CC BY
35
УДК 539.3
Моделирование полос локализации пластической деформации «шахматная доска» с учетом статистического разброса параметров зерен поликристалла
В.А. Полянский1, А.К. Беляев1, А.И. Грищенко1, A.M. Лобачев1, B.C. Модестов1, А.В. Пивков2, Д.А. Третьяков1, Л.В. Штукин1, A.C. Семенов1, Ю.А. Яковлев1
1 Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, Санкт-Петербург, 195251, Россия 2 Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации, Санкт-Петербург, 196210, Россия
В работе исследован эффект локализации пластической деформации, известный в литературе как «шахматная доска». Проведено конечно-элементное моделирование равномерного растяжения полосы из поликристаллического материала с учетом предположения о нормальном распределении пределов текучести по зернам. Использована простейшая модель изотропного материала с одинаковым для всех зерен коэффициентом линейного упрочнения. Для двух случаев (плоское напряженное состояние и трехмерное напряженно-деформированное состояние) при расчетах получен эффект локализации пластических деформаций в виде множества пересекающихся полос. При этом исходно плоская поверхность образца приобретает вид «шахматной доски».
Ключевые слова: шахматная доска, пластические деформации, конечно-элементное моделирование, локализация пластических деформаций
Modeling of bands of chessboard-like plastic strain localization with regard to the statistical variability of polycrystalline grain parameters
V.A. Polyanskiy1, A.K. Belyaev1, A.I. Grishchenko1, A.M. Lobachev1, V.S. Modestov1, A.V. Pivkov2, D.A. Tretyakov1, L.V. Shtukin1, A.S. Semenov1, and Yu.A. Yakovlev1
1 Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, St. Petersburg, 195251, Russia 2 St. Petersburg State University of Civil Aviation, St. Petersburg, 196210, Russia
The effect known in the literature as the chessboard-like plastic strain localization has been investigated. A finite element modeling of uniform tension of a polycrystalline metal strip is carried out with the assumption of a normal yield stress distribution over grains. The simplest model of an isotropic material with the same linear hardening coefficient for all grains is used. The calculations performed for two cases of plane stress and three-dimensional stress-strain state have shown that plastic strain localization occurs in the form of numerous intersecting bands. In this case, the initially flat surface of the specimen exhibits a chessboard pattern.
Keywords: chessboard, plastic deformation, finite element modeling, plastic strain localization
1. Введение
При пластическом деформировании целого ряда сплавов, в том числе перспективных алюминиево-маг-ниевых сплавов, наблюдается пространственная неоднородность пластической деформации. Эта неоднородность и сопровождающие ее образование при равномерной деформации «сбросы напряжений» являются основными проявлениями эффекта Портевена-Ле Шателье [1]. Более поздние исследования полей пластической деформации позволили установить, что при пласти-
ческом деформировании образуются полосы пластической деформации, характерное расстояние между которыми зависит от размера зерна [2].
Объяснению и моделированию эффекта Портевена-Ле Шателье посвящено множество работ, см. обзоры [3-5]. Основным механизмом считается перемещение или даже «прыжки» дислокаций внутри металла при пластическом деформировании и взаимодействие их с вакансиями, инородными включениями и другими нарушениями структуры, которые способствуют неустой-
© Полянский В.А., Беляев А.К., Грищенко А.И., Лобачев A.M., Модестов B.C., Пивков A.B., Третьяков Д.А., Штукин Л.В., Семенов A.C., Яковлев Ю.А., 2017
чивому движению дислокаций и формированию полос пластической деформации. Более того, сам эффект часто используется как тест для проверки различных моделей перемещения дислокаций и их взаимодействия со структурой металла [2].
У такого дислокационного подхода есть существенный недостаток. Рассчитанные с его помощью механические характеристики сильно зависят от плотности дислокаций на поверхности зерен (см., например, [6]). Эта величина не поддается прямому измерению. Моделирование поведения большого количества дислокаций требует задания обобщенных энергетических характеристик этого ансамбля, что требует задания дополнительных физических микропараметров. Наличие большого числа параметров в характеристиках материала позволяет аппроксимировать любые экспериментальные зависимости и обеспечить полное соответствие дислокационной модели экспериментальным данным [2]. Эти параметры трудно, а иногда и невозможно измерить даже при полном разрушении исследуемого образца (например, при облучении пучком в электронном микроскопе). Другими словами, дислокационная модель не позволяет сделать количественный прогноз без предварительной подгонки параметров по результатам испытаний материала с той же начальной плотностью дислокаций.
