Моделирование равновесной эволюции формирования лесного биоценоза на сплошных вырубках Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2018. № 1(45). С. 52-56

УДК 004.9:631.4+519.6 DOI: 10.25513/2222-8772.2018.1.52-56

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАВНОВЕСНОЙ ЭВОЛЮЦИИ ФОРМИРОВАНИЯ ЛЕСНОГО БИОЦЕНОЗА НА СПЛОШНЫХ ВЫРУБКАХ

Л.А. Володченкова

к.б.н., доцент, e-mail: [email protected] А.К. Гуц

д.ф.-м.н., профессор, e-mail: [email protected] Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, Омск, Россия

Аннотация. Показано, что восстановление леса после вырубки может описываться как равновесная по Нэшу эволюция.

Ключевые слова: восстановление леса, равновесная эволюция, равновесие Нэша.

Введение

В восстановлении леса после вырубок в большинстве случаев участвует несколько древесных видов. Выявлено, что их доли в составе формирующихся лесов не остаются постоянными и часто изменяются резко, скачком (проявляя дискретность) при плавном непрерывном изменении абиотических факторов. Такие явления легко описываются моделями теории катастроф Рене Тома.

Используя модель формирования лесной растительности, предложенную Г.П. Быстраем и Н.С. Ивановой [1], покажем, что восстановление лесного биоценоза может представлять эволюцию, равновесную по Нэшу.

1. Модель формирования нового древостоя

Г.П. Быстрай и Н.С. Иванова [1] предложили теоретико-катастрофическую модель формирования лесной растительности на сплошных вырубках. После сплошных рубок возможно несколько альтернативных линий развития растительности. Из всего разнообразия возможных вариантов смен древесных видов авторы рассматривают только взаимоотношения берёзы (Betula pendula Roth. и B. pubescens Ehrh.) и сосны (Pinus sylvestris L.) - наиболее распространенных на Урале и в Зауралье древесных видов - в процессе зарастания вырубок и формирования нового древостоя.

Модель представляет дифференциальное уравнение вида

d£ = -Np + NTp2 -Np3 + (1)

at

где

Математические структуры и моделирование. 2018. №1(45)

53

р - характеристика, описывающая интенсивность возобновления древесной растительности: плотность (масса) подроста сосны (Pinus sylvestris) и подроста березы (Betula pendula и B. pubescens);

Т = (ро — Рт)/ро - безразмерная характеристика интенсивности развития травянистого яруса;

Po = (ps — Рв)/2 - средняя суммарная масса (плотность) сосны (Pinus sylvestris) и березы (Betula pendula и B. pubescens);

рт - масса трав (плотность);

кг - некоторые другие параметры экосистемы, подлежащие определению.

Управляющий параметр Н - характеристика богатства лесорастительных условий (мощность почвы). Мощность почвы - комплексный фактор, характеризующий запас в почве элементов минерального питания и влаги и широко используемый в лесной типологии. Увеличение Н (мощности почв) приводит к угнетению сосны в большей степени, чем березы.

Благодаря заменам

Р ГТ1 *

V =--ТРо,

рс

U

а = —3[Т2(р*)2 — 1], b = — — + 3Тр* — 2Т 3(р*)3,

пс

Ро = |k2|/(3|kз|Qc),

где рс - некоторый масштаб плотности: плотность древесной растительности в критической точке, в которой плотность сосны и березы равны (смешанный древостой);

N = 3/t0, N = 3/(topc), N = 1/(*ор2), N = pc/(Hct0)

и ¿о характеризует смену временного масштаба: t = t : t0, уравнение (1) приводится к следующему виду:

dц dF

dt дц'

^ = 4 г/4 + 1 аг]2 + Ьг/.

Это соответствует модели катастрофы «сборка».

Модель позволяет исследовать устойчивость текущих стационарных равновесных состояний (т. е. удовлетворяющих уравнению drj/dt = 0) лесной системы и прослеживать динамику формирования растительности (см. [1,2]).

Однако сам процесс переходов при использовании теории катастроф является скачкообразным, т. е. не представляется как решение дифференциального уравнения.

Мы предлагаем посмотреть на уравнение (2) с точки зрения теории дифференциальных игр, когда эволюция растительности управляется параметрами а и Ь и они могут динамически меняться в каждый момент времени, и траектория ц = ц(Ь) может быть оптимально равновесной в смысле Нэша [4]. Покажем, что такая равновесная эволюция (а*,Ь*) по Нэшу возможна.

Для отыскания такого равновесия воспользуемся теорией дифференциальных игр [3,4].

2. Алгоритм нахождения равновесий Нэша

Рассмотрим дифференциальную игру вида

^ = / (х,и), и =(щ,...,ит), аъ

где щ - управляющий параметр г-го игрока.

