Моделирование поля деформаций и зон дилатансии в упругом полупространстве с комбинацией двойных сил Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2011. № 1 (2). C. 32-37

Математическое моделирование Mathimatical simulation

517.958:539.3(3)

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЯ ДЕФОРМАЦИЙ И ЗОН ДИЛАТАНСИИ В УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ С КОМБИНАЦИЕЙ

ДВОЙНЫХ СИЛ

Боброва М.Е., Пережогин А.С.

Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, Камчатский край, с. Паратунка, ул. Мирная, 7

E-mail: drew72156@yandex.ru

Рассмотрена модель зон дилатансии в поле напряжений двойных сил в однородном, изотропном, упругом полупространстве. Выполнены расчеты компонент тензора напряжений и критерия дилатансии. Сопоставлены уровни относительных деформаций с областями дилатансии горных пород.

Ключевые слова: напряженно-деформированное состояние, дилатансия, модель Миндли-на, деформации земной коры

© Боброва М.Е., Пережогин А.С., 2011

MSC 74B05:86-04 MODELING OF STRESS FIELD AND DILATANCYS ZONES IN ELASTIC HALFSPACE OF DOUBLE

FORCE

Bobrova M.E., Perezhogin A.S.

Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation Far-Eastern Branch, Russian Academy of Sciences, 684034, Kamchatskiy Kray, Paratunka, Mirnaya st., 7 E-mail: drew72156@yandex.ru

A model of the dilatancy’s zones in the stress field of the double forces in a homogeneous, isotropic elastic half-space was considered. Calculations of the stress tensor components and the criterion of dilatancy were perfomed. Relative defomations of Earth crust were interconnected with zone of dilatancy.

Key words: stress field, dilatancy, the problem of Mindlin, deformation of Earth crust

© Bobrova M.E., Perezhogin A.S. , 2011

Введение

В сейсмоактивных зонах тектонические силы, возникающие на стыке блоков земной коры, формируют области повышенных тектонических напряжений, где процессы раскрытия трещин могут приводить к разрушению среды. Такого рода изменения в горных породах большинство сейсмологов связывают с состоянием нелинейного разуплотнения среды за счет образования трещин сдвига при достижении касательных напряжений некоторого порога. Поля напряжений и деформаций горных пород влияют на процессы в различных геофизических полях. В частности, уровень воды в скважинах, повышение интенсивности выделения подпочвенного радона, аномалии в геоакустических сигналах, электрическом и магнитном полях являются следствием изменения напряженно-деформированного состояния среды. Физико-математической моделью, которая может связывать все эти процессы, является модель зон дилатан-сии, разуплотнения горных пород за счет доминирования касательных напряжений над сжатием. В случае простой сосредоточенной силы зоны дилатансии исследованы в работе [1]. Моделирование в случае двойной силы направленной параллельно свободной границе проведено в работе [3].

В настоящей работе с помощью математического моделирования получено пространственное распределение зон дилатансии для комбинации трех двойных сил, описывающих точечный центр расширения [5]. В зависимости от параметров точечного источника происходит образование двух зон дилатансии: «очаговой» в окрестностях источника и «пограничной» около свободной поверхности. Исследовано поведение «пограничной» зоны при изменении интенсивности двойных сил и глубины источника напряжений. Так как прямое измерение напряжений в земной коре невозможно, то для практического обнаружения областей дилатансии будет полезно сопоставление критерия дилатансиии с уровнем относительных деформаций земной коры. Представленные результаты моделирования дают возможность оценки размеров зон дилатансии по уровню относительных деформаций горных пород. Сопоставления результатов моделирования зон дилатансии и областей относительных деформаций при одних и тех же параметрах модели показывают, что максимальные сдвиговые деформации порядка 10-5 соответствуют областям нелинейного разуплотнения.

Постановка задачи

Рассмотрим модель земной коры в приближении упругого однородного изотропного полупространства. Полупространство совпадает с положительным направлением оси OZ. Тензоры напряжений Otj и деформаций £¿j и вектор смещения щ удовлетворяют системе уравнений:

(1)

(2)

Oi j — -Я- £ц 8t j + 2 Д fit j,

(3)

где X - двойная сила, X, д - коэффициенты Ламэ, 8^ - символ Кронекера. Граничным условием для системы (1 - 3) является свободная граница г = 0: отх|т=о =

®ту 1г=0 = О^г|г=0 = 0.

