CC BY
98
Моделирование процессов структурного разрушения и масштабных эффектов разупрочнения на закритической стадии деформирования неоднородных сред
В.Э. Вильдеман, А.В. Ильиных
Пермский государственный технический университет, Пермь, 614990, Россия
Рассмотрены вопросы математического моделирования стохастических процессов структурного разрушения неоднородных материалов с целью исследования основных закономерностей формирования условий макроразрушения и анализа возможностей описания механического поведения среды на закритической стадии деформирования в терминах эффективных характеристик. Приведены результаты численных экспериментов с построением полных диаграмм деформирования для зернистых композитов случайной структуры, свидетельствующие о проявлениях масштабных эффектов прочности и разупрочнения неоднородных сред.
Simulation of structural failure and scale effects of softening at the post-critical deformation stage in heterogeneous media
V.E. Wildemann and A.V. Ilyinykh
Perm State Technical University, Perm, 614990, Russia
We numerically simulate the stochastic failure of heterogeneous materials to study the basic regularities of macrofailure conditions and analyze the ways of describing the mechanical behavior of a medium at the postcritical stage of deformation in terms of effective characteristics. We provide numerical results with the construction of complete stress-strain diagrams for granular composites of stochastic structure. The results point to the manifestation of scale effects of strength and softening of heterogeneous media.
1. Введение
Изучение факторов, влияющих на характер процессов образования и развития дефектов, связано с исследованием такого важного механического явления, каким является деформационное разупрочнение материалов на закритической стадии, непосредственно предшествующей моменту разрушения [1-3]. Изучение основных закономерностей этого явления, а также математическое моделирование создают условия для более адекватного прогнозирования условий потери несущей способности деформируемых тел и анализа возможностей управления процессами разрушения.
Именно на закритической стадии деформирования происходит формирование условий макроразрушения, которые, в отличие от традиционных представлений, определяющих использование силовых или деформационных критериев прочности, не являются однозначно
связанными с напряженно-деформированным состоянием в точке деформируемого тела. Ключевую роль в переходе от стадии равновесного накопления повреждений к неравновесной, лавинообразной, стадии разрушения играет нагружающая система [4-8]. Полная диаграмма деформирования, включающая ниспадающий участок на стадии деформационного разупрочнения, является отражением процессов накопления повреждений материалов, дает информацию для оценки трещино-стойкости материалов [9, 10] и является основой уточненного прочностного анализа, включающего рассмотрение вопросов живучести и безопасности элементов конструкций [11-13].
К настоящему времени накоплен достаточно обширный фактический и теоретический материал, который позволяет выделить следующие основные закономерности деформационного разупрочнения материалов на
© Bильдeмaн B-Э., Ильиных A.B., 2007
закритической стадии деформирования. Процессы структурного разрушения и трещинообразования отражаются на диаграмме деформирования, приводя к ее нелинейности, а на заключительной стадии являются причиной разупрочнения. Сопротивление разрушению на стадии деформирования, соответствующей ниспадающей ветви диаграммы, зависит от жесткости нагружающей системы. Диаграмма обрывается в наивысшей точке при нулевой жесткости нагружающей системы, т.е. при «мягком» (силовом) нагружении. Каждая точка на ниспадающей ветви может соответствовать моменту потери несущей способности в зависимости от условий нагружения. Потеря несущей способности может рассматриваться как переход от стабильной к неравновесной стадии процесса накопления повреждений.
На основе концепции, согласно которой разрушение рассматривается как результат потери устойчивости процесса неупругого деформирования, дана постановка и исследованы свойства решений краевой задачи механики закритического деформирования для тел с зонами разупрочнения и граничными условиями контактного типа [14]. Сформулированы и доказаны некоторые новые теоретические положения (постулат устойчивости, единственность решения краевой задачи, экстремальные и вариационные принципы) механики закритичес-кого деформирования. Для учета реальных свойств нагружающих систем предложены специальные краевые условия (локальные и нелокальные). Полученные аналитические и численные решения иллюстрируют стабилизирующее влияние нагружающих систем при обладании ими достаточной жесткостью, что может быть использовано с целью реализации деформационных резервов, повышения несущей способности и живучести конструкций [3, 14].
