CC BY
37
УДК 550.8.053:519.2+622.142
DOI 10.21285/0130-108Х-2016-57-4-19-29
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ УРАГАННЫХ ПРОБ НА ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПРИ ОБРАБОТКЕ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНОЙ ИНФОРМАЦИИ
© В.И. Снетков1, А.А. Соловьев2
1,2Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Цель данной работы - оценить влияние ураганных проб на конечные результаты, получаемые при обработке данных разведки и опробования на высококонтрастных месторождениях полезных ископаемых с использованием математических методов. Многочисленные попытки использовать методы математической статистики, теории случайных функций, корреляционного, регрессионного и других видов анализа к геологическим данным, особенно к опробованию, в отдельных случаях давали хорошие результаты, но очень часто - отрицательные. В чем причина неудовлетворительной работы математического аппарата, применяемого для анализа геологической информации? На наш взгляд, на месторождениях с высокой вариацией содержаний полезного компонента, в частности золоторудных, искажающим фактором может являться положительная асимметрия распределения, генерирующая аномально высокие пробы. В случае асимметричных распределений нарушается один из основных постулатов способа наименьших квадратов - нормальность распределения отклонений. Это приводит к нарушению равновесия между малыми по величине отклонениями и большими, что самым серьезным образом влияет на результаты работы математических методов. Доказательство этого положения выполнено при помощи имитационного моделирования. Модель имеет вид массива из сотни значений псевдослучайных чисел, созданных по методу Монте-Карло, имитирующих изменение содержания полезного компонента по стволу скважины. Общая изменчивость данной модели складывается из закономерной и случайной - белого шума с определенным коэффициентом усиления. Математические методы первоначально протестированы на моделях, а затем на фактическом материале. В результате моделирования получено экспериментальное подтверждение необходимости ограничения влияния аномально высоких проб при применении математических методов, особенно при анализе последовательностей данных.
Ключевые слова: метод Монте-Карло, ураганная проба, автокорреляционная функция, взаимная корреляционная функция.
Формат цитирования: Снетков В.И., Соловьев А.А. Моделирование воздействия ураганных проб на эффективность применения математических методов при обработке геологоразведочной информации // Известия Сибирского отделения Секции наук о Земле Российской академии естественных наук. Геология, поиски и разведка рудных месторождений. 2016. № 4 (57). С. 19-29. DOI 10.21285/0130-108X-2016-57-4-19-29.
MODELING OF HURRICANE SAMPLE EFFECT ON MATHEMATICAL METHOD APPLICATION EFFICIENCY WHEN PROCESSING EXPLORATION INFORMATION
V.I. Snetkov, A.A. Soloviev
Irkutsk National Research Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.
The purpose of this work is to estimate the influence of hurricane samples on the final results obtained in the processing of exploration and sampling data on high-contrast mineral deposits by means of mathematical methods. Numerous attempts to apply the methods of mathematical statistics, the theory of stochastic functions, correlation, regression and other types of analysis to geological data, especially to sampling, were efficient in some cases, but more often, the results were negative. What is the reason for the failure of the mathematical apparatus applied for the analysis of geological information? In our opinion, a positive distribution asymmetry generating abnormally
1 Снетков Вячеслав Иванович, доктор технических наук, профессор кафедры маркшейдерского дела и геодезии, e-mail: [email protected]
Snetkov Vyacheslav, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Mine Surveying and Geodesy, e-mail: [email protected]
2Соловьев Андрей Алексеевич, горный инженер-маркшейдер, e-mail: [email protected]
Soloviev Andrey, Mining surveying engineer, e-mail: [email protected]
high samples can be a confounding factor in the fields with high mill grade variations, in particular, at gold deposits. In case of asymmetric distributions one of the main postulates of the least-squares method - normality of deviation distribution fails. It leads to the disbalance between small and big deviations that has a serious effect on the results of the application of mathematical methods. This thesis is proved by means of simulation modeling. The model has a form of a massif of one hundred values of the pseudorandom numbers created by the Monte-Carlo method, simulating the mill grade change along the hole. Regular and casual variabilities - white noise with a certain amplification coefficient - form the general variability of this model. First mathematical methods have been tested on models, and then on the actual material. The result of simulation is the experimental proof of the need to limit the influence of abnormally high tests when using mathematical methods, especially in the analysis of sequences of data.
