CC BY
39
УДК 666.7.041.9
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНО-ВЛАЖНОСТНЫХ ПРОЦЕССОВ В
ОБЪЕМЕ КЕРАМИЧЕСКИХ БЛОКОВ
В.О. Андреев1, С.Е. Тиняков1
1ФГБОУВПО «Госуниверситет-учебно-научно-производственный комплекс (УНПК)»,
302020, Россия, г. Орел, Наугорское шоссе, 29 2Филиал ФГАОУВПО «Сибирский федералъныйуниверситет» в г. Железногорске, 662971,
Россия, г. Железногорск, ул. Кирова, 12.
Информационные технологии все шире вовлекаются в промышленную практику для совершенствования технологических процессов и оптимизации всего цикла создания изделий различного назначения. В статье предложен метод температурно-влажностных процессов при сушке и обжиге керамических материалов с учетом явления термодиффузии
Ключевые слова: Керамический блок, обжиг, сушка, моделирование температурно-влажностных процессов, явление термодиффузии
MODELING HYDROTHERMAL PROCESSES IN CERAMIC BLOCKS
V. O. Andreev, S.E. Tinyakov
FGBOU VPO "State University - the Educational Scientific-industrial Complex (ESIC)",
302020, Russia. Eagle, Naugorskoye Highway, 29 FGAOU VPO branch "Siberian Federal University" in Zheleznogorsk, 662971, Russia, Zheleznogorsk, st. of Kirov, 12.
Information technologies are increasingly involved in industrial practices to improve production processes and optimize the entire cycle of creating products for different purposes. A method for modeling temperature-humidity processes during drying and firing ceramics considering the phenomenon of thermal diffusion.
Keyworlds: Ceramic blocks, drying, firing, modeling hydrothermal processes, the phenomenon of thermal diffusion
Сушка и обжиг керамических материалов и изделий - сложный тепломассообмен-иый процесс, причем траектория и время достижения заданной конечной влажности полуфабриката, в конечном счете, определяют качество конечной продукции. Кинетику сушки и обжига такой каппилярно-пористой массы, как керамические материалы, определяют закономерности внутреннего и внешнего переноса влаги и теплоты. Посредством массопроводности влага из внутренних слоев материала продвигается к внешней границе тела (к поверхности испарения). В случае применения традиционного конвективного режима обжига высокотемпературным теплоносителем процесс может осложняться за счет явлений термовлагопроводности (термодиффузии) и внутреннего испарения влаги в обрабатываемом материале.
Выраженные в одинаковых единицах измерения коэффициенты влагопроводности твердых тел - к обычно меньше соответствующих коэффициентов температуропроводности этих тел - а. При этом, если различие зна-
чений коэффициентов потенциалопроводно-сти достаточно велико (критерий инерционности потенциала поля вещества по отношению к потенциалу поля тепла Ьи): Ьи = к/а < 102 * 10 3, то процесс тепловой обработки можно считать изотермическим [1].
Однако, как следует из табл. 1, процесс термообработки керамических материалов не является изотермическим, поэтому при моделировании процесса и оптимизации технологических режимов сушки и обжига необходимо учитывать взаимное влияние явлений переноса тепла и влаги.
Действительно, когда коэффициенты влаго- и теплопроводности различаются менее чем на два-три порядка, теплоперенос существенно влияет на внутренний влагопере-нос. Уменьшение влагосодержания наружных слоев материала сопровождается при термообработке их более быстрым прогревом, вследствие чего возникает поток влаги в направлении, противоположном температурному градиенту, т.е. от поверхности в объем обрабатываемого материала.
38
нииттс
Таблица 1. Коэффициенты потенциалопроводности керамических материалов
Керамический материал: Значения коэффициентов потенциалопроводности, (м2/ч): Ьы=к/а Коэффициент инерционности влаги по отношению к теплу
к - коэффициент влагопроводности (moisture diffusivity) a - коэффициент температуропроводности (thermal diffusivity)
Глина (0,66т 2,14)10"4 18,58 10-4 (3.6-11,5) 10-2 > 10-2
Керамический строительный кирпич 5,4 10"4 19,72 10 ~4 27,4 10-2 > 10-2
В этом случае задача расчета полей влагосодержаний и температур в обрабатываемом материале требует решения системы дифференциальных уравнений взаимосвязанного тепломассопереноса [2]. Показано [3], что для большинства материалов основная масса влаги переносится посредством массо-проводности, а влияние термодиффузии и внутренних фазовых переходов менее существенно. В этих условиях краевая задача взаимосвязанного тепловлагопереноса при обжиге может быть представлена двумя самостоятельными задачами тепло- и влагопроводно-сти. Однако, гипотеза об адекватности математического описания процесса обжига на основе последовательного решения двух кра-евых задач - теплопроводности (нагрев влажного тела) и массопроводности (перенос влаги в нагретом теле) - требует теоретического подтверждения. Определенный шаг в этом направлении сделан в аналитическом моделировании процесса термовлажностной обработки при обжиге керамического материалов и изделий.
