CC BY
42
Рынок ценных бумаг
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЬНЫХ ИНВЕСТИЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕГАТИВНЫХ СЦЕНАРИЕВ РАЗВИТИЯ
ФОНДОВОГО РЫНКА
в.я. шапиро,
доктор технических наук, профессор кафедры высшей математики ГоУвпо «сПбГИЭУ»
н.а. шапиро,
доктор экономических наук, заведующая кафедрой экономической теории и экономической политики ГоУвпо «сПбГУНиПТ»
Свойства фондового рынка таковы, что положительная динамика его развития не является абсолютной закономерностью, и отрицательная динамика также возможна. Например, первая половина 2007 г. на отечественном фондовом рынке характеризовалась изменением положительной динамики предшествующих лет, особенно 2006 г.
Классическая теория портфеля была создана и нашла широкое применение для анализа рынков с положительной ценовой динамикой. Так, классическая теория портфельных инвестиций, развитая в работах Г. Марковица, Дж. Тобина и У. Шарпа [1, 2, 3], основана на сопоставлении двух случайных величин: ожидаемой доходности (п, %) и стандартного отклонения (ст, %) как меры риска инвестиций, где общим признаком отмеченных подходов к формированию инвестиционного портфеля является ожидаемая положительная доходность. Указанное сопоставление величин п и ст ставит перед собой цель формирования совокупности функций полезности (utilityfunction) или функций рискового предпочтения {F (п, ст, |)} с некоторым параметром характеризующим склонность или несклонность инвестора к риску [5]. Для определения лучшего варианта инвестиции задаются критерием: {F (п, ст, |)} ^ max.
Приравнивание функций F (п, ст, |) к безрисковой (гарантированной рынком) ставке процента s приводит к параметрическим относительно |
уравнениям п = п (й, ст, я), геометрическим образом которых является соответствующее семейство кривых рискового безразличия.
Семейство кривых {п = п (й, ст, я)} позволяет построить карту предпочтений с оценкой уровней полезности инвестиций [6].
Поскольку в теории закладывается критерий ожидаемой положительной доходности, то кривые рискового безразличия заполняют первый квадрант плоскости пОст, где О — начало координат. Этот постулат не вызывает сомнений, поскольку планировать отрицательную доходность ни один инвестор не будет.
Таким образом, анализ фондового рынка в условиях отрицательной динамики актуален: во-первых, потому что для его участников важно совершить такие действия, которые позволили бы свести к минимуму неизбежные потери, минимизировать убытки от инвестиций при нисходящих ценах на коррекциях либо отрицательных трендах, а, во-вторых, не зная продолжительности понижательного тренда (не дожидаясь начала положительной динамики), войти в рынок в данных условиях, сформировать адекватный портфель ценных бумаг и выработать соответствующие стратегии по его пересмотру в целях извлечения дополнительного дохода.
В данной статье рассмотрены условия применения основных положений классической теории
для формирования адекватных стратегий портфельных инвестиций с минимальным риском и оценки возникающих переходных состояний на основе теории Маркова при негативных сценариях развития фондового рынка.
Первая часть статьи посвящена коллективным инвестициям в паевые фонды, вторая — индивидуальным инвестициям в акции предприятий и сравнительному анализу эффективности и взаимосвязи данных стратегий.
КОЛЛЕКТИВНЫЕ ИНВЕСТИЦИИ В ПАЕВЫЕ ФОНДЫ. Рассмотрим конкретную ситуацию на отечественном рынке коллективных инвестиций.
В качестве базового периода Т наблюдения был принят второй квартал 2007 г., который был разбит на два равноценных этапа (полупериода) Т1 и Т2 примерно по 45 дней каждый. Шаг наблюдений & изменялся от 1 до 4 дней.
Объектом исследования в первой части статьи являлись показатели эффективности 17 контрольных паевых инвестиционных фондов (ПИФов) различной структуры и декларируемой инвестиционной стратегии.
Из общего числа ПИФов первая группа представляла 5 фондов облигаций (2 — государственных и 3 — корпоративных) и вторая группа — 3 фонда смешанных инвестиций и 9 фондов акций.
На рис. 1 представлено корреляционное поле (диаграмма рассеяния) общей совокупности данных наблюдений ц (ось ординат) и ст (ось абсцисс), полученных в течение этапа Т.
Статистический анализ всей совокупности данных выборки показал их слабую отрицательную корреляцию с коэффициентом г1 = — 0,377, т. е. построить в этом случае общую кривую рискового безразличия не представляется возможным.
В теории оптимального портфеля этот вывод означает, что параметр ^ ^0, риск инвестиций достаточно высокий и инвестор, склонный к нему,
Рис. 1. Корреляционное поле «доходность — риск» ПИФов на первом этапе
должен быть готов удовлетвориться только гарантированной ставкой s.
В этой связи была произведена сегментация рынка, и статистический анализ произведен для каждой группы данных отдельно.
Приведенные на рис. 1 две линии регрессии уже следует трактовать как линии фондового рынка — ЛФР (security market line), причем для фондов смешанных инвестиций и акций нижняя ЛФР (линия 1) имеет отрицательный наклон, а для фондов облигаций верхняя ЛФР (линия 2) — положительный.
В теории оптимального портфеля принято считать, что с ростом абсолютного значения угла наклона ЛФР инвесторы, не склонные к риску, либо стремятся избавиться от рискованных активов, либо требуют большую доходность от вложений в них. Инвесторы, склонные к риску, при слабом наклоне ЛФР удовлетворяются гарантированной доходностью рынка, например, обеспеченной краткосрочными государственными облигациями.