Keywords: Monte-Carlo method, hurricane sample, autocorrelation function, mutual correlation function
For citation: Snetkov V.I., Soloviev A.A. Modeling of hurricane sample effect on mathematical method application efficiency when processing exploration information. Proceedings of the Siberian Department of the Section of Earth Sciences, Russian Academy of Natural Sciences. Geology, Prospecting and Exploration of Ore Deposits. 2016. No. 4 (57). Pp. 19-29. DOI 10.21285/0130-108X-2016-57-4-19-29.
Введение
Внедрение математических методов в геологию имеет давнюю историю, однако наиболее интенсивное их проникновение в науки о Земле пришлось на вторую половину XX века, когда новые вычислительные технологии позволили производить сложнейшие расчеты, а все возрастающая доступность электронных вычислительных машин способствовала повышению популярности математических методов в науке и производстве.
Многочисленные попытки использовать методы математической статистики, теории случайных функций, корреляционного, регрессионного и других видов анализа к геологическим данным, особенно к опробованию, в отдельных случаях давали хорошие результаты, но очень часто - отрицательные. Последнее в большей степени относится к редкоме-талльным месторождениям. Как писал в свое время в известной работе В.В. Бо-гацкий, «создавшееся положение подорвало у многих геологов доверие к возможностям использования математических методов для количественной оценки точности результатов геологических исследований» [1]. По этому поводу К.Л. Пожарицкий заметил, что «... бесконтрольное и подчас неправильное использование формул математической статистики нередко приводило к выводам, противоречащим здравому смыслу» [2]. Сложилось даже мнение о том, что единственным способом оценки результатов геологических исследова-
ний является практический опыт, оно, кстати, бытует у отдельных геологов-производственников и по настоящее время.
Тем не менее такие методы, как регрессионный анализ, исследование трендов и корреляционных связей между изучаемыми параметрами, теория случайных функций, в том числе автокорреляционных (АКФ), взаимных корреляционных функций (ВКФ), регрессионный, дисперсионный и многие другие, продолжают находить применение в геологических науках, а некоторые вошли в качестве обязательного инструментария в современные географические информационные системы.
В чем причина неудовлетворительной работы математического аппарата, применяемого для анализа геологической информации? По всей видимости, причин здесь несколько. Первая причина была отражена К.Л. Пожарицким: к математической обработке геологической информации необходим профессиональный подход. Вторую причину в свое время озвучил У. Крамбейн: каждая математическая модель должна иметь геологический смысл. На наш взгляд, существует еще и третья причина: отличие обрабатываемой геологической информации от нормального закона. Не отрицая важность первых двух причин, более подробно рассмотрим влияние третьей.
Современные математические методы имеют свои достаточно жесткие требования к исходным данным, кото-
рые далеко не всегда им соответствуют. Например, принцип однородности, постоянство дисперсии и математического ожидания и ряд других. Отмеченные требования могут решаться в той или иной степени эмпирическим способом (выделение однородных по геологическому строению участков месторождения, геологическое и технологическое картирование и т.п.), что позволяет частично компенсировать неидеальные условия использования методов. Однако наиболее важной является проблема существенного отличия фактического распределения содержаний полезного компонента в пробе от нормального закона.
