Моделирование структуры «Ячейка-накопитель» методом путей при абсолютно надежном накопителе Текст научной статьи по специальности «Математика»

SOME ASPECTS OF THE CALCULATION OF CONVERTER "RESISTANCE-VOLTAGE" FOR MEASURING AND RECORDING TEMPERA TURES DURING SHA V-ROLLING

OF CYLINDRICAL GEARS

A.A. Malikov, A. V. Sidorkin

The key aspects of the calculation of the transducer "resistance-voltage " used as part of the measuring system for continuous multi-channel measuring and recording the temperature of the rotating parts of technological systems is examined. Paid considerable attention to the selection procedure denominations elements involved in the measuring circuit.

Key words: measurement, converter, calculation, temperature, resistance, voltage, resistance thermometer, an operational amplifier, a resistor.

Malikov Andrey Andreevich, doctor of technical sciences, professor, head of chair, andrej-malikov@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Sidorkin Andrey Victrovich, candidate of technical sciences, docent, [email protected], Russia, Tula, Tula State University

УДК 621.0:519.873

МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУРЫ «ЯЧЕЙКА-НАКОПИТЕЛЬ» МЕТОДОМ ПУТЕЙ ПРИ АБСОЛЮТНО НАДЕЖНОМ

НАКОПИТЕЛЕ

М.В. Заморенов, В.Я. Копп, О.В. Филиппович, Д.В. Заморёнова

Приведен метод путей, позволяющий моделировать процесс функционирования полумарковских систем. Выполнено моделирование процесса функционирования структуры «ячейка-накопитель». Выполнено сравнение предложенного метода моделирования и известного метода, основанного на уравнениях марковского восстановления.

Ключевые слова: полумарковская система, метод путей, ячейка-накопитель.

При стохастическом моделировании полумарковских (ПМ) систем часто возникают задачи, требующие определения не только стационарных характеристик, но и функций распределения (ФР) случайных величин, которыми являются времена пребывания, как в отдельных состояниях, так и в подмножествах состояний. Так, например, такие задачи возникают при построении моделей производственных и информационных систем со сложной, иерархически подчиненной структурой [1, 2]. В этих случаях, как правило, при построении модели верхнего уровня иерархии необходимо, чтобы были известны ФР, описывающие функционирование элементов нижних уровней иерархии, причем эти ФР являются исходными данными

10

для построения модели верхнего уровня (вертикальные связи). Следует отметить, что и внутри каждого уровня иерархии для учета влияния элементов друг на друга при их стыковке необходимо знать ФР отдельных элементов (горизонтальные связи).

Целью статьи является построение модели структуры «ячейка-накопитель», позволяющей находить точное решение для определения ФР времени пребывания ПМ системы в подмножестве работоспособных состояний.

Рассмотрим ПМ систему с общим фазовым пространством состояний М . Выделим в фазовом пространстве состояний М полумарковского процесса два подмножества М+ и М_, таких, что М + и М_ = М . Времена однократного пребывания в состояниях Sг■ е М+ являются случайными величинами а I, имеющими математические ожидания , функции ¥1 (£) и плотности (£) распределения, с изображениями в комплексной области (я) и (¿) соответственно.

Для достижения требуемого результата предлагается следующий метод, в дальнейшем называемый методом путей.

Первый шаг. Переход от системы с непрерывными состояниями к системе с дискретными состояниями 8 е М+. При этом определяются ФР времен пребывания системы в новых дискретных состояниях, вероятности перехода р из этих состояний в другие состояния (переходные вероятности) удельные частоты рг- попадания в состояния (стационарное распределение ВЦМ) и стационарные вероятности пребывания в состояниях (стационарное распределение ПМ процесса). Процедура проводится известными методами моделирования ПМ систем.

Второй шаг. Выделение всех возможных путей перехода системы из подмножества М+ в подмножество М_ . Причем, каждое состояние системы входит в один или несколько путей сразу.

Третий шаг. На основании формулы полной вероятности и последующей свертки случайных величин [3] определяются ФР времен пребы-

п

вания системы в каждом из путей, а также вероятности Р^ каждого из путей.

