CC BY
28
Кузнецова Ирина Николаевна
МОДЕЛИРОВАНИЕ В СРЕДЕ ЛОГО ЗАНЯТИЕ 4. РАЗРАБОТКА ПРОЕКТА ПО ШКОЛЬНОМУ ПРЕДМЕТУ
После знакомства с основными инструментами среды, алгоритмическими конструкциями, переменными встает вопрос, на каких примерах совершенствовать умение составлять алгоритмы, какие задачи рассматривать.
Обратимся к геометрическим понятиям точка, линия и плоскость [5]. В школьной матема-
С.
о
ф;
тике плоскость моделируется тетрадным листом или доской, а точка рисуется карандашом или мелом. Линия также ограничена плоскостью, на которой ее проводят.
Формализуем описания изображений этих объектов для среды Лого.
(1) Назовем точкой один или несколько пикселей, которые рисуются пером черепашки или штампуются формой. Количество пикселей зависит от толщины пера или формы.
(2) Назовем плоскостью область рабочего поля, ограниченную прямоугольником заданного размера.
(3) Назовем линией множество смежных точек, рисуемых пером черепашки Линия не может выходить за пределы плоскости.
ЗАДАНИЕ 1.
Приключения точки.
Понятия точки, плоскости, окружности
... Жила была точка. Особенно не задумывалась, что она такое, где находится — не знала таких слов. Однажды точка попала в компьютер.
Компьютер видит - кто-то по экрану гуляет. Спрашивает - «Кто ты?».
«Не знаю», - отвечает точка. «Как так!? В компьютере должно быть все точно известно». Присмотрелся к ней и говорит «А, так это точка!». Обрадовалась точка, что дали ей имя. Стала носиться по полю как сумасшедшая. «Стой, стой», - сказал компьютер, - «раз уж ты у меня живешь, должна обучаться какому-нибудь делу». «Какому?». «Посмотрим. Для начала объясним, как ты1 выглядишь». «Как это объяснить ?», - не поняла точка. «Используя язык программирования, чтобы1 быило понятно и мне и людям! А поможет тебе в этом черепашка по имени point. Она понимает язык Лого».
Напишите процедуру рисования одной точки в соответствии с нашим определением (1).
Следующая процедура удовлетворяет этому определению:
to draw_point forward 1 end
«А-а, понятно! Сделай шаг вперед, и нарисуется точка (если будет чем рисовать ). А если я хочу в разные места экрана рисовать точки?», - тут же поинтересовалась любознательная точка.
«Ну, это просто, - на случайный угол повернуться и пройти вперед на случайное число шагов» - ответил компьютер:
rt random 360 pu fd random 600 pd draw_point
«Ой, как интересно! Я хочу много раз так делать!»
«Подожди, подожди!», - воскликнул компьютер, - «Ответь, если ты будешь долго так летать, что получится?»
Напишите процедуру по данному описанию. Ответьте, что получится при ее выполнении?
Программа рисования плоскости
to flatness
repeat 10000 [rt random 360 pu fd random 600
pd draw_point]
end
И начала черепашка носиться по экрану, повторяя draw_point, draw_point, гордая тем, что научилась новым словам и новым умениям.
Компьютер следил, как постепенно проявляется плоскость, образуемая множеством точек. И тут он задумался - что
Оказывается, что точки ложатся на окружность!
Теперь пусть угол относительного поворота равен 0.
to straight_line pd
repeat 10000 [rt 0 draw_point] end
Множество точек, для каждой из которых относительный угол поворота равен 0, образует прямую линию.
будет, если точка будет долго-долго идти вперед, не меняя направления. «Стой!», -сказал он Черепашке, - «я объясню тебе новое слово - линия... »
Уберем случайность из угла поворота, то есть угол поворота будет всегда постоянный (зададим параметром), и запретим черепашке летать (пусть точки лежат рядом друг с другом) - получится линия с постоянным поворотом.
