CC BY
31
УДК. 29.03.77
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В СИСТЕМЕ ДВУХ ТЕЛ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ТЕПЛОВОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
И.В. Рогов, Н.Ф. Майникова, О.Н. Попов, С.В. Молодов
Кафедра «Гидравлика и теплотехника», ГОУВПО «ТГТУ»; teplotehnika@nnn.tstu.ru
Представлена членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым
Ключевые слова и фразы: гармоническое тепловое воздействие; математическая модель; неразрушающий контроль; теплофизические свойства.
Аннотация: Представлена математическая модель теплопереноса в системе двух тел. Сформулирована краевая задача теплопроводности в размерном и безразмерном представлениях. Получены распределения значений температуры по длине ограниченного и полуограниченного тел, а также значения температуры на границе контакта двух тел в любой момент времени.
Обозначения и аббревиатуры
а - температуропроводность, м2/с;
Н - толщина первого тела, м; є - тепловая активность, Дж/(м2-^-с0,5);
Т0 - начальная температура, °С;
X - теплопроводность, Вт/(м-К); х, х - координата в размерном и безразмерном представлениях соответственно; т, Го - время в размерном и безразмерном представлениях соответственно;
Т, © - температура в размерном и безразмерном представлениях соответственно; ю, ю' - круговая частота в размерном и безразмерном представлениях соответственно; ТФС - теплофизические свойства;
НК - неразрушающий контроль.
Индексы
1 - первое тело;
2 - второе тело.
В случае НК материалов активными тепловыми методами искомые ТФС проявляются через температурный отклик исследуемого объекта на тепловое воздействие, которому подвергается объект в специально организованном эксперименте [1].
Важным преимуществом гармонического теплового воздействия (в сравнении с другими) является возможность управлять в широких пределах частотой колебаний источника, что существенно упрощает условия оптимизации режима опыта и позволяет снижать влияние теплообмена исследуемого объекта со средой на результаты измерений. В опытах удается непосредственно регистрировать фазовый сдвиг температурных волн [2].
Наиболее сложной и важной задачей при создании новых методов НК ТФС является разработка физико-математических моделей, адекватно описывающих тепловые процессы в объектах контроля.
В данной работе представлена математическая модель теплопереноса в системе двух тел при гармоническом тепловом воздействии.
Ограниченная пластина (первое тело) приведена в соприкосновение со вторым (полуограниченным) телом (рисунок). Боковые поверхности тел имеют тепловую изоляцию. В начальный момент времени на поверхность ограниченного тела с начальной температурой То начинает действовать гармоническое тепловое воздействие Т(0,т) = Ттсоз(ют) + То.
Необходимо найти распределения значений температуры Т,, Т2 по длине ограниченного и полуограниченного тел, а также значение температуры на границе двух тел Т2 в любой момент времени т.
В математическом виде задача записывается следующим образом:
T(0,x)=Tmcos(fflr)+T0
і
сЩ_( x, т) д^ (x, т) ,
^ — al 1 V у (0 < x < h);
дт дх2
mxrt — a2 (x > h);
дт дx2
Tl(x,0) = T2(x,0) = T0;
T1(0,т) = Tmcos(an:)+T0;
(1)
(2)
(3)
(4)
^1, al
X2, a2
Система ограниченного и полуограниченного тел
А дТі(Н,т) А дТ2(Н,т);
— Аі -------- — —^О ------- ;
дг дх
Ті(Н,т) = Т2(Н,т);
Т2(®,т) = 0.
Введем следующие обозначения:
Го — М; в — ^—^; X — х; «,’— 2Н1; КХ — ^; К, — аі.
Н2 Тт Н а, А X, "
Задачу перепишем в безразмерном виде:
al
де^р) — деЛх^
дFo
дЄ2(х^)
дХ
2
(0 < х < 1);
— Ka 1);
дFo дх
01(Х,0) = 02(Х,0) = 0;
01(0,Fo) = cos(ra' Fo);
дЄ1 (1,Fo) K де2(1,Fo)
■ — - K к ■
дх
дХ
©1(1,Бо) = ©2(1,Ро);
©2(®,Ро) = 0.
Решение задачи будем искать для квазистационарного состояния, начальные условия перестают оказывать влияние на тепловой процесс. к комплексным решениям:
©1(Х,Ро) = ^1(х)ехр(ю' Бо0;
©2(х,ро) = ^2(х)ехр(ю' Foi).
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
в котором Перейдем
(16) (17)
h
x
Подставив выражения (16), (17) в (9) и (10) соответственно, получим:
д2 А ”, 2
ю'iA1 (х) exp(ro' Foi) — д Аі^х) exp(rn’Foi);
дх 2
2
ю' i^^exp^' Foi) — Ka--exp(ro' Foi).
дх 2
Сократив ехр(ю' Foi), получим:
ю' iAi (х) — ^ дх2
д 2 A2 (х) дх2 .
ю i Ka
Решения выражений (20) и (21) относительно А1(х) и А2(х): 4(х) = Спехр(со77х)+ С12 ехр(-л/Ю7х);
A2(x) — C21 exp
( ГТ~ ^
ю і
k х
V
+ C22 exp
f Г~г '\
Ю І
х,
(19)
(20) (21)
(22)
(23)
где Сц, С12, С21, С22 - постоянные.
Из условия (15) следует, что С21 = 0. Формула (23) примет вид
A2to — C22 exp
f ГТГ л
Ю І
v .кл
V » a у
(24)
Постоянные Сц, С12, С22 найдем из условий (12) - (14), которые с учетом перехода к комплексным переменным примут вид:
С11 + С12 = 1;
- С12 exp\^^ю Ч —-KкС22л1 — exp
C11 exp(S7) - С12 exp(- (Юі I
C11 exp(oT7)+ C12 exp(- (ЮТі)— C22 exp
( r~T)
ю i
Ka
(
ю l
к
Решив систему (25) - (27), получим
С11 —'
exp
ехр
С12 — ‘
,(-Ую7)(1 - Kg) .
