CC BY
25
ПРОЦЕССЫ И МАШИНЫ АГРОИНЖЕНЕРНЫХ СИСТЕМ
PROCESSES AND MACHINES OF AGRO - ENGINEERING SYSTEMS
УДК 581.1 10.23947/1992-5980-2018-18-1-124-131
Моделирование подъема воды в гидравлически попарно связанных цилиндрических
*
капиллярах разного радиуса И. А. Кипнис1, Ю. М. Вернигоров2
1 ООО «Научно-производственная фирма "КАСИОР"», г. Москва, Российская Федерация
2 Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Российская Федерация
Modeling of water rising in hydraulically coupled cylindrical capillaries of different radii * I. A. Kipnis1, Yu. M. Vernigorov2
1 "KASIOR" Research and Production Company, Moscow, Russian Federation
2 Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russian Federation
Введение. Вертикальный восходящий поток воды в ксилеме растений обеспечивается действием сил поверхностного натяжения воды в менисках капилляров. В ряде работ показано, что распределение воды в наклонных капиллярных системах подчиняется общему правилу: в ветвях нижнего уровня продвижение воды максимально. При этом высота подъема воды в вертикальном капилляре пропорциональна количеству боковых ветвей в капиллярной системе. Ряд вопросов остаются открытыми. В их числе: роль окаймленных пор, обеспечивающих гидравлическую связь между сосудами; влияние размеров пор и параметров гидравлически связанных сосудов на подъем в них воды.
Материалы и методы. Рассмотрена модель системы, состоящей из двух вертикальных капилляров разного радиуса. Они соприкасаются боковыми стенками и погружены в воду. Выполнены расчеты, описывающие соотношения элементов данной системы.
Результаты исследования. Установлено, что высота подъема воды в гидравлически связанных капиллярах в общем случае различна.
Обсуждение и заключения. Показана зависимость: чем меньше разность высот между порами и чем ближе пора к поверхности воды, тем выше поднимается вода в капиллярах.
Introduction. Vertical upward flow of water in the plant xylem occurs under the action of the water surface tension in the capillary menisci. In some papers, it is shown that the distribution of water in the inclined capillary systems is subject to the general rule: movement of water reaches a maximum in the branches of a lower level. In this case, the water height in a vertical capillary is proportional to the number of lateral branches in the capillary system. A set of issues remains open, among them: the role of bordered pores providing a hydraulic connection between vessels; effect of pore sizes and parameters of hydraulically coupled vessels on the water rise in them. Materials and Methods. A model of the system consisting of two vertical capillaries of different radii is considered. They touch one another by side walls and are immersed in water. Calculations describing the relationships of the elements of the given system are carried out.
Research Results. It is established that the height of water in hydraulically coupled capillaries is generally different. Discussion and Conclusions. The dependence is shown: the smaller the difference in level between pores and the closer the pore is to the water surface, the higher the water in the capillaries rises.
Ключевые слова: растение, капилляры, ксилема, модель, транспирация.
Keywords: plant, capillaries, xylem, model, transpiration.
ö о
T3 M
'S
M
(U
Ü £ Л
Образец для цитирования: Кипнис, И. А. Моделирование подъема воды в гидравлически попарно связанных цилиндрических капиллярах разного радиуса / И. А. Кипнис, Ю. М. Вернигоров // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2018. — Т. 18, № 1. — С. 124-131.
For citation: I.A. Kipnis, Yu.M. Vernigorov. Modeling of water rising in hydraulically coupled cylindrical capillaries of different radii. Vestnik of DSTU, 2018, vol. 18, no.1, pp. 124-131.
Введение. Изучение анатомического строения и физиологии хвойных и лиственных растений [1-4] показало, что вертикальный транспорт воды обеспечивают системы вертикальных трахеид и сосудов, связанных
"Работа выполнена в рамках инициативной НИР. 124 **E-mail:ikipnis@yandex.ru, jvernigorov@dstu.edu.ru
The research is done within the frame of the independent R&D.
между собой порами. Диаметр трахеид хвойных деревьев — (20 ^ 40)10-6 м, высота — (2,5 ^ 5)10-3м [5]. Минимальный диаметр сосудов лиственных деревьев — 4010-6 [5], максимальный может превышать 700 10 - 6 м. Длина — до нескольких метров [5] (у лиан — до 10 м [6]).
