Моделирование развития локального финансового рынка мегаполиса на основе аттрактора Лоренца Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ФИНАНСОВЫЙ Рынок

УДК 658.15

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ ЛОКАЛЬНОГО ФИНАНСОВОГО РЫНКА МЕГАПОЛИСА НА ОСНОВЕ АТТРАКТОРА ЛОРЕНЦА*

C. А. РОЩЕКТАЕВ, кандидат экономических наук, доцент кафедры финансов E-mail: [email protected] Институт экономики, права и гуманитарных специальностей

Локальный финансовый рынок мегаполиса складывается и развивается в условиях высокой плотности взаимодействия основных субъектов городского хозяйства, пространственной непрерывности и интенсивного типа развития городского хозяйства. Специфические характеристики данного рынка обусловлены: принадлежностью мегаполиса к ядру развития окружающей его территориальной системы; сетевым характером взаимодействия совокупности мегаполисов в пределах глобального мирового хозяйства; концентрацией в пространстве мегаполиса субъектов «экономики, основанной на знаниях»; вовлеченностью в оборот данного рынка финансовых инструментов, относящихся к смешанным благам; высоким потенциалом интернализации внешних экономических эффектов; высоким уровнем информативности отношений данного рынка для его субъектов.

Моделирование такого рынка опирается на подходы и принципы синергетической экономики и нелинейной динамики. Отметим, что основными эффектами нелинейной динамики выступают [7]:

- бифуркации решений при изменении параметра системы и (или) внешнего воздействия;

* Статья подготовлена по материалам журнала «Финансы и кредит». 2011. № 41.

- детерминированный хаос - хаотическое движение полностью детерминированной системы;

- возможность существования «странного аттрактора» - устойчивого многообразия неустойчивых траекторий.

С позиций синергетической экономики механизм эволюции сложных систем с течением времени реализуется за счет бифуркаций, которые вызывают новые виды поведения систем. Последовательность бифуркаций может перевести систему от равновесного состояния к хаотическому. Одной из математических моделей, описывающих указанное поведение пространственно непрерывной динамической системы, является система уравнений Э. Лоренца:

dx/dt = с (у - х); dy/dt = rx - у - xz; (1)

dz/dt = xy - bz, где с, r, b - некоторые действительные параметры.

В модели Э. Лоренца присутствуют три функции: x (t), у (t) и z (t), а также несколько параметров, главным из которых выступает параметр r. При плавном изменении r динамическая система будет менять тип своего аттрактора. При одних значениях параметра r система будет иметь устойчивую пре-

дельную точку, а при других значениях г (больших некоторого бифуркационного значения г*) система будет приобретать необычные характеристики, переходить некоторый порог меры.

Физический смысл модели Э. Лоренца заключается в следующем: функции х у (I) и г являются гидродинамическими параметрами, характеризующими движение жидкости: х (I) представляет собой скорость конвективного обмена, у ($ и г ф - это соответственно горизонтальная и вертикальная вариации температуры (их можно считать средними скоростями движения жидкости в трубке). Бифуркационный параметр г (число Рэлея) характеризует поведение жидкости под воздействием температуры.

Особенность модели Э. Лоренца заключается в том, что она предполагает ламинарно-турбулентный переход. Если градиент температуры превышает некоторый порог, т. е. г увеличивается до сверхбифуркационного значения, то происходит переход от ламинарного движения жидкости к турбулентному. С точки зрения нелинейной динамики это означает переход от особой точки типа «узел» к другому, совершенно необычному режиму, который называется «странным аттрактором», или аттрактором Лоренца. Эксперименты показали, что система приходит к странному аттрактору только при значениях г, больших 24,74. Налицо порог меры процесса, за которым он меняет свое качество (рис. 1).

Исследователь Э. Лоренц раскрыл механизм поведения динамических систем: микроскопические возмущения последовательно накапливаются и, переходя определенный порог меры, влияют на макроповедение. Ключ к пониманию поведения дает процедура растягивания и образования складок в фазовом пространстве. Аттрактор Лоренца образовывает складки внутри самого себя. Иначе говоря, хаотический аттрактор является фракталом -. объектом, в котором по мере увеличения выявляется все больше деталей [5].

