CC BY
51
Кузнецова Ирина Николаевна
МОДЕЛИРОВАНИЕ В СРЕДЕ ЛОГО ЗАНЯТИЕ 5. СОЗДАНИЕ МИКРОМИРОВ
Микромиром называют виртуальную (компьютерную) модель части реального или воображаемого мира. При моделировании ставят различные цели, в зависимости от цели микромир населяется определенными объектами.
Среда Лого Миры предназначена именно для создания микромиров. Роли различных объектов в них играют черепашки, событиями являются щелчки мыши, события обрабатываются процедурами (методами).
В [1] описаны основные этапы моделирования:
— постановка задачи,
— разработка модели
— компьютерный эксперимент
— анализ результатов моделирования
ЗАДАНИЕ 1.
Природа и математика
Можно ли «алгеброй описать гармонию» прекрасных природных форм? Цветок, лист травы, очертания дерева, облака — как математически описать эти контуры?
При изучении форм растений и других живых организмов используются разные математические средства.
Одно из таких направлений называется фрактальной геометрией.
Фракталы позволяют описывать замысловатые изгибы облаков и множество
других деталей ландшафта. Фрактальная геометрия — это эффективный путь для рисования реалистических природных объектов на экране компьютера.
Ландшафтные дизайнеры начинают с основной формы и потом повторяют ее снова и снова. Таким же образом создаются пейзажи для фантастических фильмов.
В 80-х годах XX века Бенуа Мандель-брот обнаружил, что фрактальное описание поверхности излома металла позволяет измерить прочность этого металла.
Эволюция различных экосистем может быть описана и прогнозирована с использованием фракталов. Например, Г. Га-стинг использовал фракталы для моделирования динамики развития болот. Фракталы помогают изучить и определить распространение кислотных дождей и других популяций.
Фракталы применяются для описания объектов астрономии, метеорологии, экономики, экологии, при изучении галактических кластеров.
Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому.
Б.Мандельброт (http://home.ural.ru/~shabun/iractals/jiactals.htm).
Фрактал можно описать так: имеется последовательность отрезков заданной длины, расположенных определенным образом (см. рисунок 1).
Эта последовательность называется правило. На каждом из таких отрезков стро-
Рисунок 1.
Рисунок 2.
ится правило из отрезков уменьшенной длины. Затем на каждом новом отрезке снова строится правило из отрезков уменьшенной длины. Так продолжается либо указанное число раз (уровней) либо до выполнения заданного условия (см. рисунок 2).
Удобно строить фрактал, как траекторию пути черепашки, выполняющей приписанный ей алгоритм. Очевидно, что при этом используется рекурсивный алгоритм (см. Занятие 3).
Существует несколько программ для построения фракталов, например программа Frac Tree и другие (http ://fractals .nsu.ru/ fractals.chat.ru/index.htm).
В среде Лого также давно уже известны опыты построения и использования фракталов. Например, в коллекцию системы MicroworldPro включен проект Fractal.mw2, демонстрирующий разные фракталы. Один из ранних опытов — создание пейзажей в среде Logo Writer в гимназии № 470 Санкт-Петербурга. На рисунке 3 представлена ночная дорога, построенная Алексеем Гороховым, учеником 7 класса в 1997 году.
На этой картине с помощью фракталов нарисован контур гор и деревьев.
Рассмотрим сначала программу рисования дерева. Дерево состоит из ствола
Рисунок 3.
и веток. При этом ствол и ветки — это линейные отрезки, расположенные под определенным углом друг к другу. Каждый отрезок меньше предыдущего. Если длина отрезка меньше заданного числа, рисование заканчивается.
to tree "n
if :n < 2.5 [stop] ; минимальный отрезок меньше
; 2,5 шага черепашки ; правило рисования одного участка: fd :n rt 10 tree (0.75 * :n ) lt 20 tree (0.75 * :n) rt 10 bk :n end
Правило рисования одного участка следующее:
Рисуется отрезок длинной :n шагов; поворот направо на 10 градусов
Рисуется отрезок длиной 0.75 * :n ; поворот налево на 20 градусов
Рисуется отрезок длиной 0.75 * :n ; поворот направо на 10 градусов Возврат в начальную точку. В ходе рекурсии вместо каждого отрезка рисуется новая ветка.
