Конечно-элементное моделирование электромагнитного поля горизонтальной электрической линии Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Научный вестник НГТУ. - 2008. - № 1(30)

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 551.5.001.57

Конечно-элементное моделирование

электромагнитного поля горизонтальной

*

электрической линии

М.В. АБРАМОВ

Рассматриваются методы конечно-элементного моделирования электромагнитного поля, возбуждаемого горизонтальной электрической линией, для решения трехмерных задач геоэлектроразведки. Представлены вычислительные схемы расчета электромагнитного поля горизонтальной электрической линии. Приведены примеры решения задач с использованием рассматриваемых методов.

ВВЕДЕНИЕ

При решении трехмерных задач геоэлектроразведки с петлевым источником существенного уменьшения вычислительных затрат позволяет добиться предложенная в [1, 2] вычислительная схема, в которой результирующее электромагнитное поле рассматривается как сумма нормального поля горизонтально-слоистой среды и аномального поля трехмерных объектов. При этом нормальная осесимметричная составляющая суммарного поля, в которой часто сосредоточена основная часть поля, может быть рассчитана с высокой точностью без существенных вычислительных затрат путем решения параболической задачи для одной компоненты вектор-потенциала, определенного в цилиндрической системе координат.

Электромагнитное поле, возбуждаемое горизонтальной электрической линией АВ (где А и В - электроды, через которые ток или втекает в среду или вытекает из нее), является трехмерным даже в горизонтально-слоистой среде. Однако решение этой задачи как трехмерной требует значительных вычислительных затрат и существенно усложняет решение практических задач. В данной статье для решения трехмерных задач геоэлектроразведки используется конечно-элементная вычислительная схема расчета добавочного поля аномальных объектов [1, 2] в применении к источнику в виде горизонтальной электрической линии (ГЭЛ). При этом нормальная составляющая электромагнитного поля ГЭЛ (поле в горизонтально-слоистой среде) вычисляется специальным образом с использованием только осе-симметричных источников, т. е. с высокой точностью и при относительно малых вычислительных затратах. Этот подход мы сравним по точности и вычислительным затратам с «прямым» методом расчета электромагнитного поля ГЭЛ без выделения из него поля горизонтально-слоистой среды.

Статья получена 13 ноября 2007 г

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РАСЧЕТА ТРЕХМЕРНОГО НЕСТАЦИОНАРНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ГЭЛ

Для моделирования аномального поля (поля влияния трехмерных объектов) мы будем использовать систему уравнений [1,2]

-—ДА a + ст Цо

5 Аa

dt

+ grad Va

= |ст-ст"| En,

- div ( ст grad Va | - div

CT-

.sa

dt

= - div

ст-ст" IEn

(1) (2)

где а - проводимость среды с объектами; ст" - проводимость вмещающей горизонтально-слоистой среды; ?0 - магнитная проницаемость вакуума; Аа, Уа - векторный магнитный и скалярный электрический потенциалы. В системе уравнений

(1)-(2) напряженность нормального электрического поля Е" считается известной функцией, найденной при моделировании электромагнитного поля от ГЭЛ в соответствующей горизонтально-слоистой среде.

Вариационная постановка для системы уравнений (1)-(2) рассмотрена в [1, 2]. При конечно-элементной дискретизации расчетной области будем использовать несогласованные параллелепипеидальные сетки с терминальными узлами [3, 4]. Согласование базисных функций осуществим на основе Г-технологии [5].

Начальным условием для нестационарного процесса с источником в виде ГЭЛ

является распределение поля А а| , которое может быть найдено последовательно при решении задач

- div (ст" grad V" | = fA + fB, V"\ = 0,

dV"

dn

= 0

(3)

- div |ct grad Va I = - div I (ст" - CT)grad V" |, Va = 0,

dVa

d"

= 0; (4)

--ДАa = -стgradVa -(ст-ст" |gradV", Aa\ = 0

Ц0

(5)

где fA и fB - сосредоточенные в точках A и B источники; Г - удаленная граница трехмерной расчетной области, на которой изучаемое электромагнитное поле можно считать пренебрежимо малым; Гз-в - граница между землей и воздухом.

На основе решения ^Aa, Va j системы (1)-(2) при начальном условии Aa|f

полученном при последовательном решении задач (3)-(5), могут быть рассчитаны

характеристики аномального поля: индукция магнитного поля Ba = rot Aa и на-

d A a

пряженность электрического поля Ea =---grad Va . Тогда характеристики

dt

суммарного электромагнитного поля можно вычислить как Bs = B" + Ba и

Es = E" + Ea

где индукция нормального магнитного поля

т"

B"

и напряженность

Еп

рассчитаны при моделировании электромагнитного поля от ГЭЛ в соответствующей горизонтально-слоистой среде.

