CC BY
13УДК 536.2
И. Ю. Савельева
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В НЕЛОКАЛЬНЫХ СРЕДАХ С УЧЕТОМ АККУМУЛЯЦИИ ТЕПЛОТЫ
Предложена модель теплопроводности, учитывающая эффект запаздывания при аккумуляции теплоты, в нелокальной среде. Для задачи высокоинтенсивного поверхностного нагрева получены численные решения в одномерном случае с помощью метода конечных элементов.
E-mail: Inga.Savelyeva@gmail.com
Ключевые слова: нелокальная среда, внутренние параметры состояния,
уравнение теплопроводности, аккумуляция теплоты.
Большинство современных конструкционных и функциональных материалов обладают микро- или наноструктурой. Мысленное их разбиение ограничено некоторым пределом, выражающимся в том, что на некотором уровне происходит качественное изменение физических свойств. Причем этот предел не обязательно должен проявляться отчетливо [1, 2]. Поэтому к структурно-чувствительным материалам (материалам с микро- и наноструктурой) в чистом виде не применима методология континуума. Тем не менее, допустимо распространение методов механики сплошной среды, занимающейся изучением механического поведения материалов на макроуровне, на микроуровень. Они оказались весьма эффективными [1]. Такой прием распространения методов механики сплошной среды называют методом непрерывной аппроксимации, а область науки, в которой поведение материалов с микро- и наноструктурой изучается при использовании методов непрерывной аппроксимации, называют обобщенной механикой сплошной среды [1].
В работе [3] на основе соотношений рациональной термодинамики необратимых процессов для среды с внутренними параметрами состояния закон сохранения энергии
pTh = - d--+ qv + Od ,
OXk
где p — плотность среды; T — абсолютная температура; h — массовая плотность энтропии; qk — проекции вектора плотности теплового потока q на оси Oxk прямоугольной системы координат; xk — декартовы координаты; qv — объемная плотность мощности источников (стоков) теплоты; Od — диссипативная функция, записан в виде уравнения теплопроводности
f/ * (X - x|) dV (x' )/exp (-^
V 0
= -T J dV(x') J C]tkM\x' - x|) * (|x'' - x'|)x
V V
x дек-Х. д^ ' ) dV (x'') + + 4- i * (|x' - x|) dV (x') [ Ajf)*( |x'' - x'| /dT(x"'t)
дх, I I \ dx
VV
t \ f ( t-t'\ д (дт(x'',t')\ Л nr. „.
-J ex4- t") ^ (-ткг) dt' dV (x )+
0 j /
+ А / *( |x' - x|) dV(x') I AK)*( |x'' - x'| ) f-
' V V V j
'exp (-^) | (^) dt<) dV (x-)+ „d + q,.
(1)
Здесь С^м — компоненты тензора коэффициентов упругости; С:цм = = Сыц, г, ], к,1 = 1, 2,3; е£ — удельная массовая теплоемкость при постоянной деформации, характеризующая аккумуляцию теплоты при изменении абсолютной и термодинамической температур; £ — время; ¿*, ¿Т — времена релаксации внутренних параметров состояния к и к соответственно; к — векторный внутренний параметр, характеризующий процесс распространения теплоты на микроуровне; к — скалярный внутренний параметр состояния, определяющий неравно-
(Т)
весный процесс аккумуляции теплоты на микроуровне; , ек1 — компоненты тензоров малой деформации и температурной деформа-
1 / дщ ЗиЛ (т) ции, е„ = - —--+ —— , п} — проекции вектора перемещения; л}з ,
2 \дхз дх}) }
— компоненты тензоров теплопроводности, обусловленные абсолютной и термодинамической температурами; р (|ж' — ж|) — функция влияния, определяющая эффект пространственной "памяти" , причем
J р (|®' — ж|) дУ (ж') = 1,
а также р (|ж' — ж|) = 0 только при (|ж' — ж|) € У (ж').
Уравнение (1) описывает процесс теплопроводности с конечной скоростью распространения теплоты, а также учитывает неравновес-
ность процесса аккумуляции теплоты и эффекты связанности полей температуры и деформации. Такое уравнение теплопроводности при различных допущениях относительно структуры материала дает широкие возможности для его использования в конкретных случаях.
Далее рассмотрим частный случай уравнения теплопроводности (1): учтем только влияние эффекта запаздывания при аккумуляции теплоты и положим, что поля температур и деформации не связаны. Тогда уравнение теплопроводности (1) перепишем в виде
t
% / * (X --I) - (X) / ехр (- ^) ^ * =
V
= дх I f ( x - x|) dV (*') / AjV( |x'' - x'| )x
V V x ^dV (*-). (2)
Для оценки температурных полей рассмотрим одномерную задачу высокоинтенсивного поверхностного нагрева. Уравнение теплопроводности (2) и соответствующие краевые условия в одномерном случае будут иметь вид:
t
pc* ^ ( t - Л dT (x',i') dt =
f7f(lx'-xl)dVtT J dt'
V 0
= A(T)^ i f (|x' - x|) dV (x') i f( |x'' - x'l )x
VV
x ^dV (x'') , (3)
t = 0, T (x, 0) = T0, T(x, 0) = 0, = 0, -A(T) / f( |x' - x|) dV {x')i f( |x'' - x'l) x
VV
dT (т" t) dT
x ^dV (x")= qs, x ^ ^ ^ 0, (4)
где qs = BMtm exp (—mt/t0), A(T) = const — теплопроводность тела.