Напишите процедуру движения точки с постоянным углом поворота.
to line "angle pd
repeat 10000 [rt :angle draw_point] end
Проверим результат выполнения процедуры straight_line при разных значениях начального угла:
seth 45 straight_line seth 90 straight_line seth 30 straight_line
Если начальный угол поворота не 0 или не делится на 90, то вместо одной прямой мы наблюдаем несколько. Это происходит из-за того, что граница экрана прозрачна для черепашки.
Компыютер задумался, как объясниты черепашке, что такое граница? «Послушай», - сказал он черепашке, - «я объясню тебе новое слово, и слово это - число».
ЗАДАНИЕ 2.
Координатная плоскость
Что означает измерить длину некоторого отрезка? Это означает, что мы хотим сравнить его с другим отрезком, выбранным в качестве эталона единицы измерения. Единица измерения может иметь собственное имя - метр, дюйм, аршин, парсек и т. п. ... Если единичный отрезок Е укладывается в от- ■:-■.■. резке АВ целое число раз, скажем 30 раз, то это число 30 прини-
мается в качестве длины измеряемого отрезка...»
На рабочем поле длину отрезка измеряют в пикселях или в шагах черепашки.
Проведите на рабочем поле горизонтальную прямую линию через точку home:
pu home seth 90 pd fd 650 home
Можно сказать, что каждому числу соответствует точка на этой прямой. И наоборот, каждой точке прямой соответствует определенное число. Эта линия есть числовая ось в среде Лого *.
Чтобы узнать, какому числу соответствует точка, в которой находится перо черепашки, введите команду:
show xcor
Чтобы установить черепашку в точку, соответствующую определенному числу, введите команду:
setx 30 setx -100 setx 150 / 7
Числовую ось можно провести и вертикально. Выполните команды:
pu home pd fd 450 home
Чтобы узнать, какому числу соответствует точка, в которой находится перо черепашки, введите команду:
show ycor
Чтобы установить черепашку в точку, соответствующую определенному числу, введите команду:
sety 30 sety -100 sety 150 / 7
«Вот ка-а-ак!», — протянула точка. -«А я хочу найти какое-нибудь число, заключенное между числами: 100/7 и 170/3».
Ждав*»
Для этого выполним команды: setx 100 / 7 stamp setx 170 / 3 stamp
Мы ограничили заданный промежуток.
Далее установим черепашку внутри этого промежутка мышью или с помощью команды:
setx 100 / 7 + random (round 170 / 3)
А теперь определим полученное число с помощью команды:
show xcor
Имея две числовые оси, для каждой точки на плоскости можно найти пару чисел и притом только одну - расстояние от этой точки до home по горизонтальной оси и расстояние от этой точки до home по вертикальной [5] (рисунок 1).
Идея обозначать точку на плоскости парой чисел принадлежит французскому математику Рене Декарту (XVII век).
Декартова система координат на плоскости - это две взаимно перпендикулярные числовые оси с общим началом. В среде Лого взаимно перпендикулярные оси проходят через точку home. Горизонтальная ось называется осью X, вертикальная ось называется осью Y.
Рисунок 1.
Координаты точки home: [0 0].
В Декартовой системе координат можно совершать две операции [5]:
- каждой точке плоскости сопоставлять пару чисел - координаты этой точки;
- по данной паре чисел строить точку на плоскости с этими координатами.
Для измерения координат точки используются датчики xcor, ycor, pos.
* Для «настоящей» прямой это неверно, так как существуют иррациональные числа, а компьютер работает только с рациональными числами.
Для перемещения черепашки в точку, указанную координатами служат команды setx, sety, setpos.
ЗАДАНИЕ 3. Множества точек на координатной плоскости
Выклушала эту историю точка и глубоко задумалась:
«Получается, я не по простой плоскости летаю, а по координатной - Декартовой! И я могу оказаться как в определенном месте, так и в случайном! А что получится, если у множества точек координата по оси X всегда будет равна 30, а по оси У - меняться случайно. Как нарисовать такое множество?».
to equl pu setx 30
repeat 1000 [pu sety random 450 pd fd 1 pu] end
При выполнении команды equ1 получилась вертикальная прямая линия, проходящая через точку с координатой x = 30.
