CC BY
246
15.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВАЛЮТНЫХ КУРСОВ ЧЕРЕЗ ОДНОМЕРНУЮ ОБРАТНУЮ ДИНАМИЧЕСКУЮ ЗАДАЧУ СЕЙСМИКИ
Лещев Владимир Владимирович, аспирант МФТИ ГУ Контакты автора: [email protected]
Аннотация. В статье приведены результаты исследования прогнозирования валютных курсов с использованием интегрального уравнения Гельфанда-Левитана. Доказана теорема о применимости метода для валютных пар, проведено численное моделирование с успешным результатом.
Ключевые слова: прогнозирование валютных курсов, уравнение Гельфанда-Левитана, математическое моделирование
THE MODELLING OF EXCHANGE RATES THROUGH AN ONEDIMENSIONAL INVERSE DYNAMICAL PROBLEM OF SEISMICITY
Leschev Vladimir Vladimirovich, graduate student MIPT
Annotation: The results of research of exchange rates prognostics using Gelfand-Levitan's integral equation are shown in the article. The theorem of applicability of a method for currency pairs is proved, numerical modelling is spent with successful result.
Keywords: exchange rates prognostics, Gelfand-Levitan's equation, mathematical modelling
Для России, которая находится в условиях экономических реформ, вопросы прогнозирования событий на валютном рынке являются особенно актуальным как на макро-, так и на микроуровне. Причинами такого положения являются постоянные колебания на мировом валютном рынке, большое количество факторов, влияющих на курс валюты, и их неопределенность, отсутствие однозначных аналитических зависимостей между входными и выходными параметрами моделей, используемых в настоящее время для прогнозирования валютного курса. Все это определяет значительную сложность задач, связанных с прогнозированием валютных курсов и обуславливает актуальность темы данной статьи.
С 1 февраля 2005 года Центральным банком РФ было введено понятие бивалютной корзины, ЦБ установил линейную связь между курсом евро и курсом доллара. В данном случае возникает вопрос о возможности установления зависимости одной валютной пары через другую в общем случае исходя из того, что уравнение бивалютной корзины установлено только для указанных валютных пар. Открытым остается и вопрос о характере связи курса евро по отношению к доллару и курса доллара по отношению к рублю, так как отношение евро к рублю в общем случае не является линейной функцией12
1 Панилов М.А. Валютный курс: система воздействующих факторов // Проблемы экономики. - 2008. - №2(21).
2 Семенов А.М. Этот изменчивый обменный курс: Сборник ста-
В ряде работ, опубликованных в последнее время, делались попытки установить такие взаимозависимости, однако эффективность и аргументированность предложенных методов на данный момент недостаточна3 4 Известно, что наиболее распространена на сегодняшний день модель Дж. Кокса (J. C. Cox), Р. Росса (R. A. Ross) и М. Рубинштейна (M. Rubinstein) -модель ценообразования опционов в дискретном времени, которая до сих пор изучена недостаточно, хотя и является весьма актуальной. Это подтверждается также в современных работах С.Н. Волкова, А.В. Мельникова, М.Л. Нечаева, В.Н. Тутубалина, А.Н. Ши-
5 6 7 8
ряева и других авторов .
Решения, принятые экономистами относительно будущего соотношение курсов валют часто опираются на собственную интуицию, опыт, квалификацию, мнения экспертов, прогнозы других аналитиков т.д. и поэтому могут иметь невысокий уровень достоверности, а значит, высокую степень риска. При определенных условиях реализация таких решений может вызвать на макроуровне незапланированное перераспределение валового национального продукта, а на микроуровне -незапланированные убытки для субъектов предпринимательства. При этом, изменение курсов валют происходит благодаря многочисленным факторам, например, в связи с изменением внутренней стоимости валют, постоянным движением денежных потоков из страны в страну, спекуляцией и другими техническими, экономическими и политическими факторами.