Таким образом, актуальным становится вопрос принятия инвестиционного решения на коррекци-онном или «падающем» рынках, когда наблюдаются ЛФР с отрицательными углами наклона. Также требует обоснования необходимое и достаточное количество рисковых активов, включаемых в портфель, причем под рисковыми будем подразумевать и активы в виде облигаций, поскольку практика фондового рынка свидетельствует о возможности их отрицательной доходности, особенно корпоративных, а в кризисной ситуации — и государственных облигаций.
На развитых рынках диверсификация рисков достигается при включении в портфель 12 и более активов.
Использование положений теории оптимального портфеля показывает, что его риск с ростом числа активов асимптотически стремится к своему пределу, равному корню квадратному из средней ковариа-ции, и удовлетворительные результаты (отличие риска от предельного значения не более чем на 10 — 15 %) достигаются начиная с 4 — 5 активов.
Применительно к выбранной контрольной выборке ПИФов и установленному для них корреляционному полю (см. рис.
y = 2,1077х - 1,064 R 2 = 0,6085
■ Ряд1 * Ряд2
Линейный (Ряд 2) Линейный (Ряд 1)
y = -1,9465х + 1,5727 R 2 = 0,852
Таблица 1
Прогноз рынка
Сценарий Тренд для активов инвестиций Вероятность сценария p
П, П П3 П4
1 + + Pi
2 + + + + P2
3 0 0 0 0 P3
4 - - - - P4
Сумма = 1
1) сформулируем задачу формирования портфеля ценных бумаг, состоящего из четырех условных рисковых активов П1, П2, П3 и П4, первая пара из которых связана с рынком облигаций, а вторая — с рынком акций. Средние риски каждого актива возрастают от 1 до 4 с шагом 1.
В соответствии с теорией оптимального портфеля, не ограничивая общности, примем следующие условия:
1. Инвестор имеет доступ к кредитным ресурсам, т. е. ему предоставляется возможность покупки в кредит.
2. Предусмотрена формальная возможность продажи «в короткую» (shortsale), возникновение которой трактуется как адекватный сигнал к понижению стоимости актива.
3. Для каждого i-го актива имеется возможность прогноза ожидаемой доходности п. (в том числе и отрицательной), риска ст. и ковариации ст доходностей любой пары активов.
4. Стандартное отклонение доходности ст. каждого актива полностью характеризует риск его приобретения, что предполагает нормальное распределение выборки значений доходностей
п..
5. Будущее состояние экономики (фондового рынка) с определенной степенью вероятности субъективно известно и устанавливается инвестором самостоятельно.
Допустим, что инвестор до реализации принципов оптимального портфеля в целях диверсификации рисков распределил объем финансовых ресурсов по активам П1, П2, П3, П4 в процентном соотношении v1:v2:v3:v4, т. е. тем самым сформировал некоторый портфель S как вектор распределения ресурсов, компоненты которого v(. Вектор S = (v1, v2, v3, v4) определяет структуру инвестиционного портфеля. Начальные цены каждого актива (С.) примем за 100 стоимостных единиц (с. е.). Допустим, что начальный портфель S0 — равномерный, т. е. v.. =0,25.
Для прогноза текущих цен (C) активов, т. е. прогноза их ожидаемых доходностей п. = (C. /
Сы — 1) 100, %, воспользуемся методом статистических испытаний (Монте-Карло) [7], в соответствии с которым реализуем следующий алгоритм:
а) программно вырабатывается с шагом М выборка значений ормально распределенной случайной величины х с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией;
б) текущие цены определяют по формуле:
С = Со1 (1+хст^.), (1)
где — функция сигнатуры тренда для каждого актива, принимающая значения: — 1 — для нисходящего (^ <0); 0 — для «бокового» или нейтрального =0) и 1 — для восходящего >0).
Задавшись значениями функций ,, с помощью соотношения (1) представляется возможным прогнозировать будущее состояние фондового рынка, состоящего из различных сценариев. В частности, допустим, что в течение заданного периода времени Т1 возможны следующие сценарии:
сценарий 1 — сформировавшиеся тренды сохранятся;
сценарий 2 — по всем сегментам рынка тренды положительные;
сценарий 3 — тренды отсутствуют и возможны значительные колебания цен в отдельных активах;
сценарий 4 — по всем сегментам рынка тренды отрицательные. Вероятности данных сценариев обозначим р.
В табл. 1 представлены параметры трендов одного из возможных состояний экономики.
На рис. 2 приведены результаты статистического моделирования доходности п ;1 ¿-го актива в случае реализации первого сценария (/ = 1) с вероятностью р1 = 1. Как видим, выявлен типичный волновой трендовый характер изменения п д как следствие изменения текущих значений цен С\ (ось ординат — с. е.) с течением времени (ось абсцисс — ДО.
Таким образом, ожидаемые доходности к окончанию периода инвестиций Т1 статистически прогнозируются соответственно как п11 = 2,32; п21 = 4,65; пз1 = - 3,1; п^ = - 4,83.
106 104 102 100 98 96 94 92 90
Рис. 2. Статистическое моделирование доходностей активов: 1 — Пр 2 — П2,
3 - П3, 4 - П.