Для рисования контура гор используется так называемый фрактал Коха.
Щ —
Первый участок описан в процедуре
rule.
to rule "s "a ; s - длина отрезка,
; a - угол поворота fdf :s lt :a ; вперед на :s, налево на :a fdf :s rt 2 * :a ; вперед на :s,
; направо на 2 * :a fdf :s lt :a ; вперед на :s, налево на :a fdf :s ; ; вперед на :s end
В процедуре koch описано правило построения следующих участков, а именно — вместо каждого отрезка строится описная в rule последовательность отрезков уменьшенной длины (0.75 * :s):
to koch "s "a
if or colorunder = 4.4 :s < 12[rule :s :a stop]
koch :s * 0.75 :a lt :a
koch :s * 0.75 :a rt 2 * :a
koch :s * 0.75 :a lt :a
koch :s * 0.75 :a
end
Обратим внимание на процедуру fdf. Это описание команды «вперед» внутри ограды цвета с номером 5.
to fdf "s if :s < 2 [stop] pu fd 1
ifelse colorunder = 4.4 [stop ]
[if :s < 2[stop] bk 1 pd fd 1 fdf :s - 1]
end
Ниже приводится программа рисования ограды, внутри которой создается рисунок.
to ogr
setc 5 fill pu fd 165 rt 90 pd setc 9
fd 300 rt 90 fd (300 + 30) rt 90
fd (300 * 2) rt 90 fd (300 + 30) rt 90
fd 300 pu rt 90 fd 50
pd setc 9 fill pu setc 1 home pd
end
ЗАДАНИЕ 2. Описание построения фрактала из программы FracTree (1997 год)
В профессиональном приложении FracTree графическое изображение также рисуется черепахой. Воображаемая черепаха читает строку знаков и изменяет свое
Л-
положение или направление согласно смыслу текущего знака (команде).
Черепаха FracTree понимает следующие знаки:
«F»: Переместиться вперед на один шаг (текущего размера) и рисовать линию. «f»: Переместиться вперед на один шаг без рисования линии.
«+»: Поворот по часовой стрелке на угол delta.
«-»: Поворот против часовой стрелки на угол delta.
«|»: Поворот на 180 градусов. «[»: Запомнить состояние черепахи в стеке; это создает точку ответвления. «]»: Восстановить состояние черепахи из стека; это возвращает черепаху назад к началу ответвления. «*»: Увеличение размера шага на 10 %. «/»: Уменьшение размера шага на 10 %. «,»: Изменение размера шага случайным образом.
В этих командах упоминается угол delta — угол, на который поворачивается Черепаха. Для получения значения угла delta число 360 делится на число направлений (direction):
360/direction.
Число direction задается параметром при выборе вида фрактала.
В правилах могут использоваться и другие знаки, которые описаны с помощью уже известных.
В дополнение к этим командам, поведение черепахи определяется двумя параметрами: размером шага и углом поворота. Размер шага автоматически отрегулирован, так, чтобы результирующее изображение заполнило экран. При этом вычисляется размер шага во время интерпретации последовательности команд без фактического рисования результирующего образа на экране.
В процессе обработки строки каждый знак во входной строке заменяется другим в соответствии с заданным правилом. Правила содержатся в таблице правил. Таблица правил содержит заменяющую строку для каждого знака.
Большинство строк — только эквивалент соответствующих знаков, задающих тривиальные правила подобно следующему:
«A» становится замененным «A» и т. д.
Другие строки указывают на нетривиальные правила подобно следующему:
«F» заменяется на «F-F ++».
Начальная строка называется аксиомой. Для кривой Koch это — только «F», но она может быть более сложной для других фракталов. Аксиома — это нулевая стадия рекурсивного процесса. N-ая стадия получена заменой всех составляющих согласно правилам. Это рекурсивный процесс, который производит все более сложные строки. Полученные строки затем интерпретируются черепахой, которая рисует фрактал.
Приводим первые стадии кривой Koch как пример:
Кривая Koch — классический пример фрактала.
