CC BY
29
Процессы и аппараты химических и других производств. Химия
УДК 536.2
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ В БИМЕТАЛЛИЧЕСКИХ АППАРАТАХ С КАНАЛАМИ ОХЛАЖДЕНИЯ В СТЕНКАХ Е.Н. Туголуков1, В.А. Богуш2, А.Г. Ткачев3
Кафедра «Гибкие автоматизированные производственные системы», ТГТУ (1);
ОАО «Тамбовский завод «Комсомолец» им. Н.С. Артемова» (2);
Кафедра «Конструирование машин и аппаратов», ТГТУ (3)
Представлена членом редколлегии профессором В. И. Коноваловым
Ключевые слова и фразы: аналитическое решение; задача теплопроводности; брус; граничные условия 3-го рода.
Аннотация: Получено аналитическое решение задачи теплопроводности в брусе при неодинаковых граничных условиях 3-го рода на всех 4-х поверхностях. Решение предложено использовать для расчета охлаждения или нагрева в биметаллических аппаратах с каналами в стенках.
В качестве объекта для теплового расчета принимали биметаллический аппарат (реактор, теплообменник) (рис. 1), в котором осуществляется технологический процесс, требующий подвода тепла, или наоборот - принудительного охлаждения через стенку корпуса.
Для этого в основном металле стенки корпуса 1 выполнены каналы охлаждения (нагревания) 2, расположенные вдоль образующей непосредственно под плакирующим слоем 3. Подача теплоносителя в эти каналы осуществляется через кольцевые коллекторы 4 входа и выхода, расположенные в нижней и верхней частях корпуса.
А-А
-НЕ 1 -V °\
А1 Т "І ! ! и і і" ] ^ !!! і ! У 'иіЛАіл
і її і|і і і і і її ї ї її і . ■ її ї ї ііі ■ і і ї ї ііі
ііі і і і ііі І і. і 1 і. -1 1 1 / - ! /
Т 4,(Х4
Ті.а
Тз,аз I
а) б)
Рис. 1 Схема аппарата (а) и модельная схема для теплового расчета (б)
Вводим следующие допущения:
- учитывая, что радиус кривизны RН в диаметральном сечении и высота аппарата значительно больше толщины стенки его корпуса, представляем элемент (модуль) корпуса, ограниченный по обеим сторонам (по образующим) каналов охлаждения, в виде бесконечного бруса. Этот элемент на рис. 1 выделен рамкой;
- моделируем теплопроводность только в этом брусе размерами l х к;
- теплопередача от теплоносителя в канале шириной Ь непосредственно через плакирующий слой и наружу будет рассчитываться отдельно;
- продольная теплопроводность по окружности плакирующего слоя будет учитываться в дальнейшем;
- температуры теплоносителя и среды в пределах рассматриваемого элемента корпуса принимаем постоянными и равными средним по высоте канала;
- для случая использования биметалла сталь - медь термическим сопротивлением плакирующего слоя (медь), имеющего высокий (ХСи = 350 Вт/(м-К)) по сравнению со сталями (Хсталь = 17^45 Вт/(м-К)) коэффициент теплопроводности, пренебрегаем.
Обозначаем: аь а2, а3, а4 - средние коэффициенты теплоотдачи от стенок бруса; Т1, Т2, Т3, Т4 - средние температуры теплоносителя, окружающей среды и внутри аппарата, °С; X - коэффициент теплопроводности основного металла корпуса, Вт/(м-К); I, h - длина и ширина сечения бруса, м.
Нестационарное температурное поле в неограниченном брусе прямоугольно -го поперечного сечения при произвольном начальном распределении и неодинаковых по поверхностям бруса граничных условиях 3-го рода описывается следующей системой:
дt (x, y, т) 2 д21 (x, y, т) д21 (x, y, т)
дт
■ = a
\
дx2 cy2
0 < x < l, 0 < y < h, т> 0; (1)
t (, у ,0 ) = f (x, у) ; (2)
дt (0, у, т) , .
X—^+ аі (t(0,у,т)-tcl) = 0, аі <0; (3)
дt (/, у, т) , .
х—д^-+а 2 ((1, у , т)-tc 2 ) =0; (4)
дt (x,0,т) , .
X—-^ду—- + а3 (і(x,0,т)-tc3) =0, а3 <0; (5)
дt (x, h, т) , / ч ч
X——- + а4 (і(x,h,т)-^4) = 0. (6)
При такой записи граничных условий коэффициенты теплоотдачи а1 и а3 имеют отрицательные значения для учета направления тепловых потоков.
Здесь t (х, у, т) - искомое температурное поле как функция поперечных координат бруса и времени; а2 - коэффициент температуропроводности материала бруса.