-Ряд 1 -Ряд 2 -Ряд 3 ■Ряд 4
10 11
12
Сравнивая результаты моделирования с данными рис. 1, отметим, что расчетные доходности вполне удовлетворительно соответствуют установленным с помощью ЛФР их опытным значениям при соответствующем задании рисков активов: ст1 = 1 и ст2 = 2 для верхней ЛФР, ст3 = 3 и ст4 = 4 — для нижней ЛФР.
Следовательно, статистическая модель прогноза доходностей может быть принята в качестве базовой при решении оптимизационной задачи и, последовательно приравнивая единице вероятности р2, р3, р4 других сценариев, получим матрицу соответствующих значений доходностей всех активов.
Обобщая изложенное, будем считать, что доходность /-го актива при реализации у-го сценария (обозначим как п.) есть произвольный (/, у) -элемент некоторой квадратной матрицы Ап= (п.) п-го порядка, где п — число активов.
Для формирования математической модели оптимизации портфеля с минимальным риском, содержащего четыре актива (п = 4), уточним ряд понятий.
Ожидаемая доходность /-го актива определяется как средневзвешенная величина:
П/ = £ Пу р 1= 1, 2,..., 4. (2)
}=1
Оценка риска от вложения в данный актив есть квадратный корень из дисперсии:
ст
2 = £ (Пу — П/)2 Р.
1=1
(3)
Доходность портфеля п ■ приу-м сценарии:
п
4
=
(4)
2. ■
1=1
Ожидаемые доходность портфеля п и его риск
стР:
п
4
=
£Пр. р
стр2 = £ (Пру — п) :
(5)
1 =1 1 =1 Тогда задача оптимизации сводится к двум технологическим ограничениям-равенствам [5]:
п= £п,
г =1
= 1
г =1
при целевой функции: стр ^ т/п.
(6)
(7)
(8)
Для определения локальных экстремумов построим функцию Лагранжа с двумя множителями Я,1, Я,2, соответствующими ограничениям (6) и (7):
4 4
1 ^ = 1 (Vl, V2, Vз, ^ ^ = £ £ V,. X. сту +
г=1 1=1
Ч (п-£ п, V,) + ^ (1 — £ V,). (9)
¡=1 г=1
Затем из условия существования седловой точки функции (9) определим структуру портфеля (вектор в ходе решения следующей системы линейных уравнений, представленной в векторно-
матричной форме:
(
(10)
2ст12 2СТ12 2ст13 2СТ14 -п1 -11 |Ч ^ Г 0 ^
2СТ12 2ст22 2СТ23 2СТ24 -п2 -1 V2 0
2СТ13 2СТ23 2ст32 2СТ34 -п3 -1 V3 0
2СТ14 2СТ24 2СТ34 2ст42 -п4 -1 V4 0
п1 п2 п3 п4 0 0 \ п
1 1 1 1 0 0 V 1^2 V 11V
Моделирование ожидаемых доходностей активов и их рисков с использованием расчетной матрицы Ап = (п.) осуществляется в рамках прогноза будущего состояния экономики, в частности, представленного в табл. 2 в предположении о более вероятной реализации первого сценария.
0
2
3
4
5
6
7
8
9
Таблица 2
Распределение доходностей активов в портфеле
Будущее состояние экономики Ожидаемая Риск Ст/
А к т и в 1 2 3 4 доходность
р = 0,5 Рг = 0,2 Рз = 0,2 Р4 = 0,1 П/
П! 2,32 2,32 0,31 -1,69 1,52 1,33
П2 4,65 4,65 0,62 -3,40 3,04 3,07
П3 -3,10 4,97 0,94 -3,10 -0,68 3,90
П4 -4,83 7,32 1,25 -4,83 -1,18 5,56
Таблица 3
Результаты оптимизации структуры портфеля
кц У2 У3 У4 ст р к СТ
1,00 1,36 -0,44 0,05 0,02 0,50 7,08
1,50 1,29 -0,31 0,02 0,00 0,77 4,52
2,00 1,22 -0,18 -0,02 -0,02 1,08 3,21
2,50 1,15 -0,05 -0,05 -0,05 1,43 2,43
3,50 1,00 0,21 -0,12 -0,09 2,23 1,55
4,75 0,83 0,53 -0,21 -0,15 3,48 1,00
5,00 0,79 0,60 -0,23 -0,16 3,70 0,94
Лст(ст,..) =
(11)
При этом для портфеля S0 с помощью табл. 2 определены начальные значения его доходности и риска как: ц = По = 0,67; стр = стро = 3,48.
Матрица ковариаций Лст (ст^) для данного распределения доходностей определена как: (1,77 3,55 0,32 0,48 ^ 3,55 9,45 0,65 0,97 0,32 0,65 15,24 4,42 ч0,48 0,97 4,42 30,92у Варьируя значениями ожидаемой доходности портфеля п, решение поставленной задачи оптимизации позволяет определить его структуру при минимальном риске.
Как справедливо отмечено в [6], оптимизация портфеля по Марковицу является элементом микроэкономического анализа и используется частным инвестором на первом этапе распределения активов от равномерного к оптимальному, т. е. служит
сигналом к принятию инвестиционного решения. Последовательности этапов пересмотра портфеля классическая теория не рассматривает.
В этой связи введем два показателя: 1) коэффициент доходности портфеля кц = п/ по, характеризующий увеличение ожидаемой доходности по сравнению с начальной, и 2) коэффициент риска портфеля кст = Стро / стр, который зависит от коэффициента кц и характеризует степень снижения риска в результате определения структуры оптимального портфеля. В процессе решения задачи величина кц изменялась от 1 до 5. В табл. 3 приведены результаты оптимизации.