Если игрок г формирует «своё» управляющее воздействие в виде только функции времени щ(Ь) на всю продолжительность игры, то щ(Ь) - это программное управление игрока. Однако игрок может выбирать своё управление в зависимости от того, в каком положении х в момент времени £ находится система. В таком случае игрок конструирует управляющее воздействие в виде функции щ(1,х), зависящей уже от позиции {Ъ,х}, и для щ(1,х) используется термин позиционное управление игрока [5]. Часто пишут просто щ(х).

Мы будем искать позиционное управление, позиционное равновесие Нэша.

Для дифференциальной игры Ж-игроков

dx ~dt

N

= f + 9j (Фз, f (0) = 0,

3=1

X e R, Uj e R,

N

Ji(x,Ui, ...,UN)

Юг(х) + )2]dt,

3 = 1

(г = !,...,N),

> о, пгг > о, пгз > о,

существование равновесий Нэша

Зг(и\,и*2,и*, ...,и%) ^ 31(и\,и*2, ...,и*-1,иг,и*+1...,и*ы), Ущ, % € N (3)

сводится к крайне сложной задаче отыскания положительно определённого решения Уг(х) > 0 нелинейного уравнения Гамильтона-Якоби

1

N

(vi)'x(x)f(х) + Qi(x) - [9з(х)]2(Ец)-1 (V,)'х+

3 = 1

1

N

+ \9i (%)]2№зз )-1]2 № )'х? = 0,

3 = 1

по которому строится равновесие Нэша [4, Theorem 10.4-2]:

и* (х) = Ui(Vi(x)) = - 2Пггдг(х)(Уг)'х, % G N.

(4)

(5)

Мы рассматриваем восстановление растительности как игру (2) с ненулевой суммой и двумя игроками, соответствующими управляющим параметрам а и Ь.

Математические структуры и моделирование. 2018. №1(45)

55

В нашем случае N = 2, игрок 1 - это интенсивность развития травянистого яруса а, игрок 2 - это взамосвязь травянистого яруса и богатства лесорасти-тельных условий (мощность почвы):

f (х) = -rf, дг(^) = -'ч, д2(П) = -1 и при Я11 = Я22 = 1, Я12 = Я21 = 0 уравнения Гамильтона-Якоби имеют вид:

Qi + (ViYvf(v) -\Ып)]2№yv]2 - \fa(v)]2(Vi)'r,№)'„ = о,

lr / \ П О Г / т т \ / п О 1|

(6)

+ (v2)'nf (v) - )'v]2 --[gi(v)]2(Vi)'v(v2)'x = 0.

Полагая, что

Vi(v) = V2(v) = l V2, получаем уравнения Гамильтона-Якоби в виде

5 1

Qi = 5^ + ^> о,

3 1

Q2 = ^+ 4х2 > о.

(7)

Мы выбираем эти функции Q1, Q2 именно такими, поэтому уравнения Гамильтона-Якоби удовлетворяются.

Наши функции Q1, Q2 положительно определённые. Поэтому по теореме 10.4-2 из [4] имеем равновесие Нэша

а* = 2 V2, b* = 1 v, (8)

найденное по формулам (5). Выигрышные функции

2

Ji(x,p,T )= [Qi(x) + a]dt,

V (9)

21

J2 (x,p,T )= [Q2 (x) + ¥ ]dt

Равновесная по Нэшу эволюция формирования древостоя в данном случае задаётся уравнением

йц 3 3 1

dt - 2 V - 2 *

Интегрируя это уравнение, находим семейство оптимальных равновесных траекторий

, ч V3

arctgyq) = —— t + const.

3. Заключение

Мы показали, что восстановление лесного биоценоза может быть описано как равновесная эволюция по Нэшу. Найдена только одна равновесная эволюция, хотя не исключено, что их может быть намного больше, поскольку при восстановлении леса возможно участие различных видов растительности (березняки разнотравно-вейниковые, сосняки брусничниковые и т. д.).

Литература

1. Быстрай Г.П., Иванова Н.С. Подходы к моделированию динамики лесной растительности на основе теории катастроф // Аграрный вестник Урала. 2010. № 2(68). C. 75-79.

2. Володченкова Л.А., Гуц А.К. Кибернетика катастроф лесных экосистем. Омск : Полиграфический центр КАН, 2012. 220 с.

3. Гуц А.К., Володченкова Л.А. Климаксный лес как нэшевское равновесное состояние лесных экосистем // Математические структуры и моделирование. 2017. № 1(41). C. 38-44.

4. Lewis F.L., Vrabie D.L., Syrmos V.L. Optimal Control. John Wiley & Sons, Inc., 2012. URL: http://www.uta.edu/utari/acs/FL\%20talks/CDC\ %20Orlando\%202011-\%20online\%20synch\%20PI.pdf (дата обращения: 01.02.2018).

