CC BY
13Научный вестник НГТУ. - 2010. - № 3(40)
УДК 519.6
Моделирование трехмерных нестационарных электромагнитных полей вертикальной электрической линии и оценка возможности ее использования при поиске залежей углеводородов в условиях шельфовой зоны*
П.А. ДОМНИКОВ, М.Г. ПЕРСОВА, Ю.Г. СОЛОВЕЙЧИК, Ю.В. ТРАКИМУС
Рассмотрены схемы численного моделирования трехмерных нестационарных электромагнитных полей вертикальной электрической линии. Приведены математические модели, анализ точности получаемого конечно-элементного решения и результаты расчетов для геоэлектрических моделей шельфовой зоны.
Ключевые слова: вертикальная электрическая линия, конечно-элементное 3D-моделирование, электромагнитное поле, шельфовая зона
ВВЕДЕНИЕ
Согласно результатам исследования геоэлектромагнитных полей использование источника в виде вертикальной электрической линии (ВЭЛ) может существенно увеличить разрешающую способность электроразведочных методов при работе на морском шельфе [1, 2]. Однако по технологическим причинам ВЭЛ может быть использована только в виде закрепленного источника, а это требует расчета трехмерных моделей.
Таким образом, подтверждается актуальность создания высокоэффективных методов расчета нестационарных трехмерных электромагнитных полей вертикальной электрической линии. Эти методы могут быть использованы не только при проектировании соответствующих полевых работ, но и для интерпретации получаемых данных.
В данной работе предлагается метод, позволяющий рассчитывать трехмерные нестационарные электромагнитные поля ВЭЛ с помощью метода конечных элементов в ситуациях, когда вмещающая горизонтально-слоистая среда содержит трехмерные объекты.
1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ДЛЯ РАСЧЕТА ТРЕХМЕРНОГО НЕСТАЦИОНАРНОГО ПОЛЯ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЛИНИИ
Рассматриваемый в данной работе подход к численному моделированию трехмерного нестационарного электромагнитного поля базируется на применении метода конечных элементов. При этом математическая постановка основана на предложенной в [3] технологии выделения поля. Для векторного МКЭ эта модель имеет вид [4]
(
го;
1
+ с-
а
((
Еп + гс*
^0
го; лп
(1)
* Получена 30 марта 2010 г.
Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.
а для узлового [3, 4]
-—ЬАах + с
--1 М? + с ^0
--АЛ? + с
дА? дУа ■ + -
дt дх
= (с-сп) ЕП;
^0
ГдАау дУа —— +-
дt ду
ГдАа дУаЛ —- +-
дt дг
V /
=(—") ЕП;
= (с-сп ) Е
- div (с grad Уа) - div
с-
дА дt
div ((с-сп ) Ёп ),
(2)
(3)
(4)
(5)
где Аа = (АХ?,Ауа,А?) - вектор-потенциал и Уа - скалярный электрический потенциал аномального поля (определяемого трехмерными неоднородностями); ц - магнитная проницаемость среды (^0 - магнитная проницаемость вакуума); сп - проводимость вмещающей гори-
трп
зонтально-слоистой среды; Ё - вектор напряженности электрического поля в горизонтально-слоистой среде (нормальное поле), а функция с характеризует проводимость трехмерной среды. При использовании модели для векторного МКЭ аномальная составляющая напряжен-
Ё а дАа
ности электрического поля определяется в виде Ё = —
дt
а для узлового - в виде
Ёа = -
~д7
- gradУa. Эквивалентные вариационные постановки и конечно-элементные ап-
проксимации для решения задач (1) и (2)-(5) подробно описаны в [4].
Нормальное поле для источника в виде ВЭЛ удобно искать в виде распределения ф -компоненты напряженности магнитного поля (Нф (г, г, t)), являющейся единственной ненулевой
составляющей вектора напряженности магнитного поля Й = (Нг, Нф, Н 2 ) в цилиндрической
системе координат. Если изменение тока в ВЭЛ описывается функцией Хевисайда, то для нахождения начального распределения Нф, соответствующего моменту выключения тока в питающем кабеле ВЭЛ, необходимо решить стационарную краевую задачу [5]:
- Нф д ( 1
гс2 ф г дгV с
-^1 -grаdHф | + -ЛгНт| - | = 0,
Н.
1
ф'г1
Н
ф1г1\г1
= Нф = Н.
