CC BY
24
4/2011
ВЕСТНИК _МГСУ
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПОРОВОГО ДАВЛЕНИЯ ПРИ КОМПРЕССИОННОМ СЖАТИИ ДВУХФАЗНОГО ГРУНТА
SIULATION OF THE POROUS PRESSURE EFFECT IN THE PROCESS OF COMPRESSION OF A TWO-PHASE SOIL
Э.К. Агаханов, M.K. Агаханов
E.K. Agahanov, M.K. Agahanov
ДГТУ, ГОУ ВПО МГСУ
В статье рассмотрена одномерная задача уплотнения слоя двухфазного грунта мощности h, загруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q.
The article considers a one-dimensional compaction problem for a two-phase soil layer with the thickness h loaded with a uniformly distributed load with the intensity q.
Система уравнений для оценки воздействия порового давления на скелет грунта в случае упругомгновенной задачи имеет вид [9]:
G
V2 u. (t )-
1 de(t У
3 di
(i = x, y, z),
K (y> + " de{t)~
3 _ Si _
.1 P jt)
p di
(1)
cV2 Pw {t )■
. dPw (t)
St
Общие (полные) напряжения при этом определяются по зависимости
Иу)
) = 2G
е.. (t )-5
J \ > J 3
(2)
)-5ц 1р^(,).
Рассмотрим одномерную задачу уплотнения слоя двухфазного грунта мощности Ъ. Пусть слой грунта мощностью Ъ загружен равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q. При этом консолидируемый слой лежит на скальном недеформируемом основании.
Условия дренирования могут быть любые. Мы рассмотрим два варианта:
а) обе поверхности консолидируемого слоя (7=0; 7=Ъ) водопроницаемы:
р»|г=о = 0; =0;
б) поверхность 7=0 водопроницаема, а поверхность 7=Ъ водонепроницаема:
дРу,
дг
Полагая в уравнении (2) составляющие деформации
(О = (0 = 0; ^ (О = ^ (0 = 0 , а также ^ (') = -Ч , получим
= 0;
~w\zh = 0.
(3)
(4)
ВЕСТНИК 4/2011
(„)/К(у ] - 20 диг (?) _ _1 /ч
^ уу 3 !3
ым 40 + К{у] дыЕ(?) 1 м
Ап)(*) = -ч = —---^ --• Р„ (О,
3 ох р
аМ(0 = а«(0 = а«(0 = 0.
Из выражений (5) и (6) имеем
" К(у20
60 1 м Н--гг —Р и)
40 + К(у ' 40 + К(у ]р
ды^) = з & 40 + К> Интегрируя выражение (9) получим 3
^ Р„ (О-ч
х (0 =
40 + К
(з-)
- чг -
1 №
р
+ с.
(5)
(6) (7)
(8) (9)
(10)
Учитывая, консолидируемый слой лежит на скальном недеформируемом основании, т. е. иг (^ г_к = 0 имеем
С =
3
40 + К
)
1 к
чк - — | Р» №
(11)
Тогда осадка основания иг г=0 = 5 в соответствии с уравнениями (10) и (11) будет равна
3
40 + К
(у)
1 к
ф - -1 [ Р„ № р 0
(12)
Для полного решения рассматриваемой задачи необходимо найти поровое давление р^ (г).
Поровое давление р№ (?) определяется из решения последнего (четвертого) уравнения системы (1). Поскольку рассматривается одномерная задача [у2 = —|, это
уравнение принимает такую форму: д2 р„ (1)_др„ (?)
(13)
&2
Ищем решение уравнения (12) методом Фурье [3, 8], полагая (г,¿) = 2(г)т((). Тогда из выражения (13), после разделения переменных получаем Т 2"
- = -а2, откуда Т' + а2сТ = 0 и г" + а2г = 0.
сТ г ' '
Тогда имеем [5, 7] Т(?) = Сехр(-И'2си 2{г) = Л$т(а.г) + Воо^а.г),
где Л , В, и С обозначают произвольные постоянные. В результате, получаем частное решение уравнения (13) в виде р(г, t) = [Л ът^ах) + В оos(«'Z )]с ехр(- а^М).
(14)
(15)
и
4/2011
ВЕСТНИК _МГСУ
При граничных условиях (3) получаем В = 0 и а1 - , где ' - любое целое
' к
число.
Вследствие того, что уравнение (13) линейное, выражение
Ру (2,г) = 2 С ехр(- «,2^^п(«,2)
(16)
также будет решением уравнения (13), удовлетворяющим граничным условиям (3), в котором произвольная постоянная Л1 может быть опущена вследствие
произвольности величины С1.
Коэффициент находим из начального условия, что в начальный момент
времени t = 0 поровое давление ру (г, t) равно следующей величине [9]:
где
РЛг
Ь =
■0) =
Ч
1 4в + К — + п -
Р "" «„
1
Ы
= Ь >
1 +
пв[ЛО + К
(у)
(17)
(18)
Определяя значение функции ру (г, t) для момента времени t — 0 и подставляя его в зависимость (17) получаем
а,г) =
Ч
1 4в + К
— + п -
Р <*„
(у)
= рЬд:
откуда, разлагая постоянную величину (ЗЬч в ряд синусов [6] и приравнивая соответствующие коэффициенты в правой и левой частях уравнения, находим ^ 4ВЬа 1
С т, (19)
ж '
где ' = 1, 3, 5, ... .