Спрогнозировать динамику одной валютной пары по другой, как в долгосрочной, так и краткосрочной перспективе позволяет математическое моделирование. При рассмотрении большого числа зависимостей автором данной статьи было отмечено сходство результатов динамики валют с результатами сейсмических исследований, а именно - характерно быстрое изменение значений курса в неустойчивые периоды времени и быстрые изменения плотности среды (массива горных пород) в случае неустойчивости массива. Обнаружена полная аналогия. Нами также было отмечено, что в случае ослабленных пород (то же для курса валюты) характерно повышенное значение на отдельных участках среднеквадратичного отклонения и снижение квадрата коэффициента корреляции в случае построения линий тренда.
С точки зрения вычислительной математики и математической физики достаточно хорошо разработаны способы решения одномерных уравнений Гельфанда-Левитана, являющиеся параметрическим семейством
тей. Пер. с англ. - М.: Дело, 2008. - 215 с.
3 Панилов М.А. Разработка нового комплексного подхода к анализу динамики равновесного валютного курса // Российский экономический интернет-журнал [Электронный ресурс]: Интернет-журнал АТиСО. - М.: АТиСО, 2008. - Режим доступа: http:// www.e-rej.ru/Articles/2008/Panilov.pdf.
4 Требич К.В. Развитие теории валютного курса и возможности ее эмпирической проверки // Вестник СПбГУ. - 2009. - №4. - С. 3445.
5 Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. - М.: Государственный университет Высшая школа экономики, 2001. - 260 с.
6 Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г.. Численные методы решения некорректных задач. - М.: Наука; Гл. ред. физ.-мат. литературы, 1990. - 232 с.
7 Тутубалин B.H. Теория вероятностей и случайных процессов.
- М.: МГУ, 1992. - 395 с.
8 Тутубалин В.Н. Сопоставление с реальными данными некоторых моделей и результатов стохастической финансовой математики // Стохастическая финансовая математика: Сб. статей, Тр. МИАН. - М.: Наука, 2002. - С. 302-319.
Лещев В.В.
ОДНОМЕРНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА СЕЙСМИКИ
интегральных уравнений типа свертки. Для уравнений же типа свертки весьма эффективен метод преобразования Фурье, в котором сначала описывается переход в спектральную область, а затем - обратно во временную. Тонкость здесь заключается в выборе параметра регуляризации и определении условий единственности решения задачи. Параметр регуляризации вычисляется с использованием программы РТ1КР 9 Единственность же решения обеспечивается заданием интервала поиска решения для валютного курса и начального значения определяемого курса.
Рассмотрим одномерную обратную задачу сейсмики, в которой по зарегистрированным на поверхности колебаниям (перемещениям) продольных волн 1(1), где 1 - время, находят распределение вглубь горного массива плотности горной породы. Источник упругих волн является импульсным с производной перемещения на поверхности равной дельта-функции, умноженной на амплитудный коэффициент с(+0). С точки зрения вычислительной математики - это первый временной шаг.
При времени, меньшем чем заданный момент, поверхность не колеблется и перемещения и(х,1) равны нулю. При 1=0 начинает действовать импульсный источник с производной, равной дельта-функции. При 1>+0 источник уже не действует.
Т.е. рассматриваем уравнение (1) для положительных вещественных координате х и времени 1.
Рассмотрим одномерную обратную динамическую задачу сейсмики.
д2и д2и
2
дt2 дх2
(1)
Ut.0 - 0
ди
дх
(2)
дх
= c(+0)S(t)
х=0 (3)
Требуется определить коэффициент С(х), если о решении прямой задачи акустики известна дополнительная информация 10 11:
UL = f (t)> t е R
(4)
где п - множество положительных вещественных п+
чисел.
С(х) в задачах акустики имеет смысл модуля упругости, равного отношению напряжения у к деформации £ , т.е.:
C (х) = Е( х) =
а
(5)
9 Алексеев А.С., Добринский В.И.. Некоторые вопросы практического использования обратных динамических задач сейсмики // Математические проблемы геофизики. - Новосибирск, 1975. -Вып.6. - Ч.2. - С.7-53.