Итак, все точки прямой, проходящей через точку оси X с координатой 30 и перпендикулярной оси X, связаны соотношением x = 30.
«Какая сообразительная точка!», -воскликнул компьютер, - «А теперь нарисуй нам множество точек, для которых вы1-полняется соотношение: -100 < X < 100 и -100 < Y < 100».
to sys_inequ1
repeat 10000 [pu setx -100 + random 200
sety -100 + random 200 pd fd 1 pu]
end
«О-о-о! Так ведь это квадрат!», -
удивилась точка, - «и каждая сторона у
него имеет длину 200 шагов».
«Интерес -■етЬч»:1"
1 i
■7 i\E
сно», - сказал компыютер, -«задаем числа, а получаем геометрический объект!»
Управляя областью расположения случайных точек на координат
ной плоскости, мы ограничиваем разные участки на плоскости. Например, можно посадить лес только в правой части рабочего поля, усыпать звездами только небо, нарисовать звездное небо в окне...
Правда, сначала требуется знать максимальные размеры нашей «плоскости». Для этого надо задать переменные, которые будут доступны всем процедурам - глобальные переменные. Воспользуемся командой createprojectvar для создания переменных ^ («ширины плоскости») и ^ («длины плоскости»):
createprojectvar "f_w createprojectvar
Эти команды достаточно выполнить один раз, и созданные таким образом переменные будут всегда сохраняться вместе с проектом. Значения глобальных переменных проекта меняются командами: setf_w <значение1> и setf_l <значение1>
Например:
to fence :w :l
setc 9 setpensize 5 pu
; установка в левый нижний угол
setx minus :w / 2
sety minus :l / 2 pd
repeat 2[fd :l rt 90 fd :w rt 90]
setpensize 1 pu home
setc 9 + random 135
end
Напишите процедуру рисования прямоугольника, ограничивающего плоскость. Стороны прямоугольника лучше задать параметрами. Используя эти данные, вычислите координаты левой нижней вершины. Толщину пера задайте не менее 5 пикселями.
Рисование ограды
setf_w 360 setf_l 388
Для наглядности ограничим «плоскость» оградой определенного цвета (пусть это будет цвет с номером 9 - черный).
Неплохо иметь и процедуру стирания рисунка внутри ограды:
to f_cg
cg fence f_w f_l end
Теперь разделим нашу плоскость на две вертикальные области таким образом:
- установим черепашку point в некоторое место экрана: pu setx 50 sety -100
- разделим рабочее поле вертикальной линией на две части:
pd sety -100 + (f_l / 2 -(-100)) sety -100
sety -100 - (f_l / 2 + (-100)) pu
«Ну, точка», - сказал компьютер, -«поработай художником! Твоя задача - узнавать координаты множества случайных точек в указанный пределах. В эти точки надо приклеивать указанный рисунок».
Пусть справа от линии x = 50 надо посадить лес из деревьев, а слева - засеять поле цветами.
Это лес:
to wood setsh 6
repeat 50[pu setx 50 + random (f_w / 2 - 50) sety random f_l stamp]
setsh 0 end
А это цветы:
to flowers setsh 7
repeat 50 [pu setx 50 - random (f_w/2 - (-50)) sety random f_l stamp]
setsh 0 end
Число f_w / 2 является самым большим на оси X для нашей экранной координатной плоскости. Число 50 на оси X является границей, разделяющей области. Для получения координаты по оси X для правой области надо к числу 50 прибавить случайное число. Для получения координаты по оси X для левой области надо от числа 50 отнять случайное число.
Вычислите самое большое случайное число, которое может получиться в программе wood.
Вычислите самое большое случайное число, которое может получиться в программе flowers.
Для программы wood это число равно f_w/2 - 50 = 360/2 - 50 = 180 - 50 = 130. Как раз столько шагов осталось от границы до правого края ограды.
Для программы flowers это число равно f_w/2 + 50 = 360/2 + 50 = 180 + 50 = 210. Как раз столько шагов осталось от границы до левого края ограды.
