CC BY
177
2012
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Управление, вычислительная техника и информатика
№ 3(20)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 62.52; 532.546; 519.9
Н.Д. Демиденко
МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ В ТРУБЧАТЫХ ПЕЧАХ
В статье предлагаются математические модели для стационарных и динамических режимов технологических печей как объектов с распределенными параметрами. Сформулированы и решены соответствующие краевые задачи.
Для стационарных режимов получена система уравнений, связывающая концентрацию горючего вещества и скорость дымовых газов. Проанализированы потери на излучение при горении капель топлива различного диаметра. Проведены расчеты для промышленных объектов.
Ключевые слова: математическое моделирование, краевые задачи, стационарные и динамические режимы трубчатых печей, численные методы.
Использование органического жидкого топлива является основным источником энергии большого числа различных теплотехнических процессов.
В качестве объекта исследования выбрана трубчатая печь, широко распространенная в нефтехимических производствах [1]. Трубчатая печь является аппаратом, предназначенным для передачи нагреваемому продукту тепла, выделяющегося при сжигании топлива непосредственно в этом же аппарате [2]. Она имеет камеры радиации и конвекции. В камере радиации (топочная камера), где сжигается топливо, размещена радиантная поверхность (экран), поглощающая тепло в основном за счет радиации. В камере конвекции расположены трубы, воспринимающие тепло главным образом путем конвекции при соприкосновении дымовых газов с поверхностью нагрева. Сырье проходит последовательно через конвекционные трубы и поглощает тепло. Обычно радиантная поверхность воспринимает большую часть тепла, выделяемого при сгорании дымовых газов до 1000-2000 К. Конвекционная поверхность использует тепло дымовых газов и обеспечивает их охлаждение до температуры, при которой величина коэффициента полезного действия аппарата будет экономически оправданной.
Рассмотрим механизм процесса передачи тепла, протекающего в печи, состоящей из двух камер с настильным пламенем. В топочную камеру этой печи при помощи форсунки вводится распыленное топливо, а также необходимый для горения нагретый или холодный воздух. Высокая степень дисперсности топлива обеспечивает его интенсивное перемешивание с воздухом и более эффективное горение. Соприкосновение факела с поверхностью стены обусловливает повышение ее температуры; излучение происходит не только от факела, но и от раскаленной стены. Тепло, выделенное при сгорании топлива, расходуется на повышение температуры дымовых газов и частиц горящего топлива; последние раскаляются и образуют светящийся факел.
Имеются некоторые расхождения в математических методах анализа, используемых разными авторами, но для стационарного сферического горения используется единый подход. В целях упрощения анализ проводится при следующих предположениях [3]:
1. Жидкая капля имеет сферическую форму.
2. Влиянием конвекции пренебрегают, пламя рассматривают как сферическую поверхность, концентрическую с каплей.
3. Пламя считают разновидностью диффузионного пламени, которое образуется в результате реакции между парами горючего и воздухом, которые реагируют в стехиометрическом соотношении.
4. Рассматривают стационарное состояние при постоянном диаметре капли, хотя реально диаметр жидкой капли уменьшается по мере горения, однако это изменение происходит медленно по сравнению с изменение скорости диффузии и прочими факторами.
5. Температура капли одинакова по всему объему.
6. Давление в течение всего процесса горения считается постоянным.
7. Влияние излучения рассматривают отдельно.
1. Уравнения нестационарного горения
При исследовании процесса горения капель жидкого топлива в воздухе в основном представляет интерес распределение концентраций компонентов в камере печи при статических и динамических режимах работы. Исходя из одномерности движения потоков, математическая модель нестационарного горения может быть представлена следующими уравнениями [3]:
1. Уравнение неразрывности
др + div (ри ) = 0, (1)
где р - массовая плотность смеси; и - скорость движения.
Для покомпонентной модели процесса горения уравнение (1) можно записать в виде
д(Рх) + д(Рхи) =-РХ ()
дt д1 т . (
Здесь I - линейный размер; х - концентрация горючего вещества в смеси (0 < х < 1); т - время сгорания.
2. Уравнение движения в виде
(ди ди Л дР Л
р|— + и— 1+— = 0. (3)
[.дt д1) д1
3. Уравнение сохранения энергии
РУЛ + и = - 6 (Тп) + К (Тс - Тп), (4)
где q - теплота сгорания топлива; 6 (Тп) - потери на излучение; £ - энтропия,
причем £ = Су 1п (Р / ру) (у = 1,0 -1,4, так как для жидкостей различие между Су
и Ср незначительно); Тс - температура сырья (нефтепродукта в радиантных тру-
бопроводах печи); К1 - коэффициент теплопередачи для рабочего потока; Тп -температура продуктов сгорания.
