CC BY
19АПВПМ-2019
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЕЙ ДАВЛЕНИЯ В ТРЕЩИНОВАТЫХ КОЛЛЕКТОРАХ
А. А. Мазитов1, Ю, О, Бобренева1, И, М, Губайдуллин1,2
1 Уфимский государственный нефтяной технический университет, ул.Космонавтов,!, 460062, г.Уфа 2Институт нефтихимии и катализа УФИЦ РАН, Проспект Октября, Ц1, 460075, г.Уфа
УДК 519.63
Б01: 10.24411/9999-016А-2019-10050
Рассматривается процесс фильтрации жидкости в пласте в трещиновато-поровом коллекторе, который осуществляется по сети трещин, а матрица является емкостью, непрерывно подпитывающая сеть естественных трещин. Распределение давления в системе «сеть трещин-матрица» описывается уравнениями пьезопровод-ности. Для решения дифференциальных уравнений использовался метод конечных разностей. Поставленная задача аппроксимировалась неявной разностной схемой. Для решения системы линейных алгебраических уравнений использовался метод матричной прогонки. В результате расчета смоделированы поля давлений при различных входных параметрах.
Ключевые слова: математическая модель, дифференциальные уравнения, разностная схема, трещиноватый коллектор, естественная трещиноватость, метод прогонки.
Достоверная информация о фильтрационно-емкостных свойствах пласта важна на разных этапах нефтяного инжиниринга. Инженер-разработчик должен располагать достаточной информацией о пласте для корректного анализа показателей разработки и прогнозирования добычи при различных вариантах разработки. Инженер по добыче обязан знать состояние добывающих и нагнетательных скважин для установления оптимальной их производительности. Один из основных способов получить информацию можно по результатам гидродинамических исследований скважин.
Математическим фундаментом для анализа гидродинамических исследований скважин на неустановившихся режимах фильтрации является уравнение пьезопроводности в радиальных координатах. Уравнение пьезопроводности выражает связь между пластовым давлением, временем и расстоянием от скважины до точки наблюдения. Уравнение имеет аналитическое решение при условиях, что пласт однородный, изотропный; эффективная толщина его постоянна, сжимаемость жидкости мала и также является постоянной величиной. В данной работе рассматривается модель для карбонатного коллектора, где процесс фильтрации значительно отличается от фильтрации однородного коллектора [1,2].
Карбонатные коллекторы формируют сложную микроструктуру пустотного пространства, вследствие физико-химических свойств. Карбонатный коллектор характеризуется трещиноватостью и кавернозностью
[ЗД].
Процесс фильтрации флюида в трещиноватых коллекторах также значительно изменяется, так как присутствуют две поровые системы—система матриц и система естественных трещин с различными значениями геометрических размеров и фильтрационно-емкостных свойств.
Расчетом характеристик течения в особых условиях резкой неоднородности коллектора занимались разные авторы. В результате литературного анализа была выбрана модель Уоррена-Рута, так как она является универсальной среди всех представляемых моделей фильтрации жидкости в пласте. В модели Уоррена-Рута трещиноватый пласт представлен одинаковыми прямоугольными параллелепипедами, обладающие низкой проницаемостью и высокой пористостью. Низкопроницаемая матрица разделена сетью естественных трещин, они же в свою очередь, наоборот, обладают высокой проницаемостью и низкой пористостью. Движение флюида к скважине происходит только по системе трещин, а матрица непрерывно подпитывает всю систему естественных трещин. В модели матрица и трещины имеют индивидуальные свойства и характеризуются собственными значениями пористости, проницаемости, и сжимаемости [1,5]. Распределение давления в системе «сеть трещин—матрица» описывается следующими уравнениями:
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке грантов РФФИ (коды проектов 16-29-15116 и 19-37-50025).
!ЯВ.\ 978-5-901548-42-4
дР к фтст-ТГГ + Б— (Рт - Р/) = 0
т Т т
дР 1 д ,кГ дРГ , „кт п ^
-ж + ~-дг-(Т- дрг) -81т (рт ) = 0
Для уравнения (1), ставятся начальные и граничные условия.
Рт \4=0 = Р0;Р^ \4=0 = р0; Рт\г=ге = Ре] Рf \г=ге = Ре
(-)г=гт = -д;Р1 \г=0 = Р0 - АР (2)
Т д-
С помощью параметра Б количественно характеризуется перераспределение флюида между матрицей и трещинами, и главным образом зависит от двух параметров: формы и размера блоков. Форма учитывается с помощью параметра п.
4п(п + 2)
а = -т2--(3)
т
Этот параметр определяет, в каких направлениях (X, У, Та) возможен обмен флюида между матрицей
т
блока матрицы, равный:
I =_^__(4)
1 т = т . т . 1^7
ао + ос + ас
Таким образом, замкнув задачу граничными и начальными условиями, мы получаем модель, характеризующую перераспределение давления в пласте и сети трещин.
Рассмотрим численное решение задачи [6]. Для решения дифференциальных уравнений в частных производных будем использовать метод конечных разностей [7,8].