Для построения адекватных моделей поведения материалов на закритической стадии деформирования необходимо проведение экспериментов на испытательных машинах достаточной жесткости, реализующих в образцах разнообразные напряженные состояния. Осуществление такого рода опытов связано с техническими трудностями, и имеющиеся данные не дают исчерпывающей информации для построения определяющих соотношений деформируемых сред на стадии разупрочнения. В связи с этим актуальным представляется математическое моделирование процессов неупругого деформирования, разупрочнения, микро- и макроразрушения структурно-неоднородных материалов.
Определенные закономерности могут быть обнаружены в результате вычислительных экспериментов. В частности, ранее было показано, что накопление повреждений носит многостадийный характер, проявляют себя зависимость ниспадающего участка диаграммы от вида напряженного состояния и «квантовый» характер структурного разрушения, определенное соотношение свойств структурных элементов приводит к самопод-
держиваемому разрушению, при котором закритическая стадия деформирования даже при «жестком» (кинематическом) нагружении очень ограничена [15, 16]. Ряд эффектов закритического деформирования, обнаруживаемых методами математического моделирования, продемонстрирован в работе [17].
С точки зрения построения определяющих соотношений для структурно-неоднородных деформируемых сред требуют исследования вопросы прогнозирования эффективных материальных функций, характеризующих деформационные и прочностные свойства материалов и относящихся к представительному элементарному макрообъему среды. Последний представляет собой область, включающую группу структурных элементов, достаточную для того, чтобы влияние масштаба осреднения на значение осредненной величины было пренебрежимо мало [18]. Исследования показывают, что характерный размер представительного объема зависит от природы физико-механических процессов, описываемых с помощью искомых эффективных характеристик. В связи с этим возникает вопрос принципиальной возможности описания закритической стадии деформирования, которая может быть связана с протеканием локализующихся процессов, потерей свойств периодичности и макрооднородности среды, в терминах эффективных характеристик.
2. Геометрическая модель и свойства структурных элементов зернистого композита
Проведем анализ некоторых основных закономерностей неупругого деформирования зернистых композитов с использованием упрощенной геометрической модели. Рассмотрим область V, состоящую из большого числа упругохрупких идеально связанных между собой структурных элементов, геометрия которых совпадает с элементами дискретизации при использовании в численном решении задачи метода конечных элементов (рис. 1).
Пусть упругие свойства рассматриваемого композита обладают изотропией и однородны по всему объему (модуль упругости Е = 10 ГПа, коэффициент Пуассона V = 0.25). Прочностные свойства элементов структуры являются случайными и соответствуют двухпараметрическому закону распределения Вейбулла:
с-1
/ (°) =
ко =
€0
-ехр
{ \€
1-1
ь)
_ V У _
€ + 2
-1
и
= ЬГ
€ + 1
и+1Л
0.5
(1)
Рис. 1. Геометрическая модель зернистого композита
где Ь и с — соответственно параметры масштаба и формы плотности распределения Да); = 10 МПа —
среднее значение прочности структурных элементов; К0 — коэффициент вариации.
Методы статистического моделирования позволяют получить случайные значения прочностных констант в соответствии с заданным законом статистического распределения на основе использования программ — датчиков (генераторов) псевдослучайных чисел. Для проверки нулевой гипотезы о соответствии полученных в результате генерации набора случайных значений прочностных свойств структурных элементов двухпараметрическому распределению Вейбулла с заданными характеристиками воспользуемся критерием согласия Колмогорова-Смирнова [19]. Перед его использованием проведем упорядочивание прочностных свойств по возрастанию от минимального значения до максимального, после чего вычислим его статистики в следующем виде:
і
Дп - тах
1<і<п
Дп = тах
1<і<п
-- F (Хі) п
F (Х-) --
(2)
^ = max[Dи+; Ц~п ],
где Бп — статистика критерия Колмогорова-Смирнова. Если выполняется неравенство
, (3) то нулевую гипотезу не отвергают (критические зна-
чения Ха составляют: А0 1 = 1.22,
^0.5 = 1.36,
1.63).
