CC BY
39
УДК 539.42
И.И. Овчинников
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ДЛИННОГО ПОЛОГО ЦИЛИНДРА В ВОДОРОДСОДЕРЖАЩЕЙ СРЕДЕ, ДИФФУЗИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОТОРОЙ
ЗАВИСЯТ ОТ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
Рассматривается моделирование поведения длинного полого цилиндра в водородсодержащей среде. При построении методики расчета цилиндра работа конструкции была представлена в виде трех последовательных стадий. Рассмотрены три случая нагружения и воздействия водородсодержащей среды.
Водород, деформирование, деградация, водородсодержащая среда, полый цилиндр, долговечность, водородная коррозия
I.I. Ovchinnikov
SIMULATION OF THE LONG HOLLOW CYLINDER BEHAVIOUR IN THE HYDROGENOUS ENVIRONMENT WITH DIFFUSIVE CHARACTERISTICS
DEPENDING ON THE TENSION
The article considers simulation of the long hollow cylinder behavior in the hydrogenous environment. For creating the cylinder calculation method, the performance of the design was presented as three consecutive stages. Three cases of loading and influence of the hydrogenous environment have been presented.
Hydrogen, deformation, degradation, hydrogenous environment, hollow cylinder, durability, hydrogen corrosion
В [1] приведена модель деформирования материалов в водородсодержащей среде, диффузионные характеристики которой зависят от напряженного состояния.
Рассмотрим применение этой модели к задаче моделирования поведения длинного полого цилиндра (толстостенной трубы) в водородсодержащей среде при осесимметричном воздействии нагрузки и водородсодержащей среды. В этом случае тензоры напряжений и деформаций будут иметь отличные от нуля компоненты аг,аф, а2,ег, еф. Все три деформации сдвига и касательные напряжения будут равны нулю в силу симметрии относительно оси цилиндра и постоянства условий вдоль оси. Соотношения между напряжениями и деформациями имеют вид [1]:
где г, ф, z - радиальная, окружная и продольная координаты, а у(еи, С, Б) - функция интенсивности деформаций еи, концентрации водорода С (в растянутых зонах полого цилиндра), и параметра Б =
оо/ои, характеризующего жесткость схемы напряженного состояния, а0 - среднее напряжение, аи -интенсивность напряжений. Функция у(еи, С, Б) в соответствии с [1] примет вид
где к,а,Ъ - коэффициенты.
Выражая az через аг и а ф в третьем уравнении (1) и подставляя в первые два уравнения, найдем
1. Основные уравнения
(1)
(2)
Коэффициент поперечной деформации v также принимается зависящим от su, C и S
(3)
Функция д (C, S) в (2) принимается в виде
(4)
Подставляя выражения для еги ефв уравнения неразрывности деформаций:
^ _ (ег ~е<р)/
ёт /г ,
и учитывая, что согласно уравнению равновесия
ёаг
ёт
0,
аф_ат + т'ёт
(6)
(7)
(8)
ёт ёт ёт2
После некоторых преобразований получим следующее нелинейное разрешающее уравнение в напряжениях:
ё 2аг . ёат
т- + А—т+цаг _ ¥ .
(9)
ёт2 ёт
Коэффициенты X и п в этом уравнении представляют собой нелинейные функции у и vи их производных:
У
1_3- 2-'
т (1 -V2) У
п_-^ (1 - 4уУ + (1 -V-2п2 т(1 -V2)
(10)
Правая часть ¥ имеет вид
¥ _уеУ1 т 2(1 -V2). (11)
Штрих в выражениях (10) и (11) означает дифференцирование по радиусу т.
Продольная деформация еz определяется из условия равновесия полого цилиндра в продольном направлении:
'2
N _ 2р|а2тёт.
откуда, подставляя выражение для а^ получим
N
2р
Л Нъ \
1у(От + о„) \утйт
(12)
(13)
V т1 л V т1 У
где т1и т2 - соответственно внутренний и наружный радиусы полого цилиндра.
Если цилиндр загружен внешним и внутренним давлением, как показано на рис. 1а, то граничные условия для дифференциального уравнения (9) запишутся
ат(т _ т1) _-P1, ат(т _ т2) _ Р2 . (14)
Распределение концентрации водорода по толщине полого цилиндра находится из уравнения диффузии, учитывающего влияние напряжений:
1 дс д2с + 1дс - к (дс да
СУ,
( ^2
Б д^ дт т дт ЯТ V дт дт
ЯТ
д а +1 да
\
дт т дт
(15)
где среднее напряжение а0 находится из выражения а0=(ат+а (р+а^/3, ^ - время, Б - коэффициент диффузии, Я - газовая постоянная.
