CC BY
15ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ
COMPUTER SCIENCE, COMPUTER ENGINEERING AND MANAGEMENT
УДК 539.534
МОДЕЛИРОВАНИЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ В ПОЛИКОМПОНЕНТНОЙ СРЕДЕ ПРИ ЭКСТРЕМАЛЬНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ НА ЕЕ ПОВЕРХНОСТЬ
А.К. Кубанова
Аннотация. Работа содержит решение проблемы о двумерном движении поликомпонентной среды, состоящей из твердой, жидкой и газообразной компонент, которая инициируется бегущей вдоль плоской границы среды волновой нагрузкой. Определено положение фронта ударной волны в среде, угол наклона фронта ударной волны к границе полупространства и влияние на этот угол содержания компонент и величины постоянной нагрузки.
Ключевые слова: ударная волна в среде, поликомпонентная среда, уравнение состояния среды, локальное воздействие, фронт ударной волны, модельный подход, метод характеристик, численный эксперимент
MODELING OF A SHOCK WAVE IN A MULTICOMPONENT MEDIUM UNDER EXTREME IMPACT ON ITS SURFACE
A.K. Kubanova
Abstract. The paper presents the solution to the problem of two-dimensional motion of the medium (air, water and quartz), which is initiated by the wave load running along the flat boundaries of the medium. The position of the front of the shock wave in the medium is determined. The angle of the shock wave front with respect to the boundary of the half space, the influence of the component content from this angle, and the magnitude of constant load are determined.
Keywords: shock wave in a medium, multicomponent medium, the equation of state of the medium; local impact; shock wave front; model approach; method of characteristics; numerical experiment.
Введение. Существуют природные и техногенные ситуации, когда на объекты окружающей среды действуют внешние воздей-
<4Ь
МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МФЮА
ствия большой интенсивности: с неизвестными пространственно-временными характеристиками, но известными локальными амплитудами, продолжительность которых мала по сравнению с характерным временем релаксации среды; с неполным набором данных об этом воздействии на часть поверхности, ограничивающей природный объект. При таких условиях становятся неприменимыми известные стандартные численные методы решения соответствующих задач гидродинамики [1; 2; 3], потому что они:
- не позволяют в процессе расчета учесть реальное разделение многокомпонентной среды фронтом ударной волны на две области, на которой параметры среды испытывают скачок [4; 5; 6; 7];
- не учитывают, что возмущения в среде, вызванные ударными воздействиями большой интенсивности, распространяются за фронтом ударной волны вдоль характеристик, гидродинамические параметры которых существенно меняются, что приводит к необходимости самосогласованного нахождения, как их направлений, так и параметров, определяющих динамику движения возмущенной среды.
В результате возникает необходимость развития такого подхода к моделированию динамики движения многокомпонентных сред при ударных воздействиях большой интенсивности, в котором учитывалась бы начально-локальная определенность внешнего воздействия, самосогласованность положения характеристик с полем скоростей среды и наличие поверхности сильного разрыва параметров среды [8; 9; 10].
Для формулировки начально-граничных условий в области ударного воздействия необходимо рассмотреть движение вдоль границы нагрузки неизменного профиля.
Исследование проблемы воздействия на поверхность трех-компонентной среды (воздух-вода-кварц) постоянной нагрузки, бегущей по ее границе со сверхзвуковой скоростью О0 (рисунок 1), с начально-граничными экстремальными условиями проведено в системе координат, связанной с этой волной, которая движется со скоростью 01 по невозмущенной среде.
В этой системе координат параметры многокомпонентной среды не зависят от времени. Решение этой проблемы проводится на основе теории взаимопроникающих движений компонент [8],
<4Ь
МФЮА МОСКОВСКИМ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИМ УНИВЕРСИТЕТ
А
Рисунок 1. Постановка задачи
что позволяет построить односкоростную математическую модель картины движения мелкодисперсионной трехкомпонентной среды.
При прохождении ударной волны сжатие каждой из составляющих происходит по закону присущему этой компоненте в свободном состоянии с общим давлением компонент среды. Поэтому при исследовании распространения ударной волны в многокомпонентной среде для газовой компоненты среды в качестве уравнения ее состояния принята адиабата Гюгонио, для твердой и жидкой компонент соответствующие уравнения сжатия:
(1) (2)
В соответствии с развиваемым в работе подходом, используя классические соотношения на ударной волне для трехкомпонентной среды (законы сохранения массы, количества движения и энергии):
(3)
(4)
(5)
<4Ь
МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МФЮА
Е Е Е3 - приращения внутренних энергий единиц масс соответствующих компонент среды; /10, /20, /30 - объемные доли указанных компонент в среде; х - показатель адиабаты воздуха; к. - модуль объемного сжатия компоненты; рД р.® - текущая истинная и начальная истинная плотности компонент; р, р0 - приведенная и приведенная начальная плотности трехкомпонентной среды; ^ ; V- скорость ударной волны и скорость среды за волной, перед волной среда покоится; в - угол наклона косой ударной волны к границе трехкомпонентной среды; О0 - скорость бегущей по границе нагрузки интенсивностью Р, получена следующая зависимость плотности от давления на ударной волне, распространяющейся в трехкомпонентной среде, которая является уравнением состояния среды
2/ш Р~ Ра
7-1 &Р + Ш
/ /м Ум\
V ¿г Ь)'
(Р ~ Ро)2
Р+Ра
(6)
скорость ударной волны 01 в многокомпонентной среде, скорость частиц среды V на фронте ударной волны и угол наклона фронта ударной волны в точке локального внешнего воздействия на среду.