4. Уравнение теплообмена между нагреваемым сырьем и нагревательным газом
дТс дТс . \ \
~дГ ~ W~t= К2 (Тп - Тс)-Q (Тп), (5)
где К2 - коэффициент теплопередачи для стенки печи.
Уравнения (1) - (5) представляют собой математическую модель теплового процесса печи.
Дополним систему (1) - (5) уравнением состояния
P
- = ЯТП, (6)
Р
где R - газовая постоянная.
2. Стационарная модель процесса горения
В этом случае уравнения (1) - (5) могут быть значительно упрощены. При
д д d
этом — = 0 (первое слагаемое в левых частях уравнений (1) - (4)) и--------> —, так
дt д1 dl
как остается лишь одна независимая переменная. Уравнение (1) может быть про-
интегрировано, что приводит к простой форме уравнения неразрывности:
d , s px
pu = M - const, —(pux) = -—.
dl т
Уравнение сохранения количества движения может быть преобразовано в интегральную форму для случая плоского установившегося одномерного течения:
du dP
pu-------1-= 0 ,
dl dl
которое имеет интеграл pu2 + P = П , где П = const.
Тогда уравнение сохранения энергии представим в виде (без учета теплопередачи с сырьем)
d ln—
0^4—^ = ^ - 6 (Тп). dl т
Перепишем систему, полученную с учетом первого уравнения этой системы:
dx x
— =----, Mu + P = П,
dl ut
R x RQ (Тп) (7)
4
d_
dl
2 M (y-1)
Cv (y-1)tu Cvm(y-1)
Система (7), состоящая из обыкновенных дифференциальных уравнений, теперь может быть разрешена относительно скорости движения смеси и концентрации горючего вещества в смеси по длине камеры сгорания. Это решение может быть использовано для получения других параметров печи, которые зависят от X и и.
3. Пример решения стационарной задачи
Для определения х и и как функций длины в камере сгорания можно сформулировать задачу Коши, задавая значения х и и на входе в камеру сгорания:
ёх х
ё! ит ’
ёи
Ш
Я
Mqх - тuQ (Т )
С _ ит(уР - Ми) _ х(0) = а, и (0) = а2
Для решения системы дифференциальных уравнений применим программу пошагового интегрирования, выполненного методом Кутты - Мерсона.
Проведены расчеты горения капель различного диаметра для задачи Коши с начальными условиями
х (0) = 0,346, и (0) = 1,0м / с.
Капли диаметром 0,01 мм имеют время сгорания т = 0,00011 с и потери на излучение Q = 0,00001498 Дж/с; диаметром 0,1 мм - т = 0,011 с и Q = 0,001498 Дж/с ; диаметром 1 мм - т = 0,07 с и соответственно потери на излучение Q = 0,1498 Дж/с ; диаметром 2 мм - время сгорания т = 2,3 с и Q = 0,27818 Дж/с . В задаче использовались и постоянные величины: давление -Р = 101000 Па, теплота сгорания - q = 26000000 Дж/кг (с учетом диссоциации продуктов сгорания), массовый расход - М = 114 кг, у = СР / Су = 1,1. На рис. 1 и 2 представлены результаты расчетов.
Рис. 1. Изменение скорости горения смеси Рис. 2. Изменение концентрации горючего по длине печи: 1 - диаметр капли 1 мм, 2 - вещества по длине печи: 1 - горение капель 2 мм, 3 - меньше 1 мм диаметром 1 мм, 2 - 2 мм, 3 - горение ка-
пель диаметром менее 1 мм
Результаты проведенных расчетов показывают, что скорость горения и концентрации горючего вещества по длине печи, как и потери тепла на излучение, существенно зависят от размеров капель топлива. Наилучшие параметры горения имеют капли диаметром 1 мм, причем по скорости горения для этих капель наблюдается локальный максимум.
4. Расчет потерь на излучение при горении капель топлива различного диаметра
Для теплового расчета трубчатых печей с чисто факельным сжиганием топлива широко применяется метод А.В. Белоконя [1], дающий наилучшую сходимость с экспериментальными данными. За последнее время с целью интенсификации в трубчатых печах теплоотдачи излучением созданы новые типы печей с вторичными излучателями в виде стен из беспламенных панельных горелок и излучающих стен с настильным пламенем. В этих печах теплоотдача экранным поверхностям от вторичных излучателей весьма значительна и соизмерима с теплоотдачей излучением от факела и газовой среды.
