Моделирование процесса построения систем с полным спарком Текст научной статьи по специальности «Математика»

Моделирование процесса построения систем с полным спарком

Ивкин А. Н.

Ивкин Андрей Николаевич /Ыт Лпдгеу МЫаеугеН — аспирант, кафедра теории вероятностей и математической статистики, механико-математический факультет, Самарский национальный исследовательский университет имени академика С. П. Королева, г. Самара

Аннотация: в статье рассмотрена актуальная проблема построения конечномерных пространств для восстановления сигналов. Предложен метод построения систем с полным спарком, так как есть необходимость построения такой модели при восстановлении сигнала. Ключевые слова: фрейм, жесткий фрейм, нормированный фрейм, полный спарк.

Проблема построения конечномерных пространств и восстановление сигналов появилась в конце XX века. Как следствие появляется теория фреймов, включающая в себя понятие систем с полным спарком. Теория фреймов строится на основе существующей математической теории, особенно используются такие математические объекты как матрица Вандермонда и дискретное преобразование Фурье. Немаловажным представляется изучение и построение моделей полного спарка с целью применения их при восстановлении сигнала.

Семейство векторов { р¡} ^ 1в N -мерном гильбертовом пространстве Км представляет собой фрейм, если существуют постоянные 0 < А < В < со, такие что для всех х Е Км, А | I х | | 2<£ Г= 1 I <х,р ;> I 2<В | | х | | 2 (1)

Где А и В являются нижней и верхней границей фрейма, соответственно. Наибольшее значение А и наименьшее значение , удовлетворяющие неравенству, называются оптимальными границами фрейма [1].

Если А = В возможно, тогда { р ¡} ^ 1 называется жестким фреймом [3]. Если Л=Б=1 возможно, тогда называется фреймом Парсеваля.

Если | | р; | | = 1 для любого £ Е [М] тогда {(;}?! ! называется нормированным фреймом [2]. Спарком матрицы / называется размер наименьшей линейно зависимой подгруппы столбцов : 5раг к (/) = гшп{ | | х | | 0 :/х = 0 ,х * 0}, (2)

Матрицы / размера М х N является системой с полным спарком если этот спарк настолько велик на сколько возможно т.е.: 5р агк (/) = М + 1 (3)

Рассмотрим предложенный метод построения систем с полным спарком. Пусть N - простое, выберем любые М < N строк матрицы дискретного преобразования Фурье N х N чтобы сформировать гармонический фрейм Я, что бы сформировать гармонический фрейм Я. Затем выберем любое к < М, и возьмем диагональную матрицу О :МхМ, где первые к диоганальных

Ы+к-М ., /я+к

элементов это I-и где остальные М — К элементов это I-.

МА7 МЛ/

Затем объединение О Я с первыми к идентичными базисными элементами производит М х ( N + К) полный спарк нормированного жесткого фрейма [4].

Пример: N = 3 , к = 1, мы можем выбрать М = 2 строк дискретного преобразования Фурье

0

матрицы размера N х N. Возьмем нулевую и вторую строку. В этом случае О =

о Л

Конкатенация с первым базисным элементом производит равноугольный жесткий фрейм который является полным спарком:

F =

1 1

3 Л 3 Л

Л

2 2

3 Л 3 Л

Л

\

1

2

3 °/

Таким образом, реализована модель построения систем с полным спарком.

Литература

1. Balan R., Bodmann B. G., Gasazza P. G., Edidin D. Fast algorithms for signal reconstruction without phase, Proceedings of SPIE-Wavelets XII, San Diego 6701(2007) 670111920- 670111932.

2. Balan R. Equivalence relations and distances between Hilbert frames. Proc. Amer. Math. Soc., 127 (8): 2353-2366, 1999.

3. Balan R., Bodmann B. G., Gasazza P. G., Edidin D. Painless reconstruction from magnitudes of frame coefficients, preprint.

4. Alexeev Boris, Cahill Jameson and Mixon Dustin G. Full spark frames, arXiv: 110.3548v2 [math.FA], 9 Apr., 2012.

Моделирование стационарного критического тока в пленках высокотемпературных сверхпроводников Другов А. А.

Другов Антон Александрович /Drugov Anton Aleksandrovich - студент, кафедра высшей математики №1, Национальный исследовательский университет Московский институт электронной техники, г. Москва

Аннотация: в статье проводится детальное исследование задачи о депиннинге Абрикосовского вихря. Проводится численное моделирование и вычислительный эксперимент по исследованию стационарного состояния вихря в поле дефекта. Рассчитывается критическое значение средней плотности тока. Ключевые слова: высокотемпературный сверхпроводник, вихри Абрикосова, критический ток, решение нелинейной задачи.

Введение

С появлением высокотемпературных сверхпроводников усилился интерес в их практическом применении для передачи энергии и создания мощных сверхпроводящих электромагнитов для ускорителей. Достаточно сильные магнитные поля, которые способны выдерживать эти сверхпроводники, позволяют использовать их в различного типа устройствах для создания сильного магнитного поля — системах магнитной подвески транспортных средств, устройствах удержания плазмы в термоядерных реакторах и т. д.

Существенным является вопрос максимального значения тока, при котором проводник сохраняет свои сверхпроводящие свойства. Токонесущая способность сверхпроводящего материала определяется значением максимальной (критической) плотности тока jc, который может протекать в сверхпроводнике без диссипации энергии [1].

Величина jc в сверхпроводниках зависит от способности материала закреплять вихри Абрикосова, движение которых приводит к появлению электрического поля в сверхпроводнике и, соответственно, его электрического сопротивления [2]. Наиболее эффективными центрами закрепления вихрей - пиннинга -служат протяженные линейные дефекты с радиусом, соизмеримым с длиной когерентности сверхпроводящего состояния (последняя для ВТСП материалов составляет единицы нанометров).

В этой связи актуальным является решение задачи об оценке и расчёте критического тока. В работе [3] был выполнен теоретический анализ этой проблемы. Получена теоретическая зависимость критического тока. Численным моделированием обнаружен порог неустойчивости связанного состояния вихря при увеличении тока, приводящей к депиннингу вихревой нити для конкретно заданных значений.

В настоящей работе выполнено дальнейшее и более детальное исследование рассматриваемой задачи о депиннинге Абрикосовского вихря. Проводится численное моделирование и вычислительный эксперимент по исследованию стационарного состояния вихря в поле дефекта. Рассчитывается критическое значение средней плотности тока.

Краевая задача

Задача о деппининге Абрикосовского вихря рассматривается в рамках классической механики как задача о поведении упругой вихревой струны, помещенной в потенциальную яму, создаваемую

линейным дефектом, и подверженной действию силы Лоренца Fl ( z) = [j( z) хф0] на вихрь в поверхностном экранирующем слое шириной X вблизи поверхности образца, где X - лондоновская

глубина проникновения, ф0 - квант потока, j(z)- мейсснеровский ток.

9