CC BY
70
Тимофеева М. В. Tmofeeva Ы. V.
младший научный сотрудник Центра энергетических систем, Сколковский институт науки и технологий, г. Москва, Российская Федерация
Титов Д. Е. Г1Ш D. E.
кандидат технических наук, научный сотрудник Центра энергетических систем, Сколковский институт науки и технологий. г. Москва, Российская Федерация
УДК 621.315.175
РАЗВИТИЕ МОДЕЛЕЙ ОЦЕНКИ ЛЕДЯНЫХ ОТЛОЖЕНИЙ НА ПРОВОДАХ ВОЗДУШНЫХ ЛИНИЙ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧИ
Использование сетевыми службами правильной математической модели обледенения проводов воздушных линий электропередачи (ВЛ) способно повысить эффективность мониторинга местности на предмет наличия критических значений ледяных отложений на проводах и составить долгосрочный прогноз состояния воздушных линий.
В данной работе проводится анализ математических моделей, описывающих образование разных типов ледяных отложений на поверхности провода цилиндрической формы. Определены сходства и различия этих моделей, приведены эмпирические выражения, полученные разными авторами для описания процессов, сопровождающих обледенение проводов ВЛ. Рассматривается значимость численных методов, позволяющих моделировать многофазный поток не только методом Лагранжа, проводя расчёт траекторий движения для каждой отдельной частицы в потоке, но и методом Эйлера, где изучается изменение параметров движущейся среды (давление, плотность, скорость) в определённой точке пространства без исследования поведения каждой индивидуальной частицы в отдельности. В заключение проведённого анализа моделей обледенения делается вывод об отсутствии универсальной математической модели, используемой для описания интенсивности обледенения проводов ВЛ, типа, веса и формы отложений. Указываются параметры, которые должны быть учтены для создания более точной математической модели обледенения, определяются возможные направления в развитии моделирования обледенения поверхности проводов ВЛ.
Ключевые слова: обледенение, гололёд, изморозь, мокрый снег, водяная плёнка, ледяная нагрузка, линия электропередачи, аэрохолодильная установка, провод.
DEVELOPMENT OF MODELS FOR ESTIMATING ICE DEPOSITS ON POWER LINES
Implementation of the relevant mathematical model of power line icing increases the monitoring efficiency of network services and makes it possible to forecast long-term conditions on power lines. This work analyzes mathematical models that describe the accretion of different types of deposits on the power lines. There are advantages and disadvantages of the models are considered. There are empirical and analytical equations gained by different authors are presented. The significance of numerical methods that allow simulate the double-phase flow behavior not only through the Lagrange method, where particles trajectories are calculated, but also through the Euler method, where the change in the parameters of a moving medium (pressure, density, velocity) is considered in a certain region without studying the behavior of each individual particle. It
- 37
Электротехнические и информационные комплексы и системы. № 4, т. 13, 2017
Electrical facilmes and systems
is concluded that the universal mathematical model that can correctly describe all the possible ice deposits on power lines under different atmospheric conditions does not exist. Parameters that should be taken into account to move forward in attempts to create it are specified, possible directions of its development are determined.
Key words: icing, glaze, rime, wet snow, water film, ice deposits, power line, icing tunnel, wire.
Введение
Задача моделирования обледенения конструкций различных форм и составов стоит перед человечеством довольно давно. При благоприятных для данного процесса атмосферных условиях такие типы осадков, как кристаллы льда, хлопья снега или капли воды, сталкиваясь с поверхностью объекта, способны формировать на нём ледяные отложения, различающиеся по своей форме и структуре. Обледенение проводов ВЛ негативным образом сказывается на надёжности электропотребления. Проблема обледенения ВЛ носит международный характер, истории известно большое множество примеров, подтверждающих это утверждение. Из-за способствующих обледенению погодных условий, наблюдаемых в 1998 г. в Канаде (Квебек, Онтарио) более двух миллионов жителей вынуждены были находиться без электричества несколько недель, так как свыше 35000 опор линий электропередачи перестали функционировать. Устранение последствий негативного природного явления стоило государству нескольких миллионов долларов. Подобный случай произошёл в 2005 г. в Германии (Мюнстерланд), где из-за отложений в виде мокрого снега на проводах ВЛ перестало работать несколько опор и пострадало более 250000 человек [1].