С помощью аттрактора Лоренца можно моделировать многие другие явления. Применительно к моделированию развития исследуемого финансового объекта интересна адаптация данного аттрактора в концепции В. -Б. Занга [2].

Исследователь В. -Б. Занг рассматривает в пространстве метрополии городскую систему, которая с точки зрения экономической деятельности мала в сравнении с метрополией. Это значит, что любые изменения экономических условий в городской системе локализованы и не влияют на все пространство метрополии, которое остается структурно устойчивым в течение времени наблюдения.

В. -Б. Занг исследует краткосрочную динамику, поэтому пространство метрополии рассматривает как стационарное окружение. Им подчеркивается, что это предположение на больших периодах несправедливо [3].

Предполагается, что локационные характеристики городского пространства описываются следующими тремя переменными:

х - продукция, производимая городской системой;

y - численность коренного населения; z - земельная рента.

Продукция городской промышленности может идти на потребление населения или экспортироваться вовне. В. -Б. Занг предлагает следующую динамику хозяйственной системы города:

dx/dt = а1(а2у - а3х); (2)

dy/dt = c1(c2x - cy) - cAxz; (3)

dz/dt = dx - d2z, (4)

где a. c d. - положительные параметры.

Параметр а2 определяется как спрос на городскую продукцию, нормированный на душу населения. Параметр аъ интерпретируется как уровень предложения продукции внутри города. Поскольку спрос жителей на городскую продукцию и предложение ее на городском рынке предполагаются зависящими от объема производства и численности населения, то эти два параметра могут зависеть от переменных системы. Впрочем, можно считать а2 и аъ постоянными, поскольку рассматриваются только небольшие отрезки времени. В соответствии с принятыми определениями очевидно, что а2У - это общий спрос жителей на городскую продукцию, а аъх - общий поток городской продукции на городс-

Рис. 1. Аттрактор Лоренца (при r = 28)

кой рынок. Таким образом, уравнение (1) означает, что темп изменения городской продукции пропорционален избытку спроса. Если спрос больше предложения, то производство имеет тенденцию к расширению, и наоборот. Параметр а1 - коэффициент, имеющий смысл скорости установления. Для простоты предполагается, что земельная рента не влияет на производство, т. е. темп изменения зависит лишь от избытка спроса на городскую продукцию.

Предполагается, что изменение численности городского населения задается двумя элементами: с1(с2х - с3у) и с^. Величина с2 интерпретируется как спрос на труд со стороны фирм для производства единицы продукции. Следовательно, с2х - это общий спрос на труд на городском рынке труда. Параметр с3 определяется как отношение численности городских жителей, выбирающих работу в городе, к общей численности городского населения. Величина с3у задает общую величину предложения труда на городском рынке труда. Элемент (с2х - с3у) -это избыток спроса на труд в городе. Он влияет на направление миграции. На миграцию влияет также величина земельной ренты, так как люди выбирают для проживания местности с низкой ценой на землю. Элемент с ^ учитывает этот фактор.

В уравнении (4) предполагается, что любое изменение величины земельной ренты отрицательно влияет на ее текущий уровень. Это соображение основано на том, что если земельная рента очень высока, то увеличить ее дальше достаточно трудно. Элемент <^1ху означает, что на изменения земельной ренты положительно влияют х и у.

Чтобы показать, что система (2 - 4) идентична системе Э. Лоренца, В. -Б. Занг проводит следующие преобразования:

г = -

t

Г„ V

, ст = -

г = -

Ь = -

, х =

V )

й1х

Г„ V

у=

V )

^2 у

z = -

(5)

Таким образом, выражения (5) преобразуют систему (2-4) в систему (1). В.-Б. Занг заключает, что им дана интерпретация модели Э. Лоренца в контексте проблем городского производства и миграции населения, показана возможность их применения для объяснения феномена развития городов. Для анализа поведения системы городского хозяйства на основе полученной модели В.-Б. Зангом использованы следующие значения нормировочных параметров: ст = 10, г = 28, 6 = 8/3. Совокупность траекторий поведения системы

городского хозяйства соответствовала аттрактору Лоренца, представленному на рис. 1.

