CC BY
12Труды МАИ. Выпуск № 111 http://trudymai.ru/
УДК 621.396 DOI: 10.34759/trd-2020-111-8
Моделирование влияния взаимно коррелированных помех на качество селекции сигнала в антенной решетке, оптимальной по критерию минимума среднеквадратического отклонения
Звонарев В.В.*, Пименов В.Ф.**, Попов А.С.***
Военно-космическая академия имени А.Ф.Можайского, ул. Ждановская, 13, Санкт-Петербург, 197198, Россия *e-mail: zvonarevvitalii@yandex. ru **e-mail: pimvikf@yandex.ru ***e-mail: arahar@mail.ru
Статья поступила 12.02.2020
Аннотация
В статье приведены результаты вычислительного эксперимента по исследованию характеристик оптимальной пространственной селекции сигнала и двух взаимно коррелированных помех в линейной эквидистантной антенной решетке, оптимальной по критерию минимума среднеквадратического отклонения сигнала от эталона. Выявлены новые свойства оптимального пространственного фильтра: наличие на входе и выходе пространственного фильтра дополнительной корреляционной составляющей суммы помех; зависимость показателя эффективности оптимального пространственного фильтра от угла сканирования первой помехи. Представлены искажения диаграммы направленности в декартовой, логарифмической и полярной системах координат. Определены параметры сигнально-помеховой обстановки, приводящие к недопустимому снижению эффективности пространственного фильтра. Определен характер изменения
отношения сигнал/шум плюс помеха на выходе оптимизированной антенной решетке при различных значениях коэффициента корреляции.
Ключевые слова: адаптивная антенная решетка, взаимно коррелированная помеха, диаграмма направленности, сигнально-помеховая обстановка, эффективность пространственного фильтра, критерий минимума среднеквадратического отклонения сигнала от эталона.
Введение
Адаптивные антенные решетки (ААР) используются в радиолокационных и инфотелекоммуникационных системах [1, 2, 3, 4, 5]. Вопросы теории ААР рассмотрены во многих работах. Самым важным в их описании является определение показателя или критерия оптимальности ААР [6, 7], который определяется выбором характеристик различия между сигналом и помехами.
Например, такие критерии, как максимум отношения сигнал/шум, максимум отношения правдоподобия используют различие в направлениях прихода сигнала и помех, а оптимальное решение формирования весовых коэффициентов в установившемся режиме даже не содержит самого сигнала [6]. При этом полезный сигнал на выходе ААР, как и помехи, может быть подавлен. Известные критерии оптимальности ААР с защитой главного лепестка диаграммы направленности подавляют сигнал уже при небольшом отклонении направления на сигнал от направления защиты [8, 9, 10]. С другой стороны, критерий минимума среднеквадратического отклонения (МСКО) выходного сигнала от эталона учитывает
структуру полезного сигнала и текущую сигнально-помеховую обстановку, не требуя при этом априорной информации о направлении прихода помехи [6, 11].
Анализ ААР с оптимизацией по критерию МСКО без учета взаимной коррелированности помех выполнен в трудах авторов [8, 11, 12, 13]. Однако анализ влияния нескольких взаимно коррелированных помех на характеристики ААР не нашел широкого отражения в доступной литературе. Такие условия корреляции обсуждаются только для критериев максимума отношения сигнал/(помеха+шум) (С/(П+Ш)), мощности собственных шумов и помех и др., но в ограниченном объеме [12, 14].
Цель данной статьи состоит в выявлении на основе вычислительного эксперимента в среде ЫайаЪ новых качественных свойств и уточнении количественных характеристик ААР с критерием оптимальности МСКО при наличии взаимной коррелированности помех и изменении параметров сигнально-помеховой обстановки.
В статье моделируется только оптимизированная ААР без рассмотрения режима установления оптимального решения, как например, в монографии [15]. В результате исследования показано, что при взаимной корреляции помех появляются дополнительные составляющие помех, названные в статье корреляционными. От величины неэнергетического параметра сигнально-помеховой обстановки (коэффициента корреляции) зависит энергетическая характеристика суммарной мощности помех.
