МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ КОМБИНИРОВАННОЙ ЭНЕРГОСИСТЕМЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Статья поступила в редакцию 25.04.12. Ред. рег. № 1298

The article has entered in publishing office 25.04.12. Ed. reg. No. 1298

УДК 621.548

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ КОМБИНИРОВАННОЙ ЭНЕРГОСИСТЕМЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Н.П. Кузнецов

Институт возобновляемой энергетики НАНУ 02094 Украина, Киев, ул. Красногвардейская, д. 20А Тел./факс: +38-044-206-28-09, e-mail: renewable@ukr.net

Заключение совета рецензентов: 10.05.12 Заключение совета экспертов: 15.05.12 Принято к публикации: 20.05.12

Работа энергосистемы сопровождается рядом случайных факторов, касаюшдхся текущего потребления энергии, сбоев в работе оборудования и отключений генерирующих мощностей. Наличие ветровых электростанций в составе энергосистемы вносит дополнительный фактор неопределенности. Математическая модель на базе стохастических дифференциальных уравнений позволяет прогнозировать параметры работы энергосистемы с учетом указанных факторов.

Ключевые слова: ветровые электростанции, потребление энергии, генерирующие мощности, математическая модель, стохастические дифференциальные уравнения.

MODELING OF WORK COMBINED POWER SYSTEMS USING STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS

N.P. Kuznietsov

Institute of Renewable Energy, National Ukrainian Academy of Science 20A Krasnogvardejskaya str., Kyev, 02094, Ukraine Tel./fax: +38-044-237-26-57, e-mail: renewable@ukr.net

Referred: 10.05.12 Expertise: 15.05.12 Accepted: 20.05.12

Working of power systems is accompanied by a number of random factors relating to the current power consumption, equipment failures and outages of power generating facilities. The presence of wind farms introduces additional uncertainty. A mathematical model based on stochastic differential equations can predict the parameters of power system uncertainty.

Keywords: wind farms, power consumption, power generating facilities, mathematical model, stochastic differential equations.

Практическое решение задач обеспечения энергобаланса в энергосистемах невозможно без учета случайного характера как процесса потребления энергии, так и ее генерирования. Использование энергии ветра накладывает дополнительные требования к потребностям балансировки генерируемой мощности в реальном времени из-за стохастического характера ветровой энергии.

Моделирование работы энергосистемы возможно на разных временных масштабах - помесячно, посуточно, почасово. Важно представлять работу энергосистемы в режиме непрерывного времени. Здесь возможно моделирование на основе стохастических дифференциальных уравнений. Пример такого моделирования приведен, в частности, в работе [1] относительно т.н. Северного энергетического пула.

Очевидно, должна наблюдаться определенная годовая и суточная цикличность потребления электроэнергии. Примеры суточного режима нагрузок приведены на рис. 1.

Требование относительно текущего баланса производства и потребления электроэнергии может быть сформулировано как обеспечение минимальной разницы между генерируемой мощностью и электрической нагрузкой. Заметим, что производство электроэнергии имеет контролируемую составляющую, то есть традиционные электростанции (тепловые, гидро- или атомные), и неконтролируемую - в данном случае ветровые электростанции (ВЭС).

International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 07 (111) 2012

© Scientific Technical Centre «TATA», 2012

9(f), МВт х 10* 1,75

1,55

1,35 1,3

10 15

а) Северный пул

20 Í, час

МВт х 103 40л

36-

32-

30

f, час

10

b) Украина

15

20

L(t) = + X(t), t> 0.

(1)

dX (t) = -в[Х (t) -a]dt + adB(t); t > 0,

(2)

Процесс Орнштейна-Уленбека характеризуется наличием среднего (равновесного) уровня, вокруг которого происходят стохастические отклонения с определенным темпом и размахом. Коэффициент в определяет темп возвращения к среднему уровню а и называется коэффициентом сноса. Величина а характеризует размах отклонений, которые имеют нормальное распределение, и может приниматься постоянной для исследуемого периода; случайный процесс при этом считается стационарным. Коэффициент а в разных источниках называют волатильно-стью, а а2 - дисперсией или диффузией. Поскольку среднее значение определяется функцией а Х(/) - лишь отклонение от среднего, в уравнении (2) можно принять а = 0. Решение стохастического дифференциального уравнения может быть найдено по формуле Ито, результат имеет вид:

X (t) = е

-„-Pt

/

X (0) + \ae?,sdB(s s)

(3)

Рис. 1. Примеры почасового изменения нагрузок на энергосистему Fig. 1. Examples of hourly load changes on the power system

Базовая нагрузка на энергосистему Щ) моделируется как сумма функций, представляющих среднее значение нагрузок и определенный стохастический процесс:

где Х(0) - начальное значение отклонения базовой нагрузки от среднего уровня, а интеграл взят в трактовке Ито.