Вычисленные статистики для генераций прочностных свойств с разным значением коэффициента вариации, приведенные в табл. 1, соответствуют выполнению неравенства (3), подтверждая тем самым нулевую гипотезу о соответствии генераций заданному двухпараметрическому распределению Вейбулла.
При численном анализе размерных эффектов, связанных с эволюцией дефектных структур в процессе деформации, важно обеспечение исходной макрооднородности рассматриваемой неоднородной среды. С целью проверки макрооднородности в полученной области V случайным образом были выбраны десять точек. В окрестности каждой из них последовательно выбирались подобласти, содержащие различное количество структурных элементов. При различных принятых размерах выборки было проведено сравнение осредненных по каждой из десяти подобластей значений прочности и коэффициента вариации в окрестностях различных точек. В результате проводилась оценка представительности выборки и интервал разброса осредненных значений е. Результаты расчетов для генерации с Кг = = 0.5 приведены на рис. 2.
Аналогичные проверки были проведены для других генераций с разными значениями коэффициента вариации, которые показали сходимость статистических характеристик генераций с различными значениями интервалов разброса (рис. 3). Показано, что интервал разброса полученных средних значений статистических характеристик увеличивается и с уменьшением числа структурных элементов области исследования, и с ростом величины заданного значения коэффициента вариации генерации прочностных свойств.
3. Двухуровневая структурнофеноменологическая модель
Для моделирования процессов структурного разрушения неоднородной среды используем двухуровневую структурно-феноменологическую модель, в рамках которой соотношения механики деформируемого твердого тела рассматриваются на двух уровнях — структурном и макроскопическом [3]. На структурном уровне воспользуемся замкнутой системой уравнений:
, j(г) = 0
їу (г) = 1[иі, j (г) + и/,і (г)]
(4)
(г) = / С/е(2), у£), г) ен (г)
при граничных условиях, обеспечивающих макроодно-родное деформированное состояние:
= гУХ/.
Таблица 1
Вычисленные по критерию Колмогорова-Смирнова статистики для генераций прочностных свойств элементов с разным значением коэффициента вариации
Ку 0.3 0.5 0.7 0.9
ДпГп 0.616 0.585 0.735 0.902
Рис. 2. Проверка макрооднородности статистических характеристик полученной генерации прочностных свойств с К°- = 0.5 (е — интервал разброса характеристик в реализациях; N — число структурных элементов)
Здесь а(г), е(г) и С(г) — тензоры напряжений, деформаций и деформационных свойств соответственно; £*- — заданный тензор макродеформаций.
Момент потери несущей способности элемента структуры определяется по факту выполнения критерия разрушения:
-2) * 7?>, (5)
в результате чего происходит скачкообразное изменение его упругих характеристик до малых, практически равных нулю, значений. Здесь у'((2) = ^ е-е- — второй инвариант тензора структурных деформаций; ву — компоненты девиатора тензора структурных деформаций.
В результате реализации процедуры пошагового нагружения (деформирования) устанавливается связь получаемых осреднением по объему макронапряжений о*- и макродеформаций е*-, которая отражает закономерности процессов структурного разрушения неоднородной среды и является основой построения эффективных материальных функций неупругого деформирования.
Полные диаграммы деформирования, представленные в виде зависимостей второго инварианта тензора макронапряжений
№ = д/—^ > 4 = 4 - § у/3,
от второго инварианта тензора макродеформаций
уЕ ~ д/еуеу , еу ~ % _ ^кк^у /3,
строились по результатам численного моделирования методом конечных элементов с использованием процедур метода переменных параметров упругости и автоматического выбора шага нагружения, ведущего к разрушению минимально возможного числа элементов в каждой итерации. Для облегчения последующей процедуры осреднения по реализациям все диаграммы строились при одинаковых значениях второго инварианта тензора деформаций, отличающихся друг от друга на величину малого шага (рис. 4).
Разработанная программа помимо графического построения диаграмм деформирования позволяет отслеживать степень поврежденности структуры при заданном значении деформации (рис. 5).