Математическая постановка задачи исследований
Формирование модели сигнально-помеховой обстановки. Поскольку операция оптимального взвешенного суммирования сигнала и помех с выходов элементов АР является линейной, то достаточно выбрать модели сигнала и помех в рамках корреляционной теории. В качестве такой модели, как известно в работе [16, 17, 18], можно принять квазиузкополосный случайный процесс 5 (*:) на несущем колебании частоты со случайными амплитудой А ( и фазой ф ( t ) :
в (0 = А ( 0 * +(Р (с) ] = А ( 0 е* ш
где А (¿) = А ( е" (с) - комплексная амплитуда.
Будем считать, что на вход линейной эквидистантной АР поступают квазиузкополосный сигнал и две помехи на совпадающих частотах несущих колебаний, воздействующие с различных направлений. Для компактности формул полезный сигнал будем индексировать буквой «с», шум - буквой «ш», помехи -только порядковыми номерами 1 и 2. Мощности сигнала, собственного шума антенного элемента и помех, соответственно, обозначены Рс, Рш, Р2. Углы прихода сигнала и помех относительно перпендикуляра к линии расположения элементов АР равны , соответственно.
На выходах элементов АР имеем отклики сигнала, помех и собственных шумов элементов АР. Мощности собственного шума в каждом элементе АР примем одинаковыми и равными Рш. Для удобства вычислений уровни сигнала, 1-й помехи и шума на выходе одного элемента АР будем выражать в относительных единицах:
Чс = Рс/Рш, 41 = Рь/Рш (£ = 1-2), = Рш/Рш = 1.
Представим амплитуды напряжения сигнала, помех и шума в относительном виде, соответственно, 5С//ЦС , 5 ¿/Ц, Ящ/ЧШ , причем для введенных случайных составляющих амплитуд справедливо соотношение , где
знак статического усреднения.
Векторы сигнала, помех и шума на выходах элементов АР запишем в виде:
*с 5сд/ цс К 5 ¿д/ Ц ¿И. ¿ ( I 1 , 2 ) , 7.ш 5 ш // Ц ш иш .
Собственные шумы элементов АР имеют одинаковую мощность, взаимно не коррелированы, не коррелированы с сигналом и помехами. Тогда ковариационная матрица вектора шумов элементов АР представляет собой квадратную матрицу I с единицами по главной диагонали, а именно ( гШгШ+) = I, где + - знак эрмитова сопряжения.
Сигнально-помеховая обстановка на выходе элементов АР полностью определяется ковариационной матрицей вектора откликов (напряжений) с выходов элементов АР.
Вычисление весовых коэффициентов при оптимизации антенной решётки по критерию МСКО. При анализе характеристик АР будем считать, что векторы помех коррелированы между собой, но не коррелированы с сигналом.
Структурная схема антенной решётки с адаптацией по критерию МСКО
представлена на рис. 1, где введены следующие обозначения:
XV = ( и1,и2, . ■ ■, иг,... , ) т - вектор весовых коэффициентов (ВВК); ( . . . ) т - знак
5
Труды МАИ. Выпуск № 111 http://trudymai.ru/
транспонирования; х = (хх,х2, . ■ .,xl,.. . ,xL ) т - вектор напряжений на выходах
элементов АР; - напряжение на выходе сумматора ААР; d ( t) - эталонный
сигнал; £ ( t) = [d ( t) — ; ( t) ] - разность эталонного и выходного сигналов;
w 0 р t - оптимальный ВВК.
В качестве эталона d ( t) обычно принимается полная копия полезного
сигнала s ( t) [11].
Оптимальная пространственная селекция помех в рассматриваемой адаптивной АР (рис. 1) осуществляется по критерию МСКО, согласно которому вычисляется оптимальный вектор весовых коэффициентов w 0 р t по формуле [6, 19]:
wop t = R - d , (1)
где R - общая ковариационная матрица вектора откликов с выходов элементов АР; R d - корреляционный вектор эталонного сигнала.
