Математическая модель микрополярной среды с внутренними параметрами состояния Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3:536.2

Г. Н. Кувыркин, И. Ю. Савельева

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МИКРОПОЛЯРНОЙ СРЕДЫ С ВНУТРЕННИМИ ПАРАМЕТРАМИ СОСТОЯНИЯ

На основе соотношений рациональной термодинамики предложена термомеханическая модель для микрополярной среды с внутренним трением. Выполнено сравнение абсолютной и термодинамической температур для предложенной модели в одномерном случае.

E-mail: [email protected]

Ключевые слова: микрополярная среда, внутренние параметры состояния.

Создание новых материалов на основе нанотехнологий — важное направление развития современного материаловедения. Консолидированные наноструктурные материалы, как правило, получают компак-тированием нанопорошков, осаждением на подложку, кристаллизацией аморфных сплавов и другими способами [1, 2]. Некоторые возможные способы получения нанокомпозитов, в том числе и материалов, модифицированных углеродными нанотрубками [3, 4], рассмотрены в работе [5]. Получаемые с использованием нанотехнологий композиты и консолидированные наноструктурные материалы могут обладать уникальными физико-механическими и теплофизическими свойствами, позволяющими эффективно их использовать в конструкциях, подверженных высокоинтенсивному термомеханическому воздействию [3].

Важным этапом в создании и использовании новых материалов является построение математических моделей, позволяющих описать поведение этих материалов в широком диапазоне изменения внешних воздействий. Однако общая методология построения таких моделей еще далека от завершения. Это утверждение, в первую очередь, относится и к термомеханическим моделям наноструктурных материалов. В статье предложена термомеханическая модель наноструктур-ного материала, учитывающая временные эффекты при аккумуляции и распространении теплоты и деформировании, а также отличие некоторых термомеханических свойств наноструктурных материалов от соответствующих свойств массивных материалов.

Для получения определяющих уравнений воспользуемся соотношениями, полученными в [6] для микрополярной упругой среды. Достаточно полный обзор работ по микрополярной теории упругости приведен в работах [7, 8]. Однако в этих работах или не упоминают о влиянии температуры на напряженно деформированное состояние,

или учитывают это влияние в классической постановке [8]. В настоящей работе дано обобщение и распространение полученных ранее результатов по построению математических моделей сплошной среды с внутреними параметрами состоянии [9—14] на микрополярную среду с внутренним трением.

Основные термодинамические соотношениия. При построении математической модели микрополярной среды будем исходить из соотношений рациональной термодинамики необратимых процессов с учетом внутренних параметров состояния.

Используем первый закон термодинамики (закон сохранения энергии) в виде [6]

дйк . дфк 0qk ,

PU = j дХ - ejkm^km^j + mjk -дХ, - дХ + qV' (1)

где p — плотность материала, u — массовая плотность внутренней

д( )

энергии; ( ) = , t — время; ajk = akj — компоненты тензора напряжений; uk — проекции вектора перемещения; Xj — декартовы прямоугольные координаты; j,k,m = 1, 2, 3; ejkm — символы Леви-Чивиты; pj — проекции вектора микроповорота; mjk — компоненты тензора моментных напряжений; qk — проекции вектора плотности теплового потока; qV — объемная плотность мощности внутренних источников (стоков) теплоты.

Далее предположим, что состояние рассматриваемой сплошной среды в окрестности любой ее частицы можно описать четырьмя термодинамическими функциями: массовыми плотностями свободной энергии A и энтропии h, тензором напряжений с компонентами j и вектором плотности теплового потока с составляющими qif i = 1, 2, 3. В качестве аргументов этих функций в соответствии с принципом рав-ноприсутствия примем реактивные переменные: тензор микродеформации с компонентами

ejk £jk + ejkm(^m )

1 / дuj диА 1 / ди,- диА

= 2 V^Xk + dXj) + - sXj) +ekjmPm;

