Моделирование удельного сопротивления грунта с применением нечеткой логики Текст научной статьи по специальности «Математика»

! УДК 519.87

I МОДЕЛИРОВАНИЕ УДЕЛЬНОГО ' I СОПРОТИВЛЕНИЯ ГРУНТА J С ПРИМЕНЕНИЕМ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ

| Н.М.Зайцева

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова

¡1 Мацала айцынсыз логика нег!з1нде «дымцыпдьщ» параметр1нен

топырсаупыц ydeßbdi кедергюш аныцтаудъщ регрессивтi моделт шыгаруга арналган. Эксперимент барысында алынган нэтижемен моделдеу цорытындысын салыстыруы келт1р1лген.

Статья посвящена разработке регрессионной модели определения удельного сопротивления грунта от параметра «влажность» на основе ш нечеткой логики. Приводится сравнение результата моделирования с данными, полученными в ходе эксперимента.

Article is devoted to development regression model of definition of specific resistance of ground from parameter "humidity" on the basis of fuzzy logic. Comparison of result of modelling with the data received during experiment is resulted.

Существует ряд задач электроэнергетики, при решении которых используется удельное сопротивление грунта. Анализ информации по определению удельного сопротивления, дает следующую картину: значения удельного электрического сопротивления грунта могут колебаться от 10-6 Омм (графит) до 106 Ом-м (каменная соль) [2], помимо таких пределов значений для разного рода горных пород известно, что удельное электрическое сопротивление грунта весьма существенно зависит от влажности и температуры, а также и структуры породы [1,3].

Существующие в литературе эмпирические зависимости применимы лишь для определенного диапазона значений какого-либо из параметров, либо для определенного типа грунта. Например, зависимость расчета удельного сопротивления от температуры[2]:

С1)

где рт, р20 - сопротивления при температурах Т и 20°С, неплохо работает на интервале температур от 4°С до 24°С (ошибка составляет 4%), но от 4°С и ниже формула (1) начинает давать большую погрешность, а в отрицательном диапазоне температур вообще не применима.

Эмпирическая формула расчета удельного сопротивления в зависимости от влажности [2]:

р = а-р„ф-т-8-\ (2)

где pw - удельное электрическое сопротивление содержащейся в породе воды, Ф - пористость, S - доля порового объема, заполненного водой, а, т, п - эмпирические параметры, не применима для всех видов грунта.

Так, например, разброс значений удельного сопротивления песка, рассчитанного по формуле (2) с использованием следующих значений параметров, взятых из справочника [2]: для воды речной pw = 10 Омм, Ф = 0.15, а = 0.62, т = 2.15, п = 10 для влажности менее 30% и п = 20 для влажности более 30%, составил для сильно увлажненного и сухого песка соответственно 370 Ом-м и 70-Ю6 Омм соответственно. В то же время экспериментальные данные и данные того же справочника дают совсем другие значения: для сильно увлажненного песка удельное электрическое сопротивление составляет 10-60 Ом-м, а для сухого песка - 15004200 Ом-м.

В виду того, что задачи определения удельного сопротивления грунта являются довольно сложными в дискретной постановке и для их решения не может быть в полной мере использована традиционная математика, решено было предпринять попытку разработать модель определения удельного электрического сопротивления различных типов грунта в зависимости от влажности на основе теории нечетких множеств, разработанной американским математиком Лотфи Заде.

Лотфи Заде расширил классическое канторово понятие множества, допустив, что функция принадлежности элемента множеству может принимать любые значения в интервале [0;1]. Такие множества были названы им нечеткими (fuzzy).

Допустим, что Е - универсальное множество, xGE, а R - некоторое свойство множества. Нечеткое множество А - подмножество АеЕ, в котором для элементов этого множества нет однозначного ответа «да-нет» относительно свойства R. При этом функция принадлежности цА(х) принимает значения в упорядоченном множестве М= [0,1] и указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х подмножеству А, где М - множество принадлежностей.

Для определения функций принадлежности используются прямой и косвенный методы. В прямом методе задается для каждого х^Е значение цд(х) или определяется функция совместимости. Обычно, прямые методы используются для измеримых понятий, таких как давление, температура и т.д. Косвенный метод определения значений функции принадлежности используется в случаях, когда нет измеримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество.

Суть модели заключается в следующем; для каждого вида грунта должна быть разработана система размытых правил. При этом она [4] может быть записана следующим образом:

где А,. - нечеткое подмножество для переменной х. с функцией принадлежности [гД]Ч(х), М - число правил; у - г).(х) - функция, определяющая локальное решение модели от набора х = (хр ..., хк). При этом А.. - это нечеткие интервалы значений параметров, например, параметр влажность, М - число интервалов.

Функции принадлежности обладают тем свойством, что в любой точке выполняется условие:

Пример набора трех функций имеет вид, показанный на рисунке 1. На данном рисунке в качестве параметра х имеется в виду влажность и, измеряемая в процентах.