Обжиг керамического материала является сложным тепломассообменным процессом, а ход обжига и время достижения заданной конечной влажности определяют качество готового продукта. Если обжигаемый материал имеет определенную влажность, то кинетика удаления влаги может описываться основным уравнением массоотдачи в газовой фазе. В области гигроскопического состояния вещества кинетика обжига определяется закономерностями внутреннего переноса влаги и теплоты. Посредством явления массопровод-ности влага из внутренних слоев материала продвигается к внешней границе тела (к поверхности испарения). При конвективном способе обжига высокотемпературным теплоносителем процесс может осложняться тер -мовлагопроводностью и внутренним испарением влаги. Это имеет место при обжиге керамических материалов, когда рабочие температуры достигают нескольких сотен градусов Цельсия.
В качестве теоретической основы понимания процессов тепло- и влагопереноса при обжиге керамических блоков из глины, представляющих собой капиллярно-пористые тела, используем известную модель, на основе принципов неравновесной термодинамики [2]. Эта модель представляет собой систему двух взаимосвязанных дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП), описывающих нестационарную динамику изменения во времени и полях градиентов температуры и влажности в массе капиллярно-пористого тела.
Для проверки гипотезы о существенном влиянии температурных градиентов на кинетику процессов сушки и обжига керамики при значительной толщине блоков используем аналитическое и компьютерное моделирование.
Согласно Лыкову [2], нестационарные поля влагосодержания и температуры описываются системой двух нелинейных дифференциальных уравнений нестационарного внутреннего влаго- и теплопереноса, которая для процесса обжига керамического материала принимает следующий вид (для удобства рассматривается одномерное пространство 0<х <1):
дЫ(х,г) ,52 , ч 82 .
= к—-Ы (х, г) + кЪ—- Т (х, г),
дх2 дх2
dt
(1)
дт (х, t) а2
а
= а—- Т (х, г) + еР—Ы ( х, г). (2) дг дх дt
Здесь: г - время обжига; х - пространственная координата; Ы(х,г) - поле влагосодержания; Т(х,г) - температурное поле; к -коэффициент влагопроводности; а - коэффициент температуропроводности; 5 - термоградиентный коэффициент; е - коэффициент фазовых изменений; Р =Я/(с р), где Я - удельная энтальпия фазовых превращений; с - удельная теплоемкость; р - удельная плотность.
При этом начальные условия определяются как:
В.О. Андреев, С.Е. Тиняков
М(х,0)=М/(х)= М/, Т(х,0)=Т/(х)=Т/. (3)
Граничные условия определяются как: М(0,г)=Ме(1,г)= Ме, Т(0,г)=Т(1,г)=Те. (4)
Один из известных подходов к решению системы дифференциальных уравнений в частных производных (1) - (4) состоит в применении интегральных преобразований для сведения рассматриваемой проблемы к более простым дифференциальным уравнениям. Исследования показали, что преобразования Лапласа и Фурье не упрощают задачу. Преобразование Фурье не очень пригодно в услови-ях конечных размеров исследуемых пространственных тел, а преобразование Лапласа не может быть использовано из-за недостатка информации, связанной со значениями производных рассматриваемых переменных на границах пространственной области.
Для получения полезных результатов решения задачи выбран метод, базирующийся на использовании собственных значений и собственных чисел [4]. При этом, процедура решения дифференциального уравнения в частных производных (ДУЧП) вида
+ дх,,) (5)
& дх1
относительно Б(х,г) при соответствующих граничных и начальных условиях сводится к следующей последовательности шагов (у -константа, а Д(х,г) - возмущающий негомогенный член):
• Решить соответствующую гомогенную задачу (полагая Д(х,г) =0) и получить собственные значения и собственные функции, необходимые для построения решения в виде бесконечной суммы;
• Выразить все функциональные члены негомогенной задачи через полученные собственные функции;
• Решить полученное уравнение с бесконечными суммами относительно коэффициентов, необходимых для нахождения решений Б(х,г), используя свойства собственных значений и собственных функций.
Чтобы применить предложенный метод к исходной паре взаимосвязанных урав -нений (1) - (1), необходимо сопряженные члены в каждом уравнении рассматривать как негомогенные «возмущающие» члены Д(х,г). При этом решения относительно функций М(хД) и Т(х,г) уравнений (1) - (1) можно представить в виде сумм с бесконечным числом членов:
Т (х, г) = д + Х Ьп (г )¥„ (х).
(7)
М (х, г) = С + Х ап (г )Ф п (х),
(6)
п—1
п—1
Здесь Фп (х) и *¥п (х) собственные
функции, не зависящие от времени, а коэффициенты ап(г) и Ьп(г) являются функциями только времени, Си Д - определяют из начальных и граничных условий.