Актуальность
Для минимизации риска возникновения гололедных аварий сетевые службы с определённой периодичностью организуют визуальный осмотр наиболее подверженных гололеду линий электропередачи и используют информационно-измерительные системы мониторинга гололедообразования. Применение математических моделей обледенения проводов ВЛ, которые используют данные, получаемые с датчиков измерения погодных условий, может улучшить работу сетевых служб. Такие модели могут быть
интегрированы в систему мониторинга ВЛ для анализа текущего состояния линии и формирования долгосрочного прогноза его изменения. Выбор подходящей для конкретного региона математической модели обледенения ВЛ или разработка такой модели позволит более эффективно проводить мониторинг местности, предсказывать характер образования ледяных отложений на проводах и оптимизировать мероприятия по борьбе с их обледенением.
Существует множество математических моделей обледенения, нашедших своё применение для оценки ледяных отложений [2]. Многие из них применимы для проводов ВЛ. Ниже приведен анализ основных моделей.
Моделирование обледенения проводов ВЛ
Одной из первых, часто цитируемых работ, посвящённых математическому моделированию образования гололёда на проводах, стала работа Аск1еу [3], в которой для каждой капли по отдельности решается многоступенчатая задача (рисунок 1). Входными параметрами здесь являются температура воздуха Т0 [К], содержание жидкой воды в нём ^с [г/м3], температура поверхности цилиндра Т [К], радиус капель Rp [м] или их распределение по размерам Р^р), скорость потока воздуха и [м/с]. Каждая итерация выполнения программы начинается с подсчёта формы профиля провода, которая, с учётом возникающих отложений, предполагается эллиптической. В более поздних работах других авторов [4] необходимость моделирования именно эллиптической формы нарастания льда вместо равномерно круговой ставится под сомнение в силу незначительной разницы получаемых результатов (отношение меньшей полуоси эллипса гололёдных отложений к большей полуоси для отложений в виде гололёда составляет около 0,88, а для отложений в виде изморози 0,82 [5]).
Рисунок 1. Блок-схема математического моделирования нарастания льда на поверхности провода. Каждый блок соответствует подпрограмме общего кода (Аск1еу, 1979)
При моделировании мелких капель размером порядка нескольких нанометров в моделях обледенения обычно делается допущение о термодинамическом равновесии между воздухом и каплями воды в нём при температуре T0 [3]. Определение плотности ледяных отложений по известным параметрам потока и поверхности провода является отдельной, пока до конца не решённой задачей. Эмпирически полученные зависимости хорошо описывают плотности отложений в виде изморози (1) [6], (2) [8]. Такие выражения дают достоверные значения в случаях отрицательных температур намерзания осадков при слабом ветре, но приводят к большим погрешностям при других погодных условиях, хотя и широко применяются в работах некоторых авторов [5, 7].
ргсе=0,1ЬД0'76 for 0<Д<10,
pice = —for 10 < R < 60,
Д + 5,61 = 0,92 for 60 <R, MVD м„
R =
(1)
2-Г„
где: р — плотность ледяных отложении [кг/м3]Г
и — скорость капель [м/с]; R — безразмерный параметр Макклина.
р(се = 0.378 + 0.425(1о§Д) - 0.0823(1оя Д)2. (2)
Плотность отложений в виде гололёда принято считать постоянной и равной
917 кг/м3, определение плотности отложений в виде мокрого снега до сих пор не имеет общепринятых стандартов. В некоторых случаях в качестве значения плотности мокрого снега принимается значение плотности выпавшего снега с поправкой на скорость ветра [8, 9].