Диаграммы деформирования, отражающие зависимость макронапряжений от макродеформаций, имеют выраженный ниспадающий участок. Естественно, что вид диаграмм зависит от структурных особенностей, в частности, объемных долей компонентов, пористости, ориентации анизотропных зерен и т.д. Подобные результаты были также получены для композитов слоистой и волокнистой структур [3, 15].
4. Прогнозирование эффективных прочностных характеристик и анализ масштабного эффекта на закритической стадии деформирования
С целью исследования возможностей описания механического поведения структурно-неоднородной среды на стадии деформационного разупрочнения в терминах эффективных характеристик, т.е. с использованием материальных функций неупругого деформирования, не зависящих от размера деформируемой области, была использована следующая процедура. В окрестностях
Рис. 3. Зависимость интервала разброса е среднего значения прочности (а) и коэффициента вариации (б) структурных элементов от их числа N для генераций со следующими значениями коэффициента вариации: КV = 0.3 (7); 0.5 (2); 0.7 (3); 0.9 (4)
Рис. 4. Схема преобразования диаграммы: 1 — реальная диаграмма; Рис. 6. Зависимость эффективных прочностных свойств от размера
2 — полученная диаграмма; И — величина изменения второго инва- области деформирования для различных генераций прочностных ха-
рианта тензора макродеформаций при пошаговом нагружении рактеристик: Ку = 0.3 (1); 0.5 (2); 0.7 (3); 0.9 (4)
выбранных точек исследуемой области неоднородной среды выбираются подобласти с возрастающим числом структурных элементов, для которых решаются краевые задачи механики неупругого деформирования при мак-рооднородном деформированном состоянии и устанавливаются зависимости макронапряжений от макродеформаций. Данные для подобластей с одинаковым количеством структурных элементов осредняются. Описание в терминах эффективных характеристик применимо в том случае, если отличие найденных функций и характеристик при увеличении количества структурных элементов, начиная с некоторого их числа, определяющего размеры представительного объема, не перестает превышать величину заданной погрешности. В противном случае проявляет себя размерный или масштабный эффект и использование понятий «представительный объем» и «эффективные свойства» приводит к игнорированию некоторых важных закономерностей и, возможно, нецелесообразному упрощению в описании механических явлений.
Макромеханические характеристики закритическо-го деформирования для заданного числа структурных
0 -Г---------1----------1---------1----------1—з5»-
0 125 250 375 .«-КГ6
* е
Рис. 5. Расчетная зависимость второго инварианта тензора макронапряжений от второго инварианта тензора макродеформаций и схематичное представление эволюции дефектной структуры
элементов определялись путем осреднения деформационных зависимостей, полученных на выборках, взятых из окрестностей различных (случайным образом выбранных) точек области V. Вычисления проводились для генераций прочностных свойств с различными коэффициентами вариации на выборках, содержащих 500, 1000, 2500, 5000, 10000 и 20000 структурных элементов.
Прочностные свойства для заданного числа структурных элементов вычислялись путем численного моделирования процессов накопления повреждений и нахождения пределов прочности как максимальных значений второго инварианта тензора макронапряжений на полной диаграмме деформирования с последующим осреднением по десяти реализациям случайных структур в исследуемой области (рис. 6). Результаты определения критических макродеформаций, соответствующих моменту достижения максимальных макронапряжений, представлены на рис. 7.
Приведенные результаты демонстрируют, что с увеличением размеров области деформирования и коэффициента вариации случайных прочностных свойств структурных элементов уменьшаются значения прочностных характеристик и критических деформаций. Полученные в результате расчетов данные свидетельствуют о наличии некоторой размерной зависимости в отношении характеристик прочности структурно-неоднородной среды.
Масштабный эффект прочности исследовался в работах многих авторов [20-23 и др.]. Было отмечено, что масштабный эффект в общем случае определяется действием нескольких факторов: статистического, энергетического, технологического, фактора структурной иерархии. Энергетический фактор может быть напрямую связан с жесткостными свойствами системы нагружения [21].
