CC BY
1225.00.17 Разработка и эксплуатация (технические науки)
DOI: 10.31660/0445-0108-2019-2-97-103
УДК 532.546:949.8
Моделирование влияния неоднородности наклона пласта
на противоточную капиллярную пропитку
И. Г. Телегин
Тюменский индустриальный университет, г. Тюмень, Россия e-mail: igtelegin@yandex.ru
Аннотация. Капиллярная пропитка является важнейшей стадией многих технологических процессов. В работе изучается частный вопрос о влиянии непостоянного наклона на решения задачи противоточной капиллярной пропитки в изотермическом случае.
Ключевые слова: двухфазная фильтрация; капиллярное давление; водона-сыщенность; противоточная капиллярная пропитка
Modeling of influence of heterogeneity gradient for counter-current
capillary imbibition
Igor G. Telegin
Industrial University of Tyumen, Tyumen, Russia e-mail: igtelegin@yandex.ru
Abstract. Capillary imbibition is the most important stage in many technological processes. The article is devoted to studying the special question of the influence of the non-constant slope on the solutions of counter-current capillary imbibition problem in the isothermal case.
Key words: two-phase filtration; capillary pressure; water saturation; counter-current capillary imbibition problem
Введение
Капиллярные силы в моделях двухфазной фильтрации играют важную роль в процессах капиллярного впитывания смачивающей жидкости в пористые среды, насыщенные несмачивающей жидкостью или газом. Это явление, называемое капиллярной пропиткой, имеет место в технологиях добычи нефти и газа, почвоведении, химической промышленности и т. д. [1, 2]. В настоящей работе изучается частный вопрос о влиянии непостоянного наклона пласта на решения задачи про-тивоточной капиллярной пропитки в изотермическом случае. Отметим, что подобная задача применительно к модели фильтрации Рапопорта — Лиса изучалась в работе [3].
Уравнения модели
Одномерная модель капиллярной пропитки двух несмешивающихся жидкостей в однородной пористой среде с учетом массовых сил имеет вид [1, 2]
m| = А (*)((-%^) - /1)) , (1)
dt dx dx dx
где t — время; x — пространственная координата; 0 < x < L, s = (sw - SW) /(1 - SW - S°) — динамическая насыщенность смачивающей фазы (воды); sw — истинная насыщенность смачивающей фазы, (SW, S°) = const —
остаточные водо- и нефтенасыщенности; m = m0 (1 - SW - SO); m0 — открытая
пористость коллектора; K = const — абсолютная проницаемость пласта; a0(s) = kW(s)ko(s)/(Mo(kW(s) + fko(s))), pc(s) = (m0/K)l,2qj(s) — капиллярное давление; с — коэффициент поверхностного натяжения; j(s) — функция Леверетта; k,(s) — относительные фазовые проницаемости (нижний индекс w означает воду; а o — нефть); м = Mw/fo, Mi — вязкости; / = (pw - po)g ■ eX , g ■ eX = g ■ cos(g, eX), eX — орт вектора оси OX (ось ОХ направлена от подачи воды к линии отбора жидкости); g — ускорение свободного падения, pw — плотность воды; po — плотность нефти; v — скорость фильтрации смачивающей фазы (воды). Отметим, что kw(0) = ko(1) = j(1) = 0; j(s) > 0, 1 > s > 0. Для уравнения (1) будем изучать следующую начально-краевую задачу:
s lx=0 = 1, v lx=L = 0, s It=0 = so (x) = 0. (2)
Для проведения численных экспериментов перейдем к безразмерным переменным: хЬ = х^ и 4 = ст(К0от0)0'5/(мо12да) /. Нижний индекс Ь у переменных х и t в дальнейшем опускается. Систему (1)-(2) в безразмерных переменных можно записать в виде
^ = А(a(s)(-- Ga(s));
dt dx dx (3)
s |x=0 = 1; a(s)(-djs)) - Ga(s) U = 0;s U = 0,x e (0,1],
ox
где ф) = к^)к0^)/(к^) + рК^)), О = ■ (рк - ра )[§ • ех .
