Математическая модель нелокальной термовязкоупругой среды. Ч. 3. Уравнения движения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

УДК 539.3

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕЛОКАЛЬНОЙ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ. Ч.3. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Г.Н. Кувыркин

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация e-mail: fn2@bmstu.ru

Современные конструкционные и функциональные материалы, представляющие собой совокупность микро- и наноструктурных элементов, находят широкое применение в технике. Важным этапом в создании и использовании рассматриваемого класса материалов является построение математических моделей, позволяющих описать поведение этих материалов в широком диапазоне изменения внешних воздействий. Однако общая методология построения математических моделей еще далека от завершения. Предложен вывод уравнения движений с учетом особенностей малоразмерных материалов (нелокальность среды, моментность напряженного состояния). Для получения определяющих уравнений использованы соотношения рациональной термодинамики необратимых процессов с внутренними параметрами состояния, а также метод непрерывной аппроксимации обобщенной механики сплошной среды. Полученные формы записи уравнений движения позволяют учесть основные особенности материалов с малоразмерной структурой при их нестационарном деформировании.

Ключевые слова: нелокальная среда, внутренние параметры состояния, уравнения движения.

MATHEMATICAL MODEL OF NON-LOCAL THERMAL VISCOELASTIC MEDIUM. PART 3. EQUATIONS OF MOTION

G.N. Kuvyrkin

Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation e-mail: fn2@bmstu.ru

Modern structural and functional materials presenting an aggregate of micro- and nanostructured elements find wide application in technology. An important stage in creating and using the class of materials under consideration is the construction of mathematical models providing the description of behavior of these materials within a broad range of variations in exposure conditions. However the general methodology for mathematical model construction is still far from being complete. Here a derivation of equations of motion is offered taking into account the features of small-size materials (continuum non-locality, momentary stress states). For deducing the equations, the relationships of rational thermodynamics of irreversible processes with internal state parameters, as well as the method of continuous approximation of the generalized mechanics of continuum are used. The obtained forms for writing equations ofmotion make it possible to take into consideration the main peculiarities in nonstationary deforming of materials with the small-size structure.

Keywords: non-local continuum, internal state parameters, equations of motion.

Обобщенная механика сплошной среды, использующая метод непрерывной аппроксимации [1], находит широкое применение при изучении материалов с малоразмерной структурой [2, 3], к числу которых относятся современные конструкционные и функциональные материалы, полученные различными способами из нано- и микроразмерных элементов [4, 5].

Важным этапом в создании и использовании материалов рассматриваемого класса является построение математических моделей, позволяющих описать их поведение в широком диапазоне изменения внешних воздействий. В работах [6, 7] на основе соотношений рациональной термодинамики необратимых процессов [8] для сплошной среды с внутренними параметрами состояния [9] сформулированы определяющие уравнения и предложены различные формы уравнения теплопроводности для материалов с малоразмерной структурой. В настоящей статье разработанные соотношения использованы для получения различных форм уравнений движения для материалов рассматриваемого класса.

В работе [5] представлены следующие выражения для компонент тензоров напряжений оц = оц и моментных напряжений шц:

оц = Бц + ^ СЦш<(|х' - х|)(еы(х') - екР(х'))дУ(х')+ + У дУ(х') У мЦ1\<(|х' - х|)<(|х'' - х'|)( шк1(х''11) - <к1 (х'',*)-

V V ^

г

exp

^ (иы (x'',t) - <ры (x" ,t'))dt^J dV (x'')- f Hjiki<p(\x' - x\)eiKV)dV(ж'); (1)

V

mji = J Gjikiip(\x' - x\)Zki(x')dV(x') + J dV(x')J jp(\x' - x\)x

V V V

xip(\x" - x'\) ^Cki(x'',t) - I exp (-) dZki(*V) dt'j dV(x''),

0 (2) где Cijkl = Cklji — компоненты тензора коэффициентов упругости,

■■1,1 114 I i \ 1 (dUk I dul\ I

i,3,k,l = 1, 2, 3; eki = £Ы + e^m(wm - = - ---+ -— +

Jm rm; n 1 м 1 о

2 V oxi oxk

1 (дпк дпЛ

+— —--—— + в1ктрт — компоненты тензора микродеформа-

2 \ дх1 дхк )