градиент вектора микроповорота с компонентами j = д^,- /дxk; абсолютную температуру T и ее градиент с проекциями = дT/дxk, а также внутренние параметры термодинамического состояния к(а),

«й(а = 1,aK, e = 1,eM, 7 = 1,7n)-Введение этих параметров дает возможность связать макроскопическое поведение сплошной среды с процессами, протекающими на

микроуровне. Например, скалярные параметры к(а) могут быть ассоциированы с локально-неравновесными термодинамическими процессами аккумуляции теплоты или с концентрациями фаз и веществ, входящих в состав среды. Векторные внутренние параметры с проекциями ккв) могут быть ассоциированы с потоками массы, энергии и количества движения, переносимыми элементами микроструктуры

(7)

среды, а тензорные параметры с компонентами к^ _ с приведенными к безразмерному виду микронапряжениями, отражающими вязкость материала.

Таким образом, в общем случае

А = а( вк1,Ск1,Т,^к ^к?^), к = н(ека,Ска,Т,$к ,к(а),ккв),кк] ^,

= (еы,(к1,Т, *к,к(а),к(в),к()^, Яг = Яг (ек1,СкЬТ, *к, к(а),к£в),к(7^•

Предположим, что скорости изменения параметров к(а), к(в), к^ зависят лишь от текущего состояния сплошной среды в окрестности рассматриваемой частицы, т.е.

к(а) = К(а) (еы,СкиТ,*к,к(а),к(в\41, к(в) = К((в) (еы,С«,Т,*к,к(а),к(в),к(1)),

к(7) = К(7) ( Л Т * к(а) к(в) М) кгз = Кгз [ек1,^к1, Т,*к,к ,кк ,кк1 У

Из (1) с помощью преобразования Лежандра и = А + Тк получим

дА \ ( дА \ • (дА \ •

р^ - ек + (Р^ - тк1) Ск + ЧдТ + к) Т+

дА , дА . (а) дА . (в) дА . (7)

+ Рд*" * + РдА ^ + Рдкв)кк + Рдк? +

+ рТк + ^ - яу = 0. (3)

дхк

Локальная форма второго закона термодинамики (неравенство Клазиуса-Дюгема) имеет вид [10 , 13]

рТк + ^ - Т-V|Х- - яу > 0. (4)

дхк дхк

Вычитая далее из левой части неравенства (4) левую часть равенства (3) получаем

' dA dA ■ föA \ • dA • dA (a)

ÄA.e" + HZ4 dA + / + dk+ äÄ K(*'+

+

dA к(в) + dA

du

(в)k

(Y) Kkl

(y)

дк

kl

+

+ Oki^p1 - ejki^ki^j + mikZki - T > 0. (5)

dT

dx

dxk

Учитывая равенство = /дж; + р^, получаем достаточные условия выполнения неравенства (5)

0"ik = Р

и неравенство

dA

de

m№ = p

kl

dA

dCki:

dA

h = - dT'

dA

m

= 0

(6)

ÖD - T

-1

Qk

dT

dxk

> 0,

где Öd = -p

— кИ + -^A^ + ^AK(y)

dK(a)'

dK

(в)k

k

dK

(y) kl

— диссипативная

kl

функция.

Подставив в уравнение закона сохранения энергии (3) третье равенство из (6), получим

- PTdT2T - PT

dh . dh •

ekl+ Ckl +

de

kl

dZ

kl

dK(a)

K(a) +

dh

(в)k

к(в) +

+

dh

dK

к

(y) kl

dKk

X dQk ,

= öd - 7;--Ь qv.

dxk

(7)

Слагаемые, заключенные в скобки в левой части уравнения (7), характеризуют термомеханическую связанность протекающих в микрополярном теле процессов.