Поиск решения этих проблем привел к появлению обобщенных моделей локализации пластических деформаций, моделирующих ее как процесс потери устойчивости движения. Для этого рассматривается деформация с небольшой постоянной скоростью, а в уравнения сплошной среды вводятся элементы, способные вызвать неустойчивость решений.
Применяются три основных подхода:
1) задание зависимости скорости изменения напряжений от скорости изменения деформаций, имеющей участок с отрицательным наклоном [7, 8];
2) введение нелинейных зависимостей в уравнения сплошной среды за счет моделирования диффузии вакансий и связанных с ними дислокаций и нелинейных определяющих уравнений материала [9, 10];
3) описание образования дислокаций как случайного, развивающегося во времени процесса, переход к стохастическим динамическим уравнениям сплошной среды [11]. В этом случае неравномерность процесса деформации описывается как стохастическая неустойчивость.
Относительно новым направлением является мезомеханика [12, 13]. Уравнения сплошной среды, полученные при совместном рассмотрении процессов на разных масштабных уровнях, позволяют получить решения, описывающие локализацию пластической деформации одновременно в нескольких местах. Ими описывается возникновение системы полос локализации плас-
тической деформации типа «шахматная доска» [14], наблюдаемое экспериментально [13].
Другие подходы на базе уравнений сплошной среды не позволяют описать такую систему полос. Например, в работах [7, 15] рассматривается только одна полоса локализации пластической деформации. В работе [8] рассматривается одноосная деформация одномерного материала, состоящего из участков со случайным распределением начальных скоростей деформации. Зависимость скорости изменения напряжений от скорости изменения деформаций имеет участок с отрицательным наклоном. Такое случайное распределение начальных условий позволяет получить несколько полос локализации пластической деформации, но является спорным с физической точки зрения.
В рамках мезомеханики в работе [16] предлагается использовать кинетические уравнения, описывающие эволюцию дислокационного континуума, вводится пластический сдвиг зерен, а при вычислении скоростей пластических сдвигов и деформаций задается нелинейная зависимость главного пластического сдвига от касательных напряжений. В работах [17, 18] перемещение дислокаций моделируется на мезоуровне за счет сдвига зерен вдоль границ. При конечно-элементном моделировании для этого используется материал с разными пределами текучести для зерен и границ зерен. В работах [19-22] образование полос локализации пластической деформации моделируется при динамическом на-гружении в мезообъеме с помощью модели материала, имеющей релаксационную характеристику. За счет этой характеристики при определенных скоростях нагруже-ния на диаграмме напряжения деформации появляется падающий участок. Неравномерная динамическая деформация и поворот зерен приводят к локализации пластической деформации.
В работе [23] дополнительно вводятся различные коэффициенты упрочнения для различных зерен, связанные с различной ориентацией кристаллографических осей зерен. Континуальные характеристики скольжения зерен впервые введены в работах [24-26], они позволяют описать микролокализацию пластической деформации и образование полос локализации-скольжения. В [27] разориентация кристаллографических осей зерен в мезообъеме рассматривается как главная причина неравномерной пластической деформации. Она приводит к различным для каждого зерна факторам Шмида. Из-за этого возникает локальное скольжение зерен, которое начинается с границы зерна, имеющего наименьший фактор.
Таким образом, потеря устойчивости равномерной одноосной деформации материала моделируется либо с помощью косвенного нарушения закона сохранения энергии (путем задания неустойчивого участка его характеристики или с помощью неустойчивости в сто-
хастической системе, описывающей поведение дислокаций), либо путем усложнения модели сплошной среды за счет введения моментных напряжений, поворотов зерен и пластических сдвигов, либо с помощью точки бифуркации, возникающей за счет введения дополнительных нелинейных соотношений в определяющие уравнения [28]. Эти нелинейные соотношения часто получаются из рассмотрения процессов зарождения и миграции дислокаций. Процесс локализации пластических деформаций рассматривается как динамический, волновой.
Эти предположения противоречат некоторым экспериментальным данным и исходной постановке задачи, что отмечено самими авторами описанных выше моделей. Например, в работе [4] взаимодействие дислокаций с неоднородностями структуры рассматривается как основной физический механизм локализации пластической деформации, в работе [2] получена экспериментальная зависимость геометрических характеристик локальных полос от размеров зерна.
