Моделирование структурнодинамических процессов в сетевых системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.175.4

Моделирование структурно-динамических процессов в сетевых системах

Аннотация. В работе описаны основные принципы и методы построения рыночного графа для российского фондового рынка. Проанализированы полученные результаты распределений корреляций акций на фондовом рынке в течение двух лет. Изучено применение элементов теории графов к моделированию поведения рынка ценных бумаг. Представлены результаты изучения изменения модели фондового рынка ММВБ в рассматриваемый период в контексте структурной динамики.

Ключевые слова: рыночный граф; фондовый рынок; коэффициент корреляции; доходность ценных бумаг; структурная динамика.

Abstract. This article describes main principals and methods of market graph for Russian stock market Results of distribution of shares correlation on stock market during two years are analyzed. Application of elements of graph theory to model behavior of stock market is researched. Results of changes in MICEX Stock Market model are presented in period of structural dynamics.

Keywords: market graph, stock market, correlation coefficient, security yield, structural dynamics

Гольцева А.Ю.,

студентка магистратуры Финансового университета Н [email protected]

введение

Математическое моделирование процессов и поведения фондового рынка - одна из наиболее актуальных задач современной финансовой экономики. Важную роль в данном вопросе играет совокупный анализ взаимосвязей акций, так сказать, анализ полной картины рынка. Наиболее информативной характеристикой для таких исследований служит корреляция между объектами.

Сеть определяется как набор узлов и связей между ними [1]. Структура, построенная по принципу сети, называется сетевой системой. Для такой структуры ха -рактерны следующие свойства:

• отсутствие единого узла - центра;

• связанная структура;

• фрактальные свойства.

Ранее считалось, что сложные сетевые системы носят случайный характер, но позднее эмпирически было показано, что большинство сетевых систем формируются как безмасштабные и сети «малого мира».

Эти открытия существенно изменили подходы к моделированию сложных сетевых систем [2].

Фондовый рынок можно представить как сеть. Каждая акция рассматриваться как узел графа. Ребро соединяет две вершины графа в том случае, если коэффициент корреляции доходностей больше установленного порогового значения. При таком подходе появляется возможность отождествления структурных характеристик графа как структурных характеристик рынка ценных бумаг. Можем проследить, насколько связанным оказывается граф фондового рынка, как велик разброс доходности акций.

В настоящей работе продолжено исследование модели Московской межбанковской валютной биржи (ММВБ) по результатам работы А. Н. Визгунова, Б.И. Гольденгорина и др. [3, с. 69].

Построение рыночного графа

Будем обозначать граф как G - (V,Е), где У = - {1,...,N} - множество его вершин, Е с VXV - множество ребер. Рассматривается неориентированный граф. Вершины графа называются смежными, если между ними есть ребро, т.е. вершины и и к смежные: (и,г) е Е. Внутренне устойчивое множество вершин (независимое множество) определяется как множество вершин графа в, такое, что любые два узла несмежные.

В теории графов кликой называется множество вершин графа, которые составляют полный подграф,

Научный руководитель: Кочкаров А.А., кандидат физико-математических наук, доцент.

т.е. любые вершины являются смежными. Соответственно максимальная клика графа - у которой размер наибольший.

Введем определение характеристики плотности ребер:

\Е\

Р = -

N х

N --

где N - это количество узлов в графе в. Описанная величина определяется как количество всех ребер в рассматриваемом графе, деленное на число ребер, если бы граф был полным. Легко увидеть, что объявленная величина изменяется в пределах от 0 до 1. Для полного графа плотность ребер равна 1.

При использовании финансовых характеристик будем придерживаться устоявшихся обозначений. Пусть Р(7) - цена акции / в день i -1,...,N. t -1,...,п.

Доходность акции (ставка доходности) - отношение прибыли на единицу обыкновенной акции к ее рыночной стоимости. Настоящая величина показывает, насколько эффективны вложения в рассматриваемый финансовый инструмент. На доходность акций оказывают воздействие различные факторы: скорость роста курса акции, темпы инфляции, величина дивидендов и др. Доходность за одни день акции / рассчитывается по формуле:

Р (7)

В (7) = 1п

Р (7" 1)

Соответственно средняя доходность акции / за п дней находится как математическое ожидание:

1

Е(В) = (7).

п

Дисперсия, очевидно, вычисляется по следующему соотношению:

1 п

Уаг (В ) = - (7)-Е )]2.

П 7=1

В качестве меры близости доходностей акций выбран коэффициент корреляции между двумя акциями / и '} - Су. Данная характеристика определяется по формуле:

Су =

Е(В хЯ.)-Е(В,,)хЕ(Ву) ^Уаг(В. )х Уаг(Ву) '

При построении рыночного графа ребро между двумя вершинами / и '} проводится, если коэффициент корреляции Су между рассматриваемыми акциями превосходит или равен заданному пороговому

значению. Область определения порогового значения определяется из вышесказанного как отрезок между значениями -1 и 1. На главной диагонали матрицы стоят единицы, но с содержательной стороны данная информация не представляет интереса. Каждая клика составленного графа отражает множество сильно коррелированных акций для значений коэффициентов корреляции Су, близких к 1. Получившаяся матрица отражает исследуемую структуру рынка ценных бумаг.

