CC BY
26
613.26:616-004.8
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА СЕЛЕКТИВНОЙ ДЕЗИНТЕГРАЦИИ
РАСТИТЕЛЬНОГО СЫРЬЯ
С.Д. РУДНЕВ, О.Е. РЫБИНА
Кемеровский технологический институт пищевой пром ышленности
Селективная дезинтеграция растительного сырья -важнейшая стадия переработки природных растительных ресурсов при получении полноценных полуфабрикатов или конечной продукции. Селективность дезинтеграции заключается в том, что при подводе внешней механической энергии морфологически сложные объекты, состоящие из анатомических частей, резко отличающихся друг от друга физико-механическими свойствами, разрушаются в разной степени, причем преимущественно по границам контакта различных структур [1]. Селективное дробление и измельчение -основа большинства технологических схем переработки сельхохырья в мукомольной, комбикормовой, масложировой и других отраслях, производящих массовый выпуск продукции народного потребления, обеспечивающих животноводческий комплекс страны полноценными сбалансированными по составу кормами.
Большое разнообразие объектов измельчения привело к тому, что исследователями решались частные задачи селективной дезинтеграции зерна злаковых, масличных культур и т. п. В данной работе представлена попытка создания обобщенной модели селективной дезинтеграции растительного сырья на основе стохастического подхода - теории цепей Маркова [2, 3].
Адекватность описания процесса измельчения с помощью математического аппарата марковских процессов определяется тем, что изменение во времени наблюдаемых в процессе измельчения величин отвечает основным постулатам данной теории. В соответствии со сложившейся классификацией [1] марковские процессы делят на дискретные в пространстве и во времени, дискретные в пространстве и непрерывные во времени, непрерывные в пространстве и во времени. На наш взгляд, селективная дезинтеграция соответствует дискретным и дискретно-непрерывным марковским процессам, которые описываются уравнением Колмогорова - Чепмена [2]
Р (х, 0=# Р (х, ( •*, 0- (1)
В уравнении Рп(х, 0 - величина представляющая собой вероятность того, что в момент времени t обрабатываемый материал находится в некотором состоянии Еп, тогда как в предшествующий момент времени х он находился в состоянии Е. Кроме того, возможны переходы из состояния Еу в любое другое состояние Еп.
Переходные вероятности Рп(х, ^ должны удовлетворять следующим условиям:
Рк(х,0 ; #Рл(х,^= 1 (2)
Переход из состояния Е в момент времени х в состояние Еп в момент времени t происходит через промежуточное состояние Еу в некоторый промежуточный момент времени 5.
Для описания селективной дезинтеграции растительного сырья примем следующие условия. Объекты разрушения состоят из двух разнопрочных компонентов, поверхностно связанных друг с другом. При равных силовых воздействиях менее прочный компонент разрушается в большей степени, причем первичная новая поверхность образуется по границам взаимодействия компонентов в исходных частицах. Граф состояния бикомпонентного сыпучего материала, находящегося в рабочей зоне измельчителя, представлен на рисунке (С0 - начальное состояние сыпучей среды, состоящей из бикомпонентных частиц; С0п - промежуточное состояние, когда произошло частичное разрушение и отделение компонентов от исходных частиц, п -е количе -ство частиц еще не разрушено; С и С2 - отделенные друг от друга селективным разрушением компоненты, находящиеся в полиморфном полидисперсном сыпучем материале - финишном состоянии сыпучей среды; Ао1 и 1п1 - вероятности перехода сыпучей среды из состояния С0 и С0п в состояние С\, соответствующие интенсивности отделения менее прочного компонента от бикомпонентных частиц; 102 и 1п2 - интенсивность пе -рехода более прочного компонента в свободное состояние; 10п - интенсивность убывания суммарной поверхности контакта двух структур в исходном бикомпо-
нентном материале). Граф построен на условии постоянства количества вещества, единовременно находящегося в силовом поле.
Составим систему дифференциальных уравнений, подобных (1) и определяющих вероятности Р0(ґ), Р0п(ґ), Р1(^) и Р2(ґ) того, что система в любой момент времени ґ будет находиться в состоянии Со, Соп, Сі или Со:
Ро'( 0 = & 101 +І02 + К, )Ро (ґ);
Р%( ґ)" 1оіРо ( ґ)+1пі Роп ( ґ);
Р%( ґ)" І02Ро ( ґ)+ 1,2 Роп ( ґ);
Ро'п ( ґ)"& 1пі +1п2 )Роп ( ґ)+ 1опРо ( ґ).