Приведем некоторые выводы В. -Б. Занга [4]:

- траектории не являются периодическими;

- рисунок не отображает переходный (неустойчивый) процесс, так как в зависимости от того, как долго продолжается численное интегрирование, траектория продолжает наматываться, не приближаясь ни к какой периодической орбите и ни к какому стационарному состоянию;

- топология рисунка не зависит от выбора начальных условий или метода интегрирования;

- предсказать, как будет вести себя траектория в течение длительного промежутка времени - невозможно.

Учитывая широкие возможности аттрактора Лоренца для моделирования локальных экономических процессов и используя подход В. -Б. Занга к исследованию поведения хозяйственной системы мегаполиса, применим рассматриваемую модель к локальному финансовому рынку мегаполиса. Поскольку исследуется краткосрочная динамика, то пространство финансового рынка можно рассматривать как стационарное. Предполагается, что субъекты локального финансового рынка свободны в продуцировании, распределении и использовании своих доходов. Далее аккумулирование и перераспределение организованной части доходов субъектов хозяйственной системы мегаполиса - сбережений, а также генерирование финансовых ресурсов осуществляется локальными финансовыми институтами на основе критериев доходности, риска и ликвидности.

Данный сегмент финансового рынка мегаполиса следует определить как институционально организованный или упорядоченный. Кроме того, на основе указанных критериев финансовые потоки в хозяйственном пространстве мегаполиса могут сопровождаться и движением финансовых ресурсов от субъектов с избытком данных ресурсов к реципиентам, минуя финансовые институты; это -неорганизованный сегмент финансового рынка. Он отражает спонтанный обмен финансовыми ресурсами.

Предположим, что финансовые потоки в пространстве мегаполиса продуцируют различные трансакционные издержки. При этом в общем случае второй (спонтанный) вариант удовлетворения потребности субъектов в финансовых ресурсах продуцирует относительные трансакционные издержки (связанные с генерированием финансовым рынком мегаполиса одной денежной единицы финансовых ресурсов) на существенно более высоком уровне

2

4

С1С3

С1С3

а3с3

С1С3

С1С3

с4а2 z

4

а3с1с3

а3с1с3

относительно организованного или институционализированного сегмента. Минимизация трансакци-онных издержек на локальном финансовом рынке мегаполиса выступает критерием эффективности организации финансового пространства мегаполиса и свидетельствует о его конкурентоспособности.

Предполагается, что локационные характеристики финансового пространства мегаполиса описываются следующими тремя переменными:

х - финансовые ресурсы, генерируемые финансовым рынком мегаполиса;

у - доходная база мегаполиса;

г - относительные трансакционные издержки, связанные с генерированием финансовым рынком мегаполиса одной денежной единицы финансовых ресурсов.

Финансовые ресурсы локального финансового рынка мегаполиса могут привлекаться субъектами данного рынка и использоваться за его пределами. Предполагается, что динамика финансового рынка мегаполиса (динамика финансовых потоков в пространстве мегаполиса) описывается системой уравнений (2 - 4).

Параметр а2 определим как спрос на финансовые ресурсы, нормированный на одну денежную единицу доходной базы мегаполиса. Данный параметр выражает относительный спрос на финансовые ресурсы в пространстве мегаполиса. Параметр а3 интерпретируется как относительное предложение финансовых ресурсов в мегаполисе. Поскольку спрос субъектов локального финансового рынка на финансовые ресурсы и предложение их на данном рынке предполагаются зависящими от объема генерируемых локальными финансовыми институтами ресурсов и от объема доходной базы мегаполиса, то эти два параметра могут зависеть от переменных системы (уровень доходности, риска и ликвидности).