Общий объем сосудов в зависимости от породы дерева — 10-55 % объема ствола [5]. Основная функция сосудов — подъем воды в растении. Стенки сосудов покрыты не имеющими торуса окаймленными порами, с помощью которых осуществляется гидравлическая связь между сосудами (см., например, [3]). Таким образом, фактически подъем воды в сосудистой системе ствола происходит в гидравлически связанных вертикальных капиллярах различных диаметров. Ряд работ, например [7], посвящены изучению водного транспорта в растениях, в том числе методами компьютерной томографии и микроскопии [8]. Однако выше показано, что диапазон диаметров сосудов весьма широк. Поэтому эксперименты не позволяют выяснить влияние параметров гидравлически связанных окаймленными порами сосудов растений на подъем в них воды.
В [9] показано, что основным механизмом подъема воды в ветвящихся капиллярных системах является действие сил поверхностного натяжения в менисках капилляров.
В [10] изучено продвижение воды в ксилеме растений с трахеидальной проводимостью и определена величина гидравлического сопротивления одиночной окаймленной поры и их совокупности.
В источниках отсутствуют сведения о закономерностях продвижения и распределения воды в гидравлически связанных вертикальных капиллярах (сосудах ксилемы стволов).
Целью представленной работы является выявление основных закономерностей подъема и распределения воды в ксилеме растений путем моделирования продвижения воды в вертикальных гидравлически связанных капиллярах.
Материалы и методы. Рассмотрим систему, состоящую из двух вертикальных капилляров разного радиуса. Они соприкасаются боковыми стенками и погружены в воду. Пусть на высоте К12 от поверхности воды имеется сквозное отверстие, соединяющее внутреннее пространство капилляров, как показано на рис. 1, а.
2гъ 2г, 2г2
▲ i С
1 [ X
h3 /7,
] н: г I
hj I-3 :-а Ли :—I
Н
' '12 —I-1-
(1)
а) b)
Рис. 1. Модели капиллярных систем с капиллярами, связанными одним (а) и двумя (b) отверстиями
Fig. 1. Models of capillary .systems with capillaries connected by one (a) and two (b) apertures
Радиус левого капилляра равен r1, правого — r2, при этом верно соотношение:
ri = П12 r2,
где п12 = r1/r2 — соотношение радиусов капилляров, п12 > 1.
Подъем воды в этой системе происходит за счет совместного действия сил поверхностного натяжения воды FH1 и FH2 в менисках капилляров.
Эта сила в общем виде описывается соотношением
FH = 2nr с cos а. (2)
Она прямо пропорциональна коэффициенту поверхностного натяжения воды с, косинусу угла смачивания а и радиусу капилляра r [11]. Из рисунка можно видеть, что сила, например FH1, поднимает воду в капилляре радиуса г1 в объеме этого капилляра высотой h1, а также часть объема воды высотой h12 в обоих капиллярах. Это происходит благодаря наличию отверстия, связывающего капилляры, и принципу независимости действия сил. Аналогично FH2 независимо от FH1 поднимает воду в объеме правого капилляра высотой h2 и часть
<U
н о
к
о
й 3
X а <и
X
g
X
к
о &
eö
3 х к 3
eö
Л
о о
(U
а о
Л
С
объема воды высотой h12 в обоих капиллярах. Для составления уравнения равновесия воды в системе определим, какую долю вносят FH1 и FH2 в подъем воды в суммарном вертикальном объеме высотой h12.
Равнодействующая сил, обеспечивающая подъем воды в этом объеме, пропорциональна сумме радиусов капилляров, которая равна
71 + Г2 = П12Г2 + Г2 = (П12 + 1) Г-2. (3)
Можно считать, что правый капилляр поднимает 1/(п12 + 1) часть воды в вертикальной общей части воды, а левый — гс12/(^12+1) часть воды.
Общий объем вертикальной части системы высотой h12 будет равен
TC7fft12 + ТСГ22Й12= n^^h^ + П ^12= (п^ + 1) ПТ^^. (4)
Учитывая вышеприведенные соотношения, уравнения подъема воды в правом и левом капиллярах могут быть записаны в виде:
(n12 +1)nr22ft12 , 2U П
(П12+12— Р5 + ПГ22 й2 = 2пг2а cos а, (5)
(П122 +1) ПГ2^12 . 2, ~
n12-Z—W-Р5 + ПГ12^1Р5 = 2ПГ10 cos а. (6)
(и12 + 1)
Отсюда:
?т (и2? +1) nr.?h12
ПГ22^2Р5 = 2nr-2acos a - 12(^+1)2— р^, (7)
ПГ12Й1Р^ = 2nr-1acos a - n^ "У"^2 Р£. (8)
(™12 + 1)
Решая (7) и (8) относительно и h2, получим:
h = 2ст cos a _ (га|2 + 1>12 _ ^0 _ ("22 +1) ^ (9)
2 Г2РД (П12 + 1) 2 (П12 + 1) 12' V '
= 2»» _ (п!2 +ф12 = _ „12 ^2+) г| h _ (*22 +1) h (10)
1 Г1РД (П12 + 1) 1 12 (П12+1) Г12 12 1 П12(П12 + 1) 12' V '
где Я° и Я° — высоты подъема воды в одиночных вертикальных капиллярах.