К уравнению (15) следует добавить начальное и граничное условия, учитывающие особенности действия водородсодержащей среды на полый цилиндр.
Если водород действует на внутреннюю и внешнюю поверхности цилиндра (рис. 1б), то граничные и начальные условия будут
с(т_о _С(т_т2)_С¥, С(1 _0)_Снач. (16)
Если водород проникает в полый цилиндр изнутри, а отток с наружной поверхности не учитывается (рис. 1 в), то имеем
С(т _ тх) _ С„, ддС(т _ т2) _ 0, С(Х _ 0) _ Снач. (17)
дт
т
При действии водорода на внешнюю поверхность цилиндра и отсутствии оттока с внутренней поверхности (рис. 1г) имеем
= С(Г = Г2) = С„, С(/ = 0) = Сиач. (18)
аг
Рис. 1. Варианты воздействия водородсодержащей среды и давления на полый цилиндр
2. Методика расчета полого цилиндра
При построении методики расчета полого цилиндра, подвергающегося совместному действию нагрузки и водородсодержащей среды, программу работы конструкции представим в виде последовательности трех стадий [2]:
а) стадия силового нагружения;
б) стадия установления граничных условий на поверхностях контакта с водородсодержащей
средой;
в) стадия деформирования цилиндра вследствие изменения свойств материала под влиянием водородсодержащей среды в соответствии с (2) и (3).
На стадии силового нагружения расчет полого цилиндра сводится к решению однородного дифференциального уравнения вида
+ Л^Т~ + = 0, (19)
от от
с граничными условиями (14).
Коэффициенты X и п определяются для исходных характеристик материала.
Для решения нелинейной части задачи (19), (14) используется методика последовательных приближений, причем в качестве нулевого приближения можно брать решение линейно-упругой задачи для полого цилиндра (задача Ламе), которое имеет вид
' (20)
Г = I + ^т 2,Г = I -
где
I = (РТ12 +Р,Г22)/(Г22-т2), ] = (Р-Р)Т12Т27(Т22-Т^). (21)
Для решения краевой части задачи (19), (14) используется метод прогонки, причем для
нахождения производных применяется формула Лагранжа, а интегралы в выражениях для X и п нахо-
дятся по формуле Симпсона 4 порядка.
На следующей стадии установления граничных условий принималось, что нужная концентрация водорода на поверхностях полого цилиндра устанавливалась не сразу, а в течение определенного времени 4, задаваемого выражением
= Ат/ 4Б. (22)
Соответствующее распределение механических параметров (и, соответственно, коэффициентов X, п и правой части ¥ уравнения (9)) находилось по концентрационному полю водородсодержащей среды, соответствующему времени 4.
Третья стадия посвящена изучению процесса деформирования полого цилиндра, вызванного воздействием водородсодержащей среды. Задача решается шагами по времени. Сначала методом сеток решается уравнение диффузии (15) с соответствующими начальным и граничными условиями с учетом закона распределения среднего напряжения а0 по толщине полого цилиндра. По найденному распределению концентрации водорода С и с учетом жесткости схемы напряженного состояния Б по формулам (10), (11) в узлах сетки находятся значения коэффициентов X и пи правой части ¥ уравне-
а
в
ния (9), которое затем решается методом прогонки. Затем задается следующий шаг по времени Ах и процесс расчета повторяется. Задача решается шагами по времени до тех пор, пока не будет выполнено условие разрушения в какой-либо точке полого цилиндра.
Для того чтобы оценить достоверность получаемого решения, рассматривался тестовый пример расчета полого цилиндра из нелинейного материала с диаграммой деформирования о=Ае-Вет, гдеА = 3• 104 МПа, В = 2-105 МПа, т = 1,5. В расчетах принималось Р;=0, Р2=30 МПа, г1=30 см, г2=50 см, у=0,2.
Результаты расчета приведены на рис. 2 пунктиром. Там же сплошной линией показаны результаты расчета из [3]. Некоторое отличие в эпюрах напряжений объясняется использованием авторами [3] гипотезы о несжимаемости материала (у=0,5), а в наших расчетах принималось v=0,2. Расчет при v=0,5 приводит к полной идентичности результатов.