Как следует из табл. 3, с ростом значений коэффициента кц наблюдается существенное снижение коэффициента кст т. е. рост величины минимального риска, причем зависимость между указанными коэффициентами подчиняется степенному закону с отрицательным показателем (рис. 3: ось абсцисс — кц ординат — кст).
Следует отметить следующую закономерность: с превышением кп значения 1, т. е. с ростом ожидаемой доходности по отношению к начальной, структура портфеля претерпевает изменения, а именно: актив П1 необходимо снижать, тогда как актив П2 целесообразно постепенно наращивать; активы П3 и П4 из портфеля целесообразно вообще
у = 7,4446х R 2 = 0,9978
-Ряд 1
-Степенной (Ряд 1)
Рис. 3. Взаимосвязь коэффициентов доходности и риска
исключить.
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
Эти результаты иллюстрирует рис. 4, на котором представлены графики изменения доли активов в структуре портфеля (ось ординат) с ростом величины коэффициента доходности кп (ось абсцисс).
Анализ данных табл. 3 и рис. 4 в части выбора структуры оптимального портфеля с минимальным риском свидетельствует о том, что инвестором получен сигнал о дальнейшем снижении доходности (цен) активов П3 и П4, связанных с рынком акций (именно так следует трактовать сигнал о необходимости их «коротких» продаж) и повышении доходности активов П1и П2, связанных с рынком облигаций.
Исключая из рассмотрения варианты с отрицательными значениями v2, данные табл. 3 свидетельствуют о том, что существуют по крайней мере три альтернативных варианта нового (оптимального) портфеля Б1 с положительными значениями v2, обеспечивающие практически исходный риск (коэффициент кст = 0,94 — 1,55), но при этом ожидаемая доходность может быть увеличена в кп = 3,5 — 5 раз, т. е. возрасти с 0,67 до 2,3 — 3,35 (в среднем — 2,82). Рост доходности достигается за счет замещения актива П1 активом П2 и, как показали расчеты по экстраполяции линий 1 и 2 на рис. 4, при величине кп = 5,5 доли этих активов в портфеле становятся равными, после чего растет 1,6
Рис. 4. Характер изменения структуры портфеля с ростом его доходности:
1 — ^ 2 — ^ 3 — 4 — V,
Рис. 5. Корреляционное поле «доходность — риск» ПИФов на втором этапе
только доля актива П2 и при кп = 7 соотношение активов составляет: v1/v2 = 0,5/1,12.
Данный вывод нашел определенное подтверждение при анализе результатов эффективности инвестиций в выбранные активы на втором этапе наблюдений Т, когда конечные показатели первого этапа были приняты в качестве начальных для второго. Корреляционное поле показателей представлено на рис. 5.
Статистический анализ данных этой выборки показал еще более слабую по сравнению с первым этапом отрицательную корреляцию с коэффициентом г2 = — 0,32, т. е. и в этом случае построить общую кривую рискового безразличия не представляется возможным.
В этой связи также необходимо сегментировать рынок и статистический анализ выполнить для каждой группы данных отдельно.
Как видно из рис. 5, паи акций продолжили свое снижение, т. е. «короткие» продажи активов П3 и П4 действительно сигнализировали о развитии этого негативного сценария. В то же время отрицательный угол наклона ЛФР (линия 1) по модулю существенно снизился по сравнению с первым этапом, что свидетельствует о формировании более позитивной тенденции в этом сегменте рынка.
Активы П1 и П2, за исключением одного фонда, показавшего незначительную отрицательную доходность, продолжили слабый ценовой рост, и структура портфеля из этих активов, сформированная на первом этапе, оказалась бы более адекватной сложившейся ситуации. Однако к окончанию второго этапа отмечается существенное снижение величины угла положительного наклона ЛФР (линия 2), что при близком к нулю значении коэффициента детерминации И2 (квадрат коэффициента корреляции) данных «доходность — риск» свидетельствует о неопределенности в оценке состояния дальнейшей положительной динамики. Естественно предположить, что этот результат является сигналом к тому, что положительная доходность
-Ряд 1 ■Ряд 2 -Ряд 3 -Ряд 4
у = 0,1116* + 0,8296 R 2 = 0,0188
■ Ряд 1 » Ряд 2
Линейный (Ряд 2) Линейный (Ряд 1)
у = -0,4359* - 1,2209 R 2 = 0,2034
при инвестициях в ПИФы облигаций достигла определенного предела.
Принципы классической теории оптимального портфеля, как отмечалось выше, не отвечают на вопрос о стратегии переходов от исходного S0 к последующим портфелям S1, S2 и т. д. Эти аспекты могут быть отражены в рамках концепций марковских цепей [8].
В нашей общей постановке задачи, когда предусмотрены механизмы «коротких» продаж и «длинных» покупок в кредит, снимем ограничения по знаку и абсолютной величине Р. (компонент матрицы переходных состояний), но оставим обязательное требование теории Маркова:
IР =1 (12)
Составим матрицу переходов Л = (Р„) от начального портфеля S0 = (0,25; 0,25; 0,25; 0,25) к одному из альтернативных оптимальных портфелей (табл. 3), например S1 = (0,83; 0,53; - 0,21; - 0,15), содержащем сигналы о дальнейшем снижении доходности активов, связанных с рынком акций. Шаг переходов (цикл) принимается инвестором самостоятельно.