10 Алексеев А.С., Добринский В.И.. Некоторые вопросы практического использования обратных динамических задач сейсмики // Математические проблемы геофизики. - Новосибирск, 1975. -Вып.6. - Ч.2. - С.7-53.
11 Владимиров В.С.. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1981.- 512 с.
Мы хотим доказать, что в качестве С(х)- можно рассматривать второй курс валют, например, [РиЬ/€], для которого известно начальное значение С(+0). Регистрируемый же курс валюты 1(1) (основной курс [$/€]).
Следует доказать, что по известному валютному курсу, зарегистрированному в течение длительного промежутка времени (около 8 месяцев), можно по выведенному интегральному уравнению найти второй валютный курс. Оказалось, что это интегральное уравнение относится к уравнению Гельфанда-Левитана, хорошо изученному в динамической постановке, для решения которого имеются готовые программы для ЭВМ. И.М. Гельфанд, Б.М. Левитан, М.Г. Крейн, А.С. Алексеев 12 13 14 15 1 показали, что нелинейная одномерная обратная задача для волнового уравнения (1)-(4) сводится к однопараметрическому семейству линейных интегральных уравнений Фред-гольма (6):
-2/(+0ф) - | /'(? - s)ф(s)ds = -1, Г е (0, х)
-х
где 1(1) - перемещения, штрих означает производную по времени,
-х, х - переменные пределы интегрирования.
Со скоростью, равной 1, падающая волна распространяется вглубь массива до глубины х, отражается и идет в обратном направлении, где регистрируется на поверхности массива пород. Анализ подынтегрального выражения показывает, что это интегральное уравнение типа свертки. Свертка функций 1 и ф дифференцируется по правилам дифференцирования свертки.
Если уравнение (6), которое было нормировано
, -п х е (0, Т)
(справа стоит -1), разрешимо относительно 4 ’ ■'
, то С(х) находится следующим образом(7):
с(0) = [2^(+0)]-1,
с(х) = ^(+0)[2^2(х - 0)]-1
где ф(х) - решение интегрального уравнения (6).
В последующих выкладках для курсов валют размерность ф(х) обратна размерности С(х) и равна например [€тиЬ]. Размерность же произведения
/(0ф(0 равна, например [$/РиЬ],если 1(1) есть доллар/евро.
Далее покажем эффективность применения этого метода для определения одной валютной пары через другую. Будем считать известным курс евро по отношению к рублю и начальный курс доллара. В качестве неизвестного курса выступает курс доллара к рублю в остальные моменты времени (рис.1, рис. 2).
12 Алексеев А.С., Добринский В.И.. Некоторые вопросы практического использования обратных динамических задач сейсмики // Математические проблемы геофизики. - Новосибирск, 1975. -Вып.6. - Ч.2. - С.7-53.
13 Владимиров В.С.. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1981.- 512 с.
14 Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Изв. АН СССР. Сер. Мат. - 1951. - Т.15. - №4.- С. 309-360.
15 Крейн М.Г. Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля // Докл. АН СССР. - 1951.- Т.76. - №1. - С.21-24.
16 Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. - М.: Государственный университет Высшая школа экономики, 2001. - 260 с.
є
Рассчитанный курс доллара /руб.
40
30
20
Дата
ОЇ
О
О
ГЧ
гп
О
оо
ОЇ
0
0
ГЧ
0
ОЇ
0
0
2
0
2
О
0
гч
1Л
0
/ (Т) - / (0)- —-ф х) +-д/-ф(0) + | йф = 0.
Оф Оф * Оф
Рис.1 Пример расчета курса доллар к рублю на основании 250 точек.