Анализ рыночного графа

В нашей работе в качестве данных рассматриваются ценные бумаги (акции), которые торгуются на ММВБ, за промежуток времени со 2 февраля 2011 г. по 1 февраля 2013 г. Данные для исследования получены из открытых источников информации. Исследуемые котировки акций относятся к разным областям экономики -всем, представленным на ММВБ. Было условлено, что если в определенный торговый день не осуществлялось сделок по акции, то ее цена принимается равной значению цены предыдущего торгового дня. Так как в рассматриваемых данных присутствуют акции как голубых фишек1 (например, Газпром, Сбербанк, Роснефть), так и акции совсем небольших компаний (Кыштымский медеэлектролитный завод, Завод ГРАЗ и др.), у нас есть основания предполагать, что исследуемый объект по своей физической структуре является безмасштабной сетью. За последние несколько лет ученые выявили множество разнообразных безмасштабных структур. Обнаружено, что во многих сетях - от Всемирной паутины до метаболической системы клетки доминирует относительно небольшое количество узлов (концентраторов), имеющих практически неограниченное количество связей [4]. Таким структурам свойственна масштабная инвариантность, потому что данные структуры обладают особым свойством: при изменении масштабов измерения величин все соотношения теории остаются неизменными. Поведение безмасштабных сетей весьма специфично: например, они очень устойчивы к случайным отказам, но чрезвычайно уязвимы для скоординированных нападений. Отличительной особенностью таких сетей является степенной закон, которому подчиняется распределение количества связей узлов. При построении в двойном логарифмическом масштабе: количество узлов от количества связей сети, получается линейный график. В свою очередь, для случайной сети характерно колоколообразное распределение, т.е. у большинства узлов в структуре приблизительно одинаковое количество связей.

1 Голубые фишки - ценные бумаги и акции наиболее крупных и эко-

номически стабильных компаний, для которых характерны высокая ликвидность и надежность.

Рис. 1. Плотность распределения коэффициентов корреляции

В результате в работе исследуется рыночный граф с 123 вершинами, которые соответствуют акциям, торгующимся на ММВБ. Для достоверных результатов при вычислении корреляции большое значение имеют количество наблюдений, полнота расчета.

Гистограмма коэффициентов корреляции с^ за рассматриваемый период представлена на рис 1.

На рис 1 по оси абсцисс - коэффициент корреляции С, по оси ординат - плотность распределения с. Сразу можно отметить четко обозначенный максимум на данном рассматриваемом промежутке времени. Стоит обратить внимание, что отрицательных значений для с9 не наблюдается. Это можно проинтерпретировать следующим образом: нет возможности составить диверсифицированный портфель из акций с разнонаправленно колеблющейся доходностью.

Интересный вывод можно сделать на данном этапе изучения. Рыночный граф представляет собой структуру случайной сети, а не безмасштабной. Следовательно, к построенной структуре возможно применение уже хорошо известных алгоритмов и методов. Для описания структурной динамики системы удобно применять элементы теории графов. В частности, такие операции, как добавление, удаление и стягивание ребер, добавление и удаление вершин. Случайные сети характеризуются достаточно низким критерием устойчивости. Это логично объясняет относительно высокую чувствительность фондового рынка к изменениям.

Если взять для сравнения результаты, полученные в промежутке с 20 октября 2008 г. по 25 октября 2010 г.,

представленные в работе А.Н. Визгунова, Б.И. Гольден-горина и др. [3, с. 70], также для акций, торгуемых на ММВБ, можно сделать вывод о схожести проведенного анализа. Изучение плотности распределения коэффициентов также дало результаты унимодальности плотности. Но в настоящей работе график получился немного сдвинутым вправо: на участке 2008-2010 гг. среднее арифметическое значение коэффициентов корреляции Cj лучилось меньше, а именно около 0,1. Стоит также отметить, что присутствовали отрицательные значения коэффициентов корреляции, хотя и немного.

Теперь смотрим динамику плотности ребер рыночного графа при изменении порогового значения. Результат представлен на рис. 2. Плотность ребер графа характеризует степень глобализации рынка [3, с. 71]. Анализируя пученные результаты, можно отметить быстрый перепад на интервале (0; 0,5) и достаточно незаметные колебания на краях. Это замечание дает возможность при поиске максимальных клик рассматривать значения порога из интервала от 0,5 до 1. В работе А.Н. Визгунова, Б.И. Гольденгорина и др. результат на данном этапе очень схож с полученным нами.

Найдем максимальные клики рассматриваемого рыночного графа. Известно, что задача о нахождении максимальной клики является NP-полной задачей в области теории графов. Для решения поставленной задачи предложено множество алгоритмов. В данной работе будет использоваться алгоритм, описанный в работе R. Carragan, P.M. PardaLos «An Exact Algorithm for the Maximum Clique Problem» [5]. С помощью предложен-

Рис. 2. График плотности ребер рыночного графа

ного алгоритма определяются размер максимальной клики и составляющие вершины. В таблице представлены результаты для различных пороговых значений в рыночном графе ММВБ.