Данные вычислительных экспериментов показывают, что кроме размерной зависимости прочности в значительно большей степени масштабный фактор про-
г'о„ ЮЛ,
0 5 10 15 N. 103
Рис. 7. Зависимость эффективных критических деформаций от размера области деформирования для различных генераций прочностных характеристик: Ку = 0.3 (/); 0.5 (2); 0.7 (3); 0.9 (4)
являет себя на стадии деформационного разупрочнения. Соответствующие расчетные зависимости приведены на рис. 8. Как видим, с увеличением числа элементов структуры и соответственно размеров расчетной области наблюдается вырождение ниспадающей ветви полной диаграммы деформирования.
Ранее авторы известных работ отмечали, что проблема масштабного фактора есть в значительной степени проблема правильной оценки неоднородности материа-
ла и учета влияния этой неоднородности на прочность при увеличении абсолютных размеров элементов сооружений и машин [20], проблема квазихрупкого разрушения не может быть решена без привлечения физической константы размерности длины, связанной с дискретностью структуры твердых тел [24], а также что чувствительность материала к концентрации напряжений связана с характерным параметром структуры материала, имеющим размерность длины [25].
Приведенные результаты математического моделирования дают основания полагать, что не только прочностные характеристики, но и, возможно, в большей степени, параметры разупрочнения должны быть отнесены не к материалу как таковому, а к некоторой деформируемой области конечных размеров из данного материала. Безусловно, представляет интерес установление связи масштабных характеристик разупрочнения с параметрами структурной неоднородности, включая статистические характеристики распределения случайных прочностных свойств.
На основе анализа отмеченных ранее закономерностей механического поведения материалов на закрити-ческой стадии деформирования можно предположить,
Рис. 8. Влияние размера области N на диаграммы деформирования: N = 500 (1); 1000 (2); 2 500 (3); 5 000 (4); 10000 (5); 20000 (б). Коэффициент вариации прочностных свойств Ку = 0.3 (а); 0.5 (б); 0.7 (в); 0.9 (7)
что масштабный эффект разупрочнения связан с зависимостью устойчивости локализующихся процессов структурного разрушения от деформационных свойств окружающего области локализации объема материала как нагружающей системы, жесткостные свойства и запас упругой энергии которой являются размернозависимыми.
5. Заключение
Таким образом, на основе решения модельных краевых задач рассмотрены вопросы правомочности описания заключительной стадии деформирования структурно-неоднородных сред с помощью эффективных характеристик и целесообразности использования прочностных характеристик материала с размерностью длины. В результате численных экспериментов для зернистых композитов и анализа расчетных зависимостей инвариантов макронапряжений от инвариантов макродеформаций обнаружено, что параметры диаграмм деформирования зависят от масштаба осреднения (с увеличением размера расчетной области и соответственно количества структурных элементов в ней происходит вырождение ниспадающей ветви и снижение эффективного предела прочности на диаграмме). Полученные результаты ставят под сомнение возможность перехода к эффективным характеристикам на закритической стадии деформирования и свидетельствуют в пользу существования прочностных констант материала с размерностью длины, позволяющих описать масштабные эффекты прочности и разупрочнения.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты РФФИ-Урал №№ 07-01-96021, 04-0196067).
Литература
1. Волков С.Д., СтавровВ.П. Статистическая механика композитных
материалов. - Минск: Изд-во БГУ, 1978. - 206 с.
2. Стружанов В.В., Миронов В.И. Деформационное разупрочнение материала в элементах конструкций. - Екатеринбург: УрО РАН, 1995. - 191 с.
3. ВильдеманВ.Э., СоколкинЮ.В., Ташкинов АА. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов. - М.: Наука, Физматлит, 1997. - 288 с.
4. Фридман Я.Б. Оценка опасности разрушения машиностроительных материалов // Теоретические основы конструирования машин. - М.: ГНТИМЛ, 1957. - С. 257-281.
5. Зилова Т.К., Палкин Б.А., Петрухина Н.И. и др. Испытание на растяжение при различных запасах упругой энергии // Заводская лаборатория. - 1959. - Т. 25. - № 1. - С. 76-82.