[ Яf- [ дf д(Р
] } дер ді
сИ
Вычислим интеграл в правой части по частям:
О/
0
Оф
Оф
0
О21
Оф2
йф (9)
Далее, с учетом левой части уравнения, получим (10):
/і
є(х) - є(0) й — с
(11)
Это следует из того, что \Ъ
є
й
=1 /й $
и является
Рис.2 Истинный курс доллара к рублю для 250 точек.
На основании анализа рис.1 и 2 можно сделать вывод о наличии трех линий спада курса , начиная с отметок 0, 50 и 100 точек, минимум в районе 150 точки.
После предварительной линейной фильтрации входных данных по 5-ти точкам в скользящем временном окне результаты получаются весьма показательные - несмотря на различие в квадрате коэффициента корреляции полиномиального тренда для рассчитанного и зарегистрированного курсов доллара к рублю, все экстремумы тренда отображаются с ошибкой не более 3-5% за 250 дней.
Пусть _/?/£ - курс евро по отношению к рублю, а
- курс доллара по отношению к рублю.
Запишем частную производную по времени 1 (8):
д/ дц> д/ дер дґ дЬ
Умножим на С части равенства (8) и проинтегрируем от 0 до Т:
прямым следствием теоремы о среднем, где курс евро подвергается дробно-линейному преобразованию, с1 и с - пределы изменения курса доллара. С учетом понижения порядка уравнения из (10) получим(12):
х х О -
І/ійф-/і ф(х)+/і ф(0)йф=°.
Откуда по теореме о дифференцировании свертки обобщенных функций заключаем, что интегралы равны и поэтому, возвращаясь к переменной 1 с учетом четности функции 11 получим уравнение Гельфанда-Левитана (6):
Теорема.
Пусть регистрируемый валютный курс /(^) е с2
принадлежит классу функций с непрерывной второй производной и является обратным к определяемому
курсу
ф(і) Є С - классу функций с непрерывной
первой производной, тогда если т- - ^ , т.е. ограни-
-
чена, то указанные функции удовлетворяют интегральному уравнение Гельфанда-Левитана с начальным условием (3):
Ои
Ох
с(+0)8(і).
(13)
х=0
а
с
0
0
х
х
Лещев В.В.
ОДНОМЕРНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА СЕЙСМИКИ
c(+0) = [2p(0,0)]^
где c(+0)=-f(+0)
Доказательство.
Проинтегрируем (8) по t от -T до T и в левой части запишем импульсный источник
£тd f( t) -£тс(+0) S( t)dt = £T^-^-dt (14)
Откуда, в силу четности f(t) получим после нормировки по C(+0) (14):
-1 =
J дер dt
dt
Интеграл в правой части определен в силу непре-
дф
рывности первой производной ------- и ограниченности
д1
производной.
И далее, переходя к новой переменной с изменением пределов интегрирования после интегрирования по частям в силу непрерывности второй производной 1, имеем (15):
1 О f м f д f А (15)
-1 = 2— -р(f) - Ip- —- dр.
dp -f др
Откуда, понижая порядок уравнения, полагая
д/ и учитывая, что интеграл представляет со-
~ = * 1 дф
бой свертку, получим:
-1 = 2-fi-p( х) -fp-f
(1б)
Откуда, переходя к временной области, будем иметь:
-1 = 2-
fi (+0) p( х', t) - fp( х', s)- fi(t - s)ds (17)
Что и требовалось доказать.
Выводы
Ответ на вопросы, связанные с тем, как избежать неоднозначности обозначений (плотности среды и решения с позиции валютных курсов), дает доказанная в данной статье теорема о том, что валютные пары удовлетворяют интегральному уравнению Гельфанда-Левитана. В этом уравнении сформулированы требования к входящим в него функциям и установлены условия разрешимости обратной задачи, а также показано, как найти неизвестный курс второй валюты по известному курсу первой валюты. Интегральное уравнение выводится путем преобразования производной по времени функции первой валютной пары. В резуль-
тате проделанных вычислении получилось интегральное уравнение Гельфанда-Левитана.