Моделирование движения капель может проводиться методом Лагранжа [3]. Для каждой капли записывается уравнение движения, учитывающее все силы, действующие на неё (3). В случае моделирования движения небольших капель достаточно ограничиться действием на них силы сопротивления со стороны воздуха. При рассмотрении более крупных капель сила тяжести начинает оказывать на капли значительное влияние и пренебрегать её воздействием уже нельзя [10]. Для учёта электрического поля провода к правой части уравнения (3) добавляется сила, описывающая его влияние на капли. Под действием этой силы получаемый вес гололеда на проводе увеличивается. Это объясняется тем, что в электрическом поле провода капли поляризуются, создавая при положительном заряде провода отрицательный заряд диполя, обращенный к проводу, что создает условия для притягивания капли к проводу [11]:
Ршг 2
трар = ~с>
D^p
"\urel\'urel,
Electrical facilities and systems
или через безразмерное число Рейнольдса
pPair
для частиц Rep =
трар = -
24 -3ndP^'Urel
где тр — масса капли [кг]; ар — ускорение капли [м/с2]; dp — диаметр капли [нм]; / — динамическая вязкость воздуха [Пах];
u , = u - u — относительная скорость
rel p г
(u — скорость воздуха [м/с]);
Ap — площадь поперечного сечения цилиндра (провода) [м2];
CD — безразмерный коэффициент сопротивления, значение которого напрямую связано с числом Рейнольдса; для капель с Re<<1 оно находится из закона Стокса, где сила Стокса (сила лобового сопротивления воздуха, действующая на каплю) F = -6nRp ^ ureP в других случаях применима эмпирическая зависимость [12]:
CD = 1 + 0,102Re0'955 для 0,2 < Re < 2,
CD =1 + 0,115 Re0'802 для 2 < Re <21, (4)
CD=1 + 0,189 Re0632 для 21 < Re < 200.
В простых математических моделях обледенения проводов ВЛ поток вокруг провода предполагается идеальным, несжимаемым, вследствие чего скорость воздуха в каждой точке находится из известного решения для комплексного потенциала обтекания цилиндра (провода) [13]. Во многих других моделях скорость воздуха считается изначально известным параметром и отдельно не вычисляется.
Стоит отметить, что влияние турбулентности воздуха на характер поведения осадков в потоке обсуждается во многих моделях образования ледяных отложений, но не реализуется вплоть до появления мощных персональных компьютеров, способных решать сложные задачи численно, быстро и эффективно справляясь с трудоёмкими вычислениями. Например, в [10] при помощи программного пакета Comsol Multiphysics, способного разрешать громоздкие системы дифференциальных уравнений методом конечных элементов, используется модель RANS (Reynolds-Averaged Navier-Stokes), где
случайно изменяющиеся характеристики потока (скорость, давление, плотность) заменяются суммами осреднённых и пульсацион-ных составляющих, в качестве модели турбулентности выбирается к-е модель. Современные коммерческие продукты позволяют моделировать движение частиц (кристаллы льда, хлопья снега, капли) не только методом Лагранжа, определяя траектории каждой из них, но и методом Эйлера, содержащим уравнения сохранения массы, импульса, энергии многофазной среды, а также (в случае выбора к-е модели турбулентности) дифференциальные уравнения для нахождения кинетической энергии турбулентных пульсаций к и скорости её диссипации е, моделируя не только сам процесс обледенения провода, но и его предысторию:
" dt
\л
ц + ^V
+ Pair11 X
fr
(5)
ц + — |ve
vv
+ p airUx
xVe = + (vt/^j-p airCt
£
e2T'
где ^ — время [с];
ок — константа, равная 1,0; лТ — вязкость турбулентных пульсаций (цг =рСц [Па-с];
к — кинетическая энергия турбулентных пульсаций [Дж/кг];
е — скорость диссипации турбулентных пульсаций [м2/с3];
С — константа, равная 0,09; и — осреднённая скорость потока [м/с]; о, Се1, С2 — константы равные 1,3, 1,44, 1,92 соответственно.