Запись винеровского процесса через нормальное распределение е ~ М(0,1) с нулевым средним и единичной дисперсией В(/) = ел// позволяет выразить стохастический интеграл через скалярную величину е и свести к обычному детерминированному интегрированию [2]. В результате решение записывается в следующем виде:

X (t) = X (0)e~pt +

л/2р

(4)

Среднее значение ц(/) принимает положительные значения и имитирует непрерывную смену нагрузки. Стохастический процесс Х(/) выбирается в соответствии с предположением, что нагрузка Щ) имеет нормальное распределение, поскольку соответствует сумме большого количества различных потребителей в системе. Следовательно, функция Х(/) также должна быть распределена нормально. К тому же величина Щ) не может расти в течение длительного времени и должна возвращаться к определенному среднему значению.

Исходя из таких предположений, случайная составляющая Х(/), определяющая девиацию функции нагрузок, может быть смоделирована процессом Орнштейна-Уленбека, который в общем случае описывается стохастическим дифференциальным уравнением

Таким образом, исследуемый процесс Х(?) оказывается нормально распределенной случайной величиной со средним значением и дисперсией, зависящими от времени. Такая запись решения вполне достаточна для характеристики случайного процесса.

Описанный стохастический процесс касается всей энергосистемы. В случае если отдельные части энергосистемы могут быть выделены в самостоятельные подсистемы, связанные общей электросетью и взаимным влиянием, аналогичным образом можно определить многомерный процесс, рассматривая уравнение (2) как векторное [3].

Что касается функции средних значений ц(/), ее можно определить различными способами. Для ее аппроксимации можно, например, использовать приближение тригонометрическими функциями в зависимости от вида графика нагрузок (рис. 1). Типичное представление среднего с помощью тригонометрической интерполяции:

где В(/) - винеровский процесс (по другой терминологии - броуновское движение).

j=i

^(t) = A0 + Aj cos^111 + B, sin^— t

T

T

(5)

Международный научный журнал «Альтернативная энергетика и экология» № 07 (111) 2012 © Научно-технический центр «TATA», 2012

Ветроэнергетика

Формулы для определения коэффициентов Аi и ВI общеизвестны, Т - временной промежуток осреднения.

Относительно фактических данных, необходимых для определения числовых параметров процесса -общая база данных о потреблении энергии состоит, как правило, из почасовых значений. Если считать искомый процесс текущей мощностью потребления электроэнергии, то численно часовое потребление равно средней за час мощности. Поскольку потребление энергии имеет четко выраженную суточную цикличность, логично все данные общим количеством N (для годовой базы N = 8760) разбить на М отрезков длиной К = 24. Тогда потребление энергии будет задаваться N значениями I,,, где I = 1..М - номер суток, ] = 1...К - время суток. Найдя усредненные по индексу i значения Ц и приравняв к ним соответствующие значения ц^:

1 M j j

L = MXXk; »у=J»(')d',

i n n

(6)

~ 2 a = -

1

K - 2 t=i

X(+i - Li )2.

(7)

Относительно скорости ветра следует отметить, что ее распределение как случайной величины не является нормальным, производство электроэнергии ветростанциями также имеет несимметричное распределение. Для корректного применения аппарата дифференциальных стохастических уравнений необходимо выразить мощность ВЭС через нормально распределенные случайные величины, например, применив логарифмически нормальное распределение:

W (' ) = W0ea •(')+U (').

(9)

можем перейти к определению параметров аппроксимирующей ^ функции.

Для оценки параметров износа и дисперсии в стохастических дифференциальных уравнениях (2) используются различные подходы в зависимости от типа исходных данных.

Приближенную оценку дисперсии для уравнения относительно стохастического процесса Щ) можно, в частности, получить из формулы [4]

Логарифмическое распределение показывает значительно лучшую приближенность к нормальному, чем даже распределение скорости ветра. Очевидно, нормальность должна возрастать с увеличением числа взятых в расчет ВЭС согласно пространственной дисперсии скорости ветра и центральной предельной теореме [5]. Нормальность распределения можно, в частности, оценить по критериям ISO 5479:1997.