(7)
(8)
Для последующего расчета реакции среды на ударное воздействие проведен численный расчет в начальной точке среды. Получены необходимые для этого параметры ударной волны в трех-компонентной среде, а также параметры движущейся за фронтом среды (вода-воздух-кварц) в точке внешнего воздействия, что согласуется с другими авторами [4; 11; 12]. Исследовано влияния содержания компонент среды на эти параметры. Определен угол наклона фронта ударной волны к границе полупространства и влияние на этот угол содержания компонент и величины постоянной нагрузки, бегущей по границе (таблица 1).
На основании уравнения состояния (6) проведен также расчет скорости распространения акустических волн в трехкомпонентной среде. Некоторые результаты расчетов приведены на рисунке 2.
<4Ь
МФЮА МОСКОВСКИМ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИМ УНИВЕРСИТЕТ
Таблица 1
Значения и 8Ш в
р я А,,* /ш - 0 Ло =0,6 /,о =0.001 /т = 0.М9 /зо = 0,6 /ш = 0,005 /з„ = 0 39а /эо =0.6 Ли = 0.01 /и = О.Зв /зо = 0,6 Ля = о, 1 /ЗО = 3 /зо =0,6
100 3131 0,5252 0,4382 0,2946 0,2272 0,08063
200 4430 0,3694 0,3351 0,2566 0,2085 0,07987
400 6266 0,2605 0,2477 0,2108 0Д819 0,0785
600 7675 0,2125 0,2055 0,1832 ОД 635 0,07723
800 8863 0,1839 0,1794 0,1642 0,1497 0,07601
1000 9909 0,1645 0,1012 0,1501 0.1389 0,07485
Б1, м/с
1800 г
1600 -
1400 .
1200
1000
800
600
400
0
200
400
600
800
1000
Р_
Р
Рисунок 2. Кривые распределения локальной скорости фронта ударной волны в трехкомпонентной среде при различных содержаниях компонент и нагрузки
МОСКОВСКИМ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИИ УНИВЕРСИТЕТ
Это позволило выявить следующие характерные проявления волновых процессов в многокомпонентных системах, инициируемые локально-экстремальными внешними воздействиями на их поверхности, не обнаруживавшиеся ранее при менее последовательном подходе к математическому моделированию динамики движения поликомпонентных сред: резкое падение скорости фронта ударной волны (рисунок 2) и скорости звука в среде (при этом оказалось что выполняется условие, что скорость 01 фронта ударной волны в соответствующей точке среды больше местной скорости С звука
увеличение локальной скорости частиц среды
(рисунок 3) с ростом концентрации газовой компоненты при неизменном давлении на фронте; при малых давлениях сжимаемость трехкомпонентной среды, и, сследовательно, и скорость фронта ударной волны в среде определяется в первую очередь сжимаемостью воздуха, поэтому скорость фронта зависит от содержания газовой компоненты, а при больших давлениях сжимаемость среды в большей степени зависит от сжимаемости воды и кварца, следовательно, скорость фронта волны мало зависит от газовой компоненты и кривые
Si соответствующие разному содержанию воздуха, сближаются
между собой, а в среде, не содержащей воздух, скорость фронта ударной волны мало меняется при изменении давления, зависимость
Di (£) близка к линейной.
При математическом моделировании ударных волн в средах, кроме классических условий на ударной волне, необходимо к этим уравнениям присоединить уравнение, дающее связь между скоростью перемещения ударной волны в среде и поверхностью самой ударной волны, которая получена нами имеет вид, положение и форма которой задается уравнением:
,'1
в - текущий угол наклона фронта ударной волны в среде к горизонтальной оси в каждой расчетной точке поверхности волны.