Для этого введем равномерные сетки по пространству и по времени:
= {- = = 0,= Ке] (5)
= {^ = = 0,1...М, Мт = 1е} (6)
При применении явной схемы, необходимо накладывать дополнительное условие, называемое условием Куранта, на шаг по времени, что значительно увеличивает объем вычислений. Поэтому в работе используется неявная схема с первым порядком точности по времени t и вторым по пространственной координате Ь. При этом неявная разностная схема является абсолютно устойчивой, то есть можно проводить интегрирование краевой задачи с любым разностным шагом по времени:
РЗ + 1 _ РЗ к
- т
ФтСЪт1™ , = Б— (Рт+1 - Р}+') (7)
РЗ + 1 — РЗ 1 к 1 к
= 171 (-*+- (-*+2 - -<-2) + -<-) + 8Т(Рт+1 -РГ) (8)
В результате аппроксимации частных производных соответствующими конечными разностями получаем систему линейных алгебраических уравнений. Для решения системы линейных алгебраических уравнений с блочной трехдиагональной матрицей использовался метод матричной прогонки. Матричная прогонка относится к прямым методам решения разностных уравнений и по сравнению с другими прямыми методами решения разностных задач более универсальна, так как позволяет решать уравнения с переменными коэффициентами и не накладывает сильных ограничений на вид граничных условий.
Для написания программного модуля в качестве языка программирования выбран язык С#.
Результатом моделирования фильтрации жидкости в трещиновато-пористых коллекторах является кривая, представляющая собой зависимость забойного давления от времени. График состоит из двух частей: период работы скважины (или кривая падения давления) и период остановки на исследование (или кривая
Таблица I: Начальные параметры
Параметр Значение Единица измерения
Проницаемость матрицы 1Е-16 м2
Сжимаемость матрицы ЗЕ-9 Па-1
Пористость матрицы 0,1 -
Проницаемость трещин 1Е-14 м2
Сжимаемость трещин 5Е-9 Па-1
Пористость трещин 0,01 -
Сжимаемость нефти ЗЕ-9 Па-1
Сжимаемость воды 2Е-9 Па-1
Вязкость жидкости 0,0008 Па-с
Мощность пласта 10 м2
Длина блока 10 м2
Ширина блока 10 м2
Высота блока 1 м2
Радиус исследования 100 м2
Радиус скважины 0,102 м2
Время отбора 10 сут
Дебит 250 м3/сут
Начальное давление 25 МПа
Конечное давление 22 МПа
восстановления давления). Входными данными являются фильтрационные свойства продуктивного пласта, которые были получены ранее при испытании разведочных скважин. Расчет производится при заданных начальных параметрах. Рассмотрим конкретный пример: скважина простаивала продолжительное время, затем была запущена в работу с постоянным дебитом, работала определенный период и была остановлена на гидродинамическое исследование методом кривой восстановления давления. Считается, что на работу скважины не воздействуют соседние скважины [9]. Давления до запуска и перед остановкой известны. Необходимо построить динамику изменения давления в пласте, то есть КПД и КВД. КПД отражает период от запуска скважины до ее остановки, КВД — период от остановки скважины до восстановления давления до первоначального значения. Исходные данные представлены в таблице 1.
По исходным данным из таблицы 1 получен график зависимости забойного давления от времени, представленный на рисунке 1.
На рисунке четко определяются границы КПД и КВД, соответствующие условиям задачи. Давление пласта до запуска составляло 25 М! 1л. после запуска происходит резкое снижение давления в течение короткого периода, затем наблюдается стабилизация давления и его плавное снижение до заданного значения на забое скважины. После остановки скважины наблюдается восстановление давления, в очень короткий период оно увеличивается, а затем плавно стабилизируется до исходного значения. Полученный результат отражает реальное поведение скважины при обозначенных условиях.
В результате расчета было выявлено, что при шаге равным 0.001, численное решение согласуется с аналитическим, поэтому все расчеты проводились при данном шаге.
^—
О 100 200 МО 400
ч
Рис. 1: Динамика изменения забойного давления во времени
Рис. 2: Динамика изменения забойного давления во времени при различных значениях проницаемости
На рисунке 2 представлены результаты моделирования для разных значений проницаемостей. Чем проницаемость выше, тем быстрее протекают процессы в пласте, значит, проявление псевдорадиального режима наступит раньше, и подключение матрицы в работу системы, тоже наступит быстрее.
Список литературы
[1] Голф-Рахт Т.Д. Основы нефтепромысловой геологии и разработки трещиноватых коллекторов, [ред.] Ковалева А.Г. [перев.] Голованова П.К.. Власенова В.В.. Покровский В.В. Бардина Н.А. М.: Недра. 1986.
[2] Баренблатт Г.И.. Битов В.М.. Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра. 1984.
[3] Warren J.E.. Root P.J. The behaviour of naturally fractured reservoirs, б.м.: Soc.Petrol.Eng.J.. 1963. pp. 245-255.
[4] Азиз X.. Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем, [ред.] Максимов М.М. [перев.] Кестиер В.П. Королев А.В. Москва-Ижевск : Институт компьютерных исследований. 2004 г.
[5] Abdullah AI-Ghamdi, Iraj Ershaghi. Pressure Transient Analysis of Dually Fractured Reservoirs. fSPE 26959] б.м.: SPE Journal, 1996.
[6] Самарский А.А., Николаев E.C. Методы решения сеточных уравнений. M.: Наука, 1978 г.
[7] Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989 г.
[8] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972 г.
[9] Aguilera R., Ng M.е. Decline-curve analysis of hydraulically fractured wells in dual-porosity reservoirs. fSPE-22938] Dallas, TX : 66th Annual Technical Conference and Exhibition of the Society of Petroleum Engineers held, 1991.
Мазитов Айнур Асгатович — магистрант Уфимского государственного
нефтяного технического университета; e-mail: mazitov.ainurl3@gmail.com; Бобренева Юлия Олеговна — техник-проектировщик управления научных исследований и разработок; Уфимский государственный нефтяной технический университет;
e-mail: уи.о.bobreneva@gmail.com;
Губайдуллин Ире к Марсович — д.ф.-м.н., с.н.с. Института нефтехимии и катализа УФИЦ РАН;
профессор Уфимского государственного нефтяного технического университета;
e-mail: irekmars@mail.ru.