Реализация метода Маркова при обосновании цикличности переходов позволила установить следующую структуру матрицы А:
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
Т гА
Л =
1,3 -0,1 -0,1 -0,1
-0,06 1,2 -0,07 -0,07
0,37 0,37 -0,1 0,36
0,44 0,43 0, 43 -0,3
(13)
т
Консервативность инвестора оценим показателем = ГЛ/4, где след матрицы 1гЛ = I Ри ( = ]) характе-
Рис. 6. Связь показателей матрицы переходных состояний
1
0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 -0,4
Рис. 7. Характер циклического приближения к оптимальной структуре инвестиционного портфеля: 1 — у1; 2 — у2; 3 — у3; 4 — у4
ризует сохранение квот на выделенные активы.
Определитель матрицы А (у = ^е/Л) интегрально характеризует меру стационарности портфеля при осуществлении переходных циклов.
Установленные для оценки переходных состояний параметры консервативности и стационарности (т и у) заполняют диапазон значений от 0 до 1 и с высоким коэффициентом детерминации В? = 0,9963 связаны между собой степенной зависимостью (рис. 6). Выполненные расчеты показали: —установленное для матрицы (13) значение т = 0,525 свидетельствует о достаточно рискованной стратегии переходов от портфеля S0 к S1;
— определитель матрицы (13) у = йеА = 0,036 « 0, т. е. риск инвестиций очень высокий и инвестор должен быть готов к существенному пересмотру структуры портфеля и при развитии негативного сценария удовлетвориться гарантированной доходностью 5.
Этот вывод был ранее сделан при анализе данных корреляционных полей.
Проверим выбранную матрицу на соответствие параметров консервативности и стационарности.
Расчетная зависимость у (т) подчиняется закону: у= 1,0876т 474, что для значения т = 0,525 также определяет близкий к нулю параметр у = 0,051. Следовательно, матрица (13) адекватно отражает рыночную ситуацию и может быть использована при осуществлении стратегий переходных состояний.
Тогда циклическое умножение вектора S0 с компонентами на матрицу А обеспечивает следующую цепь переходов к оптимальному портфелю S1 (на рис. 7: ось ординат — V ., ось абсцисс — шаг переходов).
у = 1,0876*4,401 И 2 = 0,9963
-•-Ряд!
Степенной (Ряд 1) Степенной (Ряд 1)
-Ряд 1 -Ряд 2 -Ряд 3 -Ряд 4
4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -12
у = -1,8707* + 3,3208 R 2 = 0,5031
Ряд1
-Линейный (Ряд 1)
Рис. 8. Корреляционное поле «доходность — риск» на рынке акций (первый этап)
у = -0,1006х2 - 0,7895х + 1,3252 R2 = 0,982
"Ряд 1
■Полиномиальный (Ряд 1)
Рис. 9. Кривая рискового безразличия на первом этапе при инвестиции в акции
На основании полученных результатов можно сделать следующие выводы:
— в соответствии с ожиданиями рынка решение оптимизационной задачи дает сигнал о практически немедленной распродаже активов П3 и П4;
— полученные средства должны быть направлены на дополнительное приобретение активов П1 и П2, соотношение которых в структуре портфеля зависит от заданной величины ожидаемой доходности и принятого на себя инвестором риска;
— цикличность переходов к оптимальному портфелю Б1 обеспечивается подбором адекватной матрицы переходных состояний Маркова;
— по мере изменения ситуации на рынке одни ожидания (сценарий) сменятся другими и решение оптимизационной задачи выработает новый для инвестора сигнал, на основании которого ему необходимо с учетом соотношения «доходность — риск» воспроизвести на новом этапе стратегии переходов от портфеля Б1 к новой его оптимальной структуре Б.
Таким образом, сочетание теории классического оптимального портфеля с теорией марковских цепей дает новые возможности прогноза эффективности стратегий на рынке коллективных инвестиций и позволяет расширить общую теорию
управления структурой инвестиционного портфеля.
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ИНВЕСТИЦИИ В АКЦИИ ПРЕДПРЯТИЙ. Представленные выше положения по формированию оптимального портфеля рисковых активов в условиях негативного сценария развития фондового рынка апробируем в условиях функционирования рынка акций предприятий в течение того же базового периода наблюдений Т.
Наблюдения велись за изменением стоимости акций 17 наиболее ликвидных «голубых фишек» эмитентов различных отраслей, 6 из которых представляли нефтегазовый сектор, 5 — сектор энергетики и по 2 — предприятия цветной металлургии, телекоммуникации и машиностроения.
На рис. 8 представлено корреляционное поле «доходность — риск» на рынке акций на первом этапе наблюдений Т1, которое свидетельствует о достаточно высокой отрицательной корреляции с коэффициентом г = — 0,71 между значениями п (ось ординат) и ст (ось абсцисс). Это свидетельствует о возможности построения кривой рискового безразличия для данных активов.
По аналогии с рынком паев, учитывая более широкий диапазон рисков акций, для формирования кривой рискового безразличия вначале осуществим классификацию активов с выделением четырех групп акций А (/=1,., 4) по критерию возрастания риска от 1 до 7 с шагом 2. Ожидаемые доходности определены с учетом полученного уравнения регрессии, а за безрисковую ставку я = 0,74 принята соответствующая доходность ОФЗ в размере 6 % годовых с периодом инвестиций Т1 = 45 дней (табл. 4).
Для установленных данных табл. 4 кривая рискового безразличия представлена на рис. 9.