Источник в виде комбинации трех двойных сил помещен в точку с на оси 02 (рис. 1). Интенсивность действия двойных сил одинакова для каждой из них. Общая интенсивность равна о. Для нахождения поля напряжений можно воспользоваться представлением Галеркина. Компоненты тензора напряжений в упругом изотропном полупространстве могут быть выражены через частные производные вектора Галеркина [2]:

J ( д2 ,

ö-xx — 2(1 — v) — ЛХ + ( vЛ — д~2 ) divH,

д д2

öyy = 2(1 — v) дyЛY +уVЛ — dy2 )divH,

J ( д2 .

özz = 2(1 — v)^ЛZ + Í vЛ — —2 ) divH,

( д д \ д2 öyz — (1 — v ) — ЛY + — ЛZ — div H,

V д z

д y

д y д z

özx =(1 — vИ дгхAZ + JzAX) — діді div H

öxy — (1 — v 4 ^ЛХ+Л ayJ — дÎâÿ div H,

(4)

где X, У,X - координаты вектора Галеркина Н; охх, оуу, охх, о^, оуг, огх, оху - компоненты тензора напряжений; А - оператор Лапласа, V - коэффициент Пуассона.

Рис. 1. Направление действия двойных сил X в однородном изотропном полупространстве. Мо - интенсивность двойных сил.

Используя 4 и суммы векторов Галеркина для двойных сил без момента [4] получены явные решения для тензора напряжений с помощью пакета аналитических вычислений Maxima [7].

В работе [1] предложен критерий возникновения зон дилатансии в поле напряжений горных пород земной коры:

Dt = т — а(P + рgz) — S > 0, (5)

где Т — ^ ( (öxx — öyy)2 + (öyy — özz)2 +(özz — öxx)2 + б (öx2 + ö2 + CT¿)) 2 - интенсив-

7УУ/ ^ ч^УУ ™тт) ~ Vwтт '-'хх; т ^ ^Чху ~ '-’ут ~ '-’тл

ность касательных напряжений, Р = — °Лл+0уу+еттт - давление, а - коэффициент внутреннего трения, р - плотность породы, g - ускорение свободного падения, т - координата точки, У - сцепление породы. В зонах, где > 0, касательные напряжения

доминируют над сжимающими напряжениями, и развивается дилатансия. Те зоны, где < 0, являются зонами без нелинейного разуплотнения среды.

Для сопоставления с уровнем относительных деформаций в областях дилатан-сии выполнены расчета максимальных касательных напряжений. Для выделения не только критических, но и всех других возможных уровней напряжений, воспользуемся величиной атах = тах(|01 — 021, 0 — оз|, |оз — Ох |)/2 - критерием максимальных касательных напряжений, где ох,02,03 - главные значения тензора напряжений. С помощью значения максимального касательного напряжения определим относительные деформации сдвига:

^ _ (1 + ^) 0

£тах — 7^ 0тах (6)

Е

В упругом полупространстве определим следующие уровни сдвиговых деформаций £тях 10—8 — 10—7;10—7 — 10—6;10—6 — 10—5;10—5 <. Значение 10—8 величины £тах соответствует уровню приливной деформации земной коры, а значение больше чем 10—5 - образованию области разуплотнения и достижению предела прочности пород. При численном моделировании установим уровень сдвиговых деформаций соответствующих области дилатансии.

Численное моделирование

В случаях действия простой силы и двойных сил происходит образование двух зон дилатансии - «очаговой» в окрестностях приложения силы и «пограничной» в слое около свободной поверхности [1, 3]. Исследуем формирование зон дилатансии в зависимости от глубины и интенсивности рассматриваемого сосредоточенного источника.