В дальнейшем рассматриваем линейную микрополярную среду (\е^| ^ 1, ^| ^ 1) при минимальном числе параметров состояния (ак = 1, вм = 1 и YN = 2). Тогда к - термодинамическая температура, ассоциированная с локально-неравновесными процессами аккумуляции теплоты; - составляющие вектора, характеризующего распространение теплоты и ассоциированного с решеточным (фонон-ным) или другим преобладающим физическим процессом теплопро-

(1)

J2)

водности, \кг\ ^ 1; кгу и кгу - компоненты тензоров, определяющих эффекты вязкости на микроуровне, ^ 1, |к(2)| ^ 1.

Зададим объемную плотность свободной энергии в виде разложения в ряд Тейлора в окрестности нулевых значений аргументов е^, ^,

к

(1) т, J2)

ик

при температуре T = T0 естественного состояния. При этом

Р

k

положим, что рдА/дкг = 0. Тогда получим

1 / д2А д2А Л Л д2А (!) (!)

РА = 2де«^^ + дСг,дСк1^СЫ + д,^^ ^ + д2А (2) (2) д2А . д2А (!)

+ ку Кк1 +2 Л^Скг +2 Л^Кк1 +

2 д2 А . (2) 2 д2 А (Т) 2 д2 А («Л + 2 дЛ дк(2) ^ ^ - 2 де.де(Г) ^ % - 2 де.де(к) ^ % +

дЧг,? дкЫ дег, деЫ дег, деЫ /

+ рВо (Т, к) + рВ (Т) , (8)

где ),е(К) — компоненты тензора температурной микродеформации и тензора, зависящего только от термодинамической температуры, |екР| ^ 1 и |ек1 )| ^ 1; в естественном состоянии А0 = 0, В0 = 0 и В = 0. Положим также, что

д2 А = д2 А =1 д2 А =1 д2 А =1

де^ де, дек) Р дС, дСы Р дег, дСы Р

д2А =1 Е (!) д2 А =1 _(2) д2 А =1 н

Я Я (!) Л ^ Я (2) л Лк^ Д Д (к)

Тогда, в силу первого и второго равенств, из (6) имеем

, = (еЫ - е1Р) + ^гыСы + - ),

т, = Скг + + к£2/) -

Подставив в третье равенство из (6) выражение (8), получим

Л = 1 с,ые„ - дВо - ¿В- (10)

р Ч дТ дТ ¿Т ^ ;

Соотношения (9) являются достаточно общими, поэтому необходимо установить ограничения на коэффициенты С,ш, и

(2)

Объемная плотность свободной энергии инвариантна к выбору направлений осей принятой системы координат, поэтому при изменении направления любой из осей координат на противоположное в силу равенства = /х, компоненты градиента вектора микроповорота изменяют знак на противоположный. Поэтому изменяется и величина рА. Следовательно, = 0. Кроме того, в силу очевидных равенств

д2А = д2 А д2 А = д2А

дег, деы деыде, д^, д^ы, дСыдО/

(9)

d2A d 2A d 2A d2A

имеем

dej dKiP ^«W dCj dKM dKMd(i3

(1) (1) (2) (2)

Cjikl = Cklii' Gjikl = Gklii' -^АЛЫ = Еылл, ллъ.1 = E

^jikl = Cklji, Gjifcl = Gfclji' Ejikl = Efclji' Ejikl = Efclji: о

образом,

и число компонент Cjikl, Gjikl, -jk и Ej(2)l составляет 45. Таким

^ = Г (е е(ТЛ + Е(!) Ч е(к)

= Ме" - е"Г+ Я":ыКи - Я""еы' (11)

= ^гыСи + Е3гк1Кк1 ■

Предположим, что вязкие свойства микрополярной среды проявляются только при ненулевых значениях градиента вектора микроповорота с компонентами £тп и разности компонент тензоров линейного поворота штп = етпршр (р = 1, 2,3) и линейного микроперемещения ртп = етпррр(штп — ртп = 0). Кроме того, к^ зависят только от разности штп — ртп, а к^ — только от £тп. Таким образом, вязкие свойства среды, определяемые этими параметрами, проявляются только при макро- и микроповоротах и наличии градиента вектора микроповорота. Д уравнения в виде