Из (9) и (10) следует, что при h12 = 0 h2=H°, а h1=H°, то есть вода поднимается на ту или иную высоту как в одиночных, не связанных между собой отверстием капиллярах.
Высоты подъема воды Я™ и Я™ в связанных отверстием капиллярах будут определяться соотношени-
ями:
Я2св = й2 + h12 = Я20 - h12 + h12 = Я° + d-g2^) h12, (11)
/о -
(n12 + 1) ' "12 "2 ' (n12 + 1);
("l2 +1) и ^U _ ц0 , /1 ("l2 +1)
Я1в = К1 + Л12 = Я° - ("12 +1) Л12 + Л12 = Я° + (1--("12 +1 ) Л12. (12)
1 1 12 1 "12(П12+1) 12 12 1 ^ «12(П12 + 1)) 12 '
Из (11) и (12) следует, что Я2св = Я1в =Я° = Я° при п12 = 1 или й12 = 0.
Из (9) и (10) следует, что при увеличении й12 величины и й2 становятся равными нулю при условии
Я0 = ("22 +1) й12, Я° = Л12. (13)
1 П12(П12 + 1) 12, 2 (П12 + 1) 12 v '
Выражая из (13) й12, получим соотношение
"12("12 + 1) ^0 _ ("12+1) (П22 +1) 1 (П22 +1)
^2°, (14)
откуда
Я20 / Я° = П12. (15)
Полученный в (15) результат означает следующее. При заданных величинах а, а и р для двух одиночных вертикальных капилляров разного радиуса соотношение высот подъема менисков пропорционально отно-^ шению радиусов капилляров.
и В связанных отверстием капиллярах происходит перераспределение сил, соотношение высот подъема
д
.о Я2в и Я™ иное, чем (15). Для определения его запишем разность (11) и (12):
4 я2св - я!в = я20 -л12 + л12 - я° + ("22 +1) л12 - л12 = (1 - —) ( я2° - ь12). (16)
Й 212 ("12 + 1) 12 12 1 П12(П12 + 1) 12 12 "12 2 ("12 + 1) 12У ^ '
<и Из (16) следует, что Я™ - Я™ = 0 при п12 = 1.
^ Высота подъема воды в капиллярах одинакова также при условии
Л й12 = я°. (17)
Л 12 (и12 +1) 2 у '
Полученный результат интерпретируется следующим образом. При п12 = 1 (то есть при равенстве радиусов связанных отверстием капилляров) разность высот Я™ и Я™ (в силу полной симметрии распределения сил 126 в системе) будет равна нулю при любом значении й12, в том числе при й12, стремящемся к Я°. В этом случае
Fhi = FH2 — и система может рассматриваться как два капилляра равного радиуса (они вертикальные, независимые и погружены в воду). При n12 > 1 FH Ф FH2 нарушается симметрия их действия на поднимаемый объем воды. В результате согласно (17) высота й12, при которой разность высот Я™ и Я™ становится равной нулю, по мере увеличения п12 уменьшается, так как r1 ^ г2. То же самое происходит при увеличении й12 при n12 = const. Это объясняется тем, что FH и FH2 в капиллярах одновременно, но не одинаково воздействуют на суммарный объем воды ниже отверстия в обоих капиллярах. Поэтому и связанные отверстием капилляры при Я™ - Я™ = 0 можно рассматривать как один капилляр высотой й12 с эквивалентным радиусом, равным
Гэ = r2V^2 + 1. (18)
Пусть имеется система из трех капилляров, как показано на рис. 1, б. Центральный капилляр радиуса г^ связан с правым капилляром радиуса г2 и с левым капилляром радиуса г3 отверстиями, расположенными соответственно на высотах й12 и й13 от поверхности воды. Примем также, что радиус среднего капилляра соотносится с радиусами правого и левого капилляров, как
71 = П12 Г2 и 7-1 = П13 73 при П12 и п^ > 1. (19)
В этой модели возможны три варианта взаимного расположения отверстий: й12 = ^12 < ^12 > Рассмотрим каждый из них.