Однако, можно считать а2 и а3 постоянными, поскольку рассматриваются только небольшие отрезки времени. В соответствии с принятыми определениями очевидно, что а2у - это общий спрос субъектов финансового рынка на финансовые ресурсы, а а3х - это общий поток финансовых ресурсов на данном рынке. Таким образом, уравнение (1) означает, что темп изменения финансовых ресурсов в мегаполисе пропорционален избытку спроса. Если спрос больше предложения, то финансовая функция имеет тенденцию к расширению, и наоборот. Параметр а1 - это коэффициент, имеющий смысл скорости обращения финансовых ресурсов в пространстве мегаполиса. Для простоты предполагаем, что в уравнении (1) трансакционные издержки не влияют на генерирование финансовых ресурсов, т. е.

темп изменения зависит лишь от избытка спроса на данные ресурсы.

Предполагается, что динамика доходной базы мегаполиса задается двумя элементами с1(с2х - с3у) и с4хг. Величина с2 интерпретируется как спрос на сбережения со стороны локальных финансовых институтов для генерирования одной денежной единицы финансовых ресурсов. Таким образом, данный параметр выражает относительный спрос на сбережения в пространстве мегаполиса. Следовательно, с2х - это общий спрос указанных институтов на сбережения на финансовом рынке мегаполиса. Параметр с3 интерпретируется как норма сбережения или относительное предложение сбережений в хозяйственном пространстве мегаполиса; определяется как отношение доходов, аккумулируемых локальными финансовыми институтами, или сбережений к общему объему доходной базы мегаполиса. Величина су задает общую величину предложения сбережений на финансовом рынке мегаполиса.

Спрос на сбережения и их предложение могут зависеть от переменных системы (уровень доходности, риска и ликвидности). При этом можно считать их постоянными, поскольку рассматриваются только небольшие отрезки времени. Элемент (с2х - с3у) - это избыток спроса на сбережения в мегаполисе. Он влияет на динамику финансовых потоков в финансовом пространстве мегаполиса, определяет профиль сберегательного поведения субъектов финансового рынка и интенсивность процесса трансформации доходов в сбережения. Параметр с1 - это коэффициент, имеющий смысл скорости сбережения в пространстве мегаполиса. На динамику финансовых потоков влияет также величина трансакционных издержек, так как субъекты локального финансового рынка выбирают финансовые инструменты с низким уровнем информационной асимметрии при заданной степени институционального (всеобщего) доверия на финансовом рынке мегаполиса. Элемент с4хг учитывает данные обстоятельства, при этом параметр с4 интерпретируется как характеристика всеобщего доверия к локальным финансовым институтам и выражает отношение трансакционных издержек сберегательного поведения субъектов финансового рынка мегаполиса к общему объему трансакцион-ных издержек данного рынка.

Уравнение (4) выступает формализацией эффективности организации финансового пространства мегаполиса под углом зрения минимизации относительных трансакционных издержек. Параметр d2 интерпретируется как уровень институциональной организации финансового рынка мегаполиса

или, иначе говоря, как доля институтов на данном рынке. Данный параметр можно оценить через отношение финансовых ресурсов, генерируемых институционализированным сегментом локального финансового рынка, к общему потоку финансовых ресурсов в пространстве мегаполиса. Элемент d^ в данном уравнении имеет двойной смысл. Во-первых, он означает, что повышение уровня институциональной организации финансового рынка мегаполиса отрицательно влияет на удельные трансакционные издержки на данном рынке. Во-вторых, любое изменение величины относительных трансакционных издержек отрицательно влияет на их текущий уровень. Это суждение основано на том, что указанные трансакционные издержки имеют предел снижения. Параметр dl - это коэффициент, характеризующий скорость спонтанного обмена финансовыми ресурсами. Данный параметр отражает интенсивность финансовых потоков между субъектами-донорами и реципиентам на спонтанном сегменте финансового рынка мегаполиса. Элемент djXj логически описывает полярную ситуацию, когда отсутствуют финансовые институты и осуществляется прямой спонтанный обмен финансовыми ресурсами. Такая ситуация продуцирует высокие относительные трансакционные издержки, а значит x и y положительно влияют на данные издержки в сегменте спонтанного обмена финансового рынка мегаполиса.