(ю' i )(1 + к g) + exp(-V^7 )(1 - K g)
exp^/ю' i )(1 + Kg) ______
(ю ' l )(1 + K g) + expj-л/ю' l )(1 - K g)
exp
2exp
exp (юг)! + Kg) + exp(-V^7)(1 - Kg)
( 1 ' • ) ю І
V ■ K a J
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
Подставив Сц, С12, С22 в (22) и (24) получим:
exp^/^7(х -1})(1 - кЕ) + expfVPi(1 - х)) (1 + KЕ); exp (со ' 7 )(1 + K s) + exp(- (Оi )(1 - Ks)
Ai(x) =■
2exp
A2(X) =-
Ю l /1 4
T(1 "X)
exp (7)1 + Ks) + exp(- Vra' i )1 - Ks)
* 1 - Kg
э(-л/гаi)(
Введем обозначение Г21 h =
1 + Ks
Выражения (31) и (32) перепишем в виде:
A (х) exp(vra7(х-i)) h* + exp^vraT(і-х)).
Ai(x)=——frn+ і и■ )—5
explVra i J + expl-Vra iIA
2exp
A2(X) =■
-(1 -X)
(1+кЕ )(exp(T7)+ exp(- VOi)h ) Окончательное решение задачи (8) - (15) в комплексной форме:
^ ^ ^ ч , ^ explVco'7(х-1))h* + expWra'7(1 -х))
©1(X,Fo) = exp(O Fo i)^-----------------------( гг\ l ГГЛ * ’
exp^v oO 7 J + exp ^-Vra'
exp(ra' Foi)
2exp
ra i /1 4
K(1 _X)
л
(i + Ks) (exp^Vrai) + exp(-Vra' i )h*)
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
(36) (З?)
В размерном виде (Зб) и (37):
ехр
Ti(x,т) = Tm exp(raTi)(si +Є2)--------------Л ,
—i (x - h)
I ai
(
h* + exp
—i (h - x) a,
v 1 1__________у
ехр
(
T2Q1,т) = Tmgi exp(raT • i)-
(Si +Є2) + exp 2
Л
■ + To; (ЗВ)
(s1 - s2 )
ехр
f I----------------------------~\
ra —i
V ai у
- + To; (39)
(Si + S2) + exp
(g1 -g 2)
Температура на границе двух тел Т
2exp
T2( x, т) = TmSi exp(rox • i)-
I—i (h - x) 1 a2
\
ехр
( I
ra —i
v a1 у
(
- + To
(4o)
(Si +Є2) + exp
(ЄІ -s2)
Найденные решения (38) - (40) могут быть использованы для определения размеров слоев в многослойных изделиях, а также для нахождения теплофизических свойств материалов исследуемых объектов.
1. Жуков, Н.П. Многомодельные методы и средства неразрушающего контроля теплофизических свойств твердых материалов и изделий : монография / Н.П. Жуков, Н.Ф. Майникова. - М. : Машиностроение-1, 2004. - 288 с.
2. Теплофизические измерения и приборы / Е.С. Платунов [и др.] ; под общ. ред. Е.С. Платунова. - Л. : Машиностроение, 1986. - 256 с.
3. Лыков, А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков. - М. : Высшая школа, 1967. - 599 с.
Simulation of Heat Transfer in Two Bodies under Harmonious Thermal Influence
I.V. Rogov, N.F. Maynikova, O.N. Popov, S.V. Molodov
Department “Hydraulics and Heat Engineering”, TSTU; teplotehnika@nnn.tstu.ru
Key words and phrases: harmonious thermal influence; mathematical model; non-destructive control; thermophysical properties.
Abstract: the mathematical model of heat transfer in a system of two bodies is presented. The boundary problem of heat conduction in the dimensional and dimensionless representations is formulated. The distributions of temperature along the length of the limited and semi-limited bodies, as well as temperature values at the interface of two bodies at any moment time are produced.
Modellierung der Warmetibertragung im System der zweien Korper bei der harmonischen Warmeeinwirkung
Zusammenfassung: Es ist das mathematische Modell der Warmetibertragung im System der zweien Korper dargelegt. Es ist die Randaufgabe der Warmeleitfahigkeit in den dimensionalen und undimensionalen Representationen formuliert. Es sind die Verteilungen der Werten der Temperatur nach der Lange der begrenzten und unbegrenzten Korper im jeden Zeitmoment erhalten.
Modelage du transfert de chaleur dans le systeme de deux corps lors de l’action thermique harmonieuse
Resume: Est presente le modele mathematique du transfert de chaleur dans le systeme de deux corps. Est formule le probleme de la contree du transfert de chaleur dans les representations dimensionnelles et non dimensionnelles. Sont regues les repartitions des valeurs de la temperature sur la longueur des corps limite et semi-limite ainsi que les valeurs de la temperature sur la limite du contact de deux corps dans n’importe quel moment du temps.
Авторы: Рогов Иван Владимирович - кандидат технических наук, докторант кафедры «Гидравлика и теплотехника»; Майникова Нина Филипповна -доктор технических наук, заведующая кафедрой «Гидравлика и теплотехника»; Попов Олег Николаевич - аспирант кафедры «Гидравлика и теплотехника»; Молодов Сергей Викторович - магистрант, ГОУ ВПО «ТГТУ».
Рецензент: Глинкин Евгений Иванович - доктор технических наук, профессор кафедры «Биомедицинская техника», ГОУ ВПО «ТГТУ».