Общая ковариационная матрица R вектора откликов с выходов элементов АР:
R = ((zc + z±+z2 + zj (zc + z±+z2+ zj+) = R c+ R HKn + R Kn = R C + M, (2)
будет содержать ковариационную матрицу сигнала Rс = цс !гс кс + и полную ковариационную матрицу помех:
М = Rnкn + Rкп , (3)
включающую в себя две составляющие:
Rи к п = ц гк гк + ц 2Н 2Н 2+ + I - ковариационную матрицу взаимно некоррелированных помех и шума;
Rкп = Ч 2V ц 2КН 2+ + Ч 24^2^1 = Ч 2 + + ) -
матрицу взаимной корреляции первой и второй помех.
При вычислениях учтен порядок перемножения фазоров [12] сигнала 1гс и помех в ковариационной матрице принимаемых векторов комплексного вида. Фазоры сигнала и помех для линейной эквидистантной АР имеют вид:
Г 1 1 Г 1 1 г 1 -1
е-]Ч>с e-j4>2
К = e~jl4>c ; К = e-Ji<Pi ; h2 = е~]1Ц>2
Здесь Ь - число элементов АР; р - фазовый набег между соседними
А ТЛ " 2лй . „
элементами АР, определяемый для сигнала и помех выражениями рс = ——бтвс;
я
Р ь = твI , где X - длина волны несущего колебания; й - расстояние между
я
соседними элементами АР; вс и вь - углы прихода сигнала и /-ой помехи
относительно вертикали к линии расположения элементов АР.
Составляющие вектора эталонного сигнала в формуле определения
оптимального ВВК (1) представляют собой значения взаимно ковариационной
функции вектора входного сигнала х и скалярного опорного сигнала с(( t ) [11],
которая при взаимной корреляции помех принимает вид:
Я а = {х-( (0 ) = Чс Ис . (4)
Полученные формулы (2) - (4) позволяют вычислить значения вектора весовых коэффициентов IX 0рг (1) и построить оптимальную ДН для текущего состояния сигнально-помеховой обстановки.
Результаты вычислительного эксперимента Условия проведения эксперимента. Эксперимент проводился при следующих исходных данных: число элементов эквидистантной АР Ь = 5, расстояние между соседними элементами АР ( = X / 2 . Уровни сигнала, первой и второй помех на входе АР, соответственно, равны чс вх = 100, ц ± вх = ц 2 вх = 5 0 0. При численном моделировании изменялись углы прихода помех и коэффициент корреляции г между помехами в диапазоне [0, 1]. Угол прихода сигнала 6с принят равным нулю. Угол прихода первой помехи вг является переменной величиной, изменяющейся в пределах [-90°, 90о] относительно нормали к линии решетки. Углы прихода второй помехи в2 имели фиксированные значения: -8о, -16о и 35о, первое и второе направления попадают в основной лепесток диаграммы направленности, а последнее - соответствует максимуму первого бокового лепестка обычной АР.
Вычисления уровней сигнала и помех на выходе ААР. В данной статье при определении уровней сигнала и помех на входе и выходе ААР принимается правило, согласно которому объединенной помехой считается все, что не относится к сигналу. Корреляционную составляющую суммарной мощности помех будем называть корреляционной помехой. Суммарная мощность взаимно коррелированных помех оказывается большей, чем простая сумма мощностей, воздействующих на АР независимых помех.
Вычисление уровней сигнала и помех производилось по следующим формулам:
1. Уровень сигнала на входе ААР вычисляется по формуле:
Ч свх Чс-
2. Уровень сигнала на выходе ААР вычисляется по формуле:
Чс вых = ^ор^^-с^орг ■
3. Суммарный уровень взаимно коррелированных помех на входе адаптивной антенной решетки вычисляется по формуле [20]:
Чп вх = Ч1 + Ч2 + 2 г± 2// ч гЧ 2 +Чш = Ч1 + Ч2 + 2 г± 2 / ч гЧ 2 + 1.
4. Суммарный уровень помех на выходе ААР вычисляется по формуле:
Чп вых — Мор1 + Ммор{:.
Диаграмма направленности ААР рассчитывается по формуле:
/ ( в ) = х+ор гИ (в ) ,
где И (в) - фазор задания направления для построения ДН, в - угол прихода сигнала относительно вертикали к линии расположения элементов АР.