Для рассматриваемой модели необходимо учитывать потери на излучение. Величина Q (Тп) определяется следующим образом (обратным излучением с поверхности капли из-за низкой температуры поверхности пренебрегают):
Q (Тп ) = 4епрстТ2^
где епр - приведенная степень частоты; ст - коэффициент излучения (постоянная
Вт
Стефана - Больцмана) равный 5,67 -10—8—2-4 ; Т2 - изменение температуры в
5
зоне горения; гк = - радиус капли.
При Q (Тп) ф 0 считается, что величина радиуса зоны горения r2 не изменяет-
т-г тт „ а5^ Nu
ся. Причем для чисел Нуссельта Nu > 2 I Nu = — I можно записать r2 = —--------,
V X у Nu — 2
где а = const; X - теплопроводность парогазовой смеси.
С учетом излучения это условие должно выполниться строже, так как в результате увеличения тепловыделения в зоне горения в окружающую среду будет отводиться больше тепла излучением и теплопроводностью. Здесь не будем учитывать изменение температуры Т2 в зоне горения из-за влияния излучения. Такой подход допустим, когда эта температура фактически определяется условиями разложения продуктов сгорания.
Лучистый теплообмен для рассматриваемого случая можно определить по формуле
Єпр
і- - ill і i +—
є2 A r2 ) є
где е2 - степень черноты зоны горения; ек - степень черноты поверхности капли.
Для капель диаметром 0,01; 0,1; 1 и 2 мм были проведены расчеты, результаты которых сведены в таблицу:
5, м Гк, м 2 2 Гс , м Nu єпр Q (T), Дж/с
0,0Ы0-3 5-Ю-6 2,5-10-ii 2,0 0,95 14,98i0-6
0,Ы0-3 510-5 2,5-10-9 2,0 0,95 14,98i0-4
10-3 2,5-i0-/ 2,9 0,0i 13,8-i0-2
2-Ю-3 i0-6 27,82-i0-2
Количество тепла, необходимого для горения (испарения капли), подводится к капле посредством теплопередачи. Т2 — 2500 К (с учетом диссоциации С02 и
Вт
Н20 ); А, = 8,1 -10-
м - К
єк = 0,95 (для углеводородных топлив); є2 = 0,001
(оценочно для зоны горения паров углеводородных топлив при рассматриваемых условиях).
5. Анализ режима работы печи без потерь на излучение
Рассмотрим модель без учета потерь на излучение, т.е. Q (Тп ) = 0, и оценим влияние концентрации смеси х на скорость ее горения:
dx
С
х
ит
Ги 2
уРи
2 (у- 1)М
Я
С (у- 1)ит
Я-
(8)
Подставив первое уравнение из (8) во второе получим
уРи
2 (у-1)М
Я
сХ
Проинтегрировав это дифференциальное уравнение, найдем
уРи
Я
■дх.
(9)
и, м/с
0,6
2 (у-1)М С„ (-1)
Преобразуем выражение (9), получим
С (у - 1)Ми2 + 2СУуРи + 2Шдх — 0.
Дискриминант полученного квадратного уравнения
О — с;2 у2 Р2 - 2С„ (у- 1)М 2 Ядх,
если О < 0 , то решений уравнения нет (два мнимых корня); если О = 0 , то существует одно решение (два совпадающих корня); если О > 0 , имеем два решения
(два действительных корня).
Таким образом,
-с уР ±40
Щ 2 — “ “.
1,2 СУМ (у-1)
На рис. 3 показано влияние концентрации капель жидкого горючего на скорость распространения пламени на начальной стадии процесса. Видим, что по мере увеличения х скорость распространения пламени уменьшается при х > 9 % и убывает при более низких х. При очень малых и очень больших концентрациях горючего влияние размеров капель по существу отсутствует. При увеличении количества сконденсированного горючего полная концентрация, при которой достигается максимальная скорость распространения пламени, сдвигается в стороны
0,4
0,2
0
0,4
0,08
Рис. 3. Влияние концентрации капель жидкого горючего на скорость распространения пламени на начальной стадии процесса
больших значений концентрации горючего, а значение максимальной скорости распространения пламени уменьшается. Влияние концентрации жидких капель на скорость горения идентично влиянию концентрации жидких капель на скорость распространения пламени, причем этот эффект выражен тем сильнее, чем выше скорость распространения пламени. Это, в свою очередь, показывает, что в случае высокой скорости распространения пламени жидкие капли размером 1 мкм не успевают полностью испариться перед фронтом пламени.