Особенности вычислительного алгоритма
Введем сетку с распределенными узлами
е = {х;= ш, = пт, п = 0,1,2,____, 1=0,...,:ы},
И = 1/Ы — шаг по пространственной координате, т = КИ2 — шаг по временной переменной, К = т/И2. Шаг И был взят равным 0,005 (Ы = 200), т = 0,00025. Аппроксимируем уравнение для водонасыщенности явно-неявной разностной схемой второго порядка, которая в обозначениях, принятых в работе [4], имеет вид
я+1 _ я р _
= 7(4+1/2(_]УХ+ _ 2(_Л)Х+') _ (Оа)Я , /■ = 1,N _ 1;
т И Х,1
п+1 _ я 2С ЛЫ ЛЫ _ „х , ах+1 (ГчХ . 1-=--Т аЫ_1/2 (_Л Х,N _ (Оа)Х,N; (4)
т И
S(Х = s0Х+1 = 1; s0 = 0,1 = ТЫ,
где 0+1/ 2 = а((вП + 5г"ц) / 2). Для нелинейной функции ) использовалась линеаризация по Ньютону: ) = ЛвЩ) + ^^1 ) (5г"+1 - в?). Для численного решения
ds
системы (4) применялся метод правой прогонки. Для контроля и анализа полученных решений на каждом временном шаге вычислялись две основные характеристики процесса вытеснения: х() — предельная точка распространения фронта во-
1
донасыщенности; П) = ^ х,1 )dx 100% — обводненность нефтяного пласта, чис-
0
ленное интегрирование проводилось по формуле трапеций. При этом через щК(1) обозначим обводненность по классической модели с О = 0, цО(() — обводненность по модели с зависимостью О от х.
При проведении расчетов использовалось отношение вязкостей ц равное 0,1. Функции фазовых проницаемостей были взяты из работ [5, 6]
= 0,12^ 6 + 0,35в3 6, ад = 0,64((1- в)/(1 + в))1,05,
функция Левереттаобобщенного вида была взята в виде
№ = с1 - с/ + (1 - С1Х1 - с > 1, ® > 1, 0 < с1 < 1,
в работе полагались С = ® = 5, С1 = 0,5.
Численное моделирование гравитационной ловушки
Типы гравитационных ловушек. При изучении фильтрации двух несмешиваю-щихся жидкостей можно выделить два типа гравитационных ловушек:
1) Гравитационная ловушка для воды (рис. 1 а), нефтенасыщенный пласт можно описать как «выпуклый вниз пласт».
2) Гравитационная ловушка для нефти, (рис. 1 б), продуктивный пласт описывается как «выпуклый вверх пласт».
Рис. 1. Схемы гравитационных ловушек:
А) «выпуклый вниз пласт»; Б) «выпуклый вверх пласт»
Изгиб продуктивного слоя опишем следующей зависимостью:
О(х) = О0 • /(х).
Функции f(x) могут быть разными, в данной работе полагалось f(x) = cos(nx), рассмотрим два варианта:
• G0 >0 — изгиб пласта вниз или гравитационная ловушка для воды (см. рис. 1 а);
• G0 < 0 — изгиб пласта вниз или гравитационная ловушка для нефти (см. рис. 1 б).
Особенности решений противоточной пропитки при G = const. На рисунке 2 приведены графики при G = 2. Использование G > 0 соответствует вытеснению с верхнего края пласта. Особенностью решений в этом случае является согласован, , dj(s)чЧ
ный характер действий капиллярного (a(—) и гравитационного потоков
дх
(-Ga), что приводит к опережающему по сравнению с вариантом G = 0 обводнению пласта и ускоренному продвижению x(t) к правому краю. После достижения фронтом водонасыщенности нижнего края пласта происходят накопление воды в нижней части пласта (х = 1) и всплытие нефти. Накопление воды моделируется
краевым условием на правом конце, при котором производная — |x=j = G/( - dd(s ^ )
дх ds
становится больше 0, и в точке х = 1 возникает локальный максимум.