Авторы всех вышеперечисленных статей, так или иначе, соглашаются с тем, что исходная естественная неоднородность материала может играть существенную роль в возникновении локализации пластической деформации. Вместе с тем, за исключением [23, 27], во всех известных нам работах такая неоднородность учитывается бинарно. Например, в работе [29] она задана в виде модели мягкого металла, содержащего более жесткие зерна другого металла. В работах [17, 18, 30, 31] неоднородность задана в виде отдельной модели деформирования для межзеренных границ.
Реальная неоднородность у большинства известных изотропных поликристаллических материалов определяется не только наличием межзеренных границ. Как правило, в поликристаллическом материале, помимо дефектов, имеется существенный разброс размеров и кривизны поверхности каждого зерна. Эффект влияния размеров зерна на пластическую деформацию изотропного материала описывается законом Холла-Петча [32, 33].
Из этого закона следует, что на мезоуровне некорректно рассматривать материал как однородный. Разброс параметров зерен поликристаллического материала может существенно влиять на пластическую деформацию как отдельных микроскопических зерен (мезо-уровень), так и всего материала (макроуровень). Его необходимо учитывать при моделировании пластической деформации.
Важным проявлением эффекта локализации пластической деформации является образование системы пересекающихся полос на поверхности материала типа «шахматная доска». Впервые этот термин был предложен В.Е. Паниным в статьях [13, 34, 35], где сообщалось, что экспериментально обнаружен и теоретически
подтвержден эффект «шахматного» распределения нормальных и касательных напряжений на интерфейсах и сделано заключение о важной роли обнаруженного эффекта в различных явлениях природы.
Альтернативное объяснение образования шахматного характера поверхности дано в цикле работ Н.Ф. Морозова [36-40], в которых авторы рассматривали сжатие различных упругих тел. В рамках геометрически линейной постановки были исследованы как изотропные упругие тела в двумерной постановке (пластины, пластины на упругом основании), так и полупространства и слои из трансверсально-анизотропного упругого материала. Показано, что при превышении критического значения сжимающей нагрузки материал выходит из плоскости нагружения. При этом в материале происходит волнообразование, приводящее к появлению регулярной структуры на поверхности, что также напоминает «шахматную доску».
Ниже показано, что для описания эффекта «шахматной доски» на поверхности достаточно напряженно-деформируемого состояния поликристаллического материала в предположении о нормальном распределении пределов текучести по зернам внутри материала.
2. Модель локализации пластических деформаций на основе материала с неоднородным распределением параметров зерен
Для того чтобы учесть влияние основных факторов на неоднородность пластической деформации, рассмотрим простейшую модель неоднородности материала. Известно [41], что формоизменение поликристаллического металла при обработке давлением происходит в результате пластической деформации каждого зерна. Так как размеры зерен различаются и ориентированы различным образом, пластическая деформация не может протекать одновременно и одинаково во всем объеме поликристалла.
Зависимость предела текучести от среднего размера зерна в поликристаллическом металле описывается эмпирическим законом Холла-Петча [32, 33], авторы которого объясняли обнаруженную ими зависимость тем, что условия роста микротрещины внутри зерна зависят от размеров зерна.
В работе [42] при моделировании экспериментальных данных учтено влияние сил поверхностного натяжения на предел текучести. Эти силы зависят от размера зерна, кривизны его поверхности и соотношения объемных упругих сил к поверхностным. Опираясь на данное предположение, можно моделировать изотропный поликристаллический материал как совокупность монокристаллических зерен, имеющих различные механические характеристики.
Рис. 1. Конечно-элементная модель
Из-за огромного количества зерен аналитическое описание материала возможно только с помощью стохастических дифференциальных уравнений. Такой подход добавляет в модель возможность стохастической неустойчивости, что затрудняет непосредственную проверку исходных предположений.
Рассмотрим модельный материал, в котором упруго-пластическое деформирование каждого зерна подчиняется билинейному закону. Размеры зерен имеют в первом приближении нормальное распределение с относительно небольшой дисперсией. Поэтому можно полагать, что распределение пределов текучести зерен также с удовлетворительной точностью подчиняется нормальному распределению.