ции, £ы — компоненты симметричного тензора малой деформации; пк, рт — проекции векторов перемещения и микроповорота на оси прямоугольной системы координат, т = 1, 2, 3; хк, х — декартовы координаты; ек1т — символ Леви-Чивиты; М^, М<^1 — компоненты тензоров, определяющие вязкие свойства среды только при макро- и микроповоротах (шт, рт); Ь*, Ь*т — времена релаксации соответству-

- (Т) (к)

ющих напряжений; вхк1 , вук1 — компоненты тензоров температурной деформации и деформации, обусловленной термодинамической тем-

л дрк

пературой к; £к1 = —--компоненты градиента вектора микропово-

дхг

рота; р(\х' — х\) — функции влияния, определяющие эффект пространственной "памяти", причем

J р(\х' — х\)<У (х') = 1,

V

а также р(\х' — х\) = 0 только при \х' — х\ Е V(х').

Уравнения закона сохранения количества движения и его момента для микрополярной среды имеют вид [6]

д2п = дазг + ь . Р дх3 '' /оЧ

д.. + дтзг + (V) . . 1 2 3 (3)

= ецк^зк + + т\', г,] = 1 ,2,3,

где р — плотность среды; Ь — время; . — проекции вектора внутреннего спина; Ьг, т^ — проекции векторов плотности объемных сил и плотности моментов, распределенных по объему.

Обозначив ,£*) = Ска (х'',Ь) — /ехр ^,

рд.г/дЬ = /дЬ2, где 3 — компоненты тензора микроинерции,

и подставив равенства (1) и (2) в уравнения (3), получим

Р1П = дЗ + Щ / 3— х|) Мх') — 4?(х'Ж(х')+

V

+I <У (х') IМ^ р(\х' — х\)р(\х'' — х\)Гы(шы — ры ,¿1 )<У (х'')+

3 V V

д

' Нзкр(\х' — х\)ек1)(х')дУ(х') + Ь,; (4)

дх3

V

Jji= eijk|Bjk +JCjkmis(\x' - x\)(emi(x') - em?(x'))dV(x') | + + f dV(x') f MjkÜis(\x' - x\)s(\x'' - x'\)Fki- SkiX)dV(x'')+ + i Hjkmi^(\x' - x\)ekK}(x')dV(x'))+

jkml s

VV

V

+I / Gjikis(\x' - x\)Zki(x')dV(x')+

+ JdV(x') J js(\x'-x\)s(\x''-x'\)Fki(Cki,im)dV(x''))+mlV). (5)

VV

Для изотропного материала С,ш = AS/Ai + (^ + + S

ik,

M^ = M(1jki + M2(1)ijkSa + Mf^jAk, Mj(2k)i = Mi(2)^4i +

Цчкг = °ц»°кг + м2 «цк"а + мз «цг«гк, мцгкг

+ М2%+ М32)«Цк«гЬ Сцгкг = й1«Цг«кг + й2«Цк+ й3«Я«гк, НЦгк1 = = Я1«цг«кг + Н2«цк«г1 + Нз«ц7«гк, где Л, » — константы Ламе; »1, Сь й2, й3 — константы, обусловленные несимметрией тензора напряжений и тензором моментных напряжений; М"1(1),..., м32) — константы, определяющие вязкие свойства среды; Н1, Н2, Н3 — константы, определяющие влияние термодинамической температуры к на термонапряженное состояние. В этом случае при Бц = 0 из (4) и (5) имеем

Оцг=^<(|х'-х|)екк (х')дУ (х')«цг<(|х'-х|)£цг(х')дУ (х')+

V V

/ <(|х' - х|)(шт(х') - (х'))дУ(х') +

V

+^2ецгк У дУ(х'<(|х' - х|)<(|х'' - х'|)^к(шк - <кX)дУ(х'')-

V V

-(3Л + 2» + »1) J <(|х' - х|)екТк)(х')дУ(х')«цг; (6)

V

Шцг = <(|х' -х|)Скк(х')дУ (х')«ц + <(|х' -х|)Сцг(х')дУ (х') +

V V

р(\х' — х\)(зз(х')ёУ(х')+

+ У <У(х') (м^У р(\х' — х\)р(\х'' — х'\)х

V XV

хРкк (Скк ,С )3г<У (х'') + М(2^р(\х' —х\)р(\х'' —х'\)Цг((зг,Ь*т)<1У (х'') +

V

+Мз(2) I р(\х' — х\)р(\х" — х'\)Ъз ((,3 ,а<У (х'')^ ,

где

Е (шк — Рк ,-%) = Шк (х",-) — Рк (х",-) —

г

ехр(^—д- Ц(х'',-') — рк(х'',-'))<-';

о ^

.2 = 1 {М(1) — М(1)).

