CC BY
27
2017
Математика и механика
№ 48
УДК 514.8, 621.8
Б01 10.17223/19988621/48/3
Н.Р. Щербаков, А.А. Щёголева
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ЗУБЬЕВ КОНТАКТИРУЮЩИХ ДЕТАЛЕЙ ГИПОИДНОЙ ПЕРЕДАЧИ
Гипоидные передачи предназначены для передачи вращения между скрещивающимися валами и характеризуются повышенной нагрузочной способностью, плавностью хода и бесшумностью работы. Базовыми поверхностями такой передачи являются однополостные гиперболоиды вращения. В работе получены точные аналитические уравнения поверхности зуба входной детали S, а поверхность зуба выходной детали найдена как огибающая семейства поверхностей S.
Ключевые слова: гипоидная передача, огибающая семейства поверхностей.
Гипоидные передачи занимают важное место в большом многообразии зубчатых передаточных механизмов. Главная особенность гипоидной передачи - скрещивающиеся оси вращения базовых поверхностей - однополостных гиперболоидов вращения (аксоидов). Такое расположение осей позволяет обеспечить плавность хода, бесшумность работы и повышенную нагрузочную способность механизма (рис. 1).
Рис. 1. Расположение шестерни (справа) и колеса (слева) гипоидной передачи Fig. 1. Position of the gear (right) and wheel (left) of the hypoid gear
Авторами [1] для случая, когда вектора осей аксоидов перпендикулярны, получены условия касания таких гиперболоидов по прямолинейной образующей; доказано, что при заданных величинах смещения осей гиперболоидов и передаточного отношения параметры базовых поверхностей определяются однозначно. В данной статье приведены уравнения поверхностей зубьев входной и выходной деталей (шестерни и колеса соответственно) гипоидной передачи с перпендикулярными осями вращения этих деталей, причем поверхность зуба колеса получена как огибающая семейства поверхностей, образующегося при движении поверхности зуба шестерни во время работы механизма. Теория огибающих используется в теории механизмов и машин в основном при проектировании режущей части инструмента для обработки зубьев деталей [2]. Авторами [3] были получены уравнения поверхности зуба колеса как огибающей для гипоидной передачи с коническими аксоидами.
Уравнения поверхности зуба шестерни
Пусть ось колеса направлена по оси 02, а ось шестерни параллельна оси ОХ и смещена в направлении оси ОУ на величину Бш. Тогда уравнение аксоида шестерни можно записать в виде
(у + Бш )2 + г2 _ х^ = .
2 2 = ^ а с
где а - радиус горловой линии этого гиперболоида. Как доказано в [1], если ак-соиды касаются по прямолинейной образующей, то а и с выражаются через Бш и передаточное отношение /:
а =
/ Бш 1Т+1'
с =
IБш 1Т+1'
Для построения поверхности зуба шестерни запишем уравнение ее базового гиперболоида без смещения по оси ОУ:
2 2 2 у2 + г2 _ = 1
2 2 = а с
(1)
и рассмотрим сечение этого гиперболоида сферой некоторого радиуса Я с центром в начале координат. Это сечение есть окружность, радиус которой е, как показано в [1], равен
е=а
Я 2 + с2 а 2 + с 2
В [1] этот радиус обозначался гь а через г2 был обозначен радиус окружности пересечения гиперболоида колеса со сферой. Отношение радиусов этих окружностей равно передаточному отношению
. = е
Поверхность зуба шестерни будем строить как семейство окружностей уменьшающихся радиусов следующим образом.
1. Наибольшая окружность сечения зуба имеет радиус р и лежит на сфере радиуса Я, а центр этой окружности проектируется из центра сферы в точку окружности радиуса е. Параметрические уравнения этой наибольшей окружности окг (а) можно поручить поворотом вокруг оси ОУ на угол агсБш(е/Я) окружности радиуса р с центром на оси ОХ:
окг(а)=
Я 0
е Я 0
_— 0
Я
р соб а р бш а
(здесь и далее параметрические уравнения кривых и поверхностей будем писать в виде вектор-функций одного или двух аргументов соответственно).
