Модель построения равноугольного жесткого фрейма Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Модель построения равноугольного жесткого фрейма

Ивкин А. Н.

Ивкин Андрей Николаевич /Ivkin Andrey Nikolaevich - аспирант, кафедра теории вероятностей и математической статистики, механико-математический факультет, Самарский национальный исследовательский университет имени академика С. П. Королева,

г. Самара

Аннотация: в статье рассмотрена актуальная проблема построения конечномерных пространств для восстановления сигналов. Предложен метод построения равноугольного жесткого фрейма, который является системой с полным спарком, так как есть необходимость построения такой модели при восстановлении сигнала.

Ключевые слова: фрейм, жесткий фрейм, нормированный фрейм, полный спарк.

Проблема построения конечномерных пространств и восстановление сигналов появилась в конце XX века. Как следствие появляется теория фреймов, включающая в себя понятие систем с полным спарком. Теория фреймов строится на основе существующей математической теории, особенно используются такие математические объекты как матрица Вандермонда и дискретное преобразование Фурье. Немаловажным представляется изучение и построение моделей полного спарка с целью применения их при восстановлении сигнала.

Семейство векторов {<р ¡}Ji хв N -мерном гильбертовом пространстве J~CN представляет собой фрейм, если существуют постоянные , такие что

для всех х 6 J~C N,

A | I х | | 2<£Г= ! | <х,^> | 2<В | | х | | 2 (1) Где А и В являются нижней и верхней границей фрейма, соответственно. Наибольшее значение А и наименьшее значение В, удовлетворяющие неравенству, называются оптимальными границами фрейма [1].

Если A = В возможно, тогда { JJi1 называется жестким фреймом [3]. Если A=B=1 возможно, тогда называется фреймом Парсеваля.

Если для любого тогда называется нормированным

фреймом [2].

Спарком матрицы F называется размер наименьшей линейно зависимой подгруппы столбцов:

5раг/с (F) = min { | | х | | 0 :Fx = 0,х Ф 0} , (2) Матрицы F размера М х N является системой с полным спарком если этот спарк настолько велик на сколько возможно т.е.:

5р аг/с (F) = М + 1 (3) Рассмотрим предложенный метод построения систем с полным спарком. Пусть N - простое, выберем любые М < N строк матрицы дискретного преобразования Фурье N х N, чтобы сформировать гармонический фрейм Я, что бы сформировать гармонический фрейм Я. Затем выберем любое /с < М, и возьмем диагональную

Г. W W 7 IN+k-M

матрицу 0:М хМ, где первые /с диоганальных элементов это ^ | ——— и где

остальные М — К элементов это

Затем объединение £>Я с первыми /с идентичными базисными элементами производит М х (N + К) полный спарк нормированного жесткого фрейма [4].

Пример: N = 3 , к = 1 , мы можем выбрать М = 2 строк дискретного преобразования Фурье матрицы размера N х N. Возьмем нулевую и вторую строку. В

/Ё о\

этом случае D =

\

О

Конкатенация с первым базисным элементом

производит равноугольный жесткий фрейм, который является полным спарком:

/

F =

\

1

I 1

\

2

I °

Таким образом, реализована модель построения систем с полным спарком.

Литература

1. Balan R., Bodmann B. G., Gasazza P. G., Edidin D. Fast algorithms for signal reconstruction without phase, Proceedings of SPIE-Wavelets XII, San Diego 6701(2007) 670111920-670111932.

2. Balan R. Equivalence relations and distances between Hilbert frames. Proc. Amer. Math. Soc., 127 (8): 2353-2366, 1999.

3. Balan R., B. G. Bodmann, P. G. Gasazza, D. Edidin Painless reconstruction from magnitudes of frame coefficients, preprint.

4. Boris Alexeev, Jameson Cahill and Dustin G. Mixon. Full spark frames, arXiv: 110.3548v2 [math.FA] 9 Apr. 2012.