При ft12 = й13 все три силы поверхностного натяжения FH1, FH2 и FH3 в менисках капилляров одновременно воздействуют на три объема воды, находящиеся ниже отверстий. При этом равнодействующая сил, обеспечивающая подъем воды в этом объеме, пропорциональна сумме радиусов капилляров, которая с учетом (19) равна:
71 + 72 + 7з = П12 7-2 + 7-2 + П12 7-2 /П13 = (П12 + 1+ П12 /П13 ) 7-2. (20)
Тогда можно считать, что правый капилляр радиусом r2 поднимает 1/(п12 + 1 + п12/п13) часть. Капилляр радиусом г3 поднимает п12/ (п13(п12 + 1 + п12 /п13)). Капилляр радиусом т^ поднимает п12/(п12 + 1 + п12 /п13) часть объема воды общей части системы.
Общий объем вертикальной части воды высотой ft12= й13 будет равен:
та-12Й12 + ПГ22^12 + ПГ32^12 = (п^ + 1 + п^/п^) пт^2 ^12- (21)
С учетом (21) уравнения подъема воды в центральном, правом и левом капиллярах могут быть записаны в виде:
П12 (п22+ х^з) ^ + пгА1Р5 =2пГ1, cos а, (22)
П12+1+ П12 /«13 ("22 + 1 + «22/п13) Пг| ^12 2, „
—--12—13—2-ря + тсг2п2ря = 2пг2а cos а, (23)
"12 + 1+ П12 /П13 Vil 2 2 ^ V '
+= 2^ cos а. (24)
Решая, как и выше, (22)-(24) относительно й1, ft2, й3 и далее относительно Я™, Я™, Я™ получим: ^
н о К о
й 3
К Л <и
К
g
к
К
о &
ей
3 к
к
Анализ (25)-(30) показывает, что с учетом (19) Ц
П12 Я0 =Я20, П13 Я0 = Я30. (31) S
При п12 = п13 = 1 = = й3, а высоты Я™, Я™, Я™ максимальны и соответствуют высотам подъ- ¡3 ема воды в одиночном вертикальном капилляре. Аналогичный результат получается при п12 Ф п13Ф 1, но при о ft12 ^ 0. Физически это означает, что в данном случае вода в капиллярах поднимается как в трех независимых, ^ отдельно стоящих вертикальных капиллярах разного радиуса. ^
h _ JJ0 (И12+ 1 + ™22/™23) h 1 1 "12("12 + 1+ "12 /"13) 12' (25)
^ _ JJ0 "22+ 1 + п22/п23 ^ 2 2 П12 + 1+ П12 /П13 12, (26)
£ _ ^0 "32("12+ 1 + ™12/"13) £ 3 3 П3з(П12 + 1+ «12 /П13 ) 12' (27)
Я1в = Я° + (1 ("12+ 1 + "22/и2з) ) h12, 1 1 "12("12 + 1+ "12 /"13) 12 (28)
я2св = я2° + (1 "22+ 1 + "12/"13 )h12, 2 2 "12 + 1+ П12 /"13 ' 12' (29)
^св _ jj0 | (1 "32("12+ 1 + "22/"23) ) ^ 3 _ 3 ( "3з("12 + 1+ "12 /"13 ) 12. (30)
Если по высоте капилляров имеется q отверстий и расстояния между ними одинаковые (й12 = й13), то высота столба воды в общей части системы увеличиваются в q раз, а й1, й2, й3 и Я™, Я2в, Я3в уменьшаются.
С
<u
л £ A
Оценим, при какой величине й12 (при прочих равных условиях) й1( й2, и Я™, Я£в, Дзв могут стать равными нулю. Так, из (25)-(27) с учетом (31) можно получить следующие соотношения для й12:
"12("12 + 1+ "12 /"13) и0 -
"12 = Л12, (33)
("l2+ 1 + "?2/"2з) ' (32)
"12 + 1+ "12 /"13 „ ц0 _
"12+ 1 + "12/"13
п|3("12 + 1+ "12 /П13 ) П13 Я0 =Л12. (34)
Пц (П$2+ 1 + "22/"2З)
Видно, что (32) и (33) равны и их отношение равно единице. Но отношение (32) и (33) к (34) дают в результате ^i3/^i2 = h12. Если при этом предположить, что й1 = h2 = h3 = 0, то это возможно лишь при n43toi2 = 1, что, в свою очередь, возможно лишь при n12 = n13. Физически полученный результат интерпретируется следующим образом: условие й1 = h2 = h3 = 0 выполняется лишь при равенстве радиусов капилляров. В противном случае указанное равенство не выполняется, уровни воды в капиллярах всегда не одинаковы и зависят от соотношения их радиусов. Это останется справедливым и в случае, если в системе будет N попарно связанных капилляров.