Из-за влияния многих факторов (направление и скорость воздуха, инертность частиц, турбулентность потока и т.д.), не все моделируемые капли достигают поверхности провода, часть из них обходит его стороной и никакого вклада в образование на нём ледяной нагрузки не несёт. Чтобы учесть этот факт в [3] вводится коэффициент «накопления», то есть попадания рассматриваемой капли на провод а равный отношению
начального расстояния от капли до перпендикуляра, проходящего через центр поперечного сечения провода к его радиусу щ = ^ (рисунок 2). Более современные модели помимо коэффициента попадания осадков на провод содержат коэффициенты их прилипа-
ния к поверхности провода а2 (отношение частиц, коснувшихся провода к частицам, осевшим на нём, то есть неотскочившим) и замерзания на нём а3 (отношение неотско-чивших частиц к намёрзшим на проводе).
Рисунок 2. Линии тока воздуха и траектории капель разных размеров около объекта цилиндрической формы (провода)
В соответствии с нормами, принятыми Международной организацией по стандартизации (ИСО), рост образования гололёдных отложений на единицу длины рассчитывается по формуле (6) [14]. При таком подходе траектории каждой отдельной частицы не рассчитываются. Значение среднего объёмного диаметра частиц (MVD) предполагается известным.
<1М
Л
= оцо^аз -мг- - Ые-А,
(6)
где dM [м] — масса отложений на единицу площади за время dt [с];
щ = д/и2 +и2р — скорость удара капель о провод;
А — площадь поперечного сечения провода перпендикулярного движению капель [м2].
В зависимости от типа отложения на проводе выражение (6) упрощается. В случае образования изморози можно принять а2 = а3 = 1, считая, что все частицы, соприкасающиеся с поверхностью провода, остаются на нём и мгновенно замерзают (сухое обледенение (рисунок 3). Для отложений в виде мокрого снега можно предположить а1 = а2 = 1, учитывая влияние жидкой плёнки, возникающей на поверхности провода, а также большой размер частиц при таком типе обледенения (влажное обледенение (рисунок 4)).
воздух
Рисунок 3. Схема «сухого» обледенения (Маккопеп, 2000)
Electrical facilmes and systems
незамерзшеи воды Рисунок 4. Схема «влажного» обледенения (Makkonen, 2000)
Значения коэффициентов а1, а2, а3 могут быть найдены из прямого подсчёта отношения частиц, участвующих в обледенении провода к общему числу моделируемых. Эта задача является очень трудоёмкой и заставляет ограничиваться рассмотрением определённого диапозона частиц. Поэтому в современных моделях используются эмпирические зависимости (7), предложенные разными авторами
щ = А- 0,028 - С(В - 0,0454),
А = 1,066£-°'00616 ехр(-1,1ОЗАГ-0'688 ), В = 3,641а--0'498 ехр(-1,491 К~°'ш ), С = 0,00637(ф-100)0'381,
г РdP Re
К = —^ , Ф =-,
9\\D К
где D — диаметр цилиндра (провода) [м]; р — плотность воды [кг/м3] [15].
«2=-[16], U
(7)
аз =
heLe ( \ пми „„ /_ \
F(l-X)Lf
(h + 6N\Ts-T0)-
hMu
Cvp
2C„
-рг р
где F — плотность потока воды [кг/м3];
X — жидкая фракция отложений (безразмерная);
— скрытая теплота кристаллизации [Дж/кг];
к — коэффициент конвективного тепло-переноса [Вт/(м2-К)];
N = 8,1-Ю7 Къ;
£ = 0,622;
Le — скрытая теплота парообразования [Дж/кг];
C — удельная теплоёмкость воздуха [Дж/(кг-К)];
p — давление воздуха [Па];
e ea — давление насыщенного пара над поверхностью провода и давление окружающего воздуха соответственно [Па];
M = 0,79
C — удельная теплоёмкость воды
[Дж/(кг-К)];
td — температура капель в момент столкновения с поверхностью провода [К] [1].