2. Поверхность зуба шестерни будем получать винтовым движением окружности окг (а) вокруг оси ОХ с одновременным уменьшением радиуса этой окружности, при этом центры окружностей семейства должны лежать на гиперболоиде (1),
г
2
т.е. образовывать винтовую линию на этом гиперболоиде. Запишем параметрические уравнения гиперболоида (1):
С с бИ и Л
Hb(u, и) =
a chu cosи a ch u sin и
(2)
Пусть размер шестерни по оси ОХ равен 1г. Тогда, обозначая
г с
f (и) = Arsh
z
+—и 2п
Arsh
4R2 -е2 -
lr
\
Í
- Arsh
VR2-
где и = 0,..2n/z (z - число зубьев шестерни), lr - длина зуба шестерни (по оси OX), отрезок винтовой линии на поверхности (2) с длиной lr по оси OX можно записать в виде
( c sh( f (и)) I Wint (u) = a ch( f (и)) cos и I. (3)
v a ch( f (u)) sin и,
3. Из (3) видно, что при изменении параметра u = 0,...,2n/z точки винтовой линии будут лежать на окружностях уменьшающихся радиусов:
eu(u) = a ch( f (u)), (4)
а эти окружности - на концентрических сферах, радиусы Ru(u) которых должны удовлетворять соотношению
с sh( f (u)) =4Ru(u)2 - eu(u)2 ,
из которого с учетом (4) получаем зависимость уменьшения радиуса сферы от изменения параметра u:
Ru(u) = 4c2sh2 (f (u)) + a2ch2 (f (u)) . (5)
Наконец, уменьшение окружности сечения зуба шестерни при изменении параметра u запишем в виде
ри(и) = —еи(и).
е
Теперь можно записать уравнения поверхности зуба шестерни:
(10 0 Л
0 cos и - sin и ,0 sin и cos и ,
(6)
Sub(u, а) = ((V Ru(u)2 -еи(и)2
Ru(u) 0
еи(и) Ru(u)
еи(и) Ru(u) 0
Vru(u)2 -.
еи(и)
Л Л
( 4 Ru(u)2-ри(и)2 Л pu(u)cos а pu(u)sina
Ru(u)
(7)
х
Уравнения поверхности зуба колеса
Поверхность зуба колеса будем искать как огибающую семейства поверхностей (7). Это семейство образовано вращением поверхности (7) вокруг оси ОХ с одновременным поворотом вокруг оси О2 (после сдвига вдоль оси ОУ на величину Бш). Причем, если первый поворот происходит на угол т, то второй - на угол -т/г, где г - передаточное отношение. Параметрические уравнения описанного семейства поверхностей запишем в виде
Л
Sem (т, и, а) =
cos(t/í ) -sin( т/0
sin (т/г) 0
cos (т/г) 0
0 ^ 0 1
Г1
0 0
0
cos т -sin т
0 ^
Sin т cos т
Sub(u, а) -
/
Г о ^
Sm 0
(8)
Согласно теории огибающих, требование наличия огибающей у семейства поверхностей приводит к условию понижения ранга матрицы якобиана функции, определяющей это семейство [4]. Для функции (8) это условие можно записать в виде обращения в нуль смешанного произведения частных производных вектор-функции (8) по всем трем параметрам:
(Sem 'т, Sem ;, Sem 'а) = 0 . (9)
Обозначим через Ws двойное векторное произведение
Ws = [[Sub а x Sub и ] X Sub] а через Ns - вектор нормали к поверхности зуба шестерни:
Ns = Sub'v x Sub'a . Тогда уравнение (9) можно переписать в виде
Ws2 cosT-Ws1 sinт-(г Ws0 +SmNs0) = 0 , (10)
где нижний индекс у вектор-функций означает соответствующую координату этой вектор-функции, т.е. коэффициенты этого уравнения являются скалярными функциями от параметров и и а. Уравнение (10) является стандартным тригонометрическим уравнением, которое при условии
i Ws0 + Sm Ns0
¡Ws 2 +Ws 2
V 2
имеет решение относительно т, т.е. при этом условии из уравнения (10) можно выразить параметр т через и и а:
т = Ж а)
(явный вид Ди, а) получается обычным образом с помощью введения вспомогательного угла ф = акс§(_№&1/№2)). Подставляя /(х>, а) в (8) вместо т, получаем
уравнение огибающей, т.е. уравнение поверхности зуба колеса. Уравнение характеристики [4], т.е. линии, по которой огибающая касается некоторой поверхности семейства Бет(С, и, а), получится, если в уравнение огибающей подставить выражение и через а из условия
I (и, а) = С.