Из (28)-(30) следует, что Я™, Я£в, Я™ равны нулю при условии:
дО = ( ("22+ 1 + "12/"23) - 1) h Я0 = ("22+ 1 + "22/"23 - 1} h
1 "12("12 + 1+ "12 /"13) 12 1 "12 + 1+ Пи /«13 ' 12'
п13 Я0 = ("32("22+ 1 + "22/"1з) - 1) h (35)
13 1 "3з ("12+1+ "12 /"13 ) ' 12 V '
Эти равенства выполняются только в случае п12 = п13 = 1.
По причинам, указанным выше, Я™, Я™, Я™ одновременно не могут быть равными нулю. Разность высот подъема воды в капиллярах при п12 ф п13 ф 1 может быть относительной, например, Я° определяется из соотношений:
я2св - я!в = ( 1 - —) я2° - (1- —) ""+ 1 + "22/n2j h12, (36)
2 1 V "12 2 V "12 "12 + 1+ Пи /«13 12' V '
Я3св - Я!в = (1 - —) п12Я0 - (ф - —) ""+ 1 + "22/"23 h12, (37)
3 1 V "13 12 2 "13 "12 "12 + 1+ П12 /«13 12' V '
Я2св - Я3св = (1- ^ ) Я20 - (1- ф) ""+ 1 + h12. (38)
2 3 V "12 ^ 2 V "1З "12 + 1+ "12 /"13 12 V '
Из (36)-(38) видно, что разности высот подъема воды в капиллярах равны нулю только при п12 = п13 = 1, то есть при равном радиусе всех капилляров, и принимают разные значения при п12 ф п13 ф 1.
При h12 < h13 силы поверхностного натяжения FH1, FH2 и FH3 в менисках капилляров воздействуют на три объема воды, находящиеся ниже отверстий. Суммарный их объем с учетом (19) равен:
rofh^ + rofh^ + то-32^3 = ((n^ + n^/n^) h13 + h^) пг2. (39)
Учитывая, что равнодействующая сил, обеспечивающая подъем воды в этом объеме, пропорциональна сумме радиусов капилляров с учетом (23), уравнения подъема воды в центральном, правом и левом капиллярах могут быть записаны в виде:
"12 (("Ь + "12/"2з) ^ + ^12) пг| + ^ =2пг1а cos а, (40)
"12 + 1+ "12 /"13
(("" + Г22/:!3) + h12) ^РД + ^P^ = 2^ cos а, (41)
"12 + 1+ "12 /"13
П12((П22 + П22/П2З) h13 + h12) Щ-2 + 2hp„_2_ra ___ а (42)
"1З("12 + 1+ "12 /"13 ) P5 + nr3h3P5 _ 2ПГ30 C0S (42)
Если h13 = 5 h12 5 > 1, то решения полученных уравнений относительно h1, h2, h3 и Я™, Я™, Я™ можно записать в виде:
| h1 _ Я° - (("22 + "22/п2з) 5 + 1) h12, (43)
<3 11 "12("12+1+ "12 /"13) 12
2 h2 = Я20 - (("22 + "22/"2З) 5 + 1) h12, (44)
Д "12 + 1+ "12 /"13
^ h3 _ Я0 - "12 (("22 + "22/"23) 5 + 1) h12, (45)
> 3 3 П3З(П12 + 1+ Пи /П13 ) 12'
Ясв _ Я0 + /g _ (("22 + "22/"23) 5 + 1)) ^ (46)
1 1 "12("12 + 1+ "12 /"13) 12'
т/св _ и0 , п (("22 + "22/"2з) 5 + 1) ч 7,
«2 _ «2 + (1--„ + ..+ „ ,„-) h12, (47)
"12 + 1+ "12 /"13
я3св _ Я°+ (5 - n32з((n22 + "22/"1j)5 + 1)) h12. (48)
128 "33 ("12 + 1+ Пи /«13 )
Разность высот подъема воды в капиллярах может быть определена относительно, например, Я0 из выражений:
Я- - Я^=( 1- Я0-((5 -1) -(1- (("12 ++}+ ^ + 1 ) Л12, (49)
и12 и12 П12 + 1+ П!2 /П1з
Я3св- Я1в=(1 - —) п12Я0 -(ф - —)(("22 + "22/"2з) 5 + 1 ) /12, (50)
3 1 V 12 2 Хз «12 П12 + 1+ П12 /«13 ' 12' 4 '
Я2св - Я3св = (1- Я0 - ((5 - 1) - (1- ф) (("22 + "22/"2з) 5 +1) )/12. (51)
и12 "13 «12+1+ «12 /«13
Из полученных соотношений видно, что при 5 = 1 выражения (43)-(48) совпадают с (25)-(30), а (46)-(48) — с (33)-(35). При 5 = 1 и п12 = п13 = 1 вторые слагаемые в (43)-(48) равны нулю, выражения (49)-(51) также равны нулю — и подъем воды происходит как в отдельных вертикальных капиллярах.