Метод определения ледяных отложений (6) универсален, так как применим к любому типу осадков. Для моделирования наиболее изученного случая ледяных отложений в виде изморози существуют более простые модели определения их массы на единицу длины за единицу времени: Imai model, Lenhard model, Goodwin model, Chaîne' and Castonguay model. В работе [17] проводится их сравнение, делается вывод о достоинствах и недостатках.
Выражение для а3 (7) находится из уравнения теплового баланса:
Qf + QV=QC+Qe + Qi + Qs , (8) где Qf — теплота кристаллизации [Дж];
Qv — нагрев поверхности провода за счёт трения о воздух (аэродинамический нагрев)
[Дж];
Qc — тепловой поток между ледяным отложением и потоком воздуха [Дж], созда-
ваемый за счёт проводимости и конвекции
[Дж];
— теплота испарения осадков на проводе [Дж];
Ql — потери тепла из-за нагрева осадков до температуры замерзания [Дж];
Qs — потери тепла из-за излучения [Дж].
В [18] уравнение (8) усложняется добавлением теплового потока между налетающими на поверхность осадками и подстилающим слоем и теплоты кристаллизации для части осадков, которые не замерзают сразу при соприкосновении с поверхностью провода, а растекаются по нему, это позволяет учитывать поведение водяной плёнки, образуемой при «влажном» обледенении. Такой метод реализуем при помощи Лагранжева подхода к описанию движения осадков, так как неравномерность формы отложений зависит от числа капель, попадающих в разные сегменты поверхности провода (рисунок 5).
Известен подход к поведению жидкой плёнки, где моделируется образование сосулек [19]. Это происходит как за счёт стекания
плёнки с поверхности провода, так и за счёт намерзания осадков на самих сосульках. Такой подход позволяет по-новому взглянуть на поведение жидкой плёнки, так как зачастую в моделях обледенения проводов делается допущение о том, что она полностью уносится с поверхности провода потоком воздуха и в образовании ледяных отложений не участвует.
Коэффициент конвективного переноса тепла можно найти из наиболее часто используемой при моделировании обледенения проводов эмпирической зависимости: . к„ N11
Б
(9)
где № — число Нуссельта ^и = 0,032 Ые0'85);
ка — теплопроводность воздуха [Вт/(м-К)].
Это выражение ограничено в применении не только значением числа Рейнольдса (Ш = 0,03211е0'85), но и значением шероховатости поверхности провода, которая влияет на характер его обтекания. Поэтому вопрос о нахождении универсальной формулы для h всё ещё остаётся открытым.
Случаи А, В, С:
Т0 = -15 °С; t = 5, 2,5, 1 мин; Ьс = 0,40, 0,44, 1,27 гм-3; и = 30,5, 122, 122 м/с
Случаи Е, ^ G:
Т0 = -5 °С; t = 5, 4, 4 мин; Ьс = 1,20, 0,38, 1,17 гм-3; и = 30,5, 91,5, 91,5 м/с
Рисунок 5. Форма ледяных отложений, предсказанная моделью Лозовски (учёт жидкой плёнки) при разных атмосферных условиях
ELEcTRicAL FAciLiTiES AND SYSTEMS
Выводы
За долгие годы борьбы с обледенением проводов ВЛ был накоплен большой международный опыт математического и экспериментального моделирования данного процесса [2], несмотря на это многие широко используемые в настоящее время модели определения ледяной нагрузки на проводах ВЛ и интенсивности её образования либо ограничены областью своей применимости в силу большого числа эмпирически полученных зависимостей, либо недостаточно учитывают факторы, существенно влияющие на данный процесс. Для прогнозирования критического уровня ледяных отложений на проводах ВЛ при различных атмосферных условиях и дальнейшего проведения своевременных плавок необходимо создание математической модели, учитывающей как параметры двухфазного потока (скорость воздуха и капель, температура воздуха и капель, влажность воздуха, количество осадков,
Список литературы / References
1. Makkonen L. Models for the growth of rime, glaze, icicles and wet snow on structures // Philosophical Transactions of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 2000. Т. 358. № 1776. S. 2913-2939.