6. Волков С.Д., Гуськов Ю.П., Кривоспицкая В.И. и др. Экспериментальные функции сопротивления легированной стали при растяжении и кручении // Проблемы прочности. - 1979. - № 1. -С. 3-6.
7. Лебедев А.А., Чаусов Н.Г., Евецкий Ю.Л. Методика построения полных диаграмм деформирования листовых материалов // Проблемы прочности. - 1986. - № 9. - С. 29-32.
8. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Краевая задача механики деформирования и разрушения поврежденных тел с зонами разупрочнения // ПМТФ. - 1995. - № 6. - С. 122-132.
9. Чаусов Н.Г. Полная диаграмма деформирования как источник информации о кинетике накопления повреждений и трещиностой-кости материалов // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2004. - Т. 70. - № 7. - С. 42-49.
10. Вильдеман В.Э., Зайцев А.В., Горбунов А.Н. Закономерности и механизмы повреждения неоднородных тел на закритической стадии // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 4. - С. 41-53.
11. Стружанов В.В. О применении полных диаграмм деформирования в расчетах на прочность // Проблемы прочности. - 1988. -№ 5. - С. 122-123.
12. Стружанов В.В. Живучесть и устойчивость механических систем // Вестн. Самар. гос. тех. ун-та. Сер. физико-математические науки.- 2004. - № 30. - С. 5-21.
13. Вильдеман В.Э., Кашеварова Г.Г. Вопросы оценки безопасности поврежденных строительных конструкций // Вестник УГТУ-УПИ. - 2005. - № 14(66). - С. 64-69.
14. Вильдеман В.Э. О решениях упругопластических задач с граничными условиями контактного типа для тел с зонами разупрочнения // Прикладная математика и механика. - 1998. - Т. 62. - Вып. 2. -С. 304-312.
15. Соколкин Ю.В., Вильдеман В.Э., Зайцев А.В., Рочев И.Н. Накопление структурных повреждений и устойчивое закритическое деформирование композитных материалов // Механика композитных материалов. - 1998. - Т. 34. - № 2. - С. 234-250.
16. Зайцев А.В. Закономерности процессов накопления повреждений и условия перехода к локализованному разрушению зернистых композитов при квазистатическом нагружении // Физ. мезомех. -2004. - Т. 7. - № 5. - С. 63-72.
17. Псахье С.Г., Коростелев С.Ю., Смолин А.Ю., Дмитриев А.И., Шилько Е.В., Моисеенко Д.Д., Татаринцев Е.М., Алексеев С.В. Метод подвижных клеточных автоматов как инструмент физической мезомеханики материалов // Физ. мезомех. - 1998. - Т. 1. -№1. - С. 95-108.
18. Анциферов В.Н., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Волокнистые композиционные материалы на основе титана. - М.: Наука, 1990. -136 с.
19. СтепновМ.Н. Статистические методы обработки результатов механических испытаний: Справочник. - М.: Машиностроение, 1985. - 232 с.
20. Ужик Т.В. Масштабный фактор в связи с оценкой прочности металлов и расчетом деталей машин // Изв. АН СССР. ОТН. -1955. - № 11. - С. 109-121.
21. Волков С.Д. О кинетике разрушения и масштабном эффекте // Заводская лаборатория. - 1960. - Т. 26. - № 3. - С. 323-329.
22. Bazant Z.P., Planas J. Fracture and Size Effect in Concrete and Other Quasibrittle Materials. - New York: CRC Press LLC, 1998. - 616 p.
23. Ци Чэнчжи, Ван Минян, Цянь Цшу, Чень Цзяньцзе. Структурная иерархия и механические свойства горных пород. Ч. II. Структурная иерархия, размерный эффект и прочность // Физ. мезомех. -2006. - Т. 9. - № 6. - С. 42-52.
24. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности // Прикладная математика и механика. - 1969. - Т. 33.-Вып. 2. - С. 212-222.
25. Полилов А.Н., Стрекалов В.Б. Введение характерного размера для описания масштабного эффекта в условиях концентрации напряжений в композитах // Проблемы прочности. - 1984. - № 12. -С. 62-66.
Поступила в редакцию 10.04.2007 г.