(1) (2)

микроповорота. Для определения Kykl и кхы зададим кинетические

кк;) + кк;) = Кк1тп (Штп Ртп) ,

к(2) + к(2) = К(2) г

¿т кк1 + кк1 = Кк1тп^тп,

где , ¿т — времена релаксации параметров состояния. Решения уравнений (12) имеют вид

(!) = К (!) ( _

Кк1 = Кк1тп I Штп ртп

г

( ъ — Л д , ч , Л

ехИ--— I (^тп — Ртп)М ) ,

0 ^

к(? = К(тп(Стп — / ехр Г—*) %

(12)

(13)

tm ' dt

0

Подставив (13) в первое и второе равенства (11) соответственно, получим

j = Cjifcl (efei - e(T^ + (wfci - Pkl -

- J ехР - dt- Pki)dtj - Hjikieki)' (14)

= GjikzCw + м)ш ^Cfei - /exP (-dt'

где M(1) = E(l) K(1) M(2) = E(2) k(2)

jik jtm^ mnk^ jifc! jim^ mnk!'

Соотношения (14) определяют математическую модель стандартной линейной микрополярной среды с учетом температурной деформации и деформации, обусловленной неравновесностью процесса аккумуляции теплоты.

Поскольку в материале определяющим является только один, фо-нонный, процесс теплопроводности, то кинетические уравнения, описывающие изменения к и термодинамической температуры к во времени в линейном приближении, можно принять в виде

tq /ъ i + A; Kj + Aj4K = К i, ¿T ^ + A4J Kj + A44 к = К, (15)

где tq, ¿T — время релаксации соответствующих параметров состояния; Ki, К — функции, определяющие равновесные значения параметров состояния; A; = A^, det(Aij) > 0. Термодинамическую температуру определяет спектр частот и амплитуд колебаний атомов на свободной поверхности наночастиц.

Уравнение теплопроводности. Для получения уравнения закона сохранения энергии в виде уравнения теплопроводности необходимо конкретизировать выражения для равновесных значений Ki и К параметров состояния и проекций вектора плотности теплового потока q приняв их, например, в виде

7(1) dT <7(2) dK - m (16)

к = -Zij dx;- Zij ОХ; 'К = Тq = ^ij Kj ' (16)

Равенства (16) не противоречат основным принципам рациональной термодинамики необратимых процессов.

Решив систему уравнений (15) относительно Ki и к с начальными условиями (Ki = 0 и к = Т0 при t = 0), получим выражения для

/дТ дк Ч /дТ дк Ч (к)

к = к т—, т;—,Т и к = к 7—, т;—,Т . Далее, так как e; зави-\ОХ; dxj J VdXj ох; J j

сят только от термодинамической температуры к как функции дТ/дх; (наряду с другими аргументами), то от градиента температуры зависят и компоненты ; тензора напряжений. Однако этого не должно быть в силу выполнения первого и четвертого равенств из (16). Следовательно, всегда Ai4 = 0 и A4j = 0. В дальнейшем, в целях упрощения окончательного выражения уравнения теплопроводности, положим в первом уравнении (15) Aij = .

Тогда

Ki(xi,x2,x3,t) = —Z,

7(2) / дк

(D / dT ;j * dx,

Z

j

dx,

exp

t-t'\ d (dT

t* J dt' \dxj

exp

t-t'\ д (дк

t* J dt' \dx,

dt' -

dt'\ , (17)

re(xi,x2,x3,t) =

1

A

44

T(xi,x2,x3,t) — (1 — A44)To exp

t t'

t*T/A,

44

exp

t — t' \ dT . . „ оч

bF(18)

а закон сохранения энергии (7) с учетом (10) и последнего равенства из (16) принимает вид [14]

dT д

дк dt

деы de()

PCe^T + PC's= —Tj dT +

+ dx,; A(T M dx,

exp

t — t'\ d fdT\ lt.