Отметим, что абсолютное большинство перечисленных выше методов использует способ наименьших квадратов (СНК). К.Ф. Гаусс в своей первой опубликованной работе по СНК (1809 г.) дал ему вероятностное обоснование и вывел закон распределения вероятностей случайных ошибок измерений, который сейчас называется законом Гаусса - Лапласа или нормальным законом [3]. Данный закон характеризуется симметричной колоколообразной кривой плотности распределения и одинаковой вероятностью встречи как малых, так и больших по величине случайных величин. Дальнейшее развитие статистических методов в той или иной степени происходило и базировалось на нормальном законе. Например, регрессионный анализ предполагает, что отклонения от линии регрессии распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием. Это же распределение предполагается и в каждом сечении случайной функции, при тренд-анализе, корреляционном анализе.
Геологическая практика показывает, что месторождений, в которых бы распределение полезного компонента удовлетворительно описывалось нормальным законом, крайне мало (часть железорудных месторождений). Математические методы в данном случае дают либо удовлетворительные, либо хорошие результаты применения. Все про-
блемы начинаются на тех месторождениях, где имеются контрастные и высококонтрастные руды. Здесь корреляционные исследования, как правило, не позволяют выявить существенных зависимостей, АКФ чаще всего приобретают вид для белого шума, гармонический анализ Фурье не дает статистически значимых дисперсий гармоник, тренд-анализ не позволяет выявить значимое закономерное изменение показателя. И даже увеличение числа проб, уменьшение интервалов опробования, увеличение объемов выборки мало меняют картину.
Поэтому ключевыми вопросами в контексте рассматриваемой проблемы являются определение факторов, оказывающих искажающее влияние на результаты применяемых математических методов, и способы компенсации этого влияния. Решение данной задачи позволит успешно применять математические методы там, где ранее они могли быть признаны неэффективными.
На наш взгляд, применительно к месторождениям с высокой вариацией содержаний полезного компонента, в частности золоторудным, искажающим фактором может являться положительная асимметрия распределения, генерирующая аномально высокие пробы.
На рис. 1, а показано изменение содержания золота по стволу скважины 101 колонкового бурения, пройденной на одном из участков месторождения «Ожерелье». Здесь же показана кривая регрессии четвертого порядка (точки), полученная методом наименьших квадратов. На рис. 1, б приведено распределение отклонений эмпирических данных от линии регрессии.
Для того чтобы убедиться в асимметричности распределения отклонений, достаточно визуальной оценки (см. рис. 1, б). Аналитические же расчеты показывают, что коэффициент асимметрии А = 3,3, а коэффициент эксцесса Е = 15,9 (для нормального закона распределения А = Е = 0). Таким образом, в случае асимметричных распределений нарушается один из основных постулатов СНК -
Рис. 1. Результаты опробования скважины 101 и распределение отклонений содержаний золота от полиномиальной регрессии
нормальность распределения отклонене-ний. Это приводит к нарушению равновесия между малыми по величине отклонениями и большими, что самым серьезным образом влияет на результаты работы математических методов.
Методы исследования Доказательство этого положения выполним при помощи имитационного моделирования. Модель в данном случае имеет вид массива из сотни значений псевдослучайных чисел (можно и больше - результат не изменится), созданных по методу Монте-Карло, имитирующих гармоническое изменение содержания полезного компонента по стволу скважины. Общая изменчивость данной модели складывается из закономерной (гармоника/тренд) и случайной («белого шума» с определенным коэффициентом усиления). Тип закономерного изменения, как показали исследования, может быть любым линейный или нелинейный тренд, гармоника или их комбинация с разными амплитудами, периодом и начальной фазой) - результат исследования от этого не зависит. Нормально распределенные псевдослучайные числа моделируются по известным алгоритмам [4], затем производится их центрирование и нормирование, в результате получают «белый шум» с параметрами (0,1), амплитуду которого можно регулировать умножением на определенный коэффициент, имитирующий величину стандартного отклонения. К базовой модели добавляется «белый
шум» с определенным коэффициентом усиления - в результате получается имитационная модель любой сложности, отличающаяся тем, что параметры модели и шума, в том числе и статистические, заранее известны.