Четвертый шаг. Находим ФР времени пребывания в М+ вне зависимости от начального состояния, которая определяется, как взвешенная сумма (смесь) ФР каждого из путей. Коэффициентами смеси служат най-

п

денные на третьем шаге вероятности Р^ реализации путей.

Рассмотрим использование метода путей для моделирования указанной системы.

Имеется производственная структура, содержащая технологическую ячейку (ТЯ) и накопитель (Н), позволяющий данной структуре функционировать некоторое случайное время после отказа ТЯ. Задача ставится следующим образом: по известным функциям распределения Foi(t ), Fio (t) и F\2(t) времен наработки на отказ Хо и восстановление hi производственной ячейки, а также заданного временного резерва Xi, обеспечиваемого накопителем, являющихся случайными величинами общего вида [4], определить функцию распределения времени пребывания системы в подмножестве работоспособных состояний M + = {Sq, Si), являющегося временем наработки на отказ участка в целом. ФР FQi (t), Fio (t), F12 (t) имеют плотности распределения /oi(t), fio (t), fi2 (t). Отказ системы наступает в момент времени, когда время восстановления hi объекта после очередного нарушения его работоспособности превысит его резерв времени Xi ( hi > Xi), и продолжается до окончания восстановления объекта.

Система имеет следующие состояния: S0 — ячейка исправна, продукция участком выдается, состояние работоспособное; Si — ячейка неисправна, резерв времени не израсходован, продукция участком выдается, состояние работоспособное; S2x — ячейка неисправна, резерв времени израсходован, продукция участком не выдается, до восстановления ТЯ осталось время х, состояние не работоспособное (отказовое).

Граф состояний системы представлен на рис. i.

Foi(t), Xo Fu(í), X

So Flo(t), hi Si S2x

x <hi "

hi <Xi

Рис. 1. Граф состояний для исходной системы

Для данной системы известно решение классическим методом последовательных приближений [5], позволяющее определить ФР ¥отк (г) времени наработки на отказ:

г _

ротк (г ) = | - У (У )А 2 (У ¥у + 0

г х _

+1н(г - х^х|%(х - У)^10(у)/12(У)Ф, (1)

0 0

где h(x )= £ [/oi(x )* (f12 (x)- fio(x)

n=i

Получим решение предлагаемым точным методом определения ФР

) времени наработки на отказ. Первый шаг. Переход от системы с непрерывными состояниями к системе с дискретными состояниями.

Времена пребывания в состояниях

0о =Хо; ©1 =(Х1 лл!); ©2х = х. (2)

На основании (2) определяем ФР времен пребывания в состояниях:

(0 = %(0; ^^) = ~р 01 (0^ 12 (0;

^) = 1 _ F1 ^) = 1 _ F 01^ ^ 12 (г); (3)

F x (t ) = 1x (t ) =

fü, t < x;

[1, t > x.

Вероятности переходов с учетом (3) определяются из выражений

= 1;

P{(X >hl)}= Plü = iFio(t)/12(t)dt;

P{S1 ® S2x}= P1,2x = if1ü(u + x)f12(u)du:

ü

p{S2x ® Sü} = P2x,0 =1

(4)

Стационарное распределение ВЦМ с учетом (3), (4) определяется по формуле [6] р(х) = | р(у, х)р(у)ф и имеет вид:

Ро = i Р2 xdx + Р1 i *10 (t )f12 (t )dt'; 0 0

pi = Ро;

¥

p2 x = i pi/10(u + x )/i2(u )du; 0

Р0 + Pi + Р2x = 1 - нормировочное условие.