Рассмотрим задачу о квазистатическом растяжении образца в виде тонкой полосы из описанного материала. Моделирование производится в системе конечно-элементного анализа ANSYS. Микроструктуру материала будем моделировать таким образом, что каждый конечный элемент представляет собой одно зерно. При этом для упрощения сеточной модели геометрические размеры всех элементов сетки положим одинаковыми.
Задача рассматривается в динамической постановке для двумерного и трехмерного случаев. Для двумерной модели расчетная область разбивается восьмиузловыми элементами Р1апе182 со стороной 100 мкм (рис. 1). Для трехмерной используются объемные двадцатиузловые элементы Solid186 со стороной 200 мкм.
Граничные условия имеют вид:
их = иу = 0 при у = 0,
их = 0, иу = VI при у = Ь, один из концов полосы неподвижен, другой конец движется с постоянной малой скоростью V. Свойства материалов, использованные в расчете, приведены в табл. 1.
. ^ 0.000
В
Рис. 2. Распределение эквивалентной по Мизесу пластической деформации для средней осевой деформации образца 0.5 %
Таблица 1 Свойства материалов
Е 210 ГПа
V 0.3
а Т Случайная величина, нормальный закон
М[ат] 200 МПа
Б[ат] 10 МПа
Н 2 ГПа
3. Результаты моделирования с помощью метода конечных элементов
3.1. Случай плоского напряженного состояния
На рис. 2 приведено распределение эквивалентной по Мизесу пластической деформации при растяжении образца на величину, соответствующую средней осевой деформации полосы 0.5%. В случае плоского напряженного состояния наблюдается характерная неоднородность деформаций в виде полос вдоль плоскостей с наибольшими касательными напряжениями.
График распределения эквивалентной по Мизесу деформации на поверхности образца по пути АВ (рис. 2) для уровня осевой деформации 0.5 % приведен на рис. 3. Распределение деформации имеет волновой характер с характерным периодом волны порядка размера элемента.
3.2. Результаты для трехмерной постановки задачи
На рис. 4, а приведено распределение эквивалентной по Мизесу пластической деформации на поверхности образца при средней осевой деформации 0.5 %. Наблюдается характерная неоднородность деформации в виде полос, направленных под углом к направлению действия нагрузки.
В трехмерной постановке направление полос локализации пластических деформаций не совпадает с направлением максимальных касательных напряжений.
0 3 6 9 12
Путь, мм
Рис. 3. Распределение эквивалентной пластической деформации вдоль пути АВ
... .. щ
Рис. 4. Распределение эквивалентной по Мизесу пластической деформации на поверхности (а) и боковой грани образца (б) для осевой деформации образца 0.5 %
Этот результат согласуется с большим количеством экспериментальных данных [43-46], но требует обоснования. На рис. 4, б показано распределение эквивалентной по Мизесу пластической деформации на боковой грани образца при осевой деформации 0.5%. На боковой грани направление полос совпадает с направлением максимальных касательных напряжений для изотропного материала. Это может быть объяснено малой неоднородностью по толщине образца. Этот результат также полностью соответствует экспериментальным данным [46, 47].
График распределения эквивалентной по Мизесу деформации на поверхности образца по пути АВ (рис. 4, а) для уровня осевой деформации 0.5% приведен на рис. 5. Видно, что имеет место эффект локализации пластической деформации на поверхности образца.
На рис. 6 представлено распределение эквивалентной по Мизесу пластической деформации, отнесенной к текущей осевой деформации. При возрастании уровня осевой деформации характер деформирования качественно сохраняется при увеличении общего уровня пластических деформаций. Подобное поведение зон локализации пластической деформации наблюдается в экспериментах [48, 49].
На рис. 7 представлена поверхность образца при тысячекратном масштабировании перемещений. Такое
Путь, мм
Рис. 5. Распределение эквивалентной пластической деформации вдоль пути АВ
0 3 6 9 12
Путь, мм
Рис. 6. Распределение эквивалентной пластической деформации, отнесенное к осевой деформации вдоль пути АВ
увеличение позволяет увидеть ярко выраженный рельеф, демонстрирующий локализацию деформаций в виде диагонально направленных полос, и трактовать деформированную поверхность как «шахматную доску» [13, 34, 35].
