МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ НАД ДНОМ С УСТУПОМ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ФОРМЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.161

Технические науки

Разувай Татьяна Александровна, студент 4 курс, физический факультет Филиал МГУ в г. Севастополе, Россия, г. Севастополь

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ НАД ДНОМ С УСТУПОМ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ФОРМЫ

Аннотация: В статье на примере нескольких уступов прямоугольной формы рассматривается течение вязкой несжимаемой жидкости вдоль плоского дна. Идеальная жидкость является физической моделью, позволяющей понять суть многих явлений. Однако имеется достаточно широкий круг явлений, для понимания которых необходимо применять более сложную модель вязкой жидкости. К числу таких явлений относится образование вихрей в жидкости. Современные возможности математического моделирования и наличие разнообразных математических пакетов позволяет реализовывать для этой цели различные численные методы. Статья посвящена численному решению двумерной системы уравнений Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости методом конечных разностей в пакете Wolfram Mathematica.

Ключевые слова: уравнение Навье-Стокса, уравнение неразрывности, вязкая жидкость, дискретизация области, число Рейнольдса, метод конечных разностей, вихрь, граничные условия.

Annotation: The article considers the flow of a viscous incompressible liquid along a flat bottom using the example of several rectangular ledges. An ideal liquid is a physical model that allows us to understand the essence of many phenomena. However, there is a fairly wide range of phenomena, for the understanding of which it is necessary to apply a more complex model of a viscous liquid. Such phenomena include the formation of vortices in a liquid. Modern possibilities of mathematical modeling and the availability of various mathematical packages allow us to

implement various numerical methods for this purpose. The article is devoted to the numerical solution of a two-dimensional system of Navier-Stokes equations for an incompressible viscous fluid by the finite difference method in the Wolfram Mathematica package.

Keywords: Navier-Stokes equation, continuity equation, viscous fluid, domain discretization, Reynolds number, finite difference method, vortex, boundary conditions.

В данной статье рассматривается плоское установившееся течение вязкой несжимаемой жидкости над дном, имеющим уступ прямоугольной формы.

Рис.1. Система уравнений Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости в трехмерном

пространстве имеет вид [1,2]:

1дУ I ,.(д2ух , д2Ух , д2ух\ 4. п

8vx д1 + Vx дУх д х + Vy дvх ду + Vz дРх дz

3vy д1 + Vx 3vy д x + Vy ду + Vz 3vy дz

3v-д1 + Vx дlv-д x + Vy дvz ду Л Vz дz

1дР + V (д2уу + д2уу + д2уу\ + f п\

1 др fd2v7 d2vy d2v*. ---- + V[--Л--- Л---

p dz \дх2 ду2 dz2

)+fz (3)

дvr дvv дvz _ ,

д7 + д7 + д7 = ° (4)

В данную систему уравнений входят следующие величины: р -плотность жидкости, V - коэффициент кинематической вязкости жидкости, p -

давление, V = {ух,уу,у2} - вектор скорости, [ = {[Х,[у,[г] - вектор плотности массовых сил. Уравнение (4) является уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости, его можно записать также в векторном виде: й I у// = 0.

Рис1 Схема течения над дном с прямоугольным уступом

Для рассмотрения плоской стационарной задачи в предположении отсутствия массовых сил систему уравнений (1) - (4) нужно переписать в виде [3,5]:

dvx dvx _ 1 dp (d2vx d2vx\

dvv dvy 1 dp , fd2vy d2vv\

Vx-d7 + Vy-d7 = —pdp + v{-dX^ + -dy^)(6)

^ + ^ = 0 (7)

d x d y

Данную систему уравнений (5) - (8) можно представить в безразмерном виде, для этого необходимо ввести следующие безразмерные параметры:

vx vy p x y

vx vy р х у (8)

x v0 y v0 r pv02 l J L

где V0 - характерная скорость течения, L - характерный линейный размер.

Тогда с учетом введенных безразмерных величин (8) систему уравнений можно переписать в виде [4]:

у dvX + у dvX - 1dP I 1 (d2vX I d2M /Q4 x dx y dy pdx ReKdx2 dy2 ) ( )

yxddvy + vyddvy = -1-dL + ±(d2vz + d2vz) (io)

x dx y dy pdy Re\ dx2 dy2 J v '

1Т + 1Г = 0 (ii)

dx dy

где Re = — - число Рейнольдса.

V

Граничные условия, налагаемые на систему уравнений (9) - (10) указаны на Рис.1. Решение данной системы уравнений с этими граничными условиями проводилось методом конечных разностей [4,6] в пакете Wolfram Mathematica по следующему алгоритму:

1. Производиться дискретизация расчетной области Рис.2, затем поиск решения, например, скорости vx ищется в дискретных точках xi в виде vx(Xi).

2. Производные выражаются в виде линейной комбинации v^x^:

^(ХиУд ~Zaijvx(xj>yj)

3. Конечная система дифференциальных уравнений заменяется на систему алгебраических уравнений для УХ(х1). Они могут быть решены с помощью одного из многих алгоритмов поиска корней.

Рис.2 Дискретизация области уступа

В результате реализации данного алгоритма были получены следующие результаты. На Рис.3 показан процесс образование вихрей для уступа квадратной формы при значении числа Рейнольдса Я е = 100.

Рис.3 Вихреобразование при Re=100 На Рис.4 представлены течения в этом же уступе при числах Рейнольдса

Яе = 500 и Яе = 100 , а на Рис.5 представлены течения в этом же уступе при числах Рейнольдса Яе = 2000 и Яе = 2500.

ОЛ 0.2 0.4 0.6 0.8 Н> 0.0 02 0.4 0.6 0.8 КО

Рис.4 Вихреобразование при Re=500 и Re=100

0Л 0.2 0.4 0.6 0.8 1Л 0.0 02 0.4 0.6 0.8 1Л

Рис.5 Вихреобразование при Re=2000 и Re=2500

Следует отметить, что применение приведенного выше алгоритма позволяет изучать процесс вихреобразования в уступах любой формы, на Рис.6 и Рис.7 приведены течения в горизонтальном и вертикальном прямоугольниках при отношении сторон 1 к 2.

!-1_I_I_I_I_I-1_I_I_I-1_I_I_I_I_I-1_I_I_I_I--

0.0 03 1.0 13 2.0

Рис.6 Вихреобразование в горизонтальном уступе при Re=2500

Т—1—1—■"П—1—'—I 1 1—1—I—1—1—I—I 1—'—1 г

OJO 02 0.4 0.6 0.8 1Л

Рис.7 Вихреобразование в вертикальном уступе при Re=2500

Таким образом, приведенный алгоритм позволяет изучать влияние вязкости жидкости на процесс образования вихрей в уступах различной формы, а также при различных скоростях внешнего потока и в широком диапазоне чисел Рейнольдса.

Библиографический список:

1. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика//ГИФМЛ. 1963. С. 129-134.

2. Емцев В.Т. Техническая гидромеханика//Машиностроение. 1987. С.212-215.

3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики//Наука.1977.

4. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы//Наука. 1989.

5. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа//Наука.2003.

6. Дьяконов В.П. Mathematica 5/6/7//ДМК.2010.