Текущая мощность ВЭС рассматривается как стохастический процесс W(t) = W[v(t)] на определенном вероятностном пространстве, где t - параметр, в данном случае время, а скорость ветра v(t) - отдельное событие вероятностного пространства. Тогда произведенная за определенное время энергия определяется интегрированием W(t) по этому временному промежутку. Если использовать временные промежутки длительностью в один час, то численно произведенная за час энергия равна средней мощности ВЭС и определяется формулой

W = W('.) = J P(v)f (v)dv,

(10)

Другой подход базируется на использовании функций оценки мартингалов [3]:

~ 2 a = -

1 K-1 2

-т X [ ^+1 - (1 -ß) ^ ];

K-2

ß = -ln

-X ^у+1 ^

X *у

(8)

Окончательный результат можно получить осреднением нескольких оценок либо исходя из какого-либо критерия точности.

Как отмечалось выше, генерируемая энергия характеризуется контролируемой (традиционной) составляющей и неконтролируемой (в данном случае ветровой) мощностью Щ?). Сложность моделирования ветровой составляющей определяется как случайным характером энергоносителя (ветра), так и нелинейным характером преобразования ветровой энергии в электрическую, который вносит дополнительную неопределенность из-за особенностей работы ветроэлектрических установок.

где /у) - функция распределения скорости ветра.

Тогда фактически выражением wm(f) + £/(/) моделируется случайная величина У, = 1п(Щ/Щ0), которая по условию является процессом Орнштейна-Улен-бека. Для ее моделирования используется временной ряд фактических данных и процедура, описанная выше для нагрузок на энергосистему. Результатом является аппроксимированная средняя составляющая ^т(/) и выражение типа (4) для стохастической составляющей.

В качестве исходных данных лучше использовать данные по скорости ветра, пересчитав их в мощность идеальной ВЭС. Реальные показатели работы ВЭС отражают такие организационные составляющие, как остановки для технического обслуживания и ремонта, потери энергии на объектах инфраструктуры, расходы на собственные нужды и т.д., которые в данном случае не являются предметом математического моделирования.

Пример использования стохастической модели для симуляции методом Монте-Карло процесса энергообеспечения Северного энергетического пула изображен на рис. 2 [1].

International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 07 (111) 2012

© Scientific Technical Centre «TATA», 2012

'. -д

b

Рис. 2. Результаты почасовой симуляции процесса изменения нагрузки (а) и энергии ВЭС (b) Fig. 2. Results of hourly simulation of load change process (a) and energy WPS (b)

В данном примере интересен тот факт, что рассмотрение вариантов с учетом ветровой энергии и без нее дал близкие значения среднего дисбаланса энергосистемы и его среднеквадратичного отклонения. Таким образом, наличие ветростанций номинальной мощностью до 10% от общего уровня потребления электроэнергии (средняя за время исследования мощность ВЭС составляла около 2%) не оказывает заметного влияния на стабильность энергосистемы.

Таким образом, моделирование процесса обеспечения энергобаланса с помощью стохастических дифференциальных уравнений позволяет достаточно эффективно прогнозировать поведение энергосистемы. Точность модели зависит от наличия и репрезентативности данных о предыдущей работе энергосистемы. Уровень неопределенности моделируемого поведения системы указывает на степень риска энергообеспечения и определяет требования к ее надежности. Результаты моделирования могут представлять интерес как для операторов энергосистемы, так и для производителей и потребителей электроэнергии. Совершенствование модели требует дальнейшего изучения статистических данных о возможно большем числе объектов энергосистемы и возможно более длительном времени ее функционирования.

Список литературы

1. Olsson M., Perninge M., Soder L. Modeling realtime balancing power demands in wind power systems using stochastic differential equations // Electric Power Systems Research. 2010. № 80. P. 966-974.

2. Степанов С.С. Стохастический мир. www.synset.com/ru.

3. Perninge M. Evaluating the uncertainties involved in net transmission capacity calculation. Licentiate Thesis, School of Electrical Engineering, KTH, Stockholm, Sweden, 2009.

4. Alaton P., Djehiche B., Stillberger D. On modelling and pricing weather derivatives // Applied Mathematical Finance. 2002.

5. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.

ГхП - TATA —

CXJ

а

Международный научный журнал «Альтернативная энергетика и экология» № 07 (111) 2012 © Научно-технический центр «TATA», 2012