Уравнения (3) для изотропной нелокальной среды, описываемой равенствами (6), имеют следующий вид:

р^ = (Л + .)I, /Р{\х' — ^<У

V

+(l + ^ wl - х\) dV(х')+

3 V 3

д [

+це.гкдх v(\x' - x\)(fik(x',t)dV(х')+

3V

+12dV(x')J <р(\х' - x\)p(\x'' - x,\)Fjl(^3l - р.гЛ)dV(х'')-

3 V V

д С

-(3Х + + ц) — p(\x' - x\)e(T)(x',t)dV(x')-

дхг J

V

-(3H-1 + H2 + H3)дх j p(\x' - x\)e(K)(x',t)dV(x') + Ьг; (7)

V

т д2 Рз Л ч диз дик \

= егзку + Ii) + + llek.3nPn J +

д

■ Ц '<(|х' - х|) («2+ «3Ц дУ(х') +

V

+ецк /дУ <х') / «Iх' - х|)«|х'' - х1) (м<"3 <3 - 3, с)+

V V

+М3(1)^кц(шкц - <кцX))дУ(х'') +

+ дЫ дУ (Х'^ <(|Х' - Х|)<(|Х'' - х'|)(М<2)3(ЦО +

3 V V

+м32)^гц (&,С))дУ (х'')+ шГ).

Краевые условия для уравнений (7) имеют вид

С = 0 и(х, 0)= <(х), ди(х,с) = й°(х);

дс г=о

<з (х, 0) = <°(х), № = <°(х);

t=0

j(P,t)nj(P)= p(P,t), P G

Мг(Р, С) = Мг(Р, С), Р £ 5и, = 5 \ 5*,

где 5 — граничная поверхность тела; Пц — проекции единичного вектора нормали к этой поверхности в точке Р;

Шц(Р,¿)пц(Р) = шЦЯ)(Р,С), Р £ £т;

<г(Р,С) = <г(Р,С), Р £ ^ = 5 \ 5т,

где шЦ — проекции вектора плотности распределенных по поверхности 5т моментов.

Для изотропной нелокальной упругой среды (С* = 0, ¿т = 0) уравнения упрощаются

пи = (Л+» дх / <(х' - х|) дУ (х')+

V 3

+(» + »1) / <(|х' - х|)дУ(х')-

3 V 3

д г

-(3Л + 2» + »1) — <(|х' - х|)е(Т)(х', С)дУ(х') + 6г; (8)

г V

т д2<3 Л чдмз дик \

= егзк + »1)+ »д^ + »1екзп<^ +

+j «V - (g+ G3j dvW + >.

Если не учитывать моментные напряжения и принять ¡л1 = 0, то вместо уравнений (8) имеем

РЖ = + *I, / I x' - x I )dVМ+

1 <p(Ix' - xI) dV(x')- (9)

' V 3

-(3\ + 2*)-^- í M - xI)e(T)(x',t)dV(x') + bt.

x,

V

Положим Ix' - xI существенно меньшим характерного размера тела. Тогда, разложив duj / dx'3, dui/dx'3 и е(т) из (9) в ряд Тейлора в окрестности точки, заданной вектором x, получим

р^ = п + д2u'(x,t) + *d2u(x,t) - + 2 ) де(т)(x,t) +

dt2 dx, dxз dx3 dx3 dx,

+bi+l ^ + ^ дхф' X,J Ixk - x"^^ - xI)dV {x,)+

+*¡x3¡ IIxk - x>Iv(ix'- xI)dV (x')- {w)

V

d2 AT) r \ 1 (

-(3X + 2Ixk - xkI<p(Ix' - xI)dV(x')\ + - ( (X+ v ' ^

d4u f

+*3xm3xkdxi6xj I xm - ^I I ^ - ^ I I^ - x I ^^) + '

V

Левая часть (10) вместе с первыми четырьмя слагаемыми представляет собой уравнения Ламе для термоупругой среды. Другие слагаемые в правой части (10) учитывают эффекты нелокальности и момент-ность напряженного состояния. Подобное разложение, естественно, возможно и для уравнений (4)-(8).

Вид используемой в основных соотношениях функции I x' - xI) может быть следующим [10]:

1 3 1 n(x' x ) 1) ш(Ix' - xI) = — |T —--sin-i-— при I x' - xI < a;

п3 A ^xx, — x a

i=l i

4) <р(|ж' - x|)

2) р(|*' - x|)

3) р(|*' - x|)

a J

0 при |X — x| > a;

0 при — x| > a;

где k = const; l — характерный размер; n — размерность задачи.