ф1г2
ф|г,
= Н.
ф|г4
= 0.
(6)
(7)
Здесь осесимметричная область О, в которой ищется решение Нф, ограничивается поверхностью г, определяемой соотношением г = г (Г) - достаточно малый радиус), а также дневной поверхностью г2 (определяемой соотношением г = 0), удаленной вертикальной границей г, определяемой соотношением г = R (R - достаточно большое число, размер
«бака»), и горизонтальной границей Г4, являющейся либо удаленной, либо границей между средой и непроводящим фундаментом. Токовая линия со сторонним током J не включается в
г
расчетную область О, а на границе Г , являющейся частью границы Г1, заключенной между электродами ВЭЛ, задается неоднородное первое краевое условие, соответствующее единичному току в ВЭЛ.
После выключения тока нестационарный процесс становления поля от ВЭЛ без учета токов смещения описывается следующей краевой задачей [5]:
-ИуЦ^^Я,-0 в О, (8)
^с ) сг2 г 8г \ а) 81
я ф =я_| =я_| =я_| =0, (9)
ф|г1 Ф1г2 Ф1г3 ф1г4
т. е. на всех границах расчетной области О (включая для ВЭЛ) для Я, задается однородное краевое условие первого рода.
После нахождения поля Я, (г, г, 1) напряженность электрического поля может быть вычислена с помощью соотношения
Ёп = 1гоШ. (10)
с
Эквивалентная вариационная постановка и конечно-элементные аппроксимации задач (6) -(9) подробно описаны в [5].
При моделировании поля от ВЭЛ, помещенной в обсаженную скважину, расчет поля с использованием постановки (6)-(7) и (8)-(9) требует очень больших вычислительных затрат, поэтому при наличии в расчетной области обсаженной скважины (что характерно для многих электроразведочных исследований, проводимых на материке) при расчете нормального поля может быть использована постановка для векторного МКЭ [6]:
п
1 - 8А
гог1го1Ап + с" — = 0, гогА"
ц 81
= 0. (11)
8О
Для моделирования процесса становления поля на основе краевой задачи (11) необходимо получить начальное распределение вектор-потенциала А , описывающее осесимметрич-ное поле ВЭЛ до выключения источника тока.
Вообще говоря, вектор-потенциал А",0 может быть найден как решение неоднородного дифференциального уравнения
гог—гогА"0 ^ (12)
ц
с однородными краевыми условиями. Однако численное решение уравнения (12) связано со значительными вычислительными трудностями (в том числе из-за неоднозначности определения А",0 как решения уравнения (12)), и поэтому в [6] предлагается другой способ вычисления распределения вектор-потенциала А",0 . Способ базируется на вычислении напряженности стационарного электрического поля через скалярный электрический потенциал.
Нормальная составляющая электрического поля в горизонтально-слоистой (или осесим-метричной) среде может быть определена через потенциал Уг в виде Ег = -gradУrz. При
этом потенциал Угг (г, г) может быть найден из решения двумерной краевой задачи в цилиндрических координатах:
дУгг
-div (arz grad Vrz )
^ = 5A + 5Б , Vrz
= 0,
Гз
dn
= 0,
(13)
Г1,Г2,Г4
где 8А и 8В - 8 -функции, описывающие положительный и отрицательный источники в виде токов, стекающих с электродов А и В.
Из соотношения го1Й = сЁ при условии, что Й = (0, Нф(г, г), 0) в цилиндрической
системе координат (г, ф, г) , интегрированием по кругу Sjj , имеющему радиус г и лежащему в плоскости г^, начальное распределение Нф можно найти следующим образом:
1 ri
(r, ) = ^ \(°KZ (r, zy) + JUr, zy))r
dr.
(14)
T?rz
где значения Ez = —
dz
могут быть получены в результате решения краевой задачи (13).
По найденному распределению Нф нетрудно восстановить начальное распределение
магнитной индукции B . Соотношение B = rot A",0, устанавливающее связь между магнитным
т» X n,0
потенциалом и индукцией магнитного поля, позволяет по полю B определить поле A лишь
с точностью до градиента некоторой скалярной функции, т. е. всякому фиксированному распределению B соответствует множество распределений A. Поэтому будем искать соответ-
В- X n,0
распределение магнитного потенциала A с минимальной нормой, для чего
минимизируем функционал вида
I ( A",° ):
Г01ф A n0 — вф
+ a
' n,0
(15)
где под нормой вектор-функции Аn,0, определенной в двумерной (цилиндрической) области О, понимается
>,0
V
J( A",° )2dQ = J( A + A2 Wq
(16)
а под нормой скалярной функции и =(rotфАп,° - Вф) - стандартная норма пространства ¿2 (О) суммируемых с квадратом в О функций.