Обсуждение результатов
Исследования показали, что тестируемые методы (регрессионные, АКФ, ВКФ) в данном случае работают так, как им и должно работать в рамках соответствующих теоретических положений. Совершенно иной результат получается в случае наличия аномально низких или аномально высоких проб. В данной статье рассмотрим только влияние аномально высоких («ураганных») проб, поскольку в процессе оконтуривания запасов аномально низкие пробы исключаются из анализа по экономическим соображениям.
Прежде всего, определимся с понятием «ураганная проба» (УП). Согласно работе [5], к ураганным пробам относятся такие, которые в десятки и более раз превышают среднее значение по выборке. Количество УП в выборке до настоящего времени является дискуссионным вопросом: одни считают, что в выборке может быть только одна проба (Л.Ф. Грауман), другие (Н.В. Володомо-нов, П.Л. Каллистов) - 2 пробы, третьи -что количество УП определяется числом проб, превышающих так называемый «порог» [5]. В исследованиях УП (одна или две) вводились в массив данных искусственно в виде пяти или десяти-
кратно увеличенного значения исходного содержания (рис. 2).
На рис. 3 показаны АКФ на разных этапах построения модели. Сплошной линией показана АКФ по исходной гармонике (детерминированной модели), линией с кружками - АКФ с добавлением «белого шума». Введение шума приводит к уменьшению амплитуды косинусоиды на величину, равную доле случайной изменчивости в общей (это видно по коэффициенту автокорреляции при лаге, равном 1). В работах [6, 7] показано, что значение коэффициента автокорреляции при лаге, равном 1 , численно равно доле закономерной изменчивости в общей изменчивости показателя.
г(1)
= vi =
1
-*шума аобщ
2
где ^2 — квадрат корреляционного отношения (доля закономерной изменчивости); а,ШуМа - дисперсия «белого шума»; ао2бщ - общая дисперсия модели.
Увеличение коэффициента шума приводит к соответствующему уменьшению амплитуды АКФ [8], однако при этом радиус корреляции остается неизменным.
Введение двух УП приводит почти к полному гашению имеющейся закономерности (кривая с квадратами). Только
очень опытный человек, предметно занимающийся анализом АКФ, может увидеть имеющуюся закономерность, определить радиус корреляции. Абсолютное же большинство исследователей сделает вывод о случайности процесса и отсутствии значимых закономерностей. Обычно это и имеет место на практике. Если ограничить влияние одной из проб (№ 1) средним арифметическим двух соседних проб или средним по выборке, то картина начинает заметно меняться (кривая с треугольниками). Начинает более четко выделяться радиус корреляции, увеличивается амплитуда АКФ, но закономерное изменение пока составляет порядка 25% от общей изменчивости. Ограничение влияния второй УП приводит АКФ в исходное состояние (кривая с крестиками), закономерное изменение составляет около 80%, иначе говоря, возникает совершенно новое состояние геологической информации, когда появляется возможность изучать закономерности, строить высокоточные математические, цифровые, прогнозные модели. Наличие двух УП делает АКФ совершенно не информативной в плане отражения исходных закономерностей, а усечение аномально высоких проб, наоборот, приводит к полному восстановлению информативности.
во
70
&о
50
40
30
20
_1 УП1
УП2
1 5 9 13 17 21 25 29 37 41 45 49 53 57 81 55 69 73 77 S1 S5 £3 93 97 101
Рис. 2. Ураганные пробы в массиве смоделированных данных
Рис. 3. Изменение вида автокорреляционных функций в зависимости от наличия случайной изменчивости, количества ураганных проб
Аналогичная картина наблюдается и применительно к ВКФ.
Идея использования ВКФ для поиска взаимных соответствий не нова, ее достаточно часто использовали в геологии, например для поиска взаимного соответствия двух удаленных друг от друга стратиграфических разрезов, сопоставления данных электрокаротажа соседних скважин и др. Чтобы провести взаимный корреляционный анализ, нужно две последовательности (не обязательно одинаковой длины) сдвигать так, чтобы одна двигалась относительно другой, и при каждой такой парной позиции рассчитать коэффициент корреляции. В результате на графике будем иметь динамику изменения коэффициентов корреляции после каждого такого сдвига. При достижении такого положения, когда сопоставляемые участки последовательностей будут иметь наибольшее сходство, коэффициенты корреляции также достигнут своего максимума.