На рисунке 3 приведены профили решений при G = -2. Применение G < 0 соответствует вытеснению с нижнего края пласта. В этом случае характер действий
капиллярного (a(- d (s))) и гравитационного потоков (-Ga) разнонаправлен, что
дх
приводит либо к медленной пропитке (по сравнению с классическим вариантом G = 0), либо к стационарному решению sG(x) = j-1(—G ■ х) , G <-1, х е (0,1 / | G \) (рис. 3).
Рис. 2. Решения s(x, t) c G = 2 Рис. 3. Решения s(x, t) c G = -2
Моделирование гравитационной ловушки для воды
На рисунке 4 приведены решения, полученные при G0 = 2, остальные параметры, соответствующие обводненности, выведены на рисунке 5. Из рисунков очевидно, что решения при G Ф const сильно отличаются от решений при G = 0 и G = 2, однако есть схожие черты с решениями при G = -2. Процесс пропитки при G Ф const можно разделить на три этапа:
1) первый этап 0 < t < интенсивная пропитка, ее особенности:
• х() движется быстрее, чем по модели с G = 0, но медленнее, чем по модели с G = 2;
• решения /) поднимаются в промежутке 0 < х < 0,5 и опускаются в промежутке 0,5 < х < 1 по сравнению с решениями по модели О = 2;
• обводненность примерно соответствует обводненности по модели
2) второй этап tJ < t < t2 , накопление воды в центре и с левого края пласта, особенности этого этапа:
• фронт xftjt) движется медленно, это приводит к обгону фронтом xft) по модели с G = 0;
• решения s(x, t) на промежутке 0,5 < x < J напоминают решения, полученные при G < 0 (см. рис. 3);
• обводненность n(t) расположена выше и почти параллельно с nK(t);
3) третий этап t2 < t < t3 , выход на стационарное решение s = 1, особенности этой стадии:
• в точке x = J формируется локальный минимум как в случае с G = -2;
• обводненность выходит на 100 %, как и в модели с G = 2.
Как показал анализ рисунков 5 и 6, пропитка гравитационной ловушки для воды (G Ф const) имеет некоторые черты решения пропитки снизу (G = -2), более того, при значениях G0 > GJ можно, как и в случае пропитки снизу, получить стационарные решения sG(x) не равные 1 на всем отрезке [0,1]. При использовании приведенных выше параметров значение Gi приблизительно равно 3,17, примером решения при G0> 3,17 является распределение s(x, t) на рисунке 6 с G0 = 4.
Для изучения влияния G0 на обводненность с разными G0 была проведена серия расчетов, результаты представлены на рисунке 7. Из рисунков 5 и 7 можно вывести следующие закономерности:
• чем больше G0, тем выше Па в начальные моменты времени;
• графики nG и щК дважды пересекаются при GJ > G0> 2,62, t > 0;
• при G0 > GJ график nG выходит на константу (меньшую 100 %) и пересекается с графиком цК один раз, t > 0;
• чем больше G0 > GJ , тем быстрее прекращается процесс пропитки;
• графики с разными пересекаются, в данном случае на интервале 3 < t < 4,5.