С учётом определения нормы (16) функционал (15) принимает вид
I ( A «,0 ) = J( Го!ф A «,0 — Бфр Q + a
Q
J( An,0 )2dQ .
(17)
2
2
Существует и другой способ нахождения начального распределения Ап'° - с помощью установления процесса при включенном токе. Этот способ не содержит некоторых неоднозначностей, связанных с выбором коэффициента а (выбор а нужно контролировать, чтобы,
с одной стороны, не допустить нарушения основного условия В = 10А",0, а с другой - найти
Ап'° с небольшой нормой). Однако в результате установления находится Ап'° с достаточно большой нормой, что может привести к значительным погрешностям при расчете становления поля на поздних временах. Как было показано в [7], это происходит из-за нехватки точных
А п,0
знаков в мантиссе при расчете начального распределения А , который содержит постоянную (не изменяющуюся во времени) составляющую в виде градиента некоторой функции. Данная проблема была решена путем вычитания из полученного в процессе установления начального распределения Ап'° градиента скалярной функции V, которая находилась из реше-
задачи минимизации функционала I (А",° ) = | Ап — gradV
. Этот подход и особенно-
сти реализации соответствующих вычислительных схем подробно описаны в [8].
При использовании схемы с выделением поля для расчетов трехмерных нестационарных полей от ВЭЛ требуется вычислить начальное (стационарное) распределение аномального поля
Аа . Процедура расчета стационарного электромагнитного поля ВЭЛ также учитывает
t=о
разделение искомого поля на двумерную и трехмерную составляющие. При этом решается следующая последовательность задач.
Первая задача - расчет нормальной составляющей электрического поля Еп = -gradVn в горизонтально-слоистой (или осесимметричной) среде. При этом потенциал Vп (х, у, z) может быть найден путем пересчета с учетом положения источника поля Vrz (г, z), удовлетворяющего решению двумерной краевой задачи в цилиндрических координатах (13).
Вторая задача - расчет аномальной (трехмерной) составляющей Еа напряженности электрического поля. Она полностью описывается скалярным потенциалом V (Еа = — grad Va), который может быть получен как решение следующей краевой задачи [9]:
а
—^у(cgradVa) = — ^у((сп —с)gradVn), =0,
= 0, (18)
Г2
где Г - удаленная граница трехмерной области, а Г2 - дневная поверхность (и, возможно, граница с фундаментом). Таким образом, распределение трехмерного стационарного электрического поля Е может быть найдено как сумма Еп и Еа .
Третья задача - расчет аномальной (трехмерной) составляющей магнитного поля. Математическая модель для расчета стационарного трехмерного магнитного поля при условии, что магнитная проницаемость в земле является постоянной, равной Цо - магнитной проницаемости вакуума, выглядит следующим образом [10]:
——ААа = —сgradVа —(с — сп)gradVn, Аа =0, (19)
Цо У ; Г
где Г - граница трехмерной расчетной области О (здесь все границы О являются удаленными, т. е. такими, что изучаемое магнитное поле на них можно считать пренебрежимо малым).
2
Конечно-элементные аппроксимации для всех рассмотренных в этом пункте задач строятся на нерегулярных прямоугольных и параллелепипеидальных сетках с терминальными узлами [11] и с использованием специальной технологии сборки глобальной матрицы (Т-тех-нологии [4]), обеспечивающей непрерывность глобальных базисных функций для скалярного МКЭ и непрерывность касательных составляющих глобальных базисных вектор-функций для векторного МКЭ.
2. АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОГО РЕШЕНИЯ
В предыдущем разделе были рассмотрены математические модели для расчета нормальной и трехмерной составляющих электромагнитного поля ВЭЛ. Подходы к верификации численных решений при расчете нормальной составляющей электромагнитного поля ВЭЛ подробно рассмотрены в [5], а в [10] приводятся примеры оценки точности решений, полученных при расчете трехмерных стационарных полей ВЭЛ (играющих также роль начальных полей при моделировании нестационарного процесса). Поэтому в данной статье коснемся только вопросов контроля точности конечно-элементных решений при моделировании трехмерного нестационарного процесса.