Г

з—ь

Г

s—ь

При моделировании электромагнитного поля ГЭЛ без выделения из него поля горизонтально-слоистой среды (прямой метод) для описания процесса становления поля при выключенном токе может быть использована подобная (1)-(2) система уравнений

лтЛ

--ъ grad V

, с*

-—ДА + ст Цо

= 0, (6)

- div (ст grad V)-div (ст5А ) = 0- (7)

Характеристики электромагнитного поля ГЭЛ в этом случае можно вычислить

5А

как B = rot А и E =---grad V .

5t

Начальное условие для системы уравнений (6)-(7) может быть найдено при решении уравнения

-—ДА = JAB-стgradV , (8)

Цо

где V = Vn + Va и Vn, Va решения задач (3) и (4) соответственно, JA - плотность тока, сосредоточенного на линии AB.

Как будет показано далее, при решении трехмерных задач геоэлектроразведки с источником в виде ГЭЛ вычислительная схема прямого расчета электромагнитного поля, основанная на решении уравнений (6)-(8), хотя и является более простой с точки зрения реализации, но значительно уступает по эффективности рассмотренной выше вычислительной схеме, основанной на разделении поля.

2. ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА СТАНОВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ОТ ГЭЛ В ТРЕХМЕРНЫХ ЗАДАЧАХ

В первом примере в горизонтально-слоистую среду с параметрами р1 = 10 Ом • м, Н1 = 100 м, р2 = 200 Ом • м, Н2 = 400 м, р3 = 50 Ом • м, И3 = 300 м, р4 = 300 Ом • м, ^4 = 700 м, Р5 = 1000 Ом • м, Н5 = да, которую будем считать нормальной, включим как аномальный проводящий слой толщиной 100 м на глубине 500 м с удельным сопротивлением р = 5 Ом • м. Электромагнитное поле возбуждается единичным перепадом тока в ГЭЛ. Координаты электродов А и В (-500, 0, 0) и (500, 0, 0) соответственно. Координаты измерителей: Р1 = (-300, 0, 0), Р2 = = (0, 500, 0), Р3 = (1000, 0, 0).

На рис. 1-3 для указанных измерительных точек представлены графики х-компоненты напряженности нормального и суммарного электрических полей, полученные полуаналитическим способом [6, 7], а также относительная погрешность конечно-элементного расчета суммарной Ех. Численный расчет был выполнен на двух конечно-элементных сетках, различных по уровню подробности, прямым методом и методом с разделением поля. В табл. 1 приведены параметры использованных для расчетов сеток и время счета на них. Полученные результаты показывают, что по сравнению с прямым методом расчет с разделением поля даже при такой большой (по размерам) аномалии, как целый слой, позволяет на сетке со значительно меньшим (почти на порядок) числом узлов получить решение как минимум не с худшей точностью. Вычислительные затраты сокращаются почти на порядок по памяти и по времени счета.

Р1. Для графиков справа: закрашенные значки - сетка 1, незакрашенные значки - сетка 2, треугольные значки - прямой метод, квадратные значки - метод с разделением поля

Рис. 2. Ех (слева) и относительная погрешность численного расчета (справа) для точки Р2. Для графиков справа: закрашенные значки - сетка 1, незакрашенные значки - сетка 2, треугольные значки - прямой метод, квадратные значки - метод с разделением поля

Рис. 3. Ех (слева) и относительная погрешность численного расчета (справа) для точки Р3. Для графиков справа: закрашенные значки - сетка 1, незакрашенные значки - сетка 2, треугольные значки - прямой метод, квадратные значки - метод с разделением поля

Таблица 1

Численное моделирование поля ГЭЛ для проводящего слоя

Метод расчета и сетка Количество узлов (с учетом терминальных) Количество узлов (без учета терминальных) Количество элементов Время расчета

Прямой, сетка 1 14 040 10 920 11 590 7 мин 17 с

Прямой, сетка 2 99 715 87 703 90 136 1 ч 18 мин

С разделением поля, сетка 1 14 040 10 920 11 590 9 мин 47 с

С разделением поля, сетка 2 99 715 87 703 90 136 1 ч 28 мин

Для следующего примера геоэлектрическая модель представлена на рис. 4. Эта модель в качестве аномалии содержит трехмерный проводящий объект в виде параллелепипеда 8000 ? 3000 ? 100 м с глубиной верхней кромки 600 м и удельным сопротивлением р = 0.5 Ом • м.