с G = 2;
0.0
0.2 0.4 0.6
0.8 X 0.6
0
Рис. 4. Гравитационная ловушка для воды, решения s(x, t), G0=2
Рис. 5. Обводненности к рисунку 5
Моделирование гравитационной ловушки для нефти
На рисунке 8 представлены решения, полученные при G0 = -1,2. Из рисунка видно, что решения при G Ф const имеют схожие черты с решениями при G = -1,2 и G = 1,2. Процесс пропитки при G Ф const можно разделить на три этапа:
1) первый этап, пропитка сходная с пропиткой при G = -1,2, небольшое отличие пропитки с G Ф const заключается в ускоренном продвижении фронта х_^);
2) второй этап, быстрое продвижение фронта х() к правому концу;
3) выход на стационарное решение sG^) Ф const, особенностями этого решения являются:
• опускание решения в окрестности х = 0 по сравнению с вариантом G = -1,2;
• формирование небольшого локального максимума в точке х = 1.
Параметр G0 играет важную роль в формировании структуры решения s^,t),
так при G0 = -1,2 решение эволюционирует до стационарного sG^) за три этапа, а при G0 < -3,15 решение выходит на sG^) за один этап (рис. 9). В этом варианте стационарное решение сильно напоминает стационарное решение с G = const, G < 0.
Рис. 6. Гравитационная ловушка для воды, решения s(x, t), G0=4
Рис. 7. Обводненности при разных G > 0
Рис. 8. Гравитационная ловушка для нефти, решения s(x, t), G0 = -1,2
Рис. 9. Гравитационная ловушка для нефти, решения s(x, t), G0 = -3,2
Увеличение G0 приводит к уменьшению разницы с классическим вариантом G = 0, при этом решение s(x, t) эволюционирует за те же три этапа уже к sG(x) = 1. Для сравнения обводненностей с разными G0 проведена серия расчетов, результаты представлены на рисунке 10. Из рисунка видно, что нефтеотдача при пропитке гравитационной ловушки для нефти зависит от G0, уменьшение G0 приводит к снижению нефтеотдачи и быстрой остановке процесса вытеснения. Существенная доля нефти остается невыработанной.
Выводы
Из представленных расчетов очевидно, что влияние гравитационного потока (-Ga) на решения пропитки довольно существенно и приводит к формированию разнообразных решений. В связи с тем, что детальное распределение водонасы-щенности в пласте неизвестно, нефтяникам приходится анализировать функцию обводненности. Из данной работы следует, что по отклонению кривой контрольной обводненности цК от фактической можно определить, присутствуют ли в пласте антиклинальные и синклинальные складки и другие геологические особенности нефтяной залежи. Эту информацию можно использовать для оптимизации процесса разработки.
Рис. 10. Обводненности при разных G < 0
Библиографический список
1. Рыжик В. М. О механизме капиллярной пропитки пористой среды // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. - 1959. - № 1. - С. 151-153.
2. Рыжик В. М. О капиллярной пропитке нефтеносного гидрофильного пласта // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. - 1960. - № 2. - С. 149-151.
3. Бочаров О. Б., Телегин И. Г. О влиянии неоднородности наклона пласта на процессы нефтедобычи // Известия высших учебных заведений. Нефть и газ. - 2010. - № 5. - С. 65-70.
4. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. - М.: Наука. - 1971. - 552 с.
5. Бочаров О. Б., Телегин И. Г. Численное моделирование термокапиллярной проти-воточной пропитки // Теплофизика и аэромеханика. - 2005. - Т. 12, № 3. - С. 433-444.
6. Бочаров О. Б., Телегин И. Г. Сравнение модели фильтрации несмешивающихся жидкостей с фазовыми подвижностями и модели Маскета — Леверетта // Теплофизика и аэромеханика. - 2004. - Т. 9, № 4. - С. 597-605.
Сведения об авторе
Телегин Игорь Григорьевич, к. ф.-м. н., доцент кафедры разработки и эксплуатации нефтяных и газовых месторождений, Тюменский индустриальный университет, г. Тюмень, e-mail: igtelegin@yandex.ru
Information about the author
Igor G. Telegin, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor at the Department of Development and Exploitation of Oil and Gas Fields, Industrial University of Tyumen, e-mail: igtelegin@yandex.ru