Применение ВКФ для сопоставления данных опробования между скважинами осуществляется не так часто, поскольку в силу высокой контрастности руд наблюдаемые корреляции столь сильно зашумлены, что уже на первом этапе расчетов практически утрачиваются надежды на положительный исход исследований. Покажем, что существует
возможность более эффективного использования рассматриваемого метода.
Вновь прибегнем к испытанному методу - имитационному моделированию. Для создания пары зависимых друг от друга массивов данных, необходимых для расчета ВКФ, смоделированы различные линейные тренды, гармоники и шумы, распределенные по нормальному закону (рис. 4).
Отметим, что наличие тренда само по себе приводит к некоторому искажению корреляционных связей, поэтому при расчете АКФ и ВКФ его рекомендуют исключать для более четкого выявления локальных особенностей [8]. Но в данном случае целью исследования является не анализ локальных особенностей при помощи корреляционных функций, а оценка влияния на них аномально высоких проб. Поэтому исключение тренда совсем не обязательно.
Как видно из рисунка 5, а, при последовательном смещении двух последовательностей относительно друг друга происходит волнообразное нарастание корреляции, отражающее наличие гармонического закономерного изменения, а при достижении взаимного соответствия корреляция достигает максимума г = 0,71; дальнейшее смещение приводит уменьшению корреляции, которая также волнообразно убывает. Введение в
Рис. 4. Две модели для изучения влияния ураганных проб на взаимных корреляционных функциях
последовательности ураганных проб, как и в случае с АКФ, приводит к падению общего уровня корреляции до незначимого уровня (см. рис. 5, а), что существенно ограничивает или вообще делает невозможным применения данного метода анализа, если пользоваться известными критериями значимости коэффициента корреляции и его надежности вычисления.
Моделирование выявило и ряд новых, ранее не описанных в литературе особенностей поведения ВКФ. Так, обнаружено влияние на них не только величины аномальной пробы, но и ее расположения в массиве данных. Например, ураганная проба в середине набора данных влияет на общую картину заметно сильнее, нежели расположенная на его краю.
В случае данных с гармонической составляющей наблюдается еще одна интересная закономерность. Если ураганная проба приходится на максимум гармонического изменения (см. рис. 4), то происходит общее падение корреляции, при этом амплитуда колебаний АКФ, хоть и несколько искажается, продолжает в целом отражать существующую закономерность (см. рис. 5, а). В случае же расположения УП в точке минимума гармонического изменения (см.
рис. 4) корреляционная функция резко теряет гармоническую структуру (см. 5, б).
Полученные выводы по результатам моделирования полностью согласуются с проведенными ранее исследованиями данных геологической разведки золоторудного месторождения «Ожерелье» [9, 10]. На рис. 6 приведена АКФ по одной из скважин колонкового бурения (121 мм), где исключение влияния только одной пробы привело к существенному изменению представлений о характере изменения содержаний золота на глубину. В результате ограничения влияния УП выявлена композиция двух гармонических изменений: одно - высокочастотное с периодом порядка 1,5 м, второе - с периодом 12 м. При этом закономерное изменение показателя поменялось от его полного отсутствия г(1) = -0,03 до его доминирования - г(1) = 0,54. А ведь, по существу, вопрос заключался в том, стоит ли доверять этим скважинам при выделении и оконтуривании рудных интервалов по данным опробования. Данный пример весьма показателен. Если при обработке данных опробования учитывать факт наличия аномально высоких проб, то многие из математических методов станут работоспособными и весьма эффективными.