4. Обсуждение результатов
Как видно из приведенных графиков, предложенная модель поликристаллического металла с неоднородностью на мезоуровне позволяет описать эффект локализации пластических деформаций. Этот результат получен с использованием простейшей билинейной модели материала без падающего участка на кривой на-гружения и без применения других источников неустойчивости равномерных деформаций, например стохастических дифференциальных уравнений и случайных процессов. В результате удается получить волнообразную картину пластических деформаций при равномерном растяжении полосы, что может трактоваться как «шахматная доска» на поверхности образца.
Рис. 7. Деформированное состояние образца при масштабировании перемещений в 1000 раз
Рис. 8. Распределение эквивалентной пластической деформации по пути АВ для трехмерного случая и его приближение Рис. 9. Характерная экспериментальная кривая нагружения гармонической функцией поликристаллического металла
На рис. 8 приведена аппроксимация эквивалентных пластических деформаций на поверхности образца периодической функцией. Видно, что распределение близко к периодическому. Это показывает, что предположение о периодичности напряжений, принятое в работах [13-15] при получении эффекта «шахматной доски», адекватно для материалов со случайным распределением величины пределов текучести по зернам.
В работе [42] обосновано предположение о влиянии сил поверхностного натяжения зерен металла на его предел текучести. С учетом этого предположения разброс в значениях предела текучести может быть связан с естественным разбросом характерного размера и формы зерен, который в некоторых случаях поддается прямому измерению.
Таким образом, параметры полос локализации пластических деформаций можно предсказать, зная разброс размеров монокристаллических зерен. Это хорошо согласуется с известными экспериментальными данными. В работе [50] построена эмпирическая зависимость среднего расстояния между полосами от размера зерна, которая в широком диапазоне размеров от 10 мкм до 4 мм является линейной.
Закон Холла-Петча [32, 33] связывает средний размер зерна d поликристаллического материала и его предел текучести т:
т = т0 + Кй "1/2, где т0 — константа материала, показывающая напряжение, при котором начинают движение дислокации (или сопротивление решетки их движению); К — коэффициент Холла-Петча (обе величины оцениваются по экспериментальным данным). Константы т0 и К зависят от диапазона размеров зерна и некоторых других факторов. В работе [42] показано, что его можно объяснить влиянием сил поверхностного натяжения.
Наличие однозначной связи между средними величинами позволяет сделать обобщение относительно
связи размеров зерна и его предела текучести на мезо-уровне. Такая связь позволяет аппроксимировать нелинейность в точке перехода к пластическому течению за счет разброса параметров зерен. На рис. 9 представлена характерная экспериментальная кривая нагружения поликристаллического металла. Участок АВ может быть описан с помощью нормального распределения предела текучести по монокристаллическим зернам. Его форма зависит от величины дисперсии распределения. При моделировании мы подбирали эту дисперсию по аналогичной экспериментальной кривой нагружения для низкоуглеродистой стали Ст3.
Таким образом, разброс в значениях предела текучести отдельных зерен может быть связан с естественным разбросом размеров и формы зерен, что подтверждается экспериментально и теоретически как с точки зрения дислокационной теории, так и с точки зрения баланса энергий механической деформации и сил поверхностного натяжения.
5. Заключение
В работе предложена математическая модель поликристаллического материала, у которого деформирование каждого из зерен подчиняется билинейному закону с нормальным распределением предела текучести по зернам, без привлечения более сложных закономерностей. Предложенная математическая модель позволяет получить неоднородное квазипериодическое распределение пластической деформации на макроуровне.
Результат получен как для случая плоского напряженного состояния, так и при рассмотрении напряженно-деформированного состояния в трехмерной постановке. Основное различие в результатах для плоского напряженного состояния и трехмерного напряженно-деформированного состояния проявляется в среднем расстоянии между полосами деформации и их ширине. В случае плоского напряженного состояния
эта ширина составляет величину порядка размера зерна, в трехмерном напряженно-деформированном состоянии среднее расстояние между полосами увеличивается до нескольких характерных размеров зерна.
В работе показано, что при использовании предложенной модели при медленном квазистатическом растяжении образца сохраняется характер распределения деформаций по его поверхности с увеличением уровня локальных пластических деформаций.
Отдельно необходимо отметить, что при трехмерном моделировании в силу наведенной анизотропии в материале направление полос пластической деформации на лицевой и тыльной поверхности образца не соответствует направлению максимальных касательных напряжений. На боковых поверхностях, напротив, направление полос совпадает с направлением максимальных касательных напряжений, составляет 45°, что соответствует углу разрушения при разрыве.