Исходя из совокупности преобразований (5), предложенных В. -Б. Зангом, можно заключить, что динамика локального финансового рынка мегаполиса описывается аттрактором Лоренца. На основе данного вывода раскроем бифуркационный параметр r данного рынка, определяющий движение финансовых потоков в хозяйственном пространстве мегаполиса. Параметр r подвержен воздействию градиента некоторого внешнего по отношению к исследуемой системе параметра (по аналогии внешнего источника нагревания в системе Э. Лоренца). Раскроем указанный внешний параметр, оказывающий определяющее воздействие на поведение локального финансового рынка мегаполиса.

Используем для этого предложенный Е. Е. Гав-риленковым и А. А. Струченевским способ измерения «температуры» финансового рынка (необходимо отметить его «созвучность» модели Э. Лоренца [1]). На основе анализа фундаментальных макроэкономических показателей российского финансового рынка Е. Е. Гавриленков и А. А. Стру-ченевский используют индекс «мыльного пузыря» (bubble metric index, BMI), позволяющий оценить степень переоцененности или недооцененности

финансового рынка. Индекс представляет собой соотношение между капитализацией российского рынка акций (MCAP) и агрегатом широкой денежной массы (M2X):

BMI(%) = MCAP -M2* .100.

M 2 X

Такой индикатор можно рассчитывать напрямую, поскольку вместо индексов РТС или ММВБ берется рыночная капитализация, измеряемая в долларах США или в рублях, и при ее сравнении с денежной массой можно использовать одну и ту же шкалу. По наблюдениям Е. Е. Гавриленкова и А. А. Струченевского, когда капитализация рынка превышает количество денег в экономике РФ на 25 %, то для падения фондового индекса достаточно 2-3 негативных новости (российский финансовый рынок обречен на падение, как только его капитализация на 50 % и более превышает M2X в отечественной экономике). Циклы взлетов и падений финансового рынка, происходящие в развитых странах, составляют несколько лет, а финансовые «пузыри» на развивающихся рынках имеют свойство быстро надуваться и сдуваться. В современной России это происходит через несколько месяцев. Это объясняется низкой монетизацией российской экономики, когда количество денег в несколько раз меньше ВВП (рынок крайне чувствителен к притоку или оттоку нескольких миллиардов долларов США) [6].

С 2006 г. по первую половину 2008 г. российский рынок акций находился в состоянии сильнейшего перегрева, значения BMI варьировались от 109 до 198 % (рис. 2, 3). Накануне финансово-экономического кризиса в России отмечалась серия пиковых значений BMI, которая сопровождалась чрезмерно высокой долговой нагрузкой в глобальном масштабе и возникновением гигантского финансового «пузыря». За исключением указанного периода российский финансовый рынок функционировал в относительно нормальном, цикличном режиме.

Исторический минимум BMI во второй половине 2008 г. - первой половине 2009 г. представлен на рис. 3. Этот минимум наблюдался после обрушения российского фондового рынка. Лопнувший финансовый «пузырь» ознаменовал старт финансово-экономического кризиса в России.

Таким образом, учитывая структурную позицию финансового рынка мезоуровня (мегаполиса), находящегося под влиянием глобального и национального финансовых рынков, можно отметить, что бифуркационный параметр r локального финансового рынка мегаполиса подвергается воздействию градиента BMI. При этом градиент определяется как вектор, показывающий направление наискорейшего

■ М2Х, млрд долл.

Капитализация, млрд долл

Рис. 2. Динамика рыночной капитализации и денежной массы в РФ за 2000-2011 гг. [1]

Рис. 3. Динамика индекса BMI на российском финансовом рынке за 2000-2011 гг. [1]

возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой.

Отметим, что в противоположность физической системе Э. Лоренца, где в эксперименте трубка с водой подогревалась «снизу», локальный финансовый рынок подогревается, скорее, «сверху».