Oß
<п о
-0,4
Парные позиции (лаг) а
Рис. 5. Искажение взаимных корреляционных функций аномально высокой пробой, расположенной:
а - в максимуме; б - в минимуме гармоники
Рис. 6. Автокорреляционные функции по скважине 127 с ураганными пробами и без них
Другой пример. На участке детализации того же месторождения были пройдены шурфы, вдоль одной из стенок которых пройдены борозды сечением 5^10 см и длиной секции 1 м, а по центру шурфа - скважина. Контрастность содержаний оказалась крайне высокой, коэффициент вариации превышал 1000%! Одними из целей эксперимента были оценка возможности бороздового опробования в этих условиях вскрывать достаточно надежно основные тенденции изменения содержания золота на глу-
вается само собой разумеющийся вывод: один из видов опробования непредставителен? На самом деле это далеко не так. Достаточно ограничить влияние аномальной пробы (138 г/т - борозда), как картина кардинальным образом меняется и в результате имеем ту ВКФ, которая и должна быть, то есть корреляция существенная, коэффициент корреляции равен 0,57, а это означает, что оба вида опробования представительны и вскрывают имеющиеся закономерности изменения золота на глубину.
Рис. 7. Взаимные корреляционные функции между бороздой 1 Северо-Западной стенки шурфа и скважиной № 123 (131 мм) участка детализации месторождения «Ожерелье»
Заключение
бину, сопоставление с результатами опробования скважины, интервал опробования в которой также был равен 1 м, а начало и конец пробы совпадал с гипсометрическим уровнем начала и конца бороздовой пробы.
Одним из критериев достоверности опробования является сопоставление тенденций и результатов поинтерваль-ного опробования на основе взаимной корреляции. ВКФ, учитывающая структурные изменения положения рудоносных слоев по глубине, является более глубоким и гибким инструментом исследования корреляционных связей, поскольку обычный коэффициент парной корреляции является частным случаем ВКФ.
Как и ожидалось, первые расчеты показали отсутствие сходства между данными опробования по скважине и по борозде (рис. 7). Справедливо напраши-
Таким образом, получено экспериментальное подтверждение результатов моделирования о необходимости ограничения влияния аномально высоких проб при применении математических методов, особенно при анализе последовательностей данных.
Данные моделирования и экспериментальные исследования на фактическом материале однозначно подтверждают факт существенного влияния ураганных проб на результаты исследований, получаемых с применением математических методов.
Предварительное ограничение влияния ураганных проб в геологической информации позволяет кратно увеличить эффективность математических методов и избежать серьезных ошибок при интерпретации и оценках геологоразведочных данных.
Библиографический список
1. Богацкий В.В. Математический анализ разведочной сети. М.: Недра, 1963. 212 с.
2. Пожарицкий К.Л. Опробование месторождений цветных металлов и золота. М.: Металлургиздат, 1947. 280 с.
3. Папазов М.Г., Могильный С.Г. Теория ошибок и способ наименьших квадратов. М.: Недра, 1968. 302 с.
4. Хастингс Н., Пикок Дж. Справочник по статистическим распределениям / пер.с англ. А.К. Звонкина. М.: Статистика, 1980. 95 с.
5. Прерис А.М. Определение и учет ураганных проб. М.: Недра, 1974. 104 с.
6. Снетков В.И. Разработка методов квалиметрии недр при моделировании и количественной оценке качества источника георесурсов // Горный информационно-аналитический бюллетень. 2005. № 8. 79 с.
7. Снетков В.И. О статистических методах в квалиметрической оценке месторождений полезных ископаемых //
Маркшейдерия и недропользование. 2005. № 4. С. 34-41.
8. Дэвис Дж. Статистика и анализ геологических данных / пер. с англ. В.А. Голубевой; под ред. Д.А. Родионова. М.: Мир, 1977. 572 с.
9. Снетков В.И., Соловьев А.А. Оценка представительности данных разведки на месторождении «Ожерелье» с позиций теории случайных функций // Известия Сибирского отделения Секции наук о Земле Российской академии естественных наук. Геология, поиски и разведка рудных месторождений. 2013. № 2 (43). С. 37-44.