Анализ полученного результата показывает, что максимальные клики российского фондового рынка состоят из акций ведущих нефтегазовых и банковских компаний. Стоит обратить внимание на колоссальное различие между исследуемой характеристикой и показателями старейшего фондового рынка США, где максимальные клики рыночного графа строятся по принципу принадлежности к отрасли.

исследование фондового рынка в динамике

Изучим поведение фондового рынка во времени. Рассматриваемый период времени разделим на четыре равных непересекающихся временных промежутка (полгода). Затем для каждого периода проведем исследования, аналогичные описанным выше для всего периода наблюдения. Графические иллюстрации вычисления соотношений плотности распределения от коэффициента корреляции представлены на рис. 3.

При сравнении плотностей каждого из выделенных периодов времени видно, что все периоды, кроме 1-го имеют приблизительно одинаковые графики плотности И только 1-й заметно отличается от остальных. Стоит заметить, что график плотности распределения, соответствующий 1-му периоду, различается и с распределением полученным для всего рассматриваемого периода на рис. 1. В работе, проведенной для 2008-2010 гг., авто ры также получили достаточно значительные отличия

Таблица

характеристики максимальных клик

Порог Акции

VTBR

СДЕР

икон

SBER

0,6 SBERP

ТАТИ

VTBR

СММ

МБИ

SIBN

SBER

SBERP

0,7 икон

МБИ

СДЕР

икон

0,8 МБИ

СДЕР

Рис. 3. Плотность распределения коэффициентов корреляции для периодов

4 3,5 3

2,5 2 1,5 1

0,5 0

-0,5

■ 1 период

2 период

3 период

■ 4 период

-0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Коэффициенты корреляции

между периодами. Очевидно, это дает достаточно оснований, чтобы сделать вывод о нестабильности российского фондового рынка и достаточно высокой его чувствительности.

Заключение

Применение теории графов к анализу фондового рынка предоставляет широкий спектр возможностей для исследований. Представление рынка с помощью модели графа позволяет осуществлять сравнение рынков различных стран между собой, находить закономерности, моделировать дальнейшее развитие. По сравнению с лидерами мирового рынка фондовый рынок России достаточно молод. Данный подход к анализу выявляет определенные структурные свойства и особенности изучаемого объекта. В проведенных исследованиях для рынка США выявлены независимый характер этого рынка, высокая степень свободы при составлении диверсифицированных портфелей, ярко выраженная стабильность во времени по показателям плотности коэффициентов корреляции [6]. Эти принципы в настоящее время малохарактерны для отечественного фондового рынка. Но сделанные выводы дают нам преимущества в моделировании и более глубоком исследовании процессов рынка [7].

Как новый возможный подход в данной теме можно выделить исследование также российского фондового рынка, но уже выбрать в качестве меры близости до-ходностей акции не коэффициент корреляции, а другую характеристику. Вариации возможны и с выбором узлов для рыночного графа. В настоящей работе также сделана попытка проанализировать рыночный граф отечест-

венного фондового рынка с точки зрения структурной динамики.

Благодарность

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю Азрету Ахматовичу Кочкарову за интерес к настоящей и многим другим работам.

литература

1. Кочкаров А.А., Сенникова Л.И., Халикова А.А. Новые подходы в моделировании сетевых систем. Препринтное издание. М.: Финансовый университет, 2013. 45 с.

2. Гольцева А.Ю. Мониторинг информации в сетевых системах с переменной структурой // Труды 56-й науч. конф. МФТИ: Всероссийской науч. конф. «Актуальные проблемы фундаментальных и прикладных наук в современном информационном обществе», Всероссийской молодежной науч.- инновац. конф. «Физико-математические науки: актуальные проблемы и их решения». Радиотехника и кибернетика. М.: МФТИ, 2013. С. 182-183.

3. Визгунов А.Н., Гольденгорин Б.И., Замараев В.А., Калягин В.А., Колда-нов А.П., Колданов П.А., Пардалос П.М. Применение рыночных графов к анализу фондового рынка // Журнал НЭА. 2012. № 3 (15). С. 66-81.

4. Барабаши А.Л., Бонабо Э. Безмасштабные сети // В мире науки. 2003. № 8. С. 55-63.

5. Carragan R., PardaLos P.M. An Exact Algorithm for the Maximum Clique Problem // Operations Research Letters. 1990. Vol. 9. P. 375-382.

6. Boginski V., Butenko S., PardaLos P.M. Mining Market Data: A Network Approach // Computer & Operations Research. 2006. Vol. 33. P.3171-3184.

7. Кочкаров А.М., Кочкаров А.А., Никищенко С.П. Структурная динамика и исследование структурно-временных характеристик дискретных систем // Известия Южного федерального университета. Технические науки. 2006. Т. 58. № 3. С. 235-238.