Показано, что неоднородная структура пластической деформации может быть обусловлена относительно небольшой (дисперсия 5 %) неоднородностью материала, связанной в том числе с неоднородностью его микро- и мезоструктуры.
Продемонстрирован эффект локализации пластических деформаций в виде диагональных полос, и исходно плоская поверхность приобретает вид «шахматной доски».
Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант № 15-19-00091).
Литература
1. Portevin A., Le Chatelier F. Sur un рИепотепе observe lors de l'essai de traction d'alliages en cours de transformation // Comptes Rendus de l'Acadfimie des Sciences Paris. - 1923. - V. 176. - P. 507-510.
2. Зуев Л.Б., Семухин Б.С., Зариковская Н.В. Зависимость длины волны локализованной деформации от размера зерна при растяжении алюминиевых образцов // ПМТФ. - 2002. - Т. 43. - № 2. -С. 166-169.
3. Зуев Л.Б., ДаниловВ.И., Семухин Б.С. Пространственно-временное
упорядочение при пластическом течении твердых тел // УФН. -2002. - Т. 3. - № 3. - С. 237-304.
4. Ananthakrishna G. Current theoretical approaches to collective behavior of dislocations // Phys. Rep. - 2007. - V. 440. - No. 4. - P.113-259.
5. Rizzi E., Hahner P. On the Portevin-Le Chatelier effect: Theoretical modeling and numerical results // Int. J. Plasticity. - 2004. - V. 20. -No. 1. - P. 121-165.
6. Ovid'ko I.A., Skiba N.V. Enhanced dislocation emission from grain boundaries in nanocrystalline materials // Scripta Mater. - 2012. -V. 67. - No. 1. - P. 13-16.
7. Penning P. Mathematics of the Portevin-Le Chatelier effect // Acta Metall. - 1972. - V. 20. - No. 10. - P. 1169-1175.
8. Lebyodkin M, Brechet Y., Estrin Y., Kubin L. Statistical behaviour and
strain localization patterns in the Portevin-Le Chatelier effect // Acta Mater. - 1996. - V. 44. - No. 11. - P. 4531-4541.
9. McCormickP.G. A model for the Portevin-Le Chatelier effect in sub-
stitutional alloys // Acta Metall. - 1972. - V. 20. - No. 3. - P. 351354.
10. Kalk A., Nortmann A., Schwink C. Dynamic strain ageing and the boundaries of stable plastic deformation in Cu-Mn single crystals // Philos. Mag. A. - 1995. - V. 72. - No. 5. - P. 1239-1259.
11. Leoni F., Zapperi S. Dislocation mutual interactions mediated by mobile impurities and the conditions for plastic instabilities // Phys. Rev. E. - 2014. - V. 89. - No. 2. - P. 022403.
12. Панин В.Е. Основы физической мезомеханики // Физ. мезомех. -1998. - Т. 1. - № 1. - C. 5-22.
13. Панин В.Е., Панин А.В., Моисеенко Д.Д. «Шахматный» мезо-эффект интерфейса в гетерогенных средах в полях внешних воздействий // Физ. мезомех. - 2006. - Т. 9. - № 6. - С. 5-15.
14. Моисеенко Д.Д., Максимов П.В., Соловьев И.А. Стохастический подход к многоуровневому моделированию возмущений на границах раздела в нагруженном твердом теле // Физ. мезомех. - 2004. -Т. 7. - № 2. - С. 19-24.
15. Tarigopula V., Hopperstad O.S., Langseth M, Clausen A.H. Elastic-plastic behavior of dualphase, high-strength steel under strain-path changes // Eur. J. Mech. A. Solids. - 2008. - V. 27. - P. 764-782.
16. Макаров П.В. Подход физической мезомеханики к моделированию процессов деформации и разрушения // Физ. мезомех. -1998.- Т. 1. - № 1. - С. 61-81.
17. Макаров П.В., Романова В.А., Балохонов P.P. Моделирование неоднородной пластической деформации с учетом зарождения локализованных пластических сдвигов на границах раздела // Физ. мезомех. - 2001. - Т. 4. - № 5. - C. 29-39.