При моделировании выбраны следующие показатели качества ААР:
- вид диаграммы направленности;
- КС вх = ЧС вх/Чп вх - отношение «сигнал/(помехи+шум)» на входе ААР;
- К(С/п) в ых = Чс в ых/Чп в ых ~ отношение «сигнал/(помехи+шум)» на выходе ААР с оптимизированным ВВК.
Построение диаграмм направленности ААР. Подавление помехового сигнала достигается за счет управления положениями нулей диаграммы направленности (ДН) и уменьшения уровня боковых лепестков в направлении источников помех [6, 8, 11, 12]. Вид ДН ААР определяется текущим значением ВВК х0рг (1). На рис. 2 приведены графики зависимостей модулей составляющих оптимального вектора весовых коэффициентов ААР, определяющих форму ДН, от значений коэффициента корреляции г помех.
Графики построены для углов прихода первой 91 = 35° и второй 02 = -8° помех. Видно, что модули составляющих оптимального ВВК меньше единицы, что определяет уменьшение максимума ДН ААР по отношению к максимуму ДН стандартной АР. Кривые показаны при наиболее информативно значимых величинах коэффициента взаимной корреляции г, обеспечивающих наилучшую наглядность графиков. Графики показывают, что наиболее существенные изменения происходят при близких к единице значениях г.
3 0.2 /
о
т ч
сз у*
й 0.15 -1-1-1-
1 2 3 4 5
Номер элемента антенной решетки
Рис. 2. Значения модулей составляющих ВВК оптимизированной АР при заданных значениях коэффициента взаимной корреляции r между 1-ой и 2-ой помехой Назовем квазинормированной диаграмму направленности ААР, нормированную относительно максимума ДН стандартной АР, т.е. с простым суммированием. Использование такой характеристики позволяет наглядно сравнить характеристики ААР с характеристиками стандартной АР и проанализировать изменение ДН оптимизированной АР при увеличении коэффициента корреляции r между помехами.
На рис. 3 и рис. 4 приведены квазинормированные ДН в различных системах координат при заданных значениях коэффициента r. Сплошная кривая с маркерами в виде кружков на рис. 3 показывает нормированную ДН стандартной АР и позволяет увидеть изменение характеристик ААР в соответствии с критерием МСКО для оптимального подавления взаимно коррелированных помех. Угол
тсО
прихода первой помехи составляет 35 и совпадает с положением максимума первого бокового лепестка ДН стандартной АР. Вторая помеха при 62 = -8° попадает в главный лепесток.
Угол О, град Угол в, град
а) б)
Рис. 3. Квазинормированное значение множителя антенной решетки при заданных значениях коэффициента корреляции г между 1-ой и 2-ой помехой: а) в декартовой системе координатах, б) в логарифмическом масштабе Диаграмма направленности ААР искажается, главный лепесток уменьшается по амплитуде и отклоняется от помех (рис. 4), а в направлениях помех вп1 = 24,40 и #п2 = -50 формируются «нули» ДН (рис. 3, 4). Графики показывают, что вид ДН и глубина «нулей» в направлении помех практически не зависят от величины коэффициента взаимной корреляции помех до значений г = 0,95, и лишь при значении г, близком к 1, амплитуда ДН и глубина «нулей» резко уменьшаются. Такие изменения полностью согласуются с графиками значений оптимального ВВК w0pt на рис. 2.
Следует отдельно отметить, что с увеличением коэффициента корреляции при г > 0,95 резко ухудшается и степень подавления помех за счет уменьшения глубины «нуля» в направлении обеих помех. Это наглядно демонстрируют кривые на рис. 5, согласно которым глубина «нулей» в направлении обеих помех уменьшается от минус 74-89 дБ до минус 13-27 дБ.
Рис. 4. Квазинормированное значение Рис. 5. Зависимость глубины нулей ДН
множителя антенной решетки в
в направлении помех 61 = 35° и 62 = -8°
полярной системе координат
от коэффициента корреляции г между
помехами
Имеющее место уменьшение максимума диаграммы направленности ААР относительно ДН стандартной неоптимизированной АР приводит к уменьшению коэффициента усиления ААР в направлении полезного сигнала, что следует учитывать при энергетическом расчете радиолинии, включающей оптимальный пространственный фильтр.