5. Тынянский Н.Т., Жуковский В.И. Дифференциальные игры с ненулевой суммой (кооперативный вариант) // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. 1979. Т. 17. C. 3-112.

MODELING THE EQUILIBRIUM EVOLUTION OF THE FOREST BIOCENOSIS

ON SOLID FELLING

L.A. Volodchenkova

Ph.D. (Biology), Associate Professor, e-mail: [email protected]

A.K. Guts

Dr.Sc. (Phys.-Math.), Professor, e-mail: [email protected] Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia

Abstract. It is shown that the restoration of the forest after felling can be described as a Nash equilibrium.

Keywords: restoration of the forest, evolution, the Nash equilibrium.

Дата поступления в редакцию: 02.02.2018

Математические структуры и моделирование 2018. № 1(45). С. 57-68

УДК 517.9 DOI: 10.25513/2222-8772.2018.1.57-68

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Г.Д. Анисимова

аспирант, e-mail: [email protected]

Омский государственный технический университет, Омск, Россия

Аннотация. Для указанного в названии класса систем доказаны необходимые и достаточные условия экспоненциальной устойчивости и дихотомии решений задачи Коши в терминах нулей (А,р) определителя матричного пучка - символа функционально-дифференциального оператора в левой части системы. Приведён иллюстрирующий пример.

Ключевые слова: переход к разностной задаче Коши, характеризация спектра разрешающего оператора.

Введение

1. Работа является продолжением цикла работ по теории устойчивости для функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ), выполненных в последние годы группой сотрудников и аспирантов Омского технического университета [1-8]. Развитый в [5-8] подход к анализу поведения при большом времени решений обыкновенных линейных ФДУ сведением к такой же задаче для разностного уравнения вида ип = Гип-1 с компактным оператором Г в пространстве начальных данных распространён на подкласс ФДУ с частными производными. Доказаны необходимые и достаточные условия экспоненциальной устойчивости и дихотомии решений задачи Коши для одномерной стационарной гиперболической системы, возмущённой слагаемыми с запаздывающим аргументом, в терминах нулей квазимногочлена А (\, р), где А(Х,р) - символ оператора в левой части системы. Основной результат проиллюстрирован на модельной задаче управления с запаздыванием в управляющем устройстве.

2. Рассмотрим в полуплоскости П = К х [0, то) задачу Коши

Lu = Du\(Xtt) + [dB (s)] и (x,t - s) = 0, (x,t) e П \ П0, Jo

и |n0 = <p e E, По = R x [0,1].

(1)

Здесь

d d

D = — + A—, A = diag (ai Ii,...,amIm), ai > ... > am, ak = 0, (2)

58

Г.Д. Анисимова. Об асимптотическом поведении

Ik - единичная матрица порядка Nk, ^ Nk = N, В: [0,1] ^ CNxN, V0 (В) < то

и1 V1

и = , V = , uk, >^k - столбцы размера Nk, Е - банахово простран

ит ^т

ство непрерывных ограниченных функций П0 ^ CN с нормой \\^\\Е = sup |<^|, |-| - эрмитова норма в CN.

При условиях 2 через каждую точку (x,t) Е П проходят характеристики

qk (х, t) = {(а,т) Е R2 | a = ak (x,t,r) = x + ak (т — t)} ,k = 1,m. (3)

Оператор D далее понимается в обобщённом смысле:

D = diag(D1,...,Dn), (4)

где Dkuk - производная по t вдоль qk. Под решением задачи 1 понимается непрерывная функция и: П ^ CN с С ^гладкими в П \ П0 вдоль «своих» характеристик qk компонентами uk, удовлетворяющая 1. Класс таких функций далее обозначается С1. Из выполняемых в разделе 1 построений, в частности, следует однозначная разрешимость задачи 1 в классе С1.

Далее в разделе 1 построена эквивалентная 1 разностная задача Коши в фазовом пространстве Е

!

un = Yun-1, n = 1, 2, и0 = у Е Е.

(5)

Доказана компактность оператора Г. В разделе 2 описан спектр Г в терминах нулей (X, квазимногочлена, указанного в п.1. В разделе 3 на этой базе доказаны итоговые результаты. В разделе 4 приведён иллюстрирующий пример.

3. Приведём здесь для удобства ссылок используемый далее факт из теории интеграла Стилтьеса.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1 [9]. Пусть функция /: [а,Ь] х [с,в\ ^ К непрерывна и функция д: [с,в\ ^ К имеет ограниченную вариацию. Тогда функция

h (х)

непрерывна и верна формула

Гb

/ h (ж) dx =

f (х, s) dg (s)

(^J f (x,s) dx^jdg (s).

d

Этот результат без труда переносится на случай / со значениями в См и д со значениями в СмхМ.