Таблица 4
Классификация эмитентов при первом способе инвестиций
Показатель Э м и т е н т ы
ОФЗ А, А2 А, А4
ст 0 1 3 5 7
п 0,74 1,34 -2,09 -5,51 -8,93
Таблица 5
Прогноз рынка
Сценарий Тренд для активов инвестиций Вероятность сценария р
А1 А2 А3 А4
1 + - - - Р1
2 + 0 0 0 Р2
3 + + 0 0 Р3
4 + + + + Р4
Сумма р. = 1
Таким образом, классическая задача оптимизации формулируется для портфеля из четырех активов акций А1 при отсутствии каких-либо ограничений по авансированию капитала, т. е. покупкой «в долг» и продажами «в короткую». Прогноз рынка с указанием трендов при развитии возможных сценариев представлен в табл. 5.
Моделирование доходностей с помощью разработанного и развитого в первой части статистического метода по всем четырем сценариям, представленным в табл. 5, осуществлено в предположении о более вероятной реализации первого из них, что позволило установить элементы матрицы доходностей Ап в виде следующего распределения (табл. 6).
При этом для равномерного портфеля S0 начальные значения его доходности и риска составили соответственно: п = Ло = 0,01, стр = стро = 3,34.
Матрица ковариаций Аст (ст.) для данного распределения доходностей определена как:
0 ^
А (ст№)=
Г о 0 0 0
0
4,69 6,14 10,01
0 6,14 19,21 9,19
10,01 9,19 46,40
(14)
Варьируя значениями ожидаемой доходности портфеля п, решение поставленной задачи опти-
мизации позволяет определить его структуру при минимальном риске.
Решение оптимизационной задачи показало, что для распределения доходностей, представленных в табл. 6, оптимальный портфель имеет структуру £1 = (0,27; 0,16; 0,39; 0,18), а его доходность по сравнению с начальной практически не изменилась (п1 = 0,03), однако риск снизился до величины 2,42 (на 38 %).
Таким образом, предположение о сохранении ситуации на фондовом рынке (доминирует первый негативный сценарий) в течение следующего периода Т2 обусловливает лишь незначительное перераспределение ресурсов в пользу актива А3, но при этом ожидаемая доходность портфеля близка к нулю.
Предположим, что инвестор изменил прогноз на противоположный, что требует в табл. 6 поменять местами соответствующие значения вероятностей, а именно примем р1 = 0,1 и р4 = 0,5, полагая тем самым, что в течение периода Т2 будет доминировать положительный тренд по всем активам (четвертый позитивный сценарий).
Решение оптимизационной задачи в этом случае выявило существенное влияние величины ожидаемой доходности и принятого риска на структуру оптимального портфеля (табл. 7).
Таблица 6
Распределение доходностей активов
А к т и в Будущее состояние экономики Ожидаемая доходность Л/ Риск ст/
1 2 3 4
Р\ = 0,5 Р2 = 0,2 Рз = 0,2 Р4 = 0,1
А1 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 0
А2 - 1,17 0,94 3,05 3,05 0,52 2,17
А3 -4,03 1,56 1,56 7,16 - 0,68 4,38
А4 -6,94 2,19 2,19 11,31 - 1,46 6,81
Таблица 7
Результаты оптимизации структуры портфеля
Л У4 стр ст / ст Р' ро
0 0,80 0,93 -0,44 -0,29 5,47 1,63
1,69 1,02 -0,02 0 0 0 0
3,38 1,20 -0,96 0,46 0,30 2,91 0,87
4,22 1,30 -1,44 0,68 0,46 7,52 2,25
5,06 1,40 -1,90 0,90 0,60 14,2 4,25
Анализ результатов оптимизации позволил выявить следующие закономерности.
В том случае, когда приоритетом выступает снижение риска при удовлетворительной доходности, то из пяти полученных вариантов портфелей интерес представляют второй и третий, поскольку только они при положительных ожидаемых до-ходностях (1,69 и 3,38) обеспечивают снижение риска по сравнению с начальным портфелем, причем при принятии второго варианта — до нуля с использованием практически всех ресурсов на покупку актива А1.
Структура третьего варианта портфеля предполагает увеличение покупок, в том числе в кредит, активов А1 и «короткие продажи» активов А2. Активы А3 и А4 рекомендуется увеличить с 25 % до соответственно 46 и 30 %.
В том случае, когда приоритетом выступает доходность, которая вместе с тем сопровождается ростом риска, то выбор следует остановить на четвертом и пятом вариантах, которые по своей сути интенсифицируют стратегию третьего варианта портфеля.
Таким образом, для данных табл. 7 установлена функциональная зависимость (рис. 10) доходности оптимального портфеля (п — ось ординат) от его минимального риска (стр — ось абсцисс).
Очевидно, что практический интерес представляет восходящий участок (ветвь) представленной на рис. 10 параболы, на котором рост доходности портфеля сопровождается ростом его риска.
Проверим, насколько эти выводы соответствуют фактическим результатам, полученным на рынке акций в течение второго этапа исследований Т?.
На рис. 11 представлена полученная кривая рискового безразличия, а в табл. 8 — показатели «доходность — риск» для отдельных активов А .
Как видно, достигнутые показатели доходности являются разнонаправленными, причем даже в пределах одного актива А3, но максимальная положительная доходность достигнута только в активе
А1.