Выражая из системы (5) Р0, Р2 x , имеем:

¥ ¥

Р0 =Р1 = iР2xdx + Р0 i ^10(t)/12(t)dt;

0 0 ¥

Р 2 x = i Р0 f10 (u + x )f12 (u )du 0

(5)

ü

¥

x

¥

¥

Подставляя Р0, Р2x в условие нормировки, получим

Р0 +Р1 + i Р2 xdx = 2Р0 + i Р 2 xdx =1. 0 0

Тогда

Р0 J J/10(u + x)f12(u)dudx + Р0 JF10(t)f12(t)dt 00 0

Учитывая, что

+ Р0 J J/10(u + x/12(u)dudx = 1. 00

¥ ¥ ¥ ¥ J f12 (u )du J /ю (u + x )dx = J f12 (u )du J /ю (z )dz,

0 0 0 u

а

J /10(z )dz = F10(z |¥ =1 - F10(u) = F10(u):

u

получим

|¡12 (и^и |/ю(2= |/12(и^ 10(и^и = Р{^1 <Л1}. 0 и 0

Окончательно имеем

1

Р0 =р1

2 + Р{Х1 < Л1}

(6)

Р2 x

1

r —г' i /10(u + x)/19(u)du .

2+p{X1 <h1} 0/10

Так как состояние 82х содержит непрерывную компоненту х, то оно представляет собой множество непрерывных состояний. Суммируя удельные частоты попадания в непрерывное множество состояний 82х, находим Р2 - частоту попадания во множество 2 х в целом

¥ ¥¥ 1 Р2 = J Р2xdx = Р0 J J /10 (u + x)/12 (u)du = nr&-}

0 00 2 + P{S1 <h1}

' P{X1 <^} =

P{X1 <h1}

2 + Р{Х1 <Л1}

Далее определим ФР (£) времени пребывания во множестве 2 х в

целом, вне зависимости от начального состояния, с помощью формулы усреднения [1]

J Gy (t)dy Jp(x, dy)p(dx)

Fq (t)

M1

M 2

J dy Jp(x, dy)p(dx) M1 2 _ 14

(7)

00

00

00

00

00

00

00

00

где х - непрерывная составляющая множества М-; у - непрерывная составляющая множества М+; р(йх) - частота попадания системы в состояния на интервале [х, х + йх] непрерывного множства М_; р(х, йу) - плотность вероятности перехода из состояний непрерывного мноства М_ в состояния множества М+ находящиеся на интервале [у, у + йу]; Оу - ФР

времени выхода из состояний, находящихся на интервале [у, у + йу], в множество М_.

Подставляя в формулу (7) выражения для р( х, йу) и р(йх) из (5), (6), получим

¥ ¥

I йх | /10 (и + х /12 (и )1х (г )йи

*2х (г) = -= ^2 (г).

I йх I /10 (и + х /12 (и /и

00

Знаменатель (7) равен

¥ ¥

I йх I /10 (и + х )/12 (и )йи = >Л1>.

00

Числитель (7) имеет вид

¥¥ ¥ г

II /10 (и + х /12 (и )1х (г )йийх = I /12 (и )йи I /10 (и + х )йх. (8)

0 0 0 0 Учитывая, что г г+м

I/10(и + х)йх = I /10= р10(г)ии = ^10(г + и)-^10(иI (9)

0 и

и подставляя (9) в (8), получим

¥ г ¥

I /12 (и )йи I /10 (и + х )йх = I /12 (и )[^10 (г + и) - ^10 (и )]йи = 0 0 0 ¥¥ = I/12(и)^10(г + и)йи - I/12(и)^10(и)йи. 00

Преобразовав полученный интеграл к виду

¥

I/12 (и ^10 (и )йи = > Л1>,

0

имеем

¥ ¥ ¥

I/12(и)^10(г + и)йи - I/12(и)^10(и)йи = I/12(и^10(г + и)йи -р{х1 >Л1}. 0 0 0

15

Окончательно выражение для F!q ^) принимает вид

¥

!fl2 (и)^10 к + u^и - P{Xl > Л1>

^) = * С ) = '-Р^}-■

Так как ^ ^); ) остались те же, что и ранее то, для перехода от системы с непрерывными состояниями к системе с дискретными состояниями осталось определить Pl2, которое найдем, интегрируя выражение

для p\ 2x по х

¥ ¥ ¥

Р12 = | Pl,2 xdx = | ^ | Ло (u + x )А2 (и )du = Р{Х1 >Л1}. 0 0 0

Первый шаг выполнен. Граф состояний дискретной системы представлен на рис. 2.