Верификация конечно-элементных решений проводилась путем сравнения с решениями специальным образом сформулированных задач для одномерных (горизонтально-слоистых) и осесимметричных сред.
Рассмотрим следующую геоэлектрическую модель. В качестве вмещающей возьмем трехслойную среду с параметрами, представленными в таблице.
i hi, м Pi, Ом-м
1 100 0.3
2 5000 5
3 ю 1000
Объект в трехмерной задаче зададим в виде параллелепипеда с размерами 9000x9000x100 м3, удельным сопротивлением 100 Ом-м и расположенным на глубине 16001700 м. Выполним также расчет осесимметричного поля для задачи, в которой параллелепипед заменен цилиндром с радиусом 4500 м, той же толщины, на той же глубине и с тем же удельным сопротивлением. ВЭЛ длиной 90 м с верхним электродом на поверхности среды расположена над центром объекта.
На рис. 1 приведены результаты расчетов в виде графиков напряженности электрическо-
eXd (t) _ E2D (t)
го поля Ex (t) и относительных отклонений 5Ex (t) = —-xD—--100% результатов
Ex (t)
трехмерного расчета по модели (1) от результатов двумерного расчета по модели (6)-(9) в двух
Ех, мВ/(А-м)
8£х, %
-2
йп^О.
t, мс
101
1СГ
10' t, мс
а б
Рис. 7. Графики Ех (г) (а) и ЪЕХ (г) (б)
точках: р , удаленной от эпицентра объекта на 1000 м (т. е. внутриконтурной) и Р2, отстоящей от эпицентра объекта на 6000 м (т. е. внеконтурной). Графики Ех (г) для вмещающей
среды обозначены цифрами 7 и 4, для среды с осесимметричным объектом (двумерная задача) - 2 и 5, для среды с параллелепипедом (трехмерная задача) - 3 и 6, причем 7, 2 и 3 обозначены графики Ех (г) в точке Р1, а 4, 5 и 6 - в точке Р2. График 5ЕХ (г) в точке Р1 обозначен цифрой 7, а в точке Р2 - 8. При этом погрешность решения двумерной задачи не превысила 0.3 %. Малые отклонения (не выше 2 %) результатов, полученных с использованием двух различных постановок и различных аппроксимаций, свидетельствуют о корректности и точности выполняемых трехмерных расчетов.
3. ОЦЕНКА ВОЗМОЖНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ВЭЛ ПРИ ПОИСКЕ ЗАЛЕЖЕЙ УГЛЕВОДОРОДОВ В УСЛОВИЯХ ШЕЛЬФОВОЙ ЗОНЫ
При проведении электроразведочных работ на шельфе горизонтальная электрическая линия является очень удобным источником для исполнения морских работ - надежного «заземления» и простого перемещения по поверхности воды. Вместе с тем глубинность исследований для такого источника оказывается невысокой, а требования к ее повышению все время растут. Необходима разработка таких технологий, которые позволяли бы решать задачи, связанные с поиском месторождений на больших глубинах и при значительной толще морской воды. Существенно увеличить отклик от целевых глубокозалегающих неоднородностей позволяет источник в виде ВЭЛ. В [1, 2] предлагается использовать ВЭЛ тогда, когда регистрация поля производится путем измерения вертикальной составляющей Е,, напряженности электрического поля. Однако такая технология позволяет осуществить лишь несколько точечных зондирований, а интерес могут представлять измерения по площади, позволяющие оконтуривать целевые объекты. Измерения по площади гораздо удобней выполнять для горизонтальной
компоненты напряженности электрического поля Е .
Сравним разрешающую способность двух технологий съемки, базирующихся на измерении горизонтальной и вертикальной компоненты Е , для двух геоэлектрических моделей, различающихся мощностью слоя воды. Параметры вмещающей среды для модели 7 представлены в таблице, а для модели 2 толщина первого слоя по сравнению с моделью 7 увеличена до
1000 м. Целевой объект с размерами 6000x6000x100 м3 и удельным сопротивлением 100 Ом-м расположен на глубине 1600-1700 м. Рассмотрим также три положения источника: над центром объекта, смещением к краю объекта на 2000 м от центра и вне контуров объекта на расстоянии 1000 м от его края. Длина источника в модели 1 составляет 90 м, а в модели 2 - 900 м. Значения горизонтальной компоненты выданы с учетом длины приемной линии 500 м, а значения вертикальной - с учетом длины приемной линии, равной 90 м (для модели 1) и 900 м (для модели 2). Ток в источнике задан равным 1000 А.