Решение задачи может быть представлено в виде суммы
і (х, у, т) = P (х, у, т) + £ (х,у) + ^і, (7)
где Р (х, у, т) - решение нестационарной задачи с однородными граничными
условиями, а £ (х, у)- решение стационарной задачи с неоднородными граничными условиями. Решение ищется относительно температуры окружающей среды со стороны одной из граней бруса.
Стационарная составляющая £(х, у) является решением задачи:
д2 £ (х, у) д2 £ (х, у)
^-1 +----------'^£1 = 0; (8)
дх2 ду2
Хд£(у) +а1£(0,у) = 0, а1 <0; (9)
д£ (, у) / / ч ч
х д/ +а2 (£ (, у)-Т 2 ) = 0; (10)
д£ (х ,0) , .
X—--+ а3 (£(х,0) -Тс3 ) = 0, а3 < 0; (11)
ду
д£ (х, к) , ч
X—+ а4 (£(х,к)-Тс4) = 0; (12)
где
Tci = tci -tc\- (13)
Для ее решения используем метод конечных интегральных преобразований. Для исключения координаты «х» используем интегральное преобразование
вида
l
и (у ) = j S (х, У )р(х )W (x)dx, (14)
0
причем весовая функция р(х) = 1, а ядро интегрального преобразования W(x) является решением задачи Штурма-Лиувилля с однородными граничными условиями:
d2W (х) 2 . .
------^ + ^2W (х) = 0; (15)
dx2
dW (0)
X-----^■ + a1W (0) = 0, a1 < 0; (16)
dx
dW (l)
X-----^ + a2W (l) = 0. (17)
dx
Решение ищется с точностью до постоянного множителя в виде
W (х) = sin (цх + ф), (18)
причем числа д и ф определяются из граничных условий (16), (17):
Ф = -*Е ^); (19)
числа д - последовательные положительные корни уравнения
а2 sin(-l + ф) + Х|асоБ(-l + ф) = 0. (20)
Обратный переход выполняется по формуле
» U(y)W(х)
S (х, у )= S N • (2|)
n = 1
где
N = |р(х)W2 (х)dx = |sin2 (-x + ф)dx =
0 0
2-( -l + sin(ф)cos(ф) - sin(-l + ф)cos( -l + ф)).
тогда
дх
d 2U (y ) dy2
где
01 =|азТс3W(x)dx = азTc3 (cos(ф)-cos(-l + ф)), (29)
0 "
l
(22)
Суммирование в (21) ведется по значениям -n.
Переходим к изображениям задачи (8) - (12).
l д2S(х,у) . . d2U (y)
f----W (x)dx = ----------fl; (23)
0 ду dy
l д2S(х, y) / ч 2 / ч
f----W(x)dx = --2U(y) + 0; (24)
2
--2U (y ) + Q = 0, (25)
dU (0)
X-^ + a3U (0 ) = 01, (26)
ду
dU (h )
X-^ + a4U (h ) = 02, (27)
ду
0 = 02Tc2W(l)=aLTc2 sin(-l + ф), (28)
02 =fa4Tc4W(x)dx = 4 c4 (cos(ф)-cos(-l +ф)). (30)
0 -
Решением задачи (25) - (27) является функция
U (y )= ACh (-y) + BSh (-y) + Ц-. (31)
-
А и В определяются из граничных условий (26) и (27)
(Хц8И (цк ) + а4СИ (цк))
B=
02 - Яг а 4 --
va3 -2
X-1 1 -а4 | Ch(-h) +
(
а4
X2 -2 )
а3
Sh(-h)
A = й- - Я.-X-B.
а3 -2 а3
(33)
Нестационарная составляющая Р(х, у, т) задачи (7) записывается в виде:
дР (х, у, т) = 2 дт
д2 Р (х, у, т) д2 Р (х, у, т)
дх2
ду2
Р (х, у,0 ) = f (х, у)-S (х, у)-;
дР (0, у,т)
X---- -- + а1 Р(0,у,т) = 0, а1 <0;
дх
дР (l, у, т)
X——---------+ а2 Р (l, у, т) = 0;
0 < х < l, 0 < у < h, т> 0;
(34)
(35)
X
дх
дР (х,0,т)
ду
+ а3Р(х,0,т) = 0, а3 < 0;
дР ( х, h, т)
X----------------+а4 Р (х, h, т) = 0.
ду
(36)
(37)
(38)
(39)
Решение ее может быть выполнено методом конечных интегральных преобразований по двум пространственным координатам как одновременно, так и последовательно.