Сотрите рисунок на рабочем поле командой f_cg.
Снова установите черепашку в начальное положение и разделите поле на 2 горизонтальные области:
- установим черепашку point в некоторое место экрана:
pu setx 50 sety -100
- разделим рабочее поле горизонтальной линией на две части:
pd setx 50 + (f_w / 2 -50)) setx 50
setx 50 - (f_w / 2 + 50)) pu
Теперь представим себе, что мы попали в старинный город (ниже линии y = -100), а над ним (выше линии y = -100) - звездное небо.
Рисунок 2.
Это звездное небо: to sky
pu sety -100 + random (f_l / 2 - (-100)) setc 117 pd fill setpensize 5 setc 45 repeat 100 [pu sety -100 +
random (f_l / 2 - (-100)) setx random f_w pd fd 1 pu]
setc 14 end
Это старинный город:
to town setsh 27
repeat 20 [pu sety -100 - random (f_l / 2 -100) setx random f_w stamp]
setsh 0 end
Исследуйте границы областей, в которых располагается звездное небо и замки старинного города при выполнении команд: sky и town (см. рисунок 2).
Сколько звезд сияет на небе? Сколько замков в старинном городе?
Рисунок 3.
линии, для точек которой X > :bx, и ниже линии, для точек которой Y < :by. Это сад:
to garden :bx :by setsh 7
repeat 30 [pu setx :bx + random (f_w / 2 - :bx ) sety :by - random (f_l / 2 - :by)
stamp]
pu setx :bx sety :by setsh 0 end
Выполняйте поочередно команды
garden 30 50 garden -30 50 garden 30 -10 garden -30 -10
(См. рисунок 3).
Исследуйте области расположения множества цветов в каждом случае.
Следующая задача. Вы смотрите в прямоугольное окно, а за окном - ночь и падает снег. Границы окна заданы коорди-
натами левого верхнего угла и правого нижнего угла (рисунок 4).
to snow :bxl :byl :bxr :byr ht setc 95 pd fill ;стена
setc 0 pu setx :bxl sety :byl ;окно pd setx :bxr sety :byr setx :bxl sety :byl pu setx :bxr / 2 sety :byl / 2 pu setc 9 pd fill setpensize 4
Попробуйте теперь посеять цветы на части плоскости, расположенной левее
repeat 100 [pu setx :bxl + random (:bxr - :bxl) sety :byr + random (:byl - :byr) pd setc 0 fd 1 wait 1 setc 9 bk 1 ] pu setx :bxl sety :byl st end
Введите команду: snow -50 50 40 -100
Убедитесь, что черепашка перемещается только в пределах окна.
ЗАДАНИЕ 4.
Функции и графики
«Может ли одна координата, например Y, зависеть от другой - X? Я хочу сказать, что при изменении X как-то будет меняться и Y», - спросила точка. «Конечно!», - воскликнул компьютер, - «В этом случае X назышается переменной. Когда математики придумали переменную, оказалось возможным на математическом язы ке описать движение тела и другие, очень важные понятия физики».
Математика рассматривает соотношения между координатами. Уравнение y = f (x) определяет некоторую кривую. При этом, конечно, надо убедиться в том, что:
- для каждой точки этой кривой справедливо соотношение y = f (x),
- любая точка, для которой y = f (x), лежит на этой кривой.
Согласно подходу, изложенному в [5], составим уравнение окружности.
Пусть центр окружности находится в точке с координатами [0 0], а радиус ее задается параметром :r.
Напишите программу рисования осей координат и программу радиуса, исходящего из центра под случайным углом. Из второго конца радиуса опустите перпендикуляры на оси X и Y (рисунок 5).
Координатные оси:
to cooraxel f_cg
pd setx 2 * f_w pu home pd sety 2 * f_l pu home end
Рисунок 4.
Радиус из центра координатной плоскости:
to circO :r
seth random 360
pd fd :r make «rpos pos
setc 14 setx 0
pu setpos :rpos
pd sety 0
pu home
end
Из рисунка видно, что радиус есть гипотенуза прямоугольного треугольника, а катеты - это отрезки, равные по длине координатам второго конца радиуса.