2. Lozowski E.P., Makkonen L. Fifty years of progress in modelling the accumulation of atmospheric ice on power network equipment // Proc. Eleventh International Workshop on Atmospheric Icing on Structures. Montreal, CD-ROM. 2005.
3. Ackley S.F., Templeton M.K. Computer modeling of atmospheric ice accretion // Cold regions research and engineering lab hanover nh. 1979. № crrel-79-4.
4. McComber P. Numerical simulation of ice accretion on cables // First International Workshop on Atmospheric Icing of Structures. 1982. S. 51-58.
5. Makkonen L. Modeling of ice accretion on wires // Journal of climate and applied meteorology. 1984. Т. 23. № 6. S. 929-939.
6. Macklin W.C. The density and structure of ice formed by accretion // Quarterly Journal
направление движения потока по отношению к проводу, распределение капель по размерам или MVD и т.д.), сталкивающегося с поверхностью провода, так и характеристики самого провода (характерный размер, степень шероховатости, температура поверхности, значение протекающего по нему тока и т.д.). Анализ существующих работ, посвя-щённых описанию обледенения проводов ВЛ и других конструкций, подтверждает факт отсутствия такой модели.
Будущее моделирования обледенения ВЛ стоит за использованием численных методов, внедрённых в такие программные продукты, как Comsol Multiphysics, Ansys FENSAP-ICE, но при решении инженерных задач, требующих определения параметров ледяных отложений на местности, применение простых полуэмпирических моделей остаётся в приоритете, поэтому существует необходимость в их совершенствовании.
of the Royal Meteorological Society. 1962. T. 88. № 375. S. 30-50.
7. Bain M., Gayet J.F. Aircraft measurements of icing in supercooled and water droplet/ice crystal clouds // Journal of Applied Meteorology. 1982. T. 21. № 5. S. 631-641.
8. Makkonen L.J., Stallabrass J.R. Ice accretion on cylinders and wires / National Research Council Canada, Division of Mechanical Engineering, 1984.
9. Admirat P. Wet snow accretion on overhead lines // Atmospheric Icing of Power Networks. Springer Netherlands, 2008. S. 119-169.
10. Wagner T. A numerical model for atmospheric icing of conductor bundles / International Graduate School of Risk Management of Natural Hazards, Institute of Steel Structures. Braunschweig, Germany.
11. Farzaneh M. Ice accretions on highvoltage conductors and insulators and related phenomena // Philosophical Transactions of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 2000. T. 358. № 1776. S. 2971-3005.
12. Beard K.V., Pruppacher H.R. A determination of the terminal velocity and drag of small water drops by means of a wind tunnel //
Journal of the Atmospheric Sciences. 1969. T. 26. № 5. S. 1066-1072.
13. Milne-Thomson L.M. Theoretical Hydromechanics. 1960.
14. Hallstrom K.T. Organizing international standardization: ISO and the IASC in quest of authority. 2004.
15. Finstad K.J., Lozowski E.P., Gates E.M. A computational investigation of water droplet trajectories // Journal of atmospheric and oceanic technology. 1988. T. 5. № 1. S. 160-170.
16. Admirat P., Sakamoto Y. Wet snow on overhead lines: state-of-art // Proc. of the 4th
International Workshop on Atmospheric Icing of Structures. Paris, 1988. S. 7-13.
17. Jones K.F. A simple model for freezing rain ice loads // Atmospheric research. 1998. T. 46. № 1. S. 87-97.
18. Lozowski E.P., Stallabrass J.R., Hearty P.F. The icing of an unheated, nonrotating cylinder. Part I: A simulation model // Journal of climate and applied meteorology. 1983. T. 22. № 12. S. 2053-2062.
19. Makkonen L. Modeling power line icing in freezing precipitation // Atmospheric Research. 1998. T. 46. № 1. S. 131-142.