(3)
В начале процесса, когда t = 0, Р0(/) = 1, Р0п(0 = 0, Р^) = 0, Р2(0 = 0.
Решая систему дифференциальных уравнений (3) с учетом начальных условий при t ® ¥, получим
Р " Р " 0 • Р "
о оп 1
Р2 "
К01 (К 1 + К2 ) + К1 Кп • (К01 + К02 + К0И ) ( К1 + К2 ) 102 ( К1 + К2 )+ К2 К0И ( К01 + К02 + К0И ) ( К1 + К2 )
(4)
Каждую из вероятностей перехода 1 можно объяснить с точки зрения реально протекающего процесса, т. е. придать физический смысл скорости в кинетическом процессе [1]. Вероятность перехода сыпучей среды из исходного состояния С0 в промежуточное состояние С0п является скоростью раскрытия поверхности контакта компонентов в исходных частицах, скоростью образования новой поверхности при отделении компонентов друг от друга или скоростью селективного измельчения. Обозначим ее 1£. Очевидно, что
(5)
Учтем тот факт, что частицы отделенных друг от друга компонентов, находясь в силовом поле измельчителя, продолжают разрушаться. Следовательно, справедливы равенства
(6)
3К + 2К
р1= . . ^ \ х; р2"-
3КХ + 2К2
. (7)
6kX + 2( К1 + К2) 6КХ + 2 ( К1 + К2)
Функции вероятности Р0(ґ), Р1(ґ) и Р2(ґ) адекватно выражаются через фу нкции изменения площадей соответствующих поверхностей во времени
Ро (ґ)" Xоп ( ґ)^о; Р ( ґ) "X1 (ґ)(Xо + X1);
Р2 (ґ)" X 2 (ґ)/( X о + X 2), (8)
где Xо - исходная суммарная площадь поверхности контакта компо -нентов в исходных частицах; Xо(ґ) - функция уменьшения Xо во вре-
мени; Sl(t) и £2(0 - функции прирастания площадей поверхности отделенных друг от друга компонентов во времени; £1 и £2 - конечные значения функций £ 1(0 и £2(0.
По условию нормировки Р0(0 + Р1 (t) + Р 2^) = 1, следовательно, в промежуточный момент времени
X о ( ґ) X 1 ( ґ) X 2 ( ґ)
Xо Xо +Xl
X о + X 2
" 1 ,
(9)
а при ґ ® ¥, когда процесс переходит в стационарный режим:
X 1 ( ґ) + X 2 ( ґ) " 1 X о + X 1 X о + X 2 .
(10)
Проведя подстановку (8) в (7), получим выражения для функций изменения площадей поверхности для отдельных компонентов
*. (' )— X,(() —
( X” о + X” і) (3 К + 2К і);
6К х + 2 (К 1 + К 2)
( X о + X 2 )(3 Кх + 2К 2 ) 6Кх + 2(К! + К2 )
(11)
где К1 и К - скорости прирастания поверхности отделенных друг от друга компоненто в.
С учетом (5) и (6) выражения (4) запишутся следующим образом:
Определению интенсивностей К1 и К2 - кинетических функций измельчения простых по составу однокомпонентных сыпучих сред - посвящено множество аналитических и экспериментальных работ по измельчению.
Следующим этапом проработки модели является определение интенсивности (скорости) К как кинетического параметра процесса - функции селективного измельчения.
Функция измельчения - важнейшая характеристика процесса измельчения сыпучих сред, позволяющая прогнозировать крупность частиц за определенное время механического воздействия. Традиционно функцию измельчения трактуют как скорость уменьшения начального среднего размера частиц сыпучей среды, и лишь в 1980-х гг. исследователи обратили внимание, что кинетические уравнения для поверхности материала имеют более наглядный вид и значительно более удобны в использования. Кроме того, следуя трактовке процесса разрушения, предложенной и развитой Гриф-фицем, Риттингером и Ребиндером, как образования новой поверхности, кинетическая функция измельчения есть скорость образования новой поверхности в сыпучем материале.
Начальная поверхность контакта компонентов Xo является исходным параметром при селективном измельчении и определяется из средней площади контакта в единичных телах X(1) и общего числа частиц т0, подвергающихся разрушению:
X 0 — X (1)то.