Таким образом, предложенные автором данной статьи научные решения проблемы прогнозирования валютных курсов сводятся к следующему:
Доказана теорема, в которой утверждается, что валютные пары удовлетворяют интегральному уравнению Гельфанда-Левитана.
Показана эффективность вычисления одной валютной пары по второй, используя метод преобразования Фурье и регуляризации по Тихонову при решении интегрального уравнения типа свертки для валютных пар.
Установлены необходимые условия гиперболичности связи курса евро/доллар и доллар/рубль.
Показана эффективность модели на основе прогнозирования курса доллар/рубль.
Основная научная ценность данной статьи, ориентированная на решение конкретных проблем практики -проблем прогнозирования валютных курсов, заключается в том, что в ней сделана успешная попытка описать изменение валютных курсов с помощью одномерного волнового уравнения, при этом была повышена точность прогнозирования.
Список литературы:
1. Панилов М.А. Валютный курс: система воздействующих факторов // Проблемы экономики. - 2008. - №2(21).
2. Семенов А.М. Этот изменчивый обменный курс: Сборник статей. Пер. с англ. - М.: Дело, 2008. - 215 с.
3. Панилов М.А. Разработка нового комплексного подхода к анализу динамики равновесного валютного курса // Российский экономический интернет-журнал [Электронный ресурс]: Интернет-журнал АТиСО. - М.: АТиСО, 2008. - Режим доступа: http:// www.e-rej.ru/Articles/2008/Panilov.pdf.
4. Требич К.В. Развитие теории валютного курса и возможности ее эмпирической проверки // Вестник СПбГУ. - 2009. -№4. - С. 34-45.
5. Алексеев А.С., Добринский В.И.. Некоторые вопросы практического использования обратных динамических задач сейсмики // Математические проблемы геофизики. - Новосибирск, 1975. - Вып.6. - Ч.2. - С.7-53.
6. Владимиров В.С.. Уравнения математической физики.-М.: Наука, 1981.- 512 с.
7. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Изв. АН СССР. Сер. Мат. - 1951. - Т.15. - №4.- С. 309-360.
8. Кабанихин С.И.. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. - Новосибирск: Наука. Сиб. Отд., 1988. - 168 с.
9. Крейн М.Г. Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля // Докл. АН СССР. - 1951.- Т.76. - №1. - С.21 -24.
10. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. - М.: Государственный университет Высшая школа экономики, 2001. - 260 с.
11. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. - М.: Наука; Гл. ред. физ.-мат. литературы, 1990. - 232 с.
12. Тутубалин B.H. Теория вероятностей и случайных процессов. - М.: МГУ, 1992. - 395 с.
13. Тутубалин В.Н. Сопоставление с реальными данными некоторых моделей и результатов стохастической финансовой математики // Стохастическая финансовая математика: Сб. статей, Тр. МИАН. - М.: Наука, 2002. - С. 302-319.
14. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. - Том I. Факты и модели. — М.: Фазис, 1998. — 489 с.
References:
1. Panilov M.A. Exchange rate: the system of influencing factors: Problems of Economics. - 2008. - № 2 (21).
х
- х
- х
2. Semenov A.M. This volatile exchange rates: Collected papers. Trans. from English. - M.: Delo, 2008. - 215 р.
3. Panilov M.A. Development of a new integrated approach to the analysis of the dynamics of the equilibrium exchange rate // Russian Economic online journal [electronic resource]: the Internet Journal of ATIS. - M.: ATIS, 2008. - Mode of access: http:// www.e-rej.ru/Articles/2008/Panilov.pdf.
4. Trebich K.V. Development of the theory of exchange rate and its prospects of empirical verification, Vestnik St. Petersburg University. - 2009. - № 4. - Рp. 34-45.
5. Alekseev A.S., Dobrinsky V.I. Some questions of practical use of return dynamic tasks of seismicity// Matematicheskie prob-lemy geofiziki. - Novosibirsk, 1975. - Issue 6. - Part 2. - Pp.7-53.