18. Makarov P. V., Smolin I.Y., Prokopinckiy I.P., Stefanov Yu.P. Modeling of development of localized plastic deformation and prefracture stage in mesovolumes of heterogeneous media // Int. J. Fract. - 1999. -V. 100. - P. 121-131.
19. Balokhonov R.R., Makarov P. V., Romanova V.A., Smolin I.Yu. Simulation of crystal plasticity under dynamic loading // Comput. Mater. Sci. - 1999. - V. 16. - P. 355-361.
20. Romanova V., Balokhonov R., Makarov P., Schmauder S., Soppa E. Simulation of elasto-plastic behaviour of an artificial 3D-structure under dynamic loading // Comput. Mater. Sci. - 2003. - V. 28. -P. 518-528.
21. Balokhonov R.R., Romanova V.A., Schmauder S., Makarov P.V. Simulation of meso-macro dynamic behavior using steel as an example // Comput. Mater. Sci. - 2003. - V. 28. - P. 505-511.
22. Kireitseu M., Kompis V., Altenbach H., Bochkareva V., Hui D., Eremeev S. Continuum mechanics approach and computational modelling of submicrocrystalline and nanoscale materials, fullerenes, nanotubes and carbon // Nanostructures. - 2005. - V. 13. - No. 4. -P. 313-329. - doi 10.1080/15363830500237176.
23. Balokhonov R.R., Stefanov Yu.P., Makarov P. V., Smolin I.Yu. Deformation and fracture of surface-hardened materials at meso- and macro-scale levels // Theor. Appl. Fract. Mech. - 2000. - V. 33. - P. 9-15.
24. Asaro R.J. Micromechanics of crystals and polycrystals // Adv. Appl. Mech. - 1983. - V. 23. - P. 1-115.
25. McHugh P.E., Asaro R.J., Shih C.F. Crystal Plasticity Models // Fundamentals of Metal Matrix Composites / Ed. by S. Suresh. - Boston: Butherworth-Heinman, 1993. - P. 139-157.
26. Harder J. Simulation lokaler Fließvorgange in Polykristallen // Braunschweiger Schriften zur Mechanik. - Mechanik-Zentrum, Technische Universitat Braunschweig. - 1997. - V 28. - 181 p.
27. Смолин И.Ю., Соппа Э., Шмаудер 3., Макаров П.В. Двумерное моделирование пластической деформации в матрице металло-керамического композита на мезоуровне: оценка напряженных состояний и численных методов // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. -№ 1. - С. 17-22.
28. Madej L., Hodgson P.D., PietrzykM. Development of the multi-scale analysis model to simulate strain localization occurring during material processing // Arch. Comput. Method. Eng. - 2009. - V. 16. -P. 287-318
29. Gaskell J., Dunne F., Farrugia D., Lin J. A multiscale crystal plasticity analysis of deformation in a two-phase steel // J. Multiscale Modell. - 2009. - V. 1. - No. 1. - P. 1-19.
30. Clayton J.D. Dynamic plasticity and fracture in high density poly-crystals: Constitutive modeling and numerical simulation // J. Mech. Phys. Solids. - 2005. - V. 53. - P. 261-301.
31. Clayton J.D. Modeling dynamic plasticity and spall fracture in high density polycrystalline alloys // Int. J. Solids Struct. - 2005. - V. 42. -P. 4613-4640.
32. Petch N.J. The cleavage strength of polycrystals // J. Iron Steel Inst. -1953. - V. 174. - P. 25-28.
33. Hall E.O. Deformation and ageing of mild steel // Proc. Phys. Soc. B. - 1951. - V. 64. - No. 6. - P. 495-502.
34. Панин В.Е., Панин А.В., Моисеенко Д.Д., Елсукова ТФ., Кузина О.Ю., Максимов П.В. Эффект «шахматной доски» в распределении напряжений и деформаций на интерфейсах в нагруженном твердом теле // ДАН. - 2006. - Т. 409. - № 5. - С. 606610.
35. Панин Л.Е., Панин В.Е. Эффект «шахматной доски» и процессы массопереноса в интерфейсных средах живой и неживой природы // Физ. мезомех. - 2007. - Т. 10. - № 6. - С. 5-20.
36. Морозов Н.Ф., Паукшто М.В., Товстик П.Е. Устойчивость поверхностного слоя при термонагружении // Изв. РАН. МТТ. -1998.- № 1. - С. 130-139.