Аксиома — «F».
Единственное правило замены —
«F ® F-F ++ F-F »,
число направлений (direction) равно 6, то есть каждый поворот происходит на угол 360/6 = 60 градусов.
Рассмотрим переписывание строки по стадиям:
Стадия 0: «р» (аксиома)
Стадия 1: «р-р++р-р»
Стадия 2: «р-р++р-р-р-р++р-р++р-р++р-р-р-р++р-р»
Стадия 3: «р-р++р-р-р-р++р-р++р-р+ +р-р-р-р+ +р-р-р-р+ +р-р-р-р+ +р-
р+ +р-р+ +р-р -р-р+ +р-р++р-р+ + р-р-р-р+ +р-р++ р-р+ + р-р-р-р+ +р-р-р-р+ +р-р-р-р++р-р ++ р-р++р-р-р-р++р-р»
Стадия 0
Стадия 0 — сама аксиома. «р» значит — иди вперед на один шаг и рисуй линию. Так как черепаха перво- " начально смотрит на Восток, в результате получается горизонтальная линия.
Стадия 1
Применяя заменяющее правило к предыдущей строке «р» получаем строку: « р-р ++ р-р».
Это значит — рисуй вперед один шаг, поворот против часовой стрелки (-), рисуй вперед один шаг (р), поворот по часовой стрелке дважды (++), рисуй вперед один шаг (р), поворот против часовой стрелки (-), рисуй вперед один шаг (р). При этом программа автоматически уменьшила размер шага, чтобы делать фрактал, вписывающимся в окно.
Стадия 2
Те же самые правила, действующие на предыдущую строку дают: «р-р++р-р-р-р++р-р++р-р++р-р-р-р++р-р» и так далее.
ЗАДАНИЕ 3.
Описание построения фрактала в среде Лого
В среде Лого мы хотели создавать декорации для различных иллюстраций, игр.
Для этого на рабочем поле потребовалось ограничить пространство сцены — см. процедуру fence. to fence
cg setc 5 fill pu
fd 165 rt 90 setx xcor - 300
pd setc 9
repeat 2 [fd 500 rt 90 fd 280 rt 90]
pu fd 10 rt 90 fd 10
pd fill pu setc 1 home pd
make "#p "pd
end
Мы отказались от вычисления масштаба для рисования итогового фрактала. Для подбора параметров на рабочем поле расположены бегунки и кнопки (см. рисунок 4).
Назначение бегунков: delta — угол поворота черепашки при рисовании;
smin — минимальная длина отрезка, при достижении которой рисование фрактала останавливается; length — начальная длина отрезка; level — число уровней — считается при рисовании фрактала и выводится на бегунок.
Назначение кнопок: reset — сброс текущего состояния, рисование начального состояния сцены;
Команды, предложенные в описании системы FracTree, интерпретированы в среде Лого следующим образом (см. таблицу 1).
ЗАДАНИЕ 4. Пример описания и моделирования фрактала Коха
Выбираем начальные установки — положение Черепашки, угол поворота, цвет.
to 0pos "spos "shead
pu setpos :spos seth :shead setc 5 + random 120 end
Задаем правило совокупности отрезков для фрактала Коха. Это правило приведено в задании 2.
to rule_koch
fpd -h fpd +h +h fpd -h fpd
end
Программа построения остальных стадий формируется так: каждая команда fpd заменяется на s_koch. При этом длина отрезка каждый раз уменьшается на 10 %,
to s_koch :side
ifelse colorunder = 4.4 [ stop]
[ifelse :side < smin [ rule_koch setlevel
level + 1 ]
[ s_koch /side -h s_koch /side +h +h s_koch /side -h s_koch /side ]
]
end
koch — запуск рисования фрактала Коха с заданными параметрами.
Рисунок 4.
Таблица 1.