Функцию влияния в одномерном случае запишем следующим образом:
p(|x' - x|) = 1fl - |x/ - , |x' - x|< a, a \ a J
где a = const — характерный размер структурного элемента.
x
Применив к уравнению (3) и граничным условиям из (4) конечно-элементную процедуру в форме метода Бубнова-Галеркина, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
t
?/ехр (-¥) * И{г}л'+ [А1{Г} ={Е}'
о
где [С], [К] — матрицы, характеризующие теплоемкость и теплопроводность исследуемого тела; {Т} — вектор неизвестных узловых значений температуры; {Е} — вектор тепловой нагрузки. Составляющие Ер вектора {Е} и компоненты Сш, Кш матриц [С], [К] определяются следующими соотношениями:
Ер = дв
Cpq = Ё / £ (/
в=1 V(e) \V
ypq = / л I I - x|)Nq(x')dx' I Np(x)dx,
E
КР, = Е У А(т) П р(|х' - х|) У р(|х" - х'|)I х
е = 1у(е) \У V /
¿^р(х) х " ах, ах
где Е — количество конечных элементов; V(е) — объем конечного элемента; Ир , N — зависящие от координаты х одномерные квадратичные функции формы; р, д — номера узлов сетки, р, д = 1, п.
Значения температуры в узлах расчетной сетки конечных элементов в (к + 1)-й момент времени могут быть получены из решения системы алгебраических уравнений при аппроксимации двухслойной разностной схемой:
(д** [К*+1] + (1 - ехр (- Д*) ) [С*+1]) {Тк+1} = = {Е} Д** + (1 - ехр (-Д*) ) [С*+1] {Т*} +
+ехр(-£)д* ПС (ехр(^)- ехр(|))[СП+1НТп},
где Дt(k) = tk+1 — tk — шаг по времени.
в
6
в -!-!-!
0.5^-----------;-----------;-----------j-~ - 1
в
Распределение температуры по глубине тела при = 10, т = 2; 1 — температурное поле для модели (3), (4); 2 — для модели (5), (6); (а) — Г = 0,5; (б) — ? = 2; (в) — Г= 5
При построении графиков использовали следующие безразмерные параметры и переменные [4]:
г = ж/^, £ = ¿До, в = (Т - То) /Т*, Т* = В™у/аЬ0/Л(Т), а = Л(т)/ (рс) ,до (£) = М£т ехр (-т£), М = тт/ (т - 1)!.
Полученные в результате предложенной модели теплопроводности температурные поля сравнивались с температурными полями, полученными в случае модели, учитывающей эффект запаздывания аккумуляции теплоты и не учитывающей нелокальность среды, и описанной в работе [5]:
t
рсдТ + рс [ехр ГАЛ дТа*' = \(т)д2Т (5)
РС д* + *Т / ехЧ *Т У а* = Л дх^, (5)
т о т
* = 0, Т (х, 0) = Т0, Т(х, 0)=0,
Т Т
х = 0, -А(т) — = д^, х ^ то, —--> 0. (6)
х х
На рисунке изображены распределения температуры по глубине тела для различных моментов времени при значении параметра *Т = 10. Видно, что характерный размер структуры а значительно влияет на температурное поле: уменьшение параметра а приводит к уменьшению температуры. В структурно-чувствительном материале уменьшение характерного размера зерна приводит к увеличению доли границ раздела, а, следовательно, к увеличению рассеяния энергии на границах раздела, что соответствует понижению температуры тела.
Работа выполнена по гранту НШ-255.2012.8 Программы Президента РФ поддержки ведущих научных школ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. К у н и н И. А. Теория упругих сред с микроструктурой. Нелокальная теория упругости. - М.: Наука, 1975. - 416 с.
2. Введение в микромеханику / Онами М., Ивасимидзу С., Гэнка К. и др. / Пер. с япон. - М.: Металлургия, 1987. - 280 с.
3. К у в ы р к и н Г. Н. Математическая модель нелокальной термовязкоупругой среды. Ч.2. Уравнение теплопроводности // Вестник МГТУ им Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. - 2012. - № 3.
4. К у в ы р к и н Г. Н. Термомеханика деформируемого твердого тела при высокоинтенсивном нагружении. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993. -141 с.
5. Чалая И. Ю. Моделирование температурных полей в твердом теле при импульсном нагреве // Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках: Труды XVI Школы-семинара молодых ученых и специалистов под рук. академика РАН А.И. Леонтьева. - М., 2007. Т. 2. - С. 193-196.
Статья поступила в редакцию 05.09.2012