+A

(к)

;j

дк dx,

exp

(— A AC-dKldf

dt' V dx

+ qv + öd , (19)

где ce = -T (d2B/dT2 + d2B0/dT2), 4 = -Td2Bo/(дТдк) - удельные массовые теплоемкости при постоянной деформации, характеризующие аккумуляцию теплоты при изменении абсолютной и термодинамической температур; Aj = Zj, Aj = Zj — компоненты тензоров теплопроводности, обусловленные абсолютной и термодинамической температурами.

Совместное решение уравнений (19) и (18) с соответствующими краевыми условиями дает возможность при известных свойствах материала определить как абсолютную, так и термодинамическую температуры.

При 4 = const и |Т - T0I/T0 < 1 имеем Bo(T, к) = -<(к - То) х х ln(T/T0) w -(к - To)(T - To)/To и д2Bo/dT2 = 0. В этом случае диссипативная функция

t

t

t

t

t

¿D = -P

д2 A

д«^

K(i)- (i)

д2 A

+

д2 A

д42)д4?

ft

(2) (2)

д2 A

fei

j

+ я—я"« де j дкк1

ej к ki +

(2) w

Cj ^ fei — ^"iifeieij-^ K — c.

де

(k) ki

"ял Я (2Г j ki

T~T0

дк

о . -к

(i) (2)

линейна по малым аргументам , , е^, и (Т — Т0)/Т0, поэтому диссипацией энергии, как правило, пренебрегают и полагают = 0.

В работе [14] показано, что в случае предложенной модели удельная массовая теплоемкость может отличаться от соответствующей величины для массивных материалов. Этот эффект в [1, 2] объясняют изменением вида и границ фононного спектра, т.е. изменением функции распределения частот колебаний атомов. Также показано, что введение в определяющие уравнения параметров А^ позволяет учесть снижение теплопроводности за счет рассеяния фононов на межзерен-ных границах и на поверхностях раздела элементов наноструктуры при построении феноменологической модели.

Сравнение абсолютной и термодинамической температур. На примере одномерной задачи высокоинтенсивного поверхностного нагрева сравним значения абсолютной и термодинамической температур (без учета связанности полей деформации и температур и внутреннего тепловыделения). Полагая = 0 в (17) и с = се = с£, уравнение теплопроводности (19) запишем следующим образом:

дТ

Pс— +

рс

д£ TT/A

exp

44

t-t'

TT/A.

44

дТ ,,

wdt' =

= Д(Т) ^ — Д(Т)

дх1

exp

t t'

Tq

д д2Т

— ^dt', (20) 2

дР дх1

где A(T) = const — теплопроводность изотропного однородного тела. Краевые условия запишем в виде

dT (xi,t)

Т (xi,t)li=o = ^

д(Т дТ (xi,t)

дх1

д*

= 0;

t=o

exp

t — t'^ д дТ (жьР)dt'

Tq у дР дх1

дТ (xi,t)

xi ^ то, -^-1 ^ 0,

дх1

где = BMtm exp (—mt/t0), m > 1, m G N.

(21)

= qs;

жх=0

0

t

t

t

Асимптотические решения такой задачи (20)—(21) можно получить с помощью интегрального преобразования Лапласа [15]. При £ ^ 0

1

в (z,t) = — I {ü2qqo (i - u) + qo (i - u)}

u) > X

x exp au^ Io (l\Juq - zq—qj du,

где а = (Б2Т + 2^), 72 = РТ - 2В\)2 / {^рТ), причем в(г,£) = 0 только при и> ; г = £ = ¿/¿0, 0 = (Т-Т0)/Т*,

^2 = т,/1о, Б2Т = ттАо, Т* = БС^/А(Т), а = А(т)/(рс), до(£) = М£т ехр(—т£), М = шт/(ш - 1)!.