Т.е. соответствующая гомогенная кон -струкция для уравнений (1) и (1) определяется как:
дМ (х, г) ,52 ч
а = к а?М (х' >• (8)
^ = а|1т(х,0. (9)
дг дх
Гомогенные уравнения (1.8) и (1.9) легко решаются методом разделения переменных. При этом, собственные значения и собственные функции для соответствующих граничных условий (1.3) определяются как:
1 1
X п = ^, 4>я (х) =ф п (х) = в1п( л/Хх) = ... 11
. (п% Л
... = 81п|—х1, п = 1,1,...,да . (10)
Применение преобразования Лапласа позволяет вычислить и коэффициенты ап(г) и
Ьп(г):
ап (г) = Р1 Ап +Сп ехр( рх1) +... Р1 - Р1
... + Р1 Ап +Сп ехр(р1г), (11) Р1 - Р1
Сп =~БпкХ пЬ + аХ пАп +$гАпкХ пЪ, (11) Ьп (г) = Р1Вп +Дп ехр( Р,г) +...
Р1" Р1 Р1 Вп-Дп
... + -п ехр(Р1г), (13)
Р1 - Р1
Дп = ВпкХ п -^Апкг . (14)
Здесь:
Р1 = 1 (Рвкб + а + к -...
...-V (рекб)1 + 1рв5к1 + 1рв5ка+к1 +а1 - 1ка
(15)
Р1 = 1(Р8к5 + а + к +...
.. + 7 (рвкб)1 + 1рв5к1 + 1рв5ка + к1 + а1 - 1ка
(16)
В итоге преобразований и расчетов получают решения исходной системы уравне-
40
нииттс
ний (1.1)-( 1.2) относительно искомых функций М(х,1;) и Т(хД), которые удовлетворяют граничным и начальным условиям:
да
Ы ( х, г) = Ые + Х а„ (г )Ф „ (х), (17)
П=1
<х>
Т (х, г) = Те + Х Ьп (г У?П (х). (18)
П—1
Изложенная выше схема решения положена в основу построения комплекса аналитических и компьютерных моделей темпе-ратурно-влажностных процессов в объеме керамических изделий. Рассмотрим подход к моделированию термовлажностной обработки влажных капиллярно-пористых тел без учета явления термодиффузии.
Если пренебречь влиянием термодиффузии, то краевая задача взаимосвязанного тепловлагопереноса может быть представлена двумя самостоятельными задачами тепло- и влагопроводности [3], математическая модель которых включает в себя последовательное решения трех краевых задач: теплопроводности (нагрев влажного тела), массопроводности (перенос влаги в нагретом теле), теплопроводности (охлаждение влажного тела). Для двух первых задач математическая модель может быть представлена, соответственно, уравнениями (19) и (20):
дЫ (х,г) = ку2 Ы ( х, г);
дг
Ы ( х,0) = Ы 0;
Ш (0, г)
dx
= 0;
(19)
ß[Mp - M(l, t)] = k dT ( x, t)
dM (l, t); dx
dt
T (x,0) = To; dT (0, t)
= aV 2 M ( x, t);
dx
= 0;
(20)
a[Tc - T(l, t)] = k
dT (l, t) dx
Результатом работы является аналитическое модель, представляющая собой решение системы сопряженных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих процессы термовлажностной обработки пористых материалов на основе теории A.B. Лыкова. Исследование полученной модели применительно к обжигу керамических материалов показало, что явление термодиффузии оказывает существенное влияние на динамику процесса и его следует принимать во внимание. Термоградиентный коэффициент 5 является важным параметром сопряжения процессов переноса потенциалов и оказывает серьезное воздействие на развитие профилей влагосодержания и температуры в керамическом материале. Полученное аналитическое решение позволяет экспериментально определять значения коэффициентов сопряжения в модели и практически использовать разработанные модели в производственных условиях для адекватного учета взаимодействия процессов тепломассопереноса. Это снимает необходимость обращения к обычно используемым упрощенным моделям раздельного представления температурных и влажностных процессов в процессах сушки и обжига капиллярно-пористых материалов.
Работа выполнена при поддержке Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере, проект № 9104р /14910.
Литература
1. Лыков, А. В. Теория теплопроводности / А. В. Лыков. - М.: Высш. шк, 1967. - 600 с.
2. Лыков, А. В. Тепломассообмен : справочник / А. В. Лыков. - М. : Энергия, 1972. - 560 с.
3. Интенсификация тепловых и массообменных процессов в гетерогенных средах: монография / под ред. А.Г. Липина; ГОУ ВПО Иван. гос. хим.-технол. ун-т. Иваново, 2009. - 164 с.
4. W.E. Boyce and R.C. DiPrima, Elementary Differ-netial Equatians and Boundary Value Problems, John Wiley&Sons, New York, 1977.
1 Андреев Владимир Олегович - кандидат технических наук, член-корреспондентАкадемии электротехнических наук РФ, ФГБОУ ВПО «Госуниверситет - УНПК», моб.: +7 920 084 71 99, e-mail: Vo-land152@yandex. ru;
1Тиняков Сергей Евгеньевич - кандидат технических наук, общей кафедры филиала ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет» в г. Железногорске, моб.: +7 913 532 84 48, Tinyakov1@yandex.ru.