6. Расчет динамических режимов трубчатых печей
Рассмотрим следующую тепломассообменную задачу для процессов в трубчатой печи. Для этого приведем систему (1) - (6) к следующему виду:
ди
др = др
"д7 = Щ "д7
дх _ дх х
д/ д1 т ’
ди ди л дТп
— — -и-----------------Я—-
д/ д1 д1
Я7п др р д1 ,
(10)
^ — (1 -Т)Г„ * - и ^+13.-ЯШ + А- ( - Тп)
д/ ,П д1 д1 Сут Сур Пс п>
^ — -м>^ + К2 (Тп -Тс)-Я(Тп). д/ д1 ’ ’
Дополним систему (10) начальными и граничными условиями
Нач. усл. р(/,0 ) = ф1 (I),
х(1,0) — Ф2 () и (I,0) — ф3 (I),
Тп (1,0) — ф4 (I), Тс (1,0) — ф5 (I),
Гран. усл.
р(0, /) — ^1 (),
х(0,/) — ^2 (*^ и(0,/) — у3 (/),
Тп (0, /) — ^4 (/),
Тс (0,/) — ^5 (/).
(11)
Здесь температура сырья задается в точке I — Ь, так как сырье подается сверху в печь, и таким образом имеем противоточный технологический процесс.
На рис. 4-7 приведены результаты расчетов динамических характеристик технологических процессов в трубчатой печи. При этом использована программа С0М80Ь МиШрИуБЮБ, предназначенная для решения широкого круга задач, формулируемых системами дифференциальных уравнений с частными производными.
Кривые разгона на выходе печи получены при возмущении на ±20 % с шагом 5 % на входе печи по температуре сырья (рис. 5, 6) и по температуре дымовых газов (рис. 4, 7).
Начальные значения температуры сырья 270 °С и температуры дымовых газов
- 530 °С. Кривые разгона для плотности, скорости, температуры потока дымовых газов и температуры сырья используются при решении задач локальной автоматики промышленных установок [1].
Рис. 4. Кривые разгона по плотности потока в зависимости от температуры потока (от 424 до 636 °С)
0 200 400 600 800 1000 с
Рис. 5. Кривые разгона по скорости потока дымовых газов в зависимости от температуры сырья (от 216 до 324 °С)
Рис. 6. Кривые разгона по температуре ды- Рис. 7. Кривые разгона по температуре сы-мовых газов в зависимости от температуры рья в зависимости от температуры потока сырья (от 216 до 324 °С) газов (от 424 до 636 °С)
Заключение
Приведенная математическая модель процесса горения в технологических печах является основной для проектирования оптимальных режимов промышленных установок. Расчет статических и динамических характеристик управляемого процесса позволяет определить основные параметры оптимальных процессов управления. Без знания динамических характеристик невозможно управление технологическими процессами в реальных условиях. Возможность получения параметров нестационарных режимов позволяет в режиме реального времени с высокой степенью эффективности избавиться от вредного влияния возмущений. Эффективность данного подхода проиллюстрирована на процессах тепломассообмена в промышленных объектах.
ЛИТЕРАТУРА
1. Скобло А.И., Трегубова И.А., Молоканов Ю.К. Процессы и аппараты нефтеперерабатывающей и нефтехимической промышленности. М.: Химия, 1982. 584 с.
2. Демиденко Н.Д., Потапов В.И., Шокин Ю.И. Моделирование и оптимизация систем с распределенными параметрами. Новосибирск: Наука, 2006. 551 с.
3. Варшавский Г.А. Горение капли жидкого топлива (диффузионная теория) // Бюро новой техники НКАП. М.: Гостехиздат, 1945. № 6. С. 87-106.
Демиденко Николай Данилович
Специальное конструкторско-технологическое бюро «Наука» СО РАН, Красноярск
E-mail: tpya74@mail.ru Поступила в редакцию 4 апреля 2012 г.
Demidenko Nikoly D. (Special Designing and Technological Bureau «Nauka» KSC SB RAS, Krasnoyarsk). Modeling of static and dynamic regimes in tube furnaces.
Keywords: mathematical modeling, boundary value problems, stationary and dynamic regimes of tube furnaces, numerical methods.
There are suggested mathematical models for steady-state and dynamic modes of process furnaces as the objects with distributed parameters. The corresponding boundary value problems are formulated and solved. For stationary modes, it is suggested the system of equations describing the concentration of combustible material and the rate of furnace gases. The radiation losses by burning fuel droplets of different diameters are analyzed. The calculations for industrial facilities are performed.