Эта задача решена численно для С = 0, в результате получена линия, по которой касаются поверхности зубьев деталей, изображенная на рис. 2.
Рис. 2. Поверхности зубьев шестерни и колеса (огибающая) гипоидной передачи
в контакте. Показана линия контакта (характеристика) Fig. 2. Surfaces of gear and wheel teeth (envelope) of the hypoid gear in the contact. The curve is the line of contact (characteristic)
ЛИТЕРАТУРА
1. Щербаков Н.Р., Щеголева А.А. Касание однополостных гиперболоидов вращения как аксоидов гипоидной передачи // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2017. № 47. С. 37-42.
2. Люкшин В.С. Теория огибающей семейства поверхностей (применительно к проектированию режущих инструментов). М., 1963. 267 с.
3. Щербаков Н.Р., Захаркин Н.В. Геометрическое моделирование поверхности детали передаточного механизма как огибающей // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2012. № 4(20). С. 50-55
4. Залгаллер В.А. Теория огибающих. М.: Наука, 1975. 104 с.
Статья поступила 24.02.2017 г.
Shcherbakov N.R., Shchegoleva A.A. (2017) MODELING OF TEETH SURFACES OF CONTACTING DETAILS OF A HYPOID GEAR. Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 48. pp. 30-35
DOI 10.17223/19988621/48/3
Hypoid gears are intended for transmitting the rotation between skew shafts and are characterized by higher loading capacity, ease of movement, and operation quietness. Base surfaces (axoids) of such a gear are hyperboloids of revolution of one sheet. The surface of the tooth of the input component S is obtained by helical motion of a circumference around the detail axis of rotation with a simultaneous decrease in the radius of this circumference; at the same time, centers of circumferences of the family must lie on the axoid of the input component, i.e., form a helical line on this hyperboloid. In this work, exact analytical equations of the surface S are obtained and the input component tooth surface is found as an envelope of the family of surfaces S. This family is formed by rotations of the surface S around the axis of rotation of the input detail with a simultaneous rotation around the axis of the output detail (after a shift to the distance between the axes). The first and second rotations are performed at angles т and -т/i, respectively, where i is the gearing ratio. Parametric equations of the tooth contact line as a regular curve along which the envelope is tangential to the surface of the family (the characteristic) are obtained.
Keywords: hypoid gear, envelope of a family of surfaces.
SHCHERBAKOVNikolayRomanovich (Doctor of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: nrs@math.tsu.ru
SHCHEGOLEVA Anastasija Andreevna (Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: nschegoleva@sibmail.com
REFERENCES
1. Shcherbakov N.R., Shchegoleva A.A. (2017) Kasanie odnopolostnych giperboloidov vrachenija kak acsoidov gipoidnoj peredachi [Tangency of one-sheeted hyperboloids as axsoids of the hypoid gearing]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mechanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 47. pp. 37-42.
2. Ljukchin W.S.(1963) Teorija ogibajushej semejistwapoverchnosteji. Moscow.
3. Shcherbakov N.R., Zakharkin N.V. (2012) Geometricheskoe modelirovanie detail peredatochnogo mechanism kak ogibajusheji [Geometrical simulation oft the surface of the detail oft he driving gear as envelope]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mechanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 4(20). pp. 50-55.
4. Zalgaller W.A. (1975) Teorija ogibajushich [Envelope theory]. Moscow: Nauka.