В результате, учитывая выражение (16), получаем
Ру (т, t) = У -ехр(- еа>t)8ш(а,г). (20)
П '=1,3,... '
Подставляя уравнение (20) в уравнения (8) и (12), мы получим окончательные расчетные формулы: для
а
М
(' )(t ) = "
V 1 - 2У 4Ьа ^ 1
-Ч +--1 4
1 -V 1 -V п '
определения бокового 1 • ехр(- са2А )&\п(а1г)
и функции бокового распора
^ t+ 4Ь V 1 ехр(-С^ЬтС«2)
К* Г 1 -
для определения осадки
давления (21)
(22)
=0
ВЕСТНИК 4/2Q11
(1 -v)Е
1 Е ^т ехр(- ^) .
_ П '=1,3,... ' _
Учитывая постоянство во времени коэффициента Пуассона, согласно упругой аналогии [4], напряжения^*) и осадку5) с учетом ползучести можно определить
(23)
по соотношениям
a, (t) = \t),
t
s *(t) = s(t) + Js(r)L(t - r)dr.
0
Принимая ядро ползучести скелета в виде
L(t -т) = 8 exp[- 8Х (t - г)]
для осадки из (23) и (25) имеем
' (t > = ^ - exP<>]-
86
л
I i
exi
,p(- ca^t) н--- [exp(- ca^t) - exp(- 31t)]
8l - cat
(24)
(25)
(26)
(27)
Теперь рассмотрим частные случаи:
1Л = 0 (начальное состояние). Определение мгновенного напряженно-деформированного состояния.
Тогда с учетом суммы рядов Фурье у 1 = и V 1ъ{п(аг) = — (при 0 <ъ <Ъ) [1,
2 8 У ' ' 4
2] выражения (20) - (22), (23) или (27) принимают вид
p„(z,0) = ^ £ ^sinfoz)=flbq-
£ )(0) = >)(0) = -
л
v 1 - 4bq ^ 1 . / \
;— q +1--L -sm\aiz)
1 ~v 1 ~v л i =1:3!...г
V 1 - 2v,
--q + --bq
1-v 1 -v
v 1 - 2v 4b ^ 1 . / \ v 1 - 2v
r/{0) =--1---> -sm(az)=--1--b.
1 ' ■ 1 - ' - .^г'.. i ' 1 -
1-v 1 -v Ж it
l-v 1-v
s * (0) = s(0) =
(1 + v\1 - 2v) ( (1 -v)E (у )
1 -
8b
i i
^2 -2 ^ i—1,3,... '
^q« - b)
(28)
(29)
(30)
(31)
2Л ^ да («стабилизированное» состояние). Определение конечного напряженно-деформированного состояния.
В этом случае выражения (20) - (22) и (27) имеют вид
р„ (г, = 0, (32)
V
1
af' (оо) = сг(1' (<») = ---q .
(33)
s
1.3...
4/2011 ВЕСТНИК _4/2011_МГСУ
v{z, <«) = , (34)
(35)
В случае, когда поровая жидкость является несжимаемой
c _k A4G+K м], ь = 1. (36)
3rw
Нетрудно заметить, что при граничных условиях (4) в полученных решениях
изменится только значение, а,, которое равно —, где i = 1, 3, 5, ... .
2h
Полученные результаты соответствуют аналогичным результатам [9].
Литература
1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике, Наука, 1969.
2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, Наука, 1968.
3. Курант Р. Дифференциальные уравнения с частными производными, Наука, 1965.
4. Метод фотоупругости, Под ред. Г.Л. Хесина, М., Стройиздат, 1975, т.3, 311 с.
5. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, Наука, 1965.
6. Сахарников Н.А. Высшая математика, ЛГУ, 1973.
7. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений, Наука, 1966.
8. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, Наука, 1966.
9. Цытович Н.А., Зарецкий Ю.К., Малышев М.В., Абелев М.Ю., Тер-Мартиросян З.Г. Прогноз скорости осадок оснований сооружений. М., 1967., 240 с.
Literature
1. Vygodsky M.Ya. Reference-book on higher mathematics, Nauka, 1969.
2. Korn G., Korn T. Reference-book on mathematics, Nauka, 1968.
3. Kurant R. Differential equations with partial derivatives, Nauka, 1965.
4. Photoelasticity method. G. L. Khessin et al. M., Stroyizdat, 1975, v.3, 311p.
5. Pontryagin L. S. Ordinary differential equations, Nauka, 1965.
6. Sakharnikov N. A. Higher mathematics, LGU, 1973.
7. Stepanov V. V. Differential equations, Nauka, 1966.
8. Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Equations of mathematical physics, Nauka, 1966.
9. Tsytovich N. A., Zaretsky Yu. K., Malyshev M. V., Abelev M. Yu., Ter-Martirossyan Z. G. Prediction of the settlement velocity for the structure foundations. M., 1967., 240p.
Ключевые слова: двухфазный грунт, поровое давление, компрессионное сжатие, боковое давление, консолидируемый слой, дренирование
Key words: two-phase soil, porous pressure, compression, lateral pressure, layer under consolidation, drainage
129337, г. Москва, Ярославское шоссе д.,26, МГСУ, кафедра сопротивления материалов
8(499) 183-85-59, E-mail автора: [email protected]
Рецензент: Варданян Г.С., д.т.н., профессор, главный научный сотрудник ЦНИИСК им.
В.А.Кучеренко