37. Morozov N.F., TovstikP.E. On chessboard of buckling modes in compressed materials // Acta Mech. - 2012. - V. 223. - No. 8. - P. 17691776.
38. Morozov N.F., Tovstik P.E. Buckling forms of a compressed plate on an elastic foundation // Dokl. Phys. - 2012. - V 57. - No. 4. - P. 335339.
39. Morozov N.F., Tovstik P.E. Control of Surface Waviness // Advanced Dynamics and Model Based Control of Structures and Machines / Ed. by H. Irschik, A.K. Belyaev, M. Krommer. - Wien-NewYork: Springer, 2011. - P. 57-64.
40. Kashtanova S.V., Morozov N.F., Tovstik P.E. Volume and surface stability of uniformly compressed transversely isotropic linearly elastic
material // Continuum Mech. Thermodyn. - 2013. - V 23. - No. 5. -P. 663-673.
41. Лахтин Ю.М., Леонтьева В.П. Материаловедение: Учебник для втузов. - М.: Машиностроение, 1990. - 527 с.
42. Kudinova N.R., Polyanskiy V.A., Polyanskiy A.M., Yakovlev Yu.A. Contribution of surface tension energy during plastic deformation of nanomaterials // Dokl. Phys. - 2016. - V. 61. - No. 10. - P. 514-516.
43. Chihab K., Estrin Y., Kubin L.P., Vergnol J. The kinetics of the Portevin-Le Chatelier bands in an Al - 5 at % Mg alloy // Scripta Metall. - 1987. - V. 21. - No. 2. - P. 203-208.
44. Franklin S.V., Mertens F., Marder M. Portevin-Le Chatelier effect // Phys. Rev. E. - 2000. - V. 62. - No. 6. - P. 8195.
45. Jiang H., Zhang Q., Chen X., Chen Z., Jiang Z., Wu X., Fan J. Three types of Portevin-Le Chatelier effects: experiment and modelling // Acta Mater. - 2007. - V. 55. - No. 7. - P. 2219-2228.
46. Шибкое А.А., Золотое А.Е., Желтое М.А., Шуклинов А.В., Де-нисовА.А. Динамика деформационных полос и разрушение алюминий-магниевого сплава АМг6 // ФТТ. - 2011. - Т. 53. - № 10. -С. 1873-1878.
47. Антипина Н.А., Панин В.Е., Слосман А.И., Овечкин Б.Б. Волны1 переключения макрополос локализованной деформации при растяжении поверхностно упрочненных образцов // Физ. мезомех. -2000. - Т. 3. - № 3. - C. 37-41.
48. WangX.G., Wang L., Huang M.X. Kinematic and thermal characteristics of Luders and Portevin-Le Chatelier bands in a medium Mn transformation-induced plasticity steel // Acta Mater. - 2017. -V. 124. - P. 17-29.
49. Han J., Lua C., Wua B., Lia J., Lia H., Lua Y., Gaob Q. Innovative analysis of Luders band behavior in X80 pipeline steel // Mater. Sci. Eng. A. - 2017. - V. 683. - P. 123-128.
50. Зуев Л.Б., Баранникова С.А., Зариковская Н.В., Зыков И.В. Феноменология волновых процессов локализованного пластического течения // ФТТ. - 2001. - Т. 43. - № 8. - С. 1423-1427.
Поступила в редакцию 14.06.2017 r.
Сведения об авторах
Полянский Владимир Анатольевич, д.т.н., проф. СПбПУ, [email protected]
Беляев Александр Константинович, д.ф.-м.н., проф., проф. СПбПУ, [email protected]
Грищенко Алексей Иванович, асп. СПбПУ, [email protected]
Лобачев Александр Михайлович, ассист. СПбПУ, [email protected]
Модестов Виктор Сергеевич, вед. инж. СПбПУ, [email protected]
Пивков Андрей Валентинович, асп. СПбГУГА, [email protected]
Третьяков Дмитрий Алексеевич, студ. СПбПУ, [email protected]
Штукин Лев Васильевич, к.т.н., доц. СПбПУ, [email protected]
Семенов Артем Семенович, к.т.н., доц. СПбПУ, [email protected]
Яковлев Юрий Алексеевич, к.ф.-м.н., вед. инж. СПбПУ, [email protected]