F2о(t );Х = к -X ]+

Ь1 Fl2(t );£

Рис. 2. Граф состояний дискретной системы

Второй шаг. Выделяем все пути выхода системы из подмножества

Rl Sl}; ^ ® ^0S1S0Sl}; ^ 0 S1S 0 ЗД

Остальные пути получаются при повторном попадании системы в состояния Sо и Sl■

Третий шаг. Введем гипотезы реализации каждого из путей:

Hl - система попала в состояния Sо и Sl по 1 разу;

H2 - система попала в состояния Sо и Sl по 2 раза;

Hз - система попала в состояния Sо и Sl по 3 раза;

Hn - система попала в состояния Sо и Sl по п раз.

Тогда вероятности реализации каждого из путей будут равны:

P(Hl ) = Pl2; Р(Н 2 ) = (Pl0 р12;

Р(Щ ) = Р° )2Р12; Р(Ип ) = (р,0 Г'р2.

16

Определим плотности распределения времен пребывания системы в каждом из путей

/и (г )=( / 0 (г )* /1 (<));

/я 2 (г )=( /0 (г)* /1 (г ))*(2);

Лв (г ) = ( /0 (Г )* /1 (г ))*(3); /я» (г ) = (. / 0 (г )* /1 (г ))*( и),

где * - знак операции свертки.

Четвертый шаг. Суммарная плотность распределения времени пребывания системы в подмножестве М + примет вид

/х(г ) = Р12 (/0 (г )* /0 (г))+Р0 Р2 (/0 (г )* /0 (г ))*(2) +... +

+ (Р0 )'_ Р12 (/0 (г )* /0 (г ))*(и)... = Р2 Ё(р° Г/ (г )* /0 (г ))*(0,

7=1

где * - знак операции свертки.

Перейдя в область изображение по Лапласу, получим

/х(* ) = Р2 е(р° Г( /0 (я )• /0 (я ))' .

7 =1

Учитывая, что полученное выражение представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем р , и первым членом А равными:

р=Р0 • /0 (* )• Л(*);

А = Р12 • /0(я)• /1 (я),

имеем

^)= Р2 • /0(я)• )

1 -< • /с)• /^)

Исходными данными для моделирования служат ФР Fa(t ), (t ) и F12 (t) распределены по обобщенному закону Эрланга второго порядка с параметрами li, 12; mi, m2; 71, 72 соответственно, причем

/0l(t) = ^2(«—* -«-12t)

12 — 1l

где 1i=2,725 (ч-1); 12=0,275 (ч-1);

2

=л /„-h.

inm 2(« "m1t — « "m 2t )

/10 (t ) =

m 2— m1

где m1=80 (ч-1); m2=26,7 (ч-1).

/12 (< ) =

и2 -и1

где и1=46,294 (ч-1); и2=458,268 (ч-1).

Результаты сравнения функций распределения Е®^) и Fоmк ^), полученных двумя методами представлены на рис. 3.

Рис. 3. Сравнение результатов моделирования классическим приближенным методом последовательных приближений (1) и предлагаемым точным методом: 1 - решение предлагаемым точным методом и приближенным методом при 15 приближениях; 2 - нулевое приближение; 3 - третье приближение; 4 - четвертое приближение;

5 - пятое приближение

Кривая 1 показывает, что результаты моделирования предложенным точным методом и приближенным (при 15 приближениях) практически совпадают. Кривые 2, 3, 4, 5 показывают стремление результата моделирования по формуле (1) к точному решению в зависимости от количества приближений.

Проведенные исследования подтвердили правильность предложенного метода, что открывает новые широкие возможности в области моделирования стохастических систем. В дальнейших исследованиях авторы собираются провести сравнение разработанного метода с классическим на примерах моделирования производственных и информационных систем.

Исследования выполнены при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований № 15-01-05840.

