CC BY
26
УДК 51-74
МОДЕЛИРОВАНИЕ РОСТА СОСУЛЬКИ
С. В. Шепов, С. В. Лукичёва
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнёва Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: lukicheva.cveta@yandex.ru
Рассматривается модель Зилдера-Лозовского, описывающая эмпирическую модель роста сосульки. Модель, с внесением в неё эффекта волнообразования, не потеряла адекватности и может быть использована для решения разного рода прикладных задач.
Ключевые слова: сосулька, физически-ориентированное моделирование, геометрическое моделирование, полуэмпирический подход, волнообразование.
SIMULATION OF THE POST OF ICICLES
S. V. Shepov, S. V. Lukicheva
Rehetnev Siberian State Aerospace Uneversity 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: lukicheva.cveta@yandex.ru
We consider the Zilder-Lozovsky model, which describes an empirical picture of the growth of icicles. The model, with the introduction of the effect of wave formation, has not lost its adequacy and can be used to solve various kinds of applied problems.
Keywords: icicle, physical-oriented modeling, geometric modeling, semi-empirical approach, wave formation.
На данный момент не существует точных аналитических моделей для описания роста сосульки, так как этот процесс является сложной комбинацией процессов фазовых переходов вода-лед, вода-пар, теплопередачи, движения по поверхности переменной формы. В компьютерной графике используются эмпирические методы построения моделей, не позволяющие производить физические расчеты, но позволяющие получать визуально достоверные каркасы объектов.
Исходная модель Зилдера-Лозовского [1], являлась, по сути, вариантом обобщения алгоритма DLA [3] (diffusion-limited aggregation), соответствующему росту, ограниченному диффузией, т. е. при недостатке воды, на трехмерный случай. Данный метод можно модифицировать для промежуточной ситуации между ростом, ограниченным диффузией и ростом, ограниченным кинетикой (когда рост зависит в целом от скорости замораживания воды). Будем рассматривать не блуждание одиночных капель на относительно сухой поверхности сосульки, а полноценное смачивание поверхности сосульки. Рассматриваемый процесс происходит при наличии всего лишь-тонкого слоя покрывающей, если они находятся на расстоянии, не превышающем параметр SP. В случае превышения данного значения считается, что возникающее натяжение слишком высоко для удержания воды и происходит образование капли, удаляющей воду с поверхности сосульки. Откуда и берется название параметра SP - shedding parameter (параметр скапывания). Процесс роста представляет собой итерацию, за каждый кадр которой проходят фазы блуждания, замораживания и регуляции количества воды. За каждый итерационный проход каждая капля воды может переместиться в одну из 6 соседних ячеек с помощью случайного блуждания. Переходы в горизонтальном направлении и переход вверх в модели считаются равновероятными, переход вниз - более вероятным. Соотношение этих вероятностей определяется параметром движения (motion parameter) - MP . Соответствующие вероятности перехода:
Секция «Прикладная математика»
pu/h = 1/ (MP + 5) pd = MP / (MP + 5).
Если считать что до текущего состояния частица двигалась вместе с потоком жидкости, то MP показывает соотношение стремления воды продолжить движение по инерции к препятст-вованию этому движению, то есть фактически MP связан с критерием Рейнольдса для соответствующего потока. На переход накладывается несколько ограничений:
1) существование ячейки, в которую совершается переход;
2) нельзя превысить при переходе ограничение на SP.
