молекул газа, что, в свою очередь, приводит к увеличению вязкости газов.
При достаточно небольших давлениях наши предположения о поведении газа согласуются с опытными данными о зависимости вязкости газов от температуры.
Таким образом, развиваемые нами представления о вязкости жидкостей и газов согласуются с известными теоретическим представлениями и экспериментальными закономерностями о связи этого параметра с температурой жидкости или газа, а также с давлением в газовой среде.
Заметим, что модель, представленная на рисунке 2,также может быть использована для наглядного представления перехода твёрдого тела в жидкое состояние при достижении определённой температуры (температуры плавления). Действительно, представим себе, что высота прыжка атома твёрдого тела пропорциональна абсолютной температуре (и при нуле Кельвин она, очевидно, равна нулю). И пусть имеется небольшое смещение атома по горизонтальной оси, обусловленное некоторыми случайными факторами (иначе говоря, шумом). Тогда поведение атомов при подпрыгивании можно зрительно представить себе так, как показано на рисунке 3.
$ г г $
ОООО
$ ❖ г ф
ОООО
Как видно из рисунка 3, чем выше температура, тем больше конус, который может занимать атом за счёт своего случайного смещения. Объём этого конуса можно считать аналогом энтропии. При стремлении к нулевой абсолютной температуре (нулевой высоте прыжка шара) объём этого конуса будет стремиться к нулю (энтропия, как известно, при нулевой абсолютной температуре по третьему началу термодинамики тоже обращается в нуль).
Очевидно также, что при некоторой температуре (некоторой высоте прыжков) конусы начнут пересекаться. Это позволяет предположить, что при некоторой температуре в поведении атомов (а значит, и в поведение всего материала) произойдёт качественное изменение, а именно, переход вещества в новую, жидкую фазу.
Таким образом, предлагаемая нами модель также своеобразно отражает переход атомов твердого тела из твердого состояния в жидкое при определённой температуре.
В случае атомов газа в сосуде (в замкнутом пространстве) аналогичным образом можно представить, что атом «размазывается» в некоторый шар, в результате этого свободное пространство между шарами уменьшается, что усиливает взаимодействие атомов газа и, в свою очередь, приводит к увеличению вязкости газа при повышенной температуре.
Список литературы
1.Мазо А.Б., Поташев К.А. Гидродинамика. Казань, 2013.
2.Фрик П.Г. Турбулентность: подходы и модели. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2003.
3.Гаркунов Д.Н. Триботехника: износ и безызноснгость. М.: Издательство МСХА,
4.Зацепина Г.Н. Свойства и структура воды. М.: МГУ, 1974.
5.Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей. Ленинград, Наука, 1975.
6.Бачинский А.И. Вязкость и молекулярная структура жидкостей // Современные проблемы электромагнетизма, 1913.
7.Ojovan M. Viscous flow and the viscosity of melts and glasses // Physics and Chemistry of Glasses. European Journal of Glass Science and Technology Part B. 2012. V.53 N.4. р.143—150.
8.Журавлев А. А., Савин Н. П., Филатова Н. О. Исследование зависимости вязкости моторного масла от температуры // Научно-методический электронный журнал «Концепт». 2016. Т. 12. С. 82-86.
9.Никулин С.С., Чех А.С. Определение вязкости жидкости методом Стокса. Тамбов: Изд-во ГОУ ВПО ТГТУ, 2011.
Рисунок 3 - Модель плавления твердого тела
2001.
10.Загузов И.С., Поляков К.А. Математические модели в аэрогидромеханике. Самара: Самарский университет, 2002.
11. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука,1987.
12.Павлов П.В., Хохлов А.Ф. Физика твёрдого тела. М.: Высшая школа, 2000.
13.Физические величины / Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. М.:Энергоатомиздат, 1991
14. Вильнер Я.М. Справочное пособие по гидравлике, гидромашинам и гидроприводам. Минск: Вышэйш. школа, 1976.
15. Моторные топлива, масла и жидкости / Под ред. К.К. Папок, Е.Г. Семенидо. М., 1957.
16.Жуковский Н. Е. Полное собрание сочинений. Т. 3. Гидродинамика. ОНТИ НКТП СССР. Главная редакция авиационной литературы, 1936..
17.Титьенс О., Прандтль Л. Гидро- и аэромеханика. Москва, Ленинград, 1933.
18.Амосов Е.А. Наглядное моделирование при исследовании. Самара: СамГТУ, 2014.
19.Амосов Е.А. Простые модели некоторых процессов. LAP, 2012.
20.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.. Теоретическая физика Гидродинамика. М.: Наука, 1986.
Amosov Evgeniy Aleksandrovich, Cand.Tech.Sci., associate professor (e-mail: amosov-ea@ramblerl.ru)
Zhuravel Leonid Vasilievich, Cand.Tech.Sci., associate professor Samara state technical university, Samara, Russia MODELING OF LIQUID AND GAS VISCOUS BEHAVIOR
Abstract. This article describes examples of modeling regularities of liquid and gas behavior, namely the dependence of viscosity on temperature and pressure. Simple models of the behavior of liquid and gas molecules and the relationship of these models with viscous behavior are considered. A physical model of the melting of solids and the growth model of entropy with increasing temperature is proposed.
Keywords: viscosity of liquid, viscosity of gas, friction of liquid, behavior of molecules, model of melting