На рис. 2 приведены значения Ex (t) и Ez (t) для моделей 1 (рис. 2, а) и 2 (рис. 2, б) в
сравнении с нормальным полем. Графики Ex (t) на обоих рисунках обозначены
квадратиками, а графики Ez (t) - треугольничками, при этом графики, соответствующие
нормальному полю (полю без объекта), обозначены незакрашенными значками, а графики, полученные при расчете поля для среды с объектом, - закрашенными.
На рис. 3 приведены результаты расчетов для моделей 1 и 2 в виде графиков зависимости Ex и Ez от координаты x точек профиля, пересекающего целевой объект (границы целевого объекта соответствуют координатам -3000 и 3000 м) в определенные моменты времени. При этом расчеты были проведены для трех положений генераторной линии. Первому положению соответствовала координата -4000 м. Это внеконтурное положение, т. е. генераторная линия
а б
Рис. 2. Графики Ех (т) (квадратики) и Ег (т) (треугольнички) для моделей 1 (а) и 2 (б) в сравнением с нормальным полем
находится сбоку от объекта и удалена на 1000 м от проекции его края (на рис. 3 соответствующие этому положению кривые обозначены квадратиками). Второе и третье положения линии были внутриконтурными и соответствовали координатам -2000 м (соответствующие кривые обозначены треугольничками) и 0 (при третьем положении линия была расположена в эпицентре объекта, соответствующие кривые обозначены кружками).
На рис. 3, а для всех трех положений генераторной линии приведены графики Ех (х) для
модели 1 в момент времени 0.5 с. При этом закрашенные значки соответствуют графикам нормального поля, а незакрашенные - графикам поля для модели с объектом. На рис. 3, б приведены графики Ег (х) для модели 1 в момент времени 0.5 с. На рис. 3, в и г приведены
графики Ех (х) и Ег (х) для модели 1 в момент времени 1 с, а на рис. 3, д и е - графики
Ех (х) и Ег (х) для модели 2 в момент времени 3 с.
Время счета для одной модели и одного положения ВЭЛ в диапазоне времен от 1 мс до 5 с составило порядка 1.5 мин.
Из графиков, приведенных на рис. 3, видно, что законтурное положение ВЭЛ (соответствующие кривые обозначены квадратиками) дает очень слабую аномалию, незначительно проявляющуюся лишь над объектом. При положении же ВЭЛ над объектом аномалия в обеих
рассматриваемых компонентах поля Е довольно существенна, однако для г -компоненты она все-таки выше. При этом в г -компоненте для модели 1 сигнал практически неизмерим, а для модели 2 уровень сигнала уже доступен для измерения.
Таким образом, измерение г -компоненты имеет смысл лишь для очень мощного слоя воды. При этом х -компонента имеет вполне приемлемый уровень сигнала и уровень относительной аномалии для всех рассмотренных моделей, при этом основанные на ней системы наблюдения более технологичны и позволяют использовать площадные измерения.
-10000 -5000 0.0 5000 X, м
а
-10000 -5000 0.0 5000 X, м
б
-10000 -5000 0.0 5000 X, м
-10000 -5000 0.0 5000 X, м
г
К, мВ
Е, мВ
0.005
5.е
0.0
0.0
Е., мВ
1.5е-5
0.001
Ех, мВ 1.е-5
0.0
5.е-6
-0.001
-0.002
в
д е
Рис. 3. Графики зависимости Ех (х) (а, в, д) и Ег (х) (б, г, е) для модели 1 (а-г) и для модели 2 (д, е) в различные моменты времени: Г = 0.5 с (а, б), Г = 1 с (в, г) и Г = 3 с (д, е)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рассмотренный в данной работе математический аппарат позволяет с высокой точностью и при относительно небольших вычислительных затратах рассчитывать трехмерные нестационарные электромагнитные поля, возбуждаемые ВЭЛ. Этот аппарат реализован в программном комплексе GeoEM и может быть использован при проектировании электроразведочных работ, а также при интерпретации данных электромагнитных зондирований.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Barsukov P., Fainberg E., Singer B. A method of hydrocarbon reservoir mapping and apparatus for use when performing the method. Int. Pat. WO 2007/053025, 2007.