Определение значения отношения С/(П+Ш) от значения коэффициента взаимной корреляции первой и второй помех. На рис. 6 представлены графики изменения отношения С/(П+Ш) на выходе ААР с оптимальным ВВК при разных заданных значениях коэффициента взаимной корреляции г помех в отсутствие корреляции с сигналом для двух разных углов прихода 2-ой помехи: 62= -8 и 62 = 35°.
Вид графиков на рисунке 6 позволяет сделать следующие выводы:
1) чем ближе угол прихода второй помехи к углу прихода сигнала, тем, как и ожидалось, меньше отношение С/(П+Ш) при нахождении первой помехи в области боковых лепестков ДН АР;
2) максимальную величину отношение С/(П+Ш) имеет при совпадении углов прихода обеих помех (в области сформированного нуля ДН ААР), причем от коррелированности помех эта величина мало зависима;
3) ширина провала с уменьшением отношения С/(П+Ш) в максимуме ДН больше при меньшем различии между углами прихода второй помехи и сигнала;
4) при значении коэффициента корреляции r, близком к единице, отношение С/(П+Ш) на выходе оптимизированной АР минимально;
Угол в прихода 1 помехи, град Угоп в прихода 1 помехи, град
а) б)
Рис. 6. Отношение С/(П+Ш) при различных значениях коэффициента корреляции г между 1-ой и 2-ой помехами на выходе оптимизированной АР при воздействии 2 помехи с угла: а) 62= -8°, б) 62= 35°
5) слабая корреляция помех практически не влияет на выходное отношение С/(П+Ш) в области боковых лепестков. Однако при значениях коэффициента г >
0,95 наблюдается его резкое падение и при r > 0,995 происходит полное подавление
полезного сигнала.
Зависимость динамики изменения отношения С/(П+Ш) на входе и выходе оптимизированной АР от уровня взаимной корреляции помех показана на рис. 7.
- отношение С/(П+Ш) на входе АР
---отношение С/(П+Ш) на выходе АР
"о 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Значение коэффициента корреляции г
Рис. 7. Динамика изменения отношения С/(П+Ш) на входе и выходе оптимизированной АР от значения коэффициента корреляции r при вп 2 = -8° Видно, что входное отношение С/(П+Ш) из-за наличия корреляционной составляющей помех плавно уменьшается с увеличением коэффициента r.
Графики зависимости отношения С/(П+Ш) на выходе оптимального пространственного фильтра построены для фиксированного угла прихода первой помехи в области боковых лепестков. Как следует из рисунка, взаимная корреляция помех при r < 0,9 мало влияет на величину отношения С/(П+Ш) на выходе ААР в области боковых лепестков ДН АР, а при r > 0,95 влияние резко увеличивается. При значении r=1 отношение С/(П+Ш) становится существенно меньше единицы и подавления помех не наблюдается. Графики изменения коэффициента подавления
помехи на выходе АР Кп0 д = qсвых, вых отдельно не приводятся. Его значение
<7с вх/ <7п вх
легко определить, поделив отношение С/(П+Ш) на выходе ААР на отношение
С/(П+Ш) на входе АР. Моделирование показывает, что динамика изменения коэффициента подавления совпадает с видом пунктирного графика на рис. 7. Для случая взаимно коррелированных помех коэффициент подавления при
г = 0 и Кп од = 3,3 при г = 1.
Таким образом, взаимная коррелированность помех более действенна только при больших значениях коэффициента корреляции. При воздействии взаимно коррелированных помех эффективность оптимального пространственного фильтра резко падает только при г > 0,99. Такая двойная помеха может быть названа объемной.
Заключение
1. Взаимная коррелированность между двумя помехами существенно влияет на характеристики оптимального пространственного фильтра, уменьшая степень подавления помех и изменяя вид диаграммы направленности ААР.
2. При взаимной коррелированности помех значения коэффициента корреляции существенно значимы при значении г, близком к единице.