(7г СТ9
МПа
-э;>
-&о 45&
-20
30 35 М) £»5 50 Г,СМ
Рис. 2. Результаты расчета полого цилиндра
С целью оценки влияния размера конечно разностной сетки (по радиусу полого цилиндра) на результаты расчета проводился тестовый расчет для цилиндра из материала с характеристиками А = 2850 МПа, В = 22,1 КПа, т = 3. В расчетах принималось Р1=20 МПа, Р2=0, гх/г2=0,5. Результаты расчета приведены в табл. 1.
Таблица 1
Количество узлов сетки Значения величин
Оп/Рі £п, %
11 2,1458 0,2255
21 2,1437 0,2218
41 2,1570 0,2241
81 2,1466 0,2220
161 2,1380 0,2225
В дальнейшем расчеты выполнялись на сетке с 81 узлом.
3. Анализ влияния напряженного состояния на водородопроницаемость полого цилиндра
Для оценки влияния напряженного состояния на кинетику диффузии водорода в цилиндр расчет производился сначала без учета влияния напряженного состояния на кинетику диффузии, а затем с учетом влияния. Исследования проводились для трех случаев нагружения и воздействия водородсодержащей среды:
1) нагрузка Рх и водород со держащая среда действуют на внутреннюю поверхность полого цилиндра;
2) нагрузка действует на внешнюю поверхность цилиндра, а водород - на внутреннюю поверхность;
3) нагрузка действует на внутреннюю поверхность цилиндра, а водород - на внешнюю поверхность.
Давление во всех расчетах принималось Р=Р2=20 МПа, размер цилиндра Г]=5 см, г2=10 см.
На рис. 3 приведены эпюры концентрации водорода по радиусу цилиндра для случая 1 при отсутствии влияния напряжений на кинетику диффузии (пунктир) и при учете этого влияния (сплошная линия).
г/Гг
Ю
0,9 0,3
8$
0.6 0,5
0 0.2 0А 0.6 0.3
Рис. 3. Эпюры концентрации водорода по радиусу цилиндра для случая 1(1- f=0,076; 2 - f=0,15; 3 - N0,31; 4 - (=^)
Анализ показывает, что напряженное состояние оказывает интенсифицирующее влияние на водородонасыщаемость стенки цилиндра, причем с увеличением времени влияния напряжений увеличивается и увеличение достигает 34%.
Влияние напряжений на кинетику водородонасыщения для случая 2 показано на рис. 4.
г/Г 2
1,0
0,9 0.3 0.7 0,5 0,5
0 0,2 0А 0.6 0.3 С
Рис. 4. Эпюры концентрации водорода по радиусу цилиндра для случая 2 (пунктир - без учета влияния напряжений, сплошная линия - с учетом).
Цифры у кривых соответствуют рис. 3
В данном случае имеет место тормозящее влияние напряжений на водородонасыщаемость стенок цилиндра, так как нагрузка вызывает появление сжимающих напряжений. Наибольшее отличие в эпюрах концентрации водорода составляет 29% при Х/Хр=0,31.
Рис. 5 иллюстрирует влияние напряженного состояния на кинетику диффузии водорода для 3 случая, когда нагрузка действует изнутри, а водород - снаружи.
Г/Гг
Рис. 5. Эпюры концентрации водорода по радиусу цилиндра для случая 3.
Обозначения соответствуют рис. 3
Как видно, в отдельных точках цилиндра отличия в величине концентрации водорода может достигать 50% (при 4=0,15), а при разрушении 4=4 достигает 26%.
Проведенный анализ позволяет заключить, что учитывать влияние напряженного состояния на водородопроницаемость конструкций необходимо как при действии сжимающих напряжений (рис. 4), так и при преобладании растягивающих напряжений (рис. 3 и 5).
4. Анализ влияния схемы нагружения на характер напряженного состояния полого цилиндра при действии нагрузки и наводороживании
Для оценки влияния жесткости схемы напряженного состояния, характеризуемой параметром 8, использовались приведенные выше уравнения, учитывающие взаимное влияние и водородсодержащей среды на механические характеристики материала, а следовательно, и на напряженно-деформированное состояние цилиндра, и напряженного состояния ни кинетику диффузии водорода в стенки цилиндра. То есть рассматриваемая задача относится к связанным задачам нелинейного деформирования.
Рассматривались те же случаи нагружения и воздействия агрессивной среды.