Полученные результаты позволяют сделать ряд выводов:
Таблица 8
Показатели «доходность — риск» на втором этапе
Показатель А1 А2 А3 А4
Риск 8,44 2,84 3,38 2,77 4,64
Доходность 6,82 -0,85 0,55 — 0,91 1,95
1. Сравнение данных табл. 7 и 8 показывает, что из совокупности прогнозных вариантов оптимального портфеля существуют варианты, адекватно отражающие реально формирующиеся тенденции на фондовом рынке.
2. Сравнение кривых рискового безразличия на первом и втором этапах (рис. 2 и 11) позволяет сделать вывод о преобразовании общего понижательного тренда в восходящий, т. е. допущение о доминировании на втором этапе позитивного сценария оказалось правомерным.
3. Положительная ожидаемая доходность портфеля при минимальных рисках достигается в двух случаях:
а) при использовании второго варианта, когда вектор S структуры портфеля является одномерным, т. е. состоит только из одного актива А1;
б) при использовании третьего варианта, отличительная особенность которого заключается в покупках в кредит актива А1 и реализации механизма «коротких продаж» актива А2.
-Ряд 1
10
12
14
16
Рис. 10. Зависимость доходности оптимального портфеля от его риска
8 1 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2
у = 0,1715х2 - 0,6643х + 0,3979 Н2 = 0,9415
-Ряд 1
■Полиномиальный (Ряд 1)
Рис. 11. Кривая рискового безразличия для рынка акций на втором этапе
4
6
8
4. Степень перераспределения ресурсов для реализации альтернативных вариантов определяется инвестором индивидуально в соответствии с его склонностью к риску, т. е. с использованием кривой «ожидаемая доходность — минимальный риск» портфеля (см. рис. 10).
Для установления стратегии переходов от начального портфеля S0 = (0,25; 0,25; 0,25; 0,25) к одному из альтернативных и оптимальных портфелей, например ко второму с вектором S1 = (1,02; — 0,02; 0; 0), используем аппарат цепей Маркова.
Составим матрицу переходов А = (Р..) со следующей структурой:
А =
Г 1,1 -0,04 -0,03 -0,03"
0,33 0 0,33 0,34
0,34 0,33 0 0,33
ч 0,33 0,34 0,33 0 ,
(15)
Консервативность инвестора по показателю следа данной матрицы равна 0,275, что свидетельствует о весьма рискованной стратегии при реализации переходов к портфелю, состоящему из одного актива,
1,2
1
0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2
Рис. 12. Характер циклического приближения к структуре оптимального портфеля:
1 — Ур 2 — у2; 3 — У3; 4 — У4
-5
Рис. 13. Кривые рискового безразличия на рынке акций: 1 — второй этап; 2 — третий этап;
в частности А1. Однако данные табл. 8 по критерию доходности свидетельствуют об оправданности такой стратегии, несмотря на высокие риски.
Стационарность процесса приближения портфеля к оптимальной структуре, оцениваемая определителем матрицы А, оказалась близкой к нулю, т. е. инвестор при реализации выбранной стратегии действительно должен быть склонен к весьма высокому риску для достижения максимальной доходности.
Если инвестор принимает на себя такие риски, то циклическое умножение вектора S0 на матрицу А позволяет установить следующие переходные состояния по мере приближения к оптимальному портфелю S1 (рис. 12).
Данные рис. 12 свидетельствуют о целесообразности постепенного приближения к одномерной структуре портфеля, что можно объяснить высокими рисками таких преобразований и возможностью промежуточного анализа их эффективности.
Выявленные закономерности трансформации кривых рискового безразличия на первом и втором этапах обусловили необходимость в течение дополнительного периода Т3 = 15 дней (третий этап) продолжения наблюдений за ценовыми тенденциями в активах акций в целях проверки устойчивости формирующихся трендов.
Установлено, что доходности всех активов к окончанию третьего этапа перешли в положительную область, а соответствующая кривая рискового безразличия устремилась вверх (рис. 13).
К окончанию периода Т3 продолжился ценовой рост всех активов, т. е. позитивный сценарий распространился и на этот период.
Максимальную доходность (22,35 %) обеспечили инвестиции в актив А1. Таким образом, суммарно за календарные 60 дней (этапы 2 и 3) его доходность составила величину 29,17 %, значительно превысив этот показатель для других активов, однако достижение максимальной доходности сопровождалось ростом
■Ряд 1 Ряд 2 Ряд 3 ■Ряд 4
у = 0,1151 х2 + 1,7605* - 0,4517 R 2 = 0,8758
Ряд 1 Ряд 2
■Полиномиальный (Ряд 2) ■Полиномиальный (Ряд 1)
у = 0,1718*2 R2
■ 0,6683* + 0,4074 = 0,9413
0
Ряд 1 Ряд 2 Ряд 3
-Полиномиальный (Ряд 2) -Полиномиальный (Ряд 1) -Линейный (Ряд 3)
Рис. 14. Кривые рискового безразличия для ПИФов акций на первом (1), втором (2) и третьем (3) этапах
ценовых вариаций актива и, соответственно, его риска, который также оказался максимальным, превысив значение 8 %. Вместе с тем для инвестора, склонного к риску, формирование такой одномерной структуры инвестиционного портфеля по сравнению с диверсифицированной структурой оказалось бы весьма оправданным.
Учитывая мобильность и высокую ликвидность рынка акций, правомерно поставить вопрос о том, в какой мере результаты оптимизации индивидуального портфеля оказывают влияние на формирование коллективного портфеля ценных бумаг и существует ли взаимосвязь между этими способами портфельных инвестиций?