Если дополнительно ввести безразмерную термодинамическую температуру Я = (к — Т0)/Т*, то (18) можно записать следующим образом:

к =

Abi в -/ exP (-f -

На рис. 1, 2 представлены в сравнении абсолютная в и термодинамическая Я безразмерные температуры для некоторых значений коэффициентов А44 и ^Т

Из рисунков следует, что я существенно зависит от значения А44. При А44 ^ 1, что соответствует тому, что доля свободной

Рис. 1. Сравнение абсолютной и термодинамической безразмерных температур:

распределение температуры во времени для нагреваемой поверхности тела при г = 0; а — = 10, = 0,1; б — = 10, = 1; сплошная линия — абсолютная температура в; штриховая — термодинамическая температура й; числа у кривых соответствует значениям А44

О 4 *35

3 2.5 2 1.3 1

0.5 0

\ 0.3

....\ . 1.0.5......

Ч/' \ -<!

ч

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

3.5 3 2.5 2 15 1

0.5 О

\ ..0..3........

ч.......... 0л

X /

\ 4

1

0.05

0.1 0.15

б

0,2 0.25 z

Рис. 2. Сравнение абсолютной и термодинамической безразмерных температур:

распределения температуры по глубине тела при Ь = 0,5; а — = 10, = 0,1; б — = 10, Б2 = 1; сплошная линия — абсолютная температура в; штриховая — термодинамическая температура к; числа у кривых — значения А44

поверхности стремится к нулю, к ^ 9. С уменьшением А44 различие в температурах увеличивается.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гусев А. И. Наноматериалы, наноструктуры, нанотехнологии. - М.: Физма-тлит, 2005.-410 с.

2. Андриевский Р. А., Р а г у л я А. В. Наноструктурные материалы. - М.: Изд. центр "Академия", 2005.- 192 с.

3. Кобаяси Н. Введение в нанотехнологию / Пер. с японск. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005.- 134 с.

4. Пул-мл Ч., Оуэне Ф. Нанотехнологии. - М.: Техносфера, 2006. - 336 с.

5. М и л е й к о С. Т. Композиты и наноструктуры // Композиты и наноструктуры. 2009. -№ 1. - С. 6-37.

6. Э р и н г е н А. К. Теория микрополярной упругости / В кн. Разрушение. Т. 2.

- М.: Мир, 1975. - С. 646-751.

7. Введение в микромеханику / Онами М. и др.: Пер. с японск. - М.: Металлургия, 1987.-280 с.

8. Новацкий В. Теория упругости: Пер. с польск. - М.: Мир, 1975. - 872 с.

9. Кувыркин Г. Н. Термомеханика деформируемого твердого тела при высокоинтенсивном нагружении. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993. -142 с.

10. Зарубин В. С., Кувыркин Г. Н. Математическая модель релаксирующего твердого тела при нестационарном нагружении //Докл. РАН. 1995. - Т. 345, № 2. -С. 193-195

11. Зарубин В. С., Кувыркин Г. Н. Математические модели термомеханики.

- М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 168 с.

12. Зарубин В. С., Кувыркин Г. Н. Математическое моделирование термомеханических процессов при интенсивном тепловом воздействии // Теплофизика высоких температур. - 2003. - Т. 41, № 2. - С. 300-309.

13. Зарубин В. С., Кувыркин Г. Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды, - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. -512 с.

14. Кувыркин Г. Н., Савельева И. Ю. Математическая модель теплопроводности новых конструкционных материалов // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. - 2010. - № 3. - С. 72-85.

15. К у в ы р к и н Г. Н., С а в е л ь е в а И. Ю. Моделирование температурных полей в твердом теле при поверхностном нагреве // Тепловые процессы в технике. - 2009. - Т.1, № 9. - С. 375-378.

Статья поступила в редакцию 25.10.2011