В случае полноценного покрытия ледяной поверхности водным слоем блуждания как такого практически не происходит - так как практически отсутствуют вакантные места, а синхронное перемещение всех ячеек за шаг итерационного прохода приводит к ситуации, полностью аналогичной добавлению воды на кончик сосульки - то есть можно сказать, что течение ламинарное. В реальности на гладкой боковой поверхности сосульки действительно наблюдается ламинарное течение воды. Турбулентное же течение, равно как и блуждание в модели, наблюдается на выступах на поверхности и на кончике сосульки [3]. За каждый итерационный проход каждая ячейка в водном состоянии может перейти в ледяное состояние с вероятностью, определяемой параметром вероятности замораживания (freezing probability) - FP. Каждая капля, подвергшаяся процессу заморозки, перемещается в пределах области, радиус которой ограничивается параметром радиуса замораживания (freezing range) - FR, в то положение, в котором у нее будет больше всего соседей в ледяном состоянии. Такой процесс замораживания связан с процессом нуклеации [2] - случайным образованием внутри слоя переохлажденной жидкости ледяного кластера. Появление такого кластера вызовет изменение свободной энергии:
AFr = -AFv (4 / 3)ш3 + а4ш2,
где VAF - изменение свободной энергии на единицу объема, связанного с изменением; о - поверхностное натяжение. Для переохлажденной жидкости можно записать VMAF «LATT, где AT - переохлаждение; MT - температура плавления; L - скрытая теплота.
Значение критического радиуса можно определить из следующего соотношения:
SAFr / dr = 0 = -4nr2 AFv + 8nra..
Откуда критический радиус: r* = 2а / AFv = 2aTM / LAT .
Результатом работы алгоритма является набор состояний системы на последнем итерационном шаге. В рабочем пространстве находится сама сосулька, покрытая слоем воды, в котором находятся зародыши ледяных образований. Для снятия результатов и их анализа необходимо перевести избавиться от факторов, связанных с процессом роста. Можно выполнить тремя путями:
• Остановить водоснабжение - продолжить процесс работы алгоритма с выключенными механизмами добавления воды.
• Произвести процесс ударного замораживания - перевести все водяные ячейки в ледяное состояние.
• Изъять сосульку - под напором сухого воздуха снять с поверхности водяной слой и убрать водоснабжение. Фактически - выделить главную связную часть множества ледяных ячеек из клеточного автомата.
Предполагается использовать третий вариант, как сохраняющий высокую степень графической детализации. Далее алгоритм действует из предположения, что не происходит процесс ветвления сосульки. Тело сосульки собирается вертикальным проходом по массиву из оставшихся областей, начиная сверху и останавливая процесс сборки, если следующий слой не соединен с предыдущим. Номер последнего слоя определяет высоту сосульки.
Параметр MP, помимо связи с критерием Рейнольдса, явно связан с действием гравитации, однако на высоту образующейся сосульки не влияет.
Увеличение FP практически не влияет на рост в высоту, но способствует сильному увеличению роста вширь. Значение параметра FP может быть связано не только с термодинамическими характеристиками жидкости, но и с концентрацией примесей в замораживаемой воде.
На рисунке продемонстрировано влияние ЕР в модели, рядом приведены для сравнения сосульки из дистиллированной и кипяченой воды, выросшие при одинаковых условиях.
Сосульки при значении FP = 0.012 и 0.0.35
Увеличение параметра SP приводит к уменьшению толщины сосульки. Также приводит к увеличению высоты, но начинает сильно проявляться эффект волнообразования.
Волны образуются при зарастании промежутков, ширина которых зависит от возможной толщины ледяного слоя, определяемого SP, и от образования новых зародышей, определяемого FR.
Главным преимуществом предлагаемой модели, в сравнении с исходной моделью Зилдера-Лозовского, является наличие в ней эффекта волнообразования. При проявлении такого эффекта необходимо либо продолжить работу алгоритма, до тех пор, пока потери от срезания не будут малы, либо запускать алгоритм на несколько шагов, динамически повышая FP.
Библиографические ссылки
1. Szilder K., Lozowski E. P. Simulation of icicle growth using a three dimensional random walk model // Atmospheric Research. 1995. 36. Р. 243-249.
2. Gagnon J., Paquette E. Procedural and interactive icicle modeling // Vis Comput. 2011. 27. Р. 451-461.
3. Theodore Kim, Michael Henson, Ming C. Lin A Hybrid Algorithm for Modeling Ice Formation // Eurographics/ACM SIGGRAPH Symposium on Computer Animation. 2004.
© Шепов С. В., Лукичёва С. В., 2017