Из теоремы Пифагора известно, что: r2 = x2 + y2
Отсюда можно вывести зависимость координаты Y от текущего значения координаты X для точки, которая находится на конце радиуса, то есть уравнение окружности (сразу запишем его на языке Лого):
:y = sqrt ( :r * :r - xcor * xcor)
Давайте попробуем менять X от значения 0 до значения : r. При этом значение Y будет иметь два симметричных значения - со знаком «+» и знаком «-».
Напишите программу для вычисления
Y.
Рисунок 5.
to ciryx :r pu home setsh 13 make "xt 0
repeat :r + 1 [make "yt sqrt (:r * :r -
:xt * :xt) pu setx :xt sety :yt stamp sety minus :yt stamp make "xt :xt + 1]
setsh 0 end
При выполнении команды черепашка рисует половину окружности!
Установим начальное значение X = minus :r. Тогда число повторений надо увеличить в 2 раза:
to ciryx :r pu home setsh 13 make "xt minus :r
repeat 2 * :r + 1 [make "yt sqrt (:r * :r -
:xt * :xt) pu
setx :xt sety :yt stamp sety minus :yt stamp make "xt :xt + 1] setsh 0 end
:r -
r -
Подумайте, почему число повторений равно выражению 2 * :г + 1?
Если координаты центра окружности выражены переменными :а по оси X и :Ь по оси У, то длина радиуса вычисляется по следующей формуле (запись на языке Лого):
to ciryxab :r :a :b pu home setsh 13 make "xt (minus :r) + :a repeat 2 * :r + 1
[make "ytp :b + sqrt ((:r * (:xt - :a) * (:xt - :a))) pu setx :xt sety :ytp stamp make "ytm :b - sqrt ((:r * : (:xt - :a) * (:xt - :a))) sety :ytm stamp make "xt :xt + 1]
setsh 0 end
Проверьте работу программы, вводя команды (рисунок 6):
cooraxel ciryxab 50 20 40 cooraxel ciryxab 50 -20 -40
«Вот это да!», - восхитилась точка, - «а мы такую же линию рисовали в задании 1 другим способом, используя ко-манды1 rt :angle fd 1». «Правильно», - подтвердил компьютер, - «только здесь мы указы1ваем расстояние до центра, а в задании 1 даже не умели его определить».
В рассмотренном выше уравнении окружности несколько переменных величин связаны зависимостью - если меняется значение одной из переменных, то меняются значения других.
В реальных процессах участвует много связанных между собой переменных. Однако, если рассматривать основные из них и связи между ними, то удается построить математическую модель, то есть описать зависимость между перемен-
wiwl
V
w
л
:yt = sqrt (:r * :r - (:xt - :a) *
(:xt - :a)) + :b
Напишите программу, которая рисует такую окружность.
Рисунок 6.
ными в виде уравнения. Оказалось, что при описании самых разных процессов можно применять одни и те же простейшие зависимости [5]:
1) переменные х и у связаны прямо пропорциональной зависимостью, если их отношение постоянно: х/у = к или у = к * х, где к - постоянное число, не равное 0;
2) переменные х и у связаны обратно пропорциональной зависимостью, если их произведение постоянно: х * у = с или у = с/х, где с - постоянное число и не равно 0;
3) переменная у зависит от переменной х по квадратичному закону, если у можно вычислить по формуле у = а * х * х, где а - постоянное число и не равно 0.
Напомним еще два определения, которые вы изучали на математике [5].
«1) Переменная у является функцией от переменной х, если задана такая зависимость между этими переменными, которая позволяет для каждого значения х однозначно определить значение у.
2) Графиком функции / называется множество точек на плоскости с координатами [х; ^х)], где х пробегает область определения функции /».
Программу для графического отображения зависимости
= вдтЪ (:г * :г - (:хЬ - :а) * - :а)) + :Ь
мы и писали в соответствии с этим определением.
Составьте аналогичные программы для простейших зависимостей, перечисленных выше.