[2] Holten T., Flekkоеy E.G., Singer B. et al. Vertical source, vertical receiver, electromagnetic technique for offshore hydrocarbon exploration // First break. - 2009. - Issue 5. - Vol. 27. - Р. 89-93.
[3] Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Моисеев В.С. и др. Моделирование нестационарных электромагнитных полей в трехмерных средах методом конечных элементов// Изв. РАН. - Сер. «Физика Земли». - 1998. - № 10. - С. 78-84.
[4] Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных элементов для решения скалярных и векторных задач: учеб. пособие. - Новосибирск: Изд-во НГТУ. - 2007. - Сер. «Учебники НГТУ».
[5] Соловейчик Ю.Г., Персова М.Г., Тригубович Г.М. Математическое моделирование процесса становления осесимметричного поля вертикальной электрической линии// Сиб. журн. индустр. матем. - 2003. - Т. 6. - №2(14) -С. 107-125.
[6] Соловейчик Ю.Г., Персова М.Г., Тракимус Ю.В. Использование векторного МКЭ для расчёта становления осесимметричного поля вертикальной электрической линии // Докл. АН ВШ. - 2004. - №1(2). - С. 76-86.
[7] Тракимус Ю.В. Об одной проблеме расчета начального поля при решении нестационарной осесимметрич-ной задачи с использованием векторного МКЭ // Тр. VIII междунар. конф. «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (АПЭП-2006). - Новосибирск: НГТУ, 2006. - Т. 6. - С. 137-141.
[8] Соловейчик Ю.Г., Персова М.Г., Тракимус Ю.В. «Использование векторного и скалярного МКЭ для расчёта трехмерного нестационарного поля вертикальной электрической линии в задачах геоэлектрики» // Тр. междунар. конф. по вычислит. матем. МКВМ-2004. - Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2004. - Ч. II. - С. 670-675.
[9] Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Моисеев В.С. и др. Математическое моделирование на базе метода конечных элементов трехмерных электрических полей в задачах электроразведки //Физика Земли. - 1997. - № 9. - С. 67-71.
[10] Персова М.Г. Моделирование трехмерных стационарных магнитных полей вертикальной электрической линии // Науч. вестн. НГТУ. - 2006. - №1(22). - С. 113-122.
[11] Соловейчик Ю.Г., Токарева М.Г., Персова М.Г. Решение трехмерных стационарных задач электроразведки на нерегулярных параллелепипеидальных сетках // Вестн. ИрГТУ. - 2004. - № 1. - С. 45-60.
Домников Петр Александрович, аспирант кафедры прикладной математики Новосибирского государственного технического университета. Основное направление научных исследований - конечно-элементное моде-
лирование трехмерных геоэлектромагнитных полей в изотропных и анизотропных средах. Имеет 10 публикаций.
E-mail: p_domnikov@mail.ru
Персова Марина Геннадьевна, кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики Новосибирского государственного технического университета. Основное направление научных исследований - конечно-элементное моделирование электромагнитных полей в задачах геоэлектрики и электромеханики. Имеет 78 публикаций, в том числе 1 монографию.
E-mail: persova@fpm.ami.nstu.ru
Соловейчик Юрий Григорьевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики Новосибирского государственного технического университета. Основное направление научных исследований - конечно-элементное моделирование электромагнитных и тепловых полей. Имеет более 100 публикаций, в том числе 1 монографию.
E-mail: kpmt@fpm.ami.nstu.ru
Тракимус Юрий Викторович, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной математики Новосибирского государственного технического университета. Основное направление научных исследований -конечно-элементное моделирование электромагнитных полей в задачах наземно-скважинной электроразведки. Имеет 12 публикаций.
E-mail: kpmt@fpm.ami.nstu.ru
P.A. Domnikov, M.G. Persova, Yu.G. Soloveichik, Yu.V. Trakimus
3D Modeling of Nonstationary Electromagnetic Field of Vertical Electrical Line and its evaluation for hydrocarbon offshore deposit exploration
Numerical schemes for 3D modeling of nonstationary electromagnetic field of vertical electrical line are cosidered. Mathematical models, finite element error estimation and some numerical examples for offshore geoelectric models are considered.
Key words: vertical electrical line, finite element 3D-modeling, electromagnetic field, shelf zone