Полученные формы записи уравнений движения позволяют учесть основные особенности при нестационарном деформировании материалов с малоразмерной структурой.

Работа выполнена по гранту НШ-255.2012.8 Программы Президента РФ поддержки ведущих научных школ.

ЛИТЕРАТУРА

1. Введение в микромеханику / Онами М., Ивасимидзу С., Гэнка К. и др.: пер. с япон. М.: Металлургия, 1987. 280 с.

2. Амбарцумян С.А., Белубекян М.В. Прикладная микрополярная теория упругих оболочек. Ереван: Гитутюн, 2010. 136 с.

3. Кривцов А.М.Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой. М.: Физматлит, 2007. 304 с.

4. Пул-мл. Ч., Оуэнс Ф. Нанотехнологии: М.: Техносфера, 2006. 336 с.

5. Старостин В.В. Материалы и методы нанотехнологий. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. 431 с.

6. Кувыркин /Ж.Математическая модель нелокальной термовязкоупругой среды. Ч. 1. Определяющие уравнения // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2013. № 1. C. 26-33.

7. Кувыркин /НМатематическая модель нелокальной термовязкоупругой среды. Ч. 2. Уравнение теплопроводности // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2013. № 2. C. 102-111.

8. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред: пер. с англ. М.: Мир, 1975. 592 с.

9. Зарубин В.С., Кувыркин /Ж.Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 512 с.

10. Eringen A.C. Nonlocal continuum field theories. New York-Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 2002. 393 p.

[1] Onami M., Ivasimidzu S., Genka K. Vvedenie v mikromekhaniku [Introduction to micromechanics]. Moscow, Metallurgiya Publ., 1987. 280 p.

[2] Ambartsumyan S.A., Belubekyan M.V. Prikladnaya mikropolyarnaya teoriya uprugikh obolochek [Applied micropolar theory of elastic shells]. Erevan, Gitutyun Publ., 2010. 136 p.

REFERENCES

[3] Krivtsov A.M. Deformirovanie i razrushenie tverdykh tel s mikrostrukturoy [Deformation and fracture of solids with microstructure]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2007. 304 p.

[4] Poole C.P., Owens F.J. Introduction to nanotechnology. New Jersey, John Wiley & Sons, 2003. 400 p. (Russ. ed.: Pul Ch., Ouens F. Nanotekhnologii. Moscow, Tekhnosfera Publ., 2006. 336 p.).

[5] Starostin V.V. Materialy i metody nanotekhnologiy [Materials and methods of nanotechnology]. Moscow, BINOM Publ., 2010. 431 p.

[6] Kuvyrkin G.N. Mathematical model of a nonlocal thermoviscoelastic medium. Part

1. Governing equations. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Ser. Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ. Ser. Nat. Sci.], 2013, no. 1, pp. 26-33 (in Russ.).

[7] Kuvyrkin G.N. Mathematical model of a nonlocal thermoviscoelastic medium. Part

2. The heat equation. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Ser. Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ. Ser. Nat. Sci.], 2013, no. 2, pp. 102-111 (in Russ.).

[8] Truesdell C.A. A First Course in Rational Continuum Mechanics. New York, Academic Press, 1977, 303 p. (Russ. ed.: Trusdell K. Pervonachal'nyy kurs ratsional'noy mekhaniki sploshnykh sred. Moscow, Mir Publ., 1975. 592 p.).

[9] Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Matematicheskie modeli mekhaniki i elektrodinamiki sploshnoy sredy [Mathematical models of continuum mechanics and electrodynamics]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2008. 512 p.

[10] Eringen A.C. Nonlocal continuum field theories. New York, Springer-Verlag, 2002. 393 p.

Статья поступила в редакцию 7.06.2012

Георгий Николаевич Кувыркин — д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой "Прикладная математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 160 научных работ в области прикладной математики и математического моделирования термомеханических процессов в материалах и элементах конструкций.

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

G.N. Kuvyrkin — D. Sc. (Eng.), professor, head of "Applied Mathematics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of more than 160 publications in the field of applied mathematics and mathematical simulation of thermomechanical processes in materials and construction members.

Bauman Moscow State Technical University, Vtoraya Baumanskaya ul., 5, Moscow, 105005 Russian Federation.