1) Прямо пропорциональная зависимость - функция у = к * х.
to kx :k pu setsh 13
make "xt minus f_w / 2 repeat f_w [pu setx :xt make "yt :k * :xt if (abs :yt) < f_l / 2 [sety :yt stamp] make "xt :xt + 1]
end
Введите команды: kx 2 kx -2 kx 1 / 2 kx 0,3
(См. рисунок 7)
2) Обратно пропорциональная зависимость - функция y = с/x. Здесь надо учесть, что значение x не может быть равно 0.
to c/x :c pu setsh 13
make "xt minus f_w / 2 repeat f_w [pu setx :xt
if not (:xt = 0)[make "yt :c / :xt] if (abs :yt) < f_l / 2 [sety :yt stamp] make "xt :xt + 1]
end
Введите команды: c/x 200 c/x -200
(См. рисунок 8).
3) Квадратичная зависимость - функция y = а * x * x
to a*x*x :a pu setsh 13
make "xt minus f_w / 2 repeat f_w [pu setx :xt
make "yt :a * :xt * :xt
if (abs :yt) < f_l / 2 [sety :yt stamp]
make "xt :xt + 1]
end
Введите команды: a*x*x 0,1 a*x*x 0,01 a*x*x 0,001
(См. рисунок 9).
Рисунок 7.
Рисунок 8.
Рисунок 9.
1) а) у = аЪ8 х; Ь) у = кх + Ь
2) а) у = с / (х + Ъ); Ъ) у = -с /(х - Ъ)
3) а) у = а*х*х + Ъх - с; Ъ) у = а*х*х - с
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Надеюсь, наше занятие убедило вас в том, что компьютер помогает лучше понять многие проблемы математики. Язык программирования очень близок математическому языку. Формулы записываются почти одинаково. В формулах можно использовать переменные, а числовой результат получится, если вы зададите переменным численные значения. На языке программирования можно записать и рассуждения, которые вы обычно делаете устно или записываете в тетради с помощью специальных обозначений. Рассуждения на языке программирования записываются с помощью команд разветвления и повторения.
Описывая математические зависимости на языке программирования, вы еще лучше разбираетесь в них. Ошибки, которые вы допускаете, приводят не к плохим оценкам, а помогают устранить неясности.
Компьютер работает, как старательный ученик, - то, что однажды выучил, выполняет всегда правильно, а если что-то не понимает, спокойно сообщает - «не могу выполнить».
Литература
1. Информатика. 7-9 класс. Базовый курс. Теория. / Под ред. Н.В. Макаровой. СПб.: Питер, 2000, тема 6.
2. Информатика. 7-9 класс. Базовый курс. Практикум по информационным технологиям. Тема 7 / Под ред. Н.В. Макаровой. СПб.: Питер, 2000, раздел 1 .
3. Информатика. 7 класс. Базовый курс. Задачник по моделированию. / Под ред. Н.В. Макаровой. СПб.: Питер, 2000, раздел 1.
4. Информатика. 7 класс. Методическое пособие для учителей / Под ред. Н.В. Макаровой. СПб.: Питер, 2003, части 1 и 3.
5. М.И. Башмаков. Математика. Издание второе, переработанное и дополненное, М.: «Высшая школа», 1994.
Кузнецова Ирина Николаевна, учитель информатики школы № 640, координатор секции Лого-Лего Международной конференции «Школьная информатика и проблемы1 устойчивого развития».
В приведенных выше программах область определения функции задана в пределах ограниченной координатной плоскости - от minus f_w / 2 до f_w / 2.
Значение переменной X всегда меняется от наименьшего значения к наибольшему с шагом 1.
Значение функции - координата по оси Y вычисляется по указанной формуле. Если значение координаты Y выходит за пределы ограниченной плоскости (то есть abs :yt > f_l/2), то соответствующая точка не рисуется.
Домашнее задание
Используя уже рассмотренные алгоритмы построения графика простейших зависимостей, напишите программы построения графиков для более сложных случаев, запустите эти программы и охарактеризуйте полученные графики:
© Наши авторы, 2004. Our authors, 2004.