Команда системы FracTree Процедуры в среде Лого
«+» — поворот по часовой стрелке на угол delta Поворот по часовой стрелке (+h) на угол delta to +h rt delta end
«-» - поворот против часовой стрелки на угол delta Поворот против часовой стрелки (-h) на угол delta to -h lt delta end
«|» - поворот на 180 градусов Поворот на угол 180 градусов (!) to ! seth 180 end
«[» - запомнить состояние черепахи в стеке. Это создает точку ответвления. Запомнить состояние черепахи в стеке (состояние пера запоминается при движении вперед) to in make "stack fput (list pos heading color) :stack end
«]» - восстановить состояние Черепашки из стека. Это возвращает Черепаху к точке ответвления. Восстановить состояние Черепашки из стека to from if not empty? :stack [make "#st first :stack frompos fromhead fromcolor make "stack bf :stack] end Восстановление координат Черепашки to frompos make "#w item 1 :#st pu setpos :#w run :#p end Восстановление направления головы Черепашки to fromhead make "#w item 2 :#st seth :#w end Восстановление цвета Черепашки to fromcolor make "#w item 3 :#st setc :#w end
«*» - увеличение размера шага на 10 процентов Увеличение размера шага на 10 процентов to *side op 1.1 * :side end
«/» - уменьшение размера шага на 10 процентов Уменьшение размера шага на 10 процентов to /side op 0.9 * :side end
«,» - изменение размера шага случайныш образом Изменение размера шага случайныш образом to ,side op (random 100) / 10 end
Подготавливаем запускающую программу, которая будет запускаться кнопкой:
_|йЭ1
to kokh
0pos [-290 -110] 90 setlevel 0 make "side length s_koch :side end
Устанавливаем на бегунках значения параметров: length = 70 delta = 80 smin = 15
Щелкаем на кнопку kokh и получаем узор, показанный на рисунке 4.
Домашнее задание
1) Попробуйте сами подобрать параметры для получения контуров, изоб-раженныгх на рисунках 5 и 6. Сколько уровней потребовалось для построения?
2) Составьте интерпретацию фрактала Brush по следующему описанию:
Этот пример иллюстрирует переходы.
Начальное состояние (аксиома) — «--- F>, правило — «F ® F[+ F] F[-F] F», угол поворота delta — 360/12.
Аксиома требует установки черепахи так, чтобы она смотрела на Север.
Стадия 1: « --- ¥ [+ ¥] ¥ [-¥] ¥ ». После продвижения вперед на один шаг («¥»), состояние черепахи сохраняется в стеке («[»). Знак «+» означает поворот че-
репахи по часовой стрелке на один угол delta.
Следующий знак «F» рисует ветвь на правой стороне от стебля.
Знак «]» восстанавливает состояние черепахи из стека. Это возвращает черепаху назад к началу ветви. Следующий знак «F» рисует следующую часть стебля, в то время как подстрока «[-F]» ведет к рисованию ветви слева от стебля.
Последний знак «F», наконец, заканчивает стебель.
При обработке строки на второй стадии каждый из 4 знаков «F» заменяется на строку «F [+ F] F [-F] F». Прямые части стебля получают дополнительные участки, и предыдущие ветви получают под ветви. Каждая новая стадия добавляет большое количество деталей растения.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На скромных примерах мы хотели показать, как с помощью математики можно создавать пейзажи, узоры. Фракталы — не единственная область математики, чарующая своей красотой.
Рисунок 5.
Рисунок 6.
В марте 2002 года в сети Интернет появился обзор статьи «Л generic geometric transformation that unifies a wide range of natural and abstract shapes» — «Общее геометрическое преобразование, которое объединяет широкий ряд естественных и абстрактных форм» (http://astronomy.swin.edu.au/ ~pbourke /curves/).
Автор этой статьи Johan Gielis предлагает новый подход для моделирования разнообразных абстрактных, природных и
созданных человеком форм. Взяв за основу уравнение окружности, автор рассказывает, как, добавляя логарифмические и тригонометрические зависимости в это уравнение, можно получить самые разнообразные геометрические формы.
На следующем занятии мы разберем этот материал и покажем в среде Лого, что может нарисовать черепашка, следуя математическим зависимостям.
© Наши авторы, 2004. Our authors, 2004.
Кузнецова Ирина Николаевна, учитель информатики школы № 640, координатор секции Лого-Лего Международной конференции «Школьная информатика и проблемы устойчивого развития».