Область возмущенного движения многокомпонентной среды ограничена ударной волной, положение и форма которой в общем
<4Ь
МФЮА МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
V, м/с 80
70
60 50
40
30
20
10
-в" = 0,1 -- ^ = 0,01 """ ^ = 0,005 ™ ^ = 0,001 - = 0
Л*
0
200
400
600
800
1000
р_
Р
Рисунок 3. Кривые распределения локальной скорости фронта ударной волны в трехкомпонентной среде при различных содержаниях компонент и нагрузки
0
случае должны определяться условием, характеризующим возмущенное и невозмущенное состояние среды. Использование этого условия приводит к необходимости поиска численными методами точек среды, где указанное условие выполняется, решая при этом каждый раз весь набор уравнений динамики возмущенной и невозмущенной областей среды, моделирующих ее движение. Нами показано, что эти трудности численного моделирования положения фронта ударной волны можно обойти аналитическим заданием формы фронта в виде многочлена по степеням глубины проникания возмущения в среду. Предварительный анализ показал, что без ущерба для качественного и количественного описания положения поверхности ударной волны достаточно ограничиться уравнением:
МОСКОВСКИМ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИМ УНИВЕРСИТЕТ
х = ау + Ьу2 (10)
Такой вид описывает реальное уравнение поверхности ударной волны в многокомпонентной среде при локально-экстремальном внешнем воздействии на ее поверхность. При этом параметры а, Ь определяются по формулам:
(11) (12)
где а - размер «шага» по углу наклона фронта ударной волны в среде к оси х, п - число расчетных «шагов», где ограничение на их число определяется условием - величина скорости фронта ударной волны должна быть больше значения местной скорости звука (предел -равенство, в противном случае ударная волна вырождается и в поликомпонентной среде распространяются малые возмущения). То, что она сверхзвуковая, выражается неравенством
sinвo > С (13)
где в0 - начальный угол наклона ударной волны к границе полупространства, а С - местная скорость звука, у^ - ордината фронта ударной волны в среде, Р0 - давление со стороны невозмущенной области среды, по мере проникания вглубь многокомпонентной среды определяется давлением атмосферы и гидростатическим давлением среды, то есть формулой
Р0 = Р
0 а
+
PyУ9, У < Ух
(14)
Плотность среды в (14) определяется уравнением состояния трехкомпонентной среды.
PtJ — PüTM
ШУ^-Ч^М^)}
(15)
На основе подхода, примененного в работе для определения исходного шага алгоритма расчета, численно определено положение фронта ударной волны в многокомпонентной среде, сформулированы граничные условия в начальной точке среды, определены все параметры (Р, р, С, в, на фронте этой ударной волны. При чис-
<4Ь
МФЮА МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ленном исследовании реакции поликомпонентной среды на внешнее локально-экстремальное воздействие они являются начальными параметрами на базисном («нулевом», или начальном) слое, с которого проводится расчет моделирующих динамику развития возмущений трехкомпонентной среды.
Получено уравнение состояния поликомпонентной среды учитывающее дисперсную структуру состоящей из газообразной, жидкой и твердой компонент, что позволяет провести последующий расчет реакции среды на ударное воздействие.
Проведен расчет в начальной точке среды и получены необходимые для этого параметры ударной волны в трехкомпонентной среде, а также параметры движения за фронтом среды в точке внешнего воздействия.
Исследовано влияние компонентов среды на параметры ударной волны и определен угол наклона фронта ударной волны к границе полупространства.
Анализ полученных результатов показал влияние источника возмущения и содержания компонентов среды на эти параметры, что необходимо учитывать при построении математических моделей динамики движения многокомпонентной среды при ударных воздействиях.
Получено положение ударной волны в среде для расчета на ней «базисных» параметров среды. Практическая значимость работы заключается в возможности развития дальнейшего исследования и прогнозирования реакции многокомпонентных сред на динамические нагрузки интенсивного характера, возникающих в результате техногенных воздействий, что представляет интерес в различных технологических процессах, например, горной, нефтегазовой и строительной промышленности. Разработанная модель движения поликомпонентных сред при экстремальном воздействии на ее поверхность может быть применена для исследования двух-компонентных сред.
Библиографический список
1. Алексеенко В.Д., Григорян С.С., Новгородов А.Ф., Рыков Г.В. Некоторые экспериментальные исследования по динамике мягких грунтов // Доклады Академии наук СССР. 1960. Т. 133. № 6.
МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МФЮА
2. Григорян С.С. Об основных представлениях динамики грунтов // Прикладная математика и механика. 1960. Т. 25. Вып. 4.
3. Зверев И.Н., Ляхов Г.Н. Экспериментальная проверка уравнения состояния водонасыщенного грунта // Известия АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1960. № 4.
4. Клебанов Л.А., Крошилин А.Е., Нигматулин Р.И. О гиперболичности, устойчивости и корректности задачи Коши для системы уравнений двухскоростного движения двухфазных сред // Прикладная математика и механика. 1982. Т. 46. Вып. 1.
5. Крайко А.Н. и др. Механика многофазных сред // Сборник «Итоги науки и техники». Гидромеханика. Т. 6. М., 1972.
6. КубановаА.К. Моделирование динамики движения поликомпонентных систем при внешних воздействиях. М., 2010.
7. Ляхов Г.М. Волны в грунтах и пористых средах. М., 1982.
8. Ляхов Г.М., Покровский Г.И. Взрывные волны в грунтах. М., 1962.
9. Министерство обороны РФ. Центральный физико-технический институт. Физика ядерного взрыва. Т. 1. М., 1997.
10. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред: в 2 т. М., 1987.
11. РахматулинХ.А. Газовая и волновая динамика. М., 1983.
12. Рахматулин Х.А. Кубанова А.К. Проникание вглубь полупространства трехкомпонентной среды нагрузки переменного профиля, бегущей по ее границе // Материалы Всесоюзной конференции «Современные вопросы математики и механики и их приложения». М., 1983.
А.К. Кубанова
Доктор физико-математических наук, профессор,
Российский университет дружбы народов