10. Снетков В.И., Соловьев А.А. Оценка представительности кернового и бороздового опробования на месторождении золота методом сопоставления взаимных корреляционных функций // Известия Сибирского отделения Секции наук о Земле Российской академии естественных наук. Геология, поиски и разведка рудных месторождений. 2014. № 5 (48). С. 41-49.
References
1. Bogatskii V.V. Matematicheskii analiz razvedochnoi seti [Mathematical analysis of the exploratory network]. Moscow, Nedra Publ., 1963. 212 p.
2. Pozharitskii K.L. Oprobovanie mestorozhdenii tsvetnykh metallov i zolota [Testing of nonferrous metal deposits and gold fields]. Moscow, Metallurgizdat Publ., 1947. 280 p.
3. Papazov M.G., Mogil'nyi S.G. Te-oriya oshibok i sposob naimen'shikh kvadratov [The theory of errors and the method of least squares]. Moscow, Nedra Publ., 1968. 302 p.
4. Khastings N., Pikok Dzh. Spravochnik po statisticheskim raspredele-niyam [Reference book on statistic distributions]. Moscow, Statistika Publ., 1980. 95 p.
5. Preris A.M. Opredelenie i uchet uragannykh prob [Identification and registration of hurricane samples]. Moscow, Nedra Publ., 1974. 104 p.
6. Snetkov V.I. Razrabotka metodov kvalimetrii nedr pri modelirovanii i kolich-estvennoi otsenke kachestva istochnika georesursov [Development of resource qualimetry methods in modeling and quantitative assessment of georesource quality]. Gornyi informatsionno-analiticheskii byulleten' [Mining Information and Analytical Bulletin], 2005, no. 8, 79 p.
7. Snetkov V.I. O statisticheskikh metodakh v kvalimetricheskoi otsenke mestorozhdenii poleznykh iskopaemykh [On statistical methods in qualimetry evaluation of mineral deposits]. Marksheideriya i nedropol'zovanie [Mine Surveying and Subsoil Use], 2005, no. 4, pp. 34-41.
8. Davis J.C. Statistika i analiz geo-logicheskikh dannykh [Statistics and Data Analysis in Geology]. Moscow, Mir Publ., 1977. 572 p.
9. Snetkov V.I., Solov'ev A.A. Otsenka predstavitel'nosti dannykh
razvedki na mestorozhdenii "Ozherel'e" s pozitsii teorii sluchainykh funktsii [Assessing representativeness of prospecting data at "Ozherelye" deposit based on the theory of stochastic functions]. Izvestiya Sibirskogo otdeleniya Sektsii nauk o Zemle Rossiiskoi akademii estestvennykh nauk. Geologiya, poiski i razvedka rudnykh mes-torozhdenii [Proceedings of the Siberian Department of the Section of Earth Sciences, Russian Academy of Natural Sciences. Geology, Prospecting and Exploration of Ore Deposits], 2013, no. 2 (43), pp. 37-44.
10. Snetkov V.I., Solov'ev A.A. Otsenka predstavitel'nosti kernovogo i
borozdovogo oprobovaniya na mestorozhdenii zolota metodom sopostavleniya vzaimnykh korrelyatsionnykh funktsii [Rep-resentativity assessment of core and channel sampling on a gold deposit by the method of mutual correlation function comparison]. Izvestiya Sibirskogo otdeleniya Sektsii nauk o Zemle Rossiiskoi akademii estestvennykh nauk. Geologiya, poiski i razvedka rudnykh mestorozhdenii [Proceedings of the Siberian Department of the Section of Earth Sciences, Russian Academy of Natural Sciences. Geology, Prospecting and Exploration of Ore Deposits], 2014, no. 5 (48), рр. 41-49.
Статья поступила 02.11.2016 г.
Article received 02.11.2016.