(12)
Кинетическая функция неразрывно связана с распределительной функцией /(х), описывающей пропорциональное распределение частиц по фракциям. Преобразуем функцию/х) в поверхностную/(£):
f(S)= /(kx2)
(13)
где к - коэффициент формы частицы; х - текущий характерный раз -мер; £ - текущий размер площади поверхности.
Предположим, что к известному количеству бикомпонентного материала массой М0 подводится энергия, в результате чего часть частиц селективно разрушается, образуя новую поверхность по границам контакта компонентов. Прибавленная (вновь образованная) поверхность составит
/S ,)dS = 1s/(S)dS/(So -Sn) ,
(14)
dE =
°0
2 F(S)dS
Xs/(S )dS
(S 0 - Sn )
(15)
понентов; и - работа деформации и разрушения отдельных компонентов.
Коэффициент с£ имеет размерность Дж • с и показывает изменение распределения энергии во времени при селективном разрушении. Параметры, входящие в выражение (19), разбиты на два множителя: первый является функцией убывания неразрушенных частиц в сыпучем материале, второй характеризует перераспределение энергии в самих частицах.
Проведя подстановку (18) в (17) и интегрирование, получим конечное выражение для кинетической функции селективного разрушения
где £ - текущее значение поверхности; 1£ - кинетическая функция; £0 и £п - начальная и конечная (сохранившаяся в частицах к концу процесса) поверхности взаимодействия компонентов в частицах.
Пусть характер распределения энергии в частицах задан функцией Е(£). Тогда энергетические затраты на образование новой поверхности определяются выражением
E(So - Sn)
Cs (So - Sn)
ln(S „/ Sn) - j_
S 0
so - Sn
или
. = Elcs
S ln(S „/Sn)
s o - Sn
(20)
S o
Опираясь на работу [4], будем считать, что энергия Е, подводимая к материалу, распределяется пропорционально содержанию фракций
dE = E/ (S )dS.
(16)
Количество энергии, подведенной к материалу и воспринятой им, будем считать равным, т. е. приравняем формулы (15) и (16) и выразим кинетическую функцию селективного измельчения 1 из (14)
1s = E(S o - Sn) 2 F( S )dS.
(17)
Функция Р(£) по своей физической сущности является энергетическим законом измельчения твердых тел. Для процесса селективного разрушения наиболее приемлем закон Риттингера, согласно которому энергия разрушения пропорциональна вновь образованной поверхности. Следовательно, Р(£) имеет вид
F(S )=<
(18)
где с£ - размерный коэффициент пропорциональности, учитываю -щий распределение энергии при деформировании и разрушении отдельных частиц, который можно представить в следующем вице:
E&D
(m0e- Pt )AG/U
(1+ Pt) (E-D)
m0 AG/U ’
(19)
где Е - подводимая рабочими органами энергия; О - диссипация энергии в сыпучей среде; т0 - число частиц в рабочем пространстве; е-р - функция уменьшения количества неразрушенных частиц во времени; t - текущее время; Р - численный параметр, определяемый эмпирически; АО - прочность поверхностного взаимодействия ком -
Подстановка (20) в (11) с использованием известных выражений 11 и 12, например из [4], позволяет получить полноценную модель селективной дезинтеграции сыпучих сред, состоящих из бикомпонентных частиц, различные структуры которых поверхностно связаны между собой. Дальнейшая детализация модели возможна при рассмотрении отдельных параметров, входящих в выражение для размерного коэффициента с8 (19). Так, трение в сыпучих средах, взаимодействие материала с рабочими органами учитывает параметр D
- диссипация энергии в сыпучей среде.
В результате проведенных аналитических исследований математическая модель, полученная с использованием аппарата марковских процессов, преобразована в модель, содержащую только физические параметры, а выражение для кинетической функции селективного измельчения позволяет теоретически выразить производительность селективной дезинтеграции для конкретных условий переработки растительного сырья.
ЛИТЕРАТУРА
1. Попов А.М., Руднев С.Д., Рыбина О.Е. О селективном измельчении, селективности измельчения и селективной функции // Изв. вузов. Пищевая технология. - 2006. - № 5. - С. 42-44.
2. Дынкин Е.Б. Основания теории марковских процессов.
- М., 1959. - 364 с.
3. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их применение. - М.: Наука, 1969. - 286 с.
4. Мизонов В.Е, Шувалов С. И., Жуков В.П. О структуре селективной функции при различных законах измельчения // Цвет -ные металлы. - 1983. - № 11. - С. 73-74.
Кафедра машин и аппаратов пищевых производств
Поступила 14.06.07 г.
1
S