Теперь формализуем сам параметр r развития данного рынка, определяющий движение финансовых потоков в хозяйственном пространстве мегаполиса. Обозначим его как индекс развития локального финансового рынка мегаполиса, или индекс ЛФРМ.

Как следует из (5), индекс ЛФРМ можно определить по следующей формуле:

а • c

Индекс ЛФРМ = ,

где а2 - относительный спрос на финансовые ресурсы в хозяйственном пространстве мегаполиса;

с2 - относительный спрос на сбережения в хозяйственном пространстве мегаполиса; а3 - относительное предложение финансовых ресурсов в хозяйственном пространстве мегаполиса;

с3 - относительное предложение сбережений в хозяйственном пространстве мегаполиса.

Таким образом, индекс ЛФРМ можно выразить следующим образом: Индекс ЛФРМ= (Относительный спрос на финансовые ресурсы /Относительное

предложение финансовых ресурсов) / (Относительный спрос на сбережения / Относительное предложение сбережений). На основе полученной модели развития локального финансового рынка мегаполиса можно сформулировать некоторые выводы.

При плавном изменении бифуркационного параметра (индекса ЛФРМ) динамическая система - локальный финансовый рынок - будет менять тип своего аттрактора. При значениях указанного параметра ниже порогового (которое соответствует BMI на уровне 50 %) система будет иметь устойчивую предельную точку, а при значениях индекса ЛФРМ больших бифуркационного значения r*, поведение исследуемой динамической системы будет соответствовать аттрактору Лоренца.

Бифуркационный параметр (индекс ЛФРМ) определяет движение финансовых потоков в пространстве мегаполиса под воздействием градиента BMI. Если разрыв между капитализацией и денежной массой увеличивается, то BMI увеличивается, что отвечает увеличению индекса ЛФРМ.

При некотором значении BMI (в диапазоне 25-50 %) на локальном финансовом рынке мегаполиса установится конвективное (цикличное) движение финансовых потоков. При небольшом градиенте BMI эта конвекция будет ламинарной и будет протекать с постоянной скоростью.

После прохождения точки бифуркации вне зависимости от начальных условий локальный финансовый рынок мегаполиса после короткого периода релаксации переходит в стационарное состояние, соответствующее ламинарному режиму конвекции - постоянной скорости циркуляции финансовых потоков в хозяйственном пространстве мегаполиса. Таким образом, эволюция данного рынка с течением времени реализуется путем бифуркаций, которые вызывают новые виды его поведения.

Применительно к локальному финансовому рынку мегаполиса концепция Э. Лоренца дает возможность получить модель развития данного рынка при конвективных движениях финансовых потоков

в хозяйственном пространстве огромного города. Если значение BMI превышает некоторый порог (50 %) и индекс ЛФРМ увеличивается до сверхбифуркационного значения, то происходит переход от ламинарного движения финансовых потоков к турбулентному или кризисному.

Список литературы

1. Гавриленков Е. Е., Струченевский А. А. Жизнь после «мыльных пузырей» // Эффективное антикризисное управление. 2011. № 2. С. 42-47.

2. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. М.: Мир. 1999. С. 169-174.

3. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. С. 172.

4. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. М.: Мир. 1999. С. 174.

5. Кратчфилд Дж., Фармер Дж. Хаос // В мире науки. 1987.№ 2. С. 16-28.

6. Мельникова Е. Г. Формирование ценовых «пузырей» на рынке акций // Деньги и кредит. 2010. № 12. С. 43-48.

7. Петров Л. Ф. Методы нелинейной динамики как инструменты управления экономической эффективностью // Эффективное антикризисное управление. 2011. № 2. С. 58-67.

л

ВНИМАНИЕ! На сайте Электронной библиотеки <^ПЬ> собран архив электронных версий журналов Издательского дома «ФИНАНСЫ и КРЕДИТ» с 2006 года и регулярно пополняется свежими номерами. Подробности на сайте библиотеки:

www.dilib.ru