6. Vladimirov V.S. The equations of mathematical physics. -Мoscow: Nauka, 1981. - 512 p.
7. Gelfand I.M., Levitan B.M. Upon the determination of the differential equation by its spectral function//Izvestia AN SSSR. Ma-thematic series. - 1951. - Vol.15. - №4. - Pp. 309-360.
8. Kabanikhin S.I. Projectively-different methods of determination of coefficients of the hyperbolic equations. - Novosibirsk: Nauka. Sibirskoe Otdelenie, 1988. - 168 p.
9. Crane M.G. Solution of a return task of Storm-Liuville//Doklady AN SSSR. - 1951. - Vol.76. - №1. - Pp. 21-24.
10. Melnikov A.V., Volkov S.N., Nechaev M. L. Mathematics of financial liabilities. - Мoscow: Gosudarstvennyi universitet Vys-shaya shkola ekonomiki, 2001. - 260 p.
11. Tihonov A.N., Goncharskij A.V., Stepanov V. V, Jagola A.G. Numerical methods of the decision of incorrect tasks. - Мoscow: Nauka, 1990. - 232 p.
12. Tutubalin B.H. Probability theory and casual processes. -Мoscow: Moscow State University, 1992. - 395 p.
13. Tutubalin V. N. Comparison to the real data of some models and results of the stochastic financial mathematics// Stochastic financial mathematics: Scientific papers. - Мoscow: Nauka, 2002.
- Pp. 302-319.
14. Shiryaev A.N. Basics of the stochastic financial mathematics. - Vol. I. The facts and models. - Мoscow: Fazis, 1998. - 489 p.
РЕЦЕНЗИЯ
на статью В.В.Лещева «Моделирование валютных курсов через одномерную обратную динамическую задачу сейсмики»
В статье В.В. Лещева «Моделирование валютных курсов через одномерную обратную динамическую задачу сейсмики» отражена актуальная в современной экономике ситуация, которая характеризуется нестабильностью курсов мировых валют вследствие влияния мирового экономического кризиса, проблематика -прогнозирование валютных курсов.
Актуальность проблематики данной статьи также обуславливается потребностью формирования единых требований, подходов, инструментов при прогнозировании валютных курсов, что позволит уйти от неоднозначности обозначений, трактовок результатов, понятий. Таким образом, работа представляет собой попытку формирования эффективной экономикоматематической модели валютных курсов на основе новейших, наиболее прогрессивных научных подходов, наряду с научными решениями, сформулированными самим автором.
Важнейшим достижением научных поисков автора, отраженных в данной статье, является успешная попытка описать изменение валютных курсов с помощью одномерного волнового уравнения, в результате чего доказана теорема о применимости используемого экономико-математического аппарата для валютных пар, проведено результативное численное моделирование.
Полученные автором в процессе работы над статьей научные результаты - ценные и новаторские, посколь-
ку являются конструктивными по своему характеру и имеют высокий уровень научной новизны. Они могут быть использованы в дальнейшем для развития теории и решения проблем практики, в частности при прогнозировании валютных курсов и при страховании валютных рисков.
Структурное построение статьи является логичным, поставленные задачи исследования рассмотрены последовательно, всесторонне и с исчерпывающей полнотой. Вместе с тем, работа бы существенно обогатилась, если бы в ней более полно освещались проблемы страхования валютных рисков.
В целом же материал статьи В.В. Лещева «Моделирование валютных курсов через одномерную обратную динамическую задачу сейсмики» является завершенным и достаточно глубоким авторским исследованием актуальной научной проблемы.
Статья в полной мере отвечает требованиям, предъявляемым к статьям, публикуемым в научных изданиях, входящих в перечень вАк РФ и рекомендуется к публикации.
Институт прикладных экономических исследований Академии народного хозяйства при Правительстве РФ старший научный сотрудник, к.э.н. О.О. Смирнова