3000 -2000 -1000 .. 0. -1000--2000-3000-

Измерительные линии

\ \ \

Мг М, А ■- Г 17 Ы м,М N ^ В \ енераторная линия

г -1000

к = 100 м, с = 50 Ом • м

^ к = 400м, с = 10 Ом • м

г ш

\ = 0.5 Ом • м к = 3100 м, с = 5 Ом • м

к = ? , с = 50 Ом •

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Рис.4. Геоэлектрическая модель с объектом: план (слева), разрез (справа)

Электромагнитное поле возбуждается единичным перепадом тока в ГЭЛ с координатами электродов А = (3000, 0, 0) и В = (5000, 0, 0). Координаты электродов измерительных линий: М = (3500, 0, 0), N = (4500, 0, 0), М2 = (3500, 1000, 0), Ы2 = (4500, 1000, 0), М3 = (5500, 1000, 0), Ы3 = (6500, 1000, 0).

На рис. 5-7 для указанных измерительных линий представлены графики зна-

чений разности потенциалов

ДV= | Ш

для нормального и суммарного полей, а

МЫ

также графики относительной погрешности. Расчеты выполнялись на нескольких вложенных друг в друга сетках. Параметры этих сеток и время счета на них приведены в табл. 2. Погрешность вычислялась относительно решения на самой подробной сетке.

-1000

м

Таблица 2

Численное моделирование поля ГЭЛ для модели с объектом

Метод расчета и сетка Количество узлов (с учетом терминальных) Количество узлов (без учета терминальных) Количество элементов Время расчета

Прямой, сетка 1 5855 3825 4512 2 мин 20 с

Прямой, сетка 2 35 459 27 631 30 662 21 мин 50 с

Прямой, сетка 3 243 371 212 817 225 268 5 ч 43 мин

С разделением поля, сетка 1 5855 3825 4512 3 мин 45 с

С разделением поля, сетка 2 35 459 27 631 30 662 19 мин 30 с

крашенные значки - сетка 2, треугольные значки - прямой метод, квадратные значки -метод с разделением поля

Рис. 6. ДУ (слева) и относительная погрешность численного расчета (справа) для измерительной линии Ы2Ы2. Для графиков справа: закрашенные значки - сетка 1, незакрашенные значки - сетка 2, треугольные значки - прямой метод, квадратные значки - метод с разделением поля, круглые незакрашенные значки - прямой метод, сетка 3

Рис. 7. А¥ (слева) и относительная погрешность численного расчета (справа) для измерительной линии МЫ3. Для графиков справа: закрашенные значки - сетка 1, незакрашенные значки - сетка 2, треугольные значки - прямой метод, квадратные значки -метод с разделением поля, круглые незакрашенные значки - прямой метод, сетка 3

В данном примере метод с разделением поля выглядит еще более предпочтительным. Здесь решение, полученное при использовании метода с разделением поля, даже на первой (самой грубой) сетке по точности соответствует решению, полученному на третьей (дважды вложенной в первую) сетке при использовании прямого метода (см. рис. 6, 7). Соответственно и вычислительные затраты для достижения необходимой точности при использовании метода с разделением поля уменьшаются более чем на два порядка.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При решении трехмерных задач геоэлектроразведки с источником в виде горизонтальной электрической линии применение вычислительных схем, предложенных в [1, 2] и основанных на выделении нормальной составляющей электромагнитного поля (поля в горизонтально-слоистой среде), позволяет для получения нужной точности существенно сократить вычислительные затраты по сравнению с методом без выделения нормального поля. Это дает возможность эффективно использовать такой подход как при проектировании полевых работ, так и при обработке практических данных.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Моисеев В.С. и др. МКЭ-моделирование трехмерных нестационарных электромагнитных полей // Физика Земли. - 1998. - № 10. - С. 78-84.

[2] Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Моисеев В.С. и др. Математическое моделирование на базе метода конечных элементов трехмерных электрических полей в задачах электроразведки // Физика Земли. - 1997. - № 9. - С. 67-71.

[3] Персова М.Г. Моделирование нестационарных электромагнитных полей на нерегулярных прямоугольных сетках // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2002. - № 3(29). - С. 33-38.

[4] Абрамов М.В. Графический препроцессор для решения трехмерных задач геоэлектрики // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2005. - № 4(42). - С. 39-44.

[5] Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных элементов для решения скалярных и векторных задач. - Новосибирск: НГТУ, 2007. - (Сер. «Учебники НГТУ»).

[6] Каменецкий Ф.М. Электромагнитные геофизические исследования методом переходных процессов. - М.: ГЕОС, 1997.

[7] Эпов М.И., Антонов М.Ю. Прямые задачи электромагнитных зондирований с учетом частотной дисперсии геоэлектрических параметров // Физика Земли. - 1999. - № 4. - С. 298-305.

Абрамов Михаил Владимирович, аспирант кафедры прикладной математики Новосибирского государственного технического университета. Основное направление научных исследований - конечно-элементное моделирование электромагнитных полей в задачах геоэлектроразведки. Имеет 8 публикаций.

Ключевые слова:

-электромагнитное поле; -электрическое поле; - геоэлектроразведка; -горизонтальная электрическая линия; -ГЭЛ.