Список литературы

1. Копп В.Я., Ю.Е. Обжерин, А.И. Песчанский Моделирование автоматизированных линий. Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2006. 240 с.

2. Моделирование систем контроля с обратными связями / В.Я. Копп [и др.] // Зб. наук. праць СНУЯЕтаП. Вип.3(19). Севастополь: СНУЯЕтаП, 2006. С. 252 - 256.

3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: учебник для вузов. 6-е изд. стер. М.: Высш. шк., 1999. 576 с.

4. Королюк В.С., Турбин А.Ф. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем. Киев: Наук. думка, 1982. 236 с.

5. Филипович О.В., Копп В.Я., Галкина Л.В. Моделирование участков автоматизированных линий с учетом стохастического характера межоперационных заделов // Сб. науч. тр. СИЯЭиП. Севастополь: СИЯЭиП, 2001. Вып. 5. С. 213-217.

6. Королюк В.С. Стохастические модели систем / отв. ред. А.Ф. Турбин. Киев: Наук. думка, 1989. 208 с.

Заморёнов Михаил Вадимович, канд. техн. наук, доц., zamoryonoff(@,gmail.com, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,

Копп Вадим Яковлевич, д-р техн. наук, проф., v_kopp@,mail.ru, Россия, Севастополь, Севастополь, Севастопольский государственный университет,

Филипович Олег Викторович, канд. техн. наук, доц., phiol@ ukr.net, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,

Заморёнова Дарья Викторовна, канд. техн. наук, доц., zamik@ ukr.net, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет

MODELING OF THE STRUCTURE "CELL - STORAGE DEVICE" USING THE ROUTE METHOD WITH AN ABSOLUTELY SAFE STORAGE DEVICE.

M. V. Zamoryonov, V. Ya. Kopp, O. V. Filipovich, D. V. Zamoryonova

19

The route method, allowing to model the functioning process of the semi-Markov systems is described. The modeling of the functioning process of the structure "cell -drive " is accomplished. The comparison of the proposed modeling method and the one well-known, which is based on Markov renewal equations, is performed.

Key words: semi-Markov system, route method, the cell- storage device.

Zamoryonov Mikhail Vadimovich, candidate of technical sciences, docent, zamoryo-noffa gmail. com, Russia, Sevastopol, Sevastopol National University,

Kopp Vadim Yakovlevich, doctor of technical sciences, professor, v koppamail. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol National University,

Filipovich Oleg Viktorovich, candidate of technical sciences, docent, _ [email protected], Russia, Sevastopol, Sevastopol National University,

Zamoryonova Darya Viktorovna, candidate of technical sciences, docent, za-mika ukr.net, Russia, Sevastopol, Sevastopol National University

УДК 62-251:532.542.4

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПОТЕРИ В ПОДШИПНИКАХ ЖИДКОСТНОГО ТРЕНИЯ ПРИ СМАЗКЕ ДВУХФАЗНОЙ КИПЯЩЕЙ СРЕДОЙ

Л. А. Савин, А.В. Сытин, В.О. Тюрин

Проведено обоснование применения низкокипящих маловязких жидкостей в качестве смазочных материалов подшипников жидкостного трения. Рассмотрены основные теплофизические и трибологические свойства криогенных жидкостей, применяемых в качестве компонент топлив жидкостных ракетных двигателей и рабочих тел различных роторных агрегатов. Проведено формирование математической модели расчета потерь мощности на трение и прокачку смазочного материала в гидро-статодинамическом подшипнике. Приведены результаты расчета потерь мощности в зависимости от температуры и давления подачи.

Ключевые слова: момент трения, коэффициент трения, потери мощности, фазовые превращения, низкокипящие маловязкие жидкости, паросодержание, поля давлений.

Критериями выбора смазочных материалов подшипников жидкостного трения могут быть различные факторы в зависимости от назначения машин и агрегатов. В ряде случаев в опорных узлах в качестве смазочных материалов используются рабочие тела машин - жидкие металлы, химически активные вещества, перекачиваемые компоненты топлива. Наблюдается определенная тенденция применения низкотемпературных

20