Для того, чтобы представить форму зоны дилатансии, необходимо рассмотреть соответствующие сечения трехмерной области. На рис. 2 приведены результаты моделирования зон дилатансии по формуле (5) для различных интенсивностей источника и его глубины. Использовались следующие параметры земной коры: V=0.25, X = 3.48 ■ 1010 Па, д=3.48 ■ 1010 Па, р=2900 кг/м3, £=9.8 м/с2, У=3 ■ 106 Па, а=0.5. Визуализация результатов моделирования выполнена с помощью пакета построения графиков £пирЫ [6]. В связи с симметричностью решений поля напряжений сечение по 0У будет выглядеть аналогично сечению по ОХ.

В случае с интенсивностью М0 = 5 ■ 1020 Н-м на глубине с=10050 м видно, что «очаговая» зона дилатансии соединяется с «пограничной». Для заданной интенсивности и глубины источника размер области дилатансии на земной поверхности рис. (2, б) составляет десятки километров.

Рис. 2. Зона дилатансии в сечении x=0 (a, г, ж), на свободной поверхности z=0 (б, д, з); сдвиговые деформации z=0 (в, е, и). 1 - зона дилатансии, 2 - область без нелинейного разуплотнения среды, 3 - относительная деформация 10—4, 4 - относительная деформация 3 10—5.

На рис. (2, г, д) приведены результаты моделирования зон дилатансии по формуле (5) для источника с интенсивностью M0 — 5 ■ 1020 H-м на глубине с=15050 м.

В этом случае «очаговая» зона дилатансии не соединяется с поверхностью. При этом на поверхности происходит образование «пограничной» зоны дилатансии. С увеличением глубины источника «пограничная» область пропадает и появляется лишь в окрестности источника напряжений в точке (0,0,15050). Рис, (2, ж, з) показывает результаты моделирования зон дилатансии по (5) на глубине с=10050 м при M0 — 5■1019 H-м. В этом случае зона дилатансии находится в области источника напряжений. Размер «пограничной» зоны незначительно отличается от размера «очаговой» зоны.

Результаты моделирования уровней относительных деформаций на рис. (2, в, е, и) показывают, что области дилатансии соответствуют уровню деформаций 3 ■ 10—5. Таким образом, обнаружение дилатансионных эффектов происходит при относительной деформации близкой к разрушительным значениям для горных пород порядка 10—5 — 10—4.

Заключение

Показано наличие области дилатансии на поверхности Земли для случая действия трех двойных сил. Протяженность «пограничной» зоны дилатансии в зависимости от интенсивности и глубины источника может составлять до десятков километров. «Пограничная» и «очаговая» зоны дилатансии могут соединяться между собой или не соединяться в зависимости от параметров модели. При этом связь между размерами зон дилатансии и параметрами модели - глубиной и интенсивностью источника, является нелинейной. При незначительном изменении этих параметров области нелинейного разуплотнения в приповерхностном слое земной коры могут не возникать.

Математическое моделирования поля деформаций показывает, что зоны дилатансии формируются при относительных деформациях порядка 10-5. При выбранных параметрах горных пород получено, что уровень сдвиговых деформаций равен 3 ■ 10-5. Все это дает возможно с помощью инструментальных средств наблюдений, например лазерного деформографа, определять накопление напряжений в горных породах, формирующих области дилатансии в сейсмоактивных регионах.

Литература

1. Алексеев А.С., Белоносов А.С., Петренко В.Е. О концепции многодисциплинарного прогноза землетрясений с использованием интегрального предвестника // Проблемы динамики литосферы и сейсмичности: Сб. науч. тр. ГЕОС. Вычислительная сейсмология. - 2001. - вып. 32. - С. 81-97.

2. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. - 302 с.

3. Пережогин А.С., Шевцов Б.М. Модели напряженно-деформированного состояния горных пород при подготовке землетрясений и их связь с геоакустическими наблюдениями // Вычислительные технологии. - 2009. - Т. 14. - № 3. - С. 48-58.

4. Mindlin R.D., Cheng D.H. Nuclei of Strain in the Semi-Infinite Solid // Journal of Applied Physics. - Vol. 21. - 1950. - P. 926-930.

5. Okada Y. Internal deformation due to shear and tensile faults in a half-space // Bulletin of the Seismological Society of America. - 1992. - Vol. 82. - № 2. - P. 1018-1040.

6. http://www.gnuplot.info

7. http://maxima.sourceforge.net/ru

Поступила в редакцию / Original article submitted: 25.01.11