Для корректности сравнительный анализ выполнен только для показателей коллективных инвестиций в активы, связанные с рынком акций.
С этой целью для всех трех этапов исследований были проанализированы показатели «доходность — риск» 9 ПИФов акций из общей совокупности данных паевых фондов, рассмотренных в первой части настоящей статьи, и выявлены соответствующие кривые рискового безразличия (рис. 14):
Данные рис. 14 однозначно свидетельствуют о том, что изменения в ценовых тенденциях (доходности) сопровождаются трансформацией формы и параметров кривых рискового безразличия, а сравнение этих результатов с данными рис. 13 для второго этапа исследований показывает, что спот-рынок акций мобильнее реагирует на изменения тенденций, чем более инерционный рынок паев.
Таким образом, выполненные исследования позволяют сделать следующие выводы.
1. При негативных сценариях развития фондового рынка момент перехода кривой рискового безразличия из первого квадранта в четвертый является сигналом:
а) на рынке акций — для их продажи либо для открытия «коротких» позиций;
б) на рынке коллективных инвестиций — для продажи паев.
2. При изменении сценария развития момент перехода кривой рискового безразличия из четвертого квадранта в первый является сигналом:
а) на рынке акций — для их покупки либо для закрытия «коротких» позиций;
б) на рынке коллективных инвестиций — для покупки паев.
3. Рынок акций действительно выступает в качестве индикативного для более инерционного рынка паев, причем информативными показателями для сравнительного анализа служат форма и параметры кривых рискового безразличия.
4. Оптимизация структуры портфеля акций позволяет выявить отдельные отраслевые активы, по которым целесообразно открывать «длинные» либо «короткие» позиции, что обеспечивает дополнительную возможность и определяет ориентиры при покупке (продаже) паев соответствующих отраслевых фондов (нефтегазовых, энергетических, телекоммуникационных и т. д.).
5. Использование аппарата цепей Маркова конкретизирует процесс приближения к оптимальной структуре портфеля с оценкой риска цикличности и характера переходных состояний.
Результаты проведенного исследования дают основания считать, что представленная математическая модель оптимизации и преобразования структуры портфеля ценных бумаг, построенная на сочетании классической теории оптимального портфеля с теорией марковских цепей, показала себя как универсальная. Модель была реализована: 1) при анализе стратегий коллективных и индивидуальных инвестиций; 2) в условиях негативных сценариев развития фондового рынка.
Один из известнейших экономистов ХХ в. Дж. М. Кейнс, занимающийся проблемами общей экономической теории, отмечал, что правильная теория должна быть обратимой, чтобы сохранить свои выводы и тогда, когда существует положительная тенденция, и тогда, когда она отрицательна [4]. Следовательно, данная модель может быть использована в качестве теоретической базы для разработки методики составления прогноза показателей эффективности инвестиций при различных сценариях развития фондового рынка.
Литература
1. Markowitz H. M. Portfolio selection// Journal of Finance. 1952. Vol. 7. P. 77 - 91.
2. Tobin J. The theory of portfolio selection // Theory of interest rates / Ed. by F. H. Hahn, F. P. R. Brechling. London, 1965. P. 3 - 51.
3. Sharpe W. F. A simplified model for portfolio analyses // Management Science. 1963.Vol. 9. P. 277 - 293.
4. Кейнс Дж. М. Общая теория занятости, процента и денег. М. 1999. С. 202.
5. Воронцовский al. В. Управление рисками: Учеб-
ное пособие. 3-е изд. СПб.: Изд-во СпбГУ; ОЦЭиМ, 2005. 482 с.
6. Сергеева И. Г. Инвестиционные стратегии на рынке производных финансовых инструментов. СПб.:НОУ Институт бизнеса и права, 2000. 97 с.
7. Солодовников А. С. Теория вероятностей: Учебное пособие. 2-изд., М.:Вербум-М, 1999. 208 с.
8. Шапиро В. Я., Шапиро Н. А. Использование цепей Маркова для прогноза эффективности ПИФов. Экономическое развитие: теория и практика: Материалы международной научной конференции. СПб: Изд-во СПбГУ; ОЦЭиМ, 2007. С. 79 — 81.
БЮДЖЕТНЫЙ КОДЕКС РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Постатейный научно-практический комментарий коллектива ученых Центра исследования финансовых проблем Финансовой академии при Правительстве РФ под руководством и общей редакцией доктора экономических наук, профессора, заслуженного деятеля науки РФ В.М.Родионовой
Желающим приобрести сборник следует перечислить за один экземпляр 320 рублей
(включая НДС и оплату за пересылку) по реквизитам: 125993, г. Москва, ЗАО «Библиотечка РГ», ИНН 7721017444, КПП 772101001, р/с 40702810200000002764 в ОАО АКБ «ЛЕСБАНК», г. Москва, к/с 30101810500000000694, БИК 044579694, код ОКОНХ 87100, код ОКПО 36557391. В платежном поручении обязательно укажите ваш точный обратный адрес с индексом и название заказываемого сборника: «Бюджетный кодекс РФ».
Москвичи и гости столицы могут приобрести названное издание непосредственно в редакции по адресу: Москва, ул. Правды, 24 (м. «Савеловская») по цене 280 рублей. Контактные телефоны редакции: 8-499-257-40-31, 8-499-257-52-47 (тел.-факс). Предварительную заявку можно осуществить по электронному адресу: bibliotechka@rg.ru Оптовым покупателям предоставляются значительные скидки.