3. Взаимная коррелированность двух помех приводит к изменению вида ковариационной матрицы принимаемых сигналов и помех на выходах элементов АР. На входе и на выходе устройства пространственного фильтра появляется дополнительная помеховая составляющая, названная в статье корреляционной помехой.
4. Компьютерное моделирование позволило качественно и количественно определить, что оптимальный пространственный фильтр при значениях коэффициента корреляции r > 0,99 теряет свои свойства селекции.
Библиографический список
1. Шмачилин П.А., Шумилов Т.Ю. Матричная диаграммообразующая схема цифровой антенной решётки // Труды МАИ. 2019. № 109. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID= 111382. DOI: 10.34759/trd-2019-109-12.
2. Миронов А.Н., Цветков К.Ю., Ковальский А.А., Пальгунов В.Ю. Методика обоснования возможности и условий продления назначенных показателей срока службы антенных систем наземных станций измерительного комплекса космодрома // Труды МАИ. 2018. № 99. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=91968
3. Шелудяк Т.Б. Модель системы приёма цифровой телевизионной информации в наземном комплексе управления космическими аппаратами // Труды МАИ. 2018. № 103. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=100816
4. Surendra P. Linear antenna arrays with broad nulls with applications to adaptive arrays // IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1979, vol. AP-27, no. 2, pp. 185 - 190.
5. Лялин К.С., Хасанов М.С., Мелёшин Ю.М., Кузьмин И.А. Спектральный метод подавления боковых лепестков автокорреляционной функции длинных псевдослучайных бинарных последовательностей // Труды МАИ. 2018. № 103. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID= 100800
6. Монзинго Р.А., Миллер Т.У. Адаптивные антенные решетки: Введение в теорию. - М.: Радио и связь, 1986. - 448 с.
7. Звонарев В.В., Попов А.С., Худик М.Ю. Методика расчета вероятности ошибки посимвольного приема дискретных сообщений при наличии помех // Труды МАИ. 2019. № 105. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=104213
8. Пименов В.Ф., Попов А.С. Исследование эффективности оптимальной пространственной селекции помех в линейной антенной решетке по критерию минимума среднеквадратического отклонения // Труды ВКА имени А.Ф. Можайского. 2019. № 666. С. 77 - 83.
9. Zahm C.L. Effect of Errors in the Direction of Incidence on the Performance of an Adaptive Arrays // Proceedings IEEE, 1972, vol. 60, no. 8, pp. 1008 - 1009.
10. Попов А.С. Пространственная селекция помех при разнесенном приеме сигнала // Приборостроение. 2017. № 1. С. 39 - 44.
11. Widrow B., Mantey P.E., Griffiths L.J., Goode B.B. Adaptive Antenna Systems // Proceedings of the IEEE, 1967, vol. 55, no. 12, pp. 2143 - 2159.
12. Пистолькорс А. А., Литвинов О. С. Введение в теорию адаптивных антенн. -М.: Наука, 1991. - 200 с.
13. Лихачев В.П., Сидоренко С.В. Помехоустойчивость алгоритма автофокусировки изображений по минимуму энтропии при сложной фоновой обстановке // Труды МАИ. 2018. № 99. URL: http: //trudymai. ru/published.php?ID=92074
14. Харкевич А.А. Борьба с помехами. - М.: ЛИБРОКОМ, 2009. - 280 с.
15. Джиган В.И. Адаптивная фильтрация сигналов: теория и алгоритмы. -М.: Техносфера, 2013. - 528 с.
16. Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения. - М.: Мир, 1971. - 317 с.
17. Нгуен Ван Зунг. Помехоустойчивость корреляционного приемника сигналов с многопозиционной фазовой манипуляцией при наличии ретранслированной помехи // Журнал радиоэлектроники. 2019. № 3. C. 1. D0I:10.30898/1684-1719.2019.3.4
18. Popov A.S., Kraplin M.E. The technique of direct calculation of noise immunity of the optimal coherent reception of multiposition-keyed radio signal // Lasers for Measurements and Information Transfer, 2003, vol. 5066, pp. 281 - 291. DOI: 10.1117/12.501678
19. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1966. - 577 с.
20. Финк Л.М. Теория передачи дискретных сообщений. - М.: Советское радио, 1970. - 728 с.