Для случая 1 (нагрузка и водород действуют изнутри) результаты расчета в виде эпюр концентрации водорода С и окружного напряжения о приведены на рис. 6. Видно, что в зоне около внутренней поверхности полого цилиндра, на которую действуют и нагрузки и водород, происходит перестройка полей напряжений, сводящаяся к тому, что более наводороженные зоны разгружаются, а менее наводороженные - догружаются.
Г/Гг
о
0,2 0 Л 0,6 0,8 1,0 С 0,6 0,8
1.0
1,2
1А 1,6 О
ш
Рис. 6. Эпюры концентрации водорода и напряжений в разные моменты времени. Цифры на кривых соответствуют обозначениям на рис. 3
Г/Р
0 0,2 ОА 0,6 0,8 С -1,2 -1А -1,6 -1,8 -2,0 С Ф 0,2 0 -0,2 -ОД -0,6 СУ г
Рис. 7. Эпюры концентрации водорода С, окружных и продольных напряжений о2 в цилиндре для случая 2
в различные моменты времени, соответствующие рис. 3
На рис. 7 приведены эпюры концентрации водорода С, окружных напряжений о, и продольных напряжений а: для случая 2 (нагрузка снаружи, водород изнутри). Как видно, в этом случае изменение напряженного состояния менее значительное, что объясняется тем, что стенки цилиндра находятся в сжатом состоянии, и потому изменение механических характеристик незначительное.
Наконец, рис. 8 иллюстрирует характер распределения концентрации водорода С, окружных напряжений Of по толщине стенки полого цилиндра для случая 3 (нагрузка изнутри, водород снаружи). Как видно, под действием растягивающих напряжений и водородсодержащей среды происходит изменение механических свойств материала, приводящее к изменению характера распределения напряжений, причем наибольшие изменения напряженного состояния происходят во внутренних зонах стенки цилиндра и величины этих изменений достигают 18%.
Г/Г2
г/гг
о.:
1,0
1.2
1А 1,6
¥
Рис. 8. Эпюры концентрации водорода и напряжений аг для случая 3.
Обозначения соответствуют рис. 3
Выводы:
1. Проведенный анализ показывает, что приведенные соотношения достаточно корректно описывают поведение полого цилиндра в условиях совместного действия нагрузки и наводорожива-ния с учетом деструкционного действия водорода и позволяют учесть основные эффекты, сопровождающие взаимодействие полого цилиндра с водородом.
2. Предложенная методика и алгоритм расчета позволяют провести корректный анализ кинетики изменения наводороживания и напряженного состояния полого цилиндра с учетом связанности решаемой задачи, то есть совместного влияния водорода на механические свойства материала и далее на напряженное состояние цилиндра и влияния напряженного состояния на кинетику диффузии водорода в стенки полого цилиндра.
3. Проведенное численное моделирование показало, что из рассмотренных случаев нагружения и воздействия водорода наиболее опасным является случай одновременного действия и нагрузки и водорода на внутреннюю поверхность стенки полого цилиндра, ибо в этом случае сочетание дей-
ствия растягивающих напряжений и водорода приводит к наиболее интенсивной деградации материала цилиндра. Следует заметить, что такой случай воздействия нагрузки и водородсодержащей среды наиболее характерен для реальных условий эксплуатации полых толстостенных цилиндров.
ЛИТЕРАТУРА
1. Овчинников И.И. Деформирование и разрушение материалов в водородсодержащей среде, диффузионные характеристики которой зависят от напряженного состояния / И.И. Овчинников // Науковедение: Интернет-журнал. 2013. Вып. 1(14) [Электронный ресурс]. С. 1-8.
2. Овчинников И.И. Исследование влияния жидкометаллической среды на поведение толстостенного трубопровода. Методика и результаты расчета / И.И. Овчинников, И.Г. Овчинников // Науковедение: Интернет-журнал. 2012. Вып. №4 [Электронный ресурс]. С. 1-10.
3. Андреев В.И. Расчет толстостенной трубы из нелинейно-упругого материала / В.И. Андреев, Ю.Н. Малашкин // Строительная механика и расчет сооружений. 1983 № 6. С. 70-72.
Работа выполнена в рамках работы над грантом РФФИ № 12-01-31130Мол_а «Нелинейные модели деформирования и методы определения долговечности элементов конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами и полями».
Овчинников Илья Игоревич -
докторант, кандидат технических наук, доцент кафедры «Транспортное строительство»
Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Статья поступила в редакцию 04.04.13, принята к опубликованию 20.05.13
Ilya I. Ovchinnikov -
Ph. D., Associate Professor
Department Transport Engineering
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