Для этих функций принадлежности имеет место следующее: в области, где соседние ц. и м,. , имеют ненулевые значения, всегда выполняется равенство ¡д.^ = 1 - ¡хг л

[¿2 М'З

Ш(Х1 али)И(хг<ЕА21)И...И(хк €ЛЬ.) ТНЕМ у =

(3)

м

(4)

1

VI

V2

Рис. 1. Семейство функций принадлежности

V %

Для одномерной зависимости, в нашем случае речь идет о параметре влажность грунта, система размытых правил приобретает вид:

IFxBAi THEN у = rh(x), i =\...,М , (5)

где А. имеют функцию принадлежности ц^х), а общее уравнение моделирования удельного сопротивления приобретает следующий вид:

м

Р = ■ (6)

Функции -г], строились в виде линейных регрессий:

7ji^b0 + b1-xi (7)

Предлагаемая модель была разработана следующим образом:

- весь диапазон влажности, разбивался на три интервала, три нечетких подмножества, каждый из которых соответствовал одному из трех понятий: «слегка влажный», «влажный», «сильно влажный», причем, диапазону «слегка влажный» был выбран приблизительно интервал значений параметра влажность от 0% до 4%, «влажный» - интервал значений от 4% до 16%, «сильно влажный» - интервал значений от 16% до насыщения грунта водой;

- проводились эксперименты по измерению удельного сопротивления грунта с целью построения регрессионных зависимостей для каждого из интервалов влажности, причем, численно интервалы перекрывались. Например, данные для построения регрессионной зависимости, относящиеся к интервалу «слегка влажно» снимались в интервале влажности от 0% до 5%, а данные, относящиеся к интервалу «влажный» - от 4% до 17%;

- определялись значения параметров функции т|.(х) Ь1 и Ь2, для каждого ИЗ трех нечетких интервалов [0, vl], [vl, v2] и [v2, ^J с помощью метода наименьших квадратов;

- затем строились функции принадлежности ц. (для нашей модели они имеют вид, показанный на рисунке 1, где v - влажность). Значения интервала влажности [0, vl], [vl.; v2] и [v2, v^^^J были определены для каждого вида грунта с помощью экспертных оценок приблизительно. Функции принадлежности данной модели представлены формулами, приведенными ниже:

1, 0 £ х Й 2

2<*<б,А=1

4

0,

'0,

ОЙ ж<2

1 6~х о л

1--,2й д:< 6

18-х

0,

: 14

14* л: <18

Яз

0,

О й х < 14

4

1 хг18

(7)

- искомая функция строилась с помощью формулы (6), в нашем случае она получалась путем «нечеткого склеивания» трех регрессионных линейных функций, параметры которых, например, для песка были следующие:

* для интервала «слегка влажно» - Ь1 = 761, Ь2 = -165,

* для интервала «влажно» - Ь, = 132.114, Ъ2 = -8.957,

* для интервала «сильно влажно» - Ьа = 43.265, Ь2 = -1.303.

В результате моделирования удельного сопротивления песка в зависимости от влажности была получена зависимость, изображенная на рисунке 2. Назовем эту модель «модель 1».

На этом же рисунке приведен и график удельного сопротивления, полученный в ходе эксперимента. Анализ графиков позволяет утверждать, что полученная модель гораздо точнее позволяет определить удельное сопротивление песка, чем зависимость (2). Так наибольшее отклонение моде-

Рис. 2. Графики удельного соирогивления песка в зависимости от влажности, полученные экспериментально и с помощью модели!

ли от экспериментальных данных было получено на участка «слегка влажный» - 78 Ом-м, а зависимость (2) на этом же интервале дает отклонение 69,999-106 Ом •м. На интервале «сильно влажно» наибольшее отклонение модели от эксперимента составило 1.56 Ом-м, в то же время по зависимости (2) эта разница составляет 360 Ом-м,

Но для определенного круга задач такая точность определения удельного сопротивления может не устроить. В этом случае можно функцию г] . искать в виде показательной зависимости, а удельное сопротивление в этом случае будет определяться следующим образом:

В результате моделирования была получена функция, график которой изображен на рисунке 3. Назовем эту модель «модель2». Максимальное отклонение модели от экспериментальных данных составило 19.4 Ом-м для интервала «слегка влажный», а для интервала «сильно влажный» отклонение не превышало 1.5 Ом-м.

Сравнение графиков позволяет с уверенностью сказать, что полученная модель может успешно применяться для определения удельного сопротивления любого типа грунта при изменении влажности. Достаточно лишь определить при несложных лабораторных экспериментах параметры регрессионных зависимостей для ряда интервалов влажности. Полученные

900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

0 2 4 б 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Р Ом-м

- эксперимент

- модель

Л,

Рис. 3. Графики удельного сопротивления песка в зависимости от влажности, полученные экспериментально и с помощью модели 2

зависимости могут быть применены как на этапе проектных работ, так и для разработки алгоритмов искусственного интеллекта для релейной защиты энергоустановок.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бургсдорф В.В., Якобе А.И. Заземляющие устройства электроустановок,- М.: Энергоатомиздат, 1987,- 400 е.: ил.

2. Карякин Р.Н., Солнцев В.Й. Заземляющие устройства промышленных электроустановок- М.: Энергоатомиздат, 1989 - 191 е.: ил.

3. Васильев АЛ., Крючков И.П., Наяшкова Е.Ф. и др. Электрическая часть станций и подстанций,- М: Энергоатомиздат, 1990 - 576 е.: ил.

4. Попов А.А. Регрессионное моделирование на основе нечетких правил. / Сборник научных трудов НГТУ.- Новосибирск: НГТУ, 2000,- №2(19).- С.49-57.