В данном случае последний вариант предпочтительнее, так как для исключения координаты «х» может быть применено преобразование, уже использованное при решении стационарной задачи (8) - (12)
Я (у,т) = 11(х,у,т)p(x)W (х)й?х. 0
Обратный переход выполняется по формуле
Я (у, т)Г (х)
П = 1
t(х, у, т)= £
N
(40)
(41)
где значение N определяется формулой (22).
Ядро интегрального преобразования W(х) является решением задачи (15) -
(17).
Переходим к изображению задачи (34) - (39):
дЯ (у, т)
дт
д Я (у, т) 2
ду2
-- Я(у,т)
Я (у ,0) = F (у ) = j(f (х, у)- S (х, у)- td )W (х )dx;
дЯ (0,т) , ч
X----------+а3Я(0,т) = 0, а3 <0;
ду
дЯ (h,т)
X—ду-------+а4 Я (h, т) = 0.
(42)
(43)
(44)
(45)
В свою очередь, задача (42) - (45) может быть решена с использованием конечного интегрального преобразования по координате «у»
F (т) = f Я (у, т)v (у)z (у) dy
(46)
с весовой функцией v(y) = 1 и формулой обратного перехода
F (т)г (У)
Я (у, т)= £
к = 1
M
где
M = jv(y)Z2 (у)dy.
0
Функция 2(у) является решением вспомогательной задачи d2 Z (у)
dy
--2Z (у) + у2Z (у) = 0;
dZ (0)
X--^- + а3Z (0) = 0, а3 < 0;
dy
dZ (h )
X ^У +а4 Z (h ) = 0.
(47)
(48)
(49)
(50)
(51)
Решение этой задачи с точностью до постоянного множителя имеет вид
Z (у ) = sin (пу + ф), (52)
2 2 2
где числа n =Y -- и ф определяются из граничных условий (50) и (51):
ф = -atg
а3
а п - последовательные положительные корни уравнения Xncos (nh + ф) + а4 sin(h + ф) = 0.
Тогда
(53)
(54)
h h
M = fv(y)Z2 (y)dy = fsin2 (ny + ф)dx =
0 0 (55)
= — (h + sin(ф)cos (ф) - sin (nh +ф)cos (nh + ф)).
2 n
Переходим к изображению задачи (42) - (45).
dV (т) , 2 2
d т
h h l
+ a2 yV (т) = 0, (56)
к (0) = |р (у )2 (у )аУ = Я( (х , у)- ^ (х , у)- с1)) (х )р (у)2 (у) (57)
0 0 0 Решение задачи (56) - (57) имеет вид
V(т) = V(0)Ехр(-а2у2т) = V(0)Ехр(-а2 (д2 +п2)т). (58)
Таким образом, решение задачи (1) - (6) в окончательном виде
,(х,у,т)=„ + у и(У)я'(х) + у У (х)2(У>'(т). (59)
V > с1 ^ ^ ЫМ
п = 1 п = 1 т = 1
Полученное решение является удобным для компьютерной реализации и при указанных выше допущениях позволяет проводить тепловые расчеты систем охлаждения или нагрева в биметаллических аппаратах с каналами как в стационарных режимах эксплуатации, так и при выходе аппаратов на рабочий режим.
Modeling of Heat Transfer in Bimetal Apparatuses with Canals of Cooling in Walls
E.N. Tugolukov1, V.A. Bogush2, A.G. Tkachyov3
Department «Flexible Automated Production Systems», TSTU (1);
OAO «Tambov Zavod «Komsomolets» after N.S. Artiomov», (2);
Department «Design of Machines and Apparatuses», TSTU (3)
Key words and phrases: analytical decision; bar; margin conditions of the 3rd kind; heat transfer problem.
Abstract: Analytical decision of heat transfer task in the bar under non-similar conditions of the 3rd type on all four surfaces is obtained. The task is suggested to be used to calculate cooling and heating in bimetal apparatuses with canals in the walls.
Modellierung der Warmetibertragung in den bimetallischen Apparaten mit den Kanalen der Abktihlung in den Wanden
Zusammenfassung: Es ist die analytische Losung der Aufgabe der Warmeleit-fahigkeit im Balken bei den unahnlichen Randbedingungen der 3. Art auf alien 4 Ober-flachen bekommen. Es ist vorgeschlagen, die Losung fur die Berechnung der Abkuh-lung oder der Erwarmung in den bimetallischen Apparaten mit den Kanalen in den Wanden zu verwenden.
Modelage du transfert de chaleur dans les appareils biometalliques avec les canaux de refroidissement dans les parrois
Resume: Est regue la solution analytique du probleme du transfert de chaleur dans une barre aux conditions limitees inegales du 3-eme ordre sur toutes les quatre surfaces. La solution pourrait etre utilisee pour le calcul du refroidissement ou bien du chauffage dans les appareils biometalliques avec les canaux de refroidissement dans les parrois.