При /12 ^ 0 выражения (43)-(51) описывают подъем воды в одиночных вертикальных капиллярах, в которых высота подъема воды зависит от радиуса капилляра.
Из (46)-(48) следует, что с увеличением /13 (5 > 1) й1, /2, /3 и Я™, Я™, Я3в уменьшаются. Физическое объяснение этого — увеличение общего объема воды в капиллярах ниже отверстий. Изменение высот Я™, Я2в, Я3в друг относительно друга зависит от соотношения параметров системы. Так, из (49)-(51) следует, что при 5 = 1 выражения (49)-(51) совпадают с (36)-(38) и равны нулю при п12 = п13= 1 — как в независимых вертикальных капиллярах.
При п12 = 1 (радиусы правого и центрального капилляров равны) п13>1 и при прочих равных условиях:
Я2св - Я™ = (1 - 5) /112, (52)
язв - я™ = (1- я0 - (^ -1)((1 +21/";3) 5+1 ) /12, (53)
Я2в - Я3в = (1 - П13) Я0 - ((5 - 1) - (1 - ((1 +21/"13)15з +1) )/12. (54)
Из (52) видно, что разность Я™ - Я™ не зависит от радиуса левого капилляра. Она равна нулю при 5 = 1 или /12 = 0 либо отрицательна, т. е. Я™ < Я™, и ее абсолютная величина растет с увеличением 5 и /12. Это объясняется тем, что по мере роста 5 и /12 общий объем воды в капиллярах до отверстий увеличивается, и ^Н2 поднимает больший объем воды в общей части, чем _РНЬ для которой объем поднимаемой воды в левом капилляре уменьшается п13>1.
Разности подъемов высот (53) и (54) при /12 = 0 не равны нулю, а принимают вид Я3в -Я1в = (1 -1/П13) Я0 (> 0), Я2в - Я3в = (1- П13) Я20 - (5 - 1) (<0).
Физический смысл этого результата заключается в том, что при уменьшении радиуса левого капилляра высота подъема воды в нем растет обратно пропорционально радиусу и превосходит Я™ и Я™.
При /12 Ф 0 и 5 = 1 (53) и (54) совпадают с (37) и (38). При увеличении п13 (уменьшении радиуса левого
капилляра) ( Я3св - Я£в) стремится к ^(Я0 + (5 + 2) /12/2) > 0, а (Я^в - Я3св) стремится к^((1-п13) Я0 - 2
(5 + 1) /12/2) < 0. &
К
Физически это значит, что Fнз уменьшается, высота подъема воды в левом капилляре (пропорциональ- о
на 1/г3) растет, а объем воды в общей части этого капилляра уменьшается пропорционально г32. Уменьшение д
этого объема приводит к перераспределению сил Fш, FН2 в уменьшившемся общем объеме системы. В резуль- ^
тате Я!в и Я™ увеличиваются, но остаются меньшими Я3в. Увеличение 5 при прочих равных условиях приво- ¡в
дит к увеличению разности подъема высот, что связано с увеличением объема воды в общей части системы. я
К
При одновременном выполнении условия п12 Ф п13 > 1 и 5 > 1 Я™, Я™, Я3в описываются соотношениями К
(49)-(51). В случае /12> /13 описанный выше процесс сохраняется.
й
Результаты исследования. Вышеприведенные рассуждения остаются справедливыми и если в системе 3
л
N попарно связанных капилляров, и при наличии нескольких отверстий по высоте. При этом в последнем слу- К
7 7 В
чае за /12 и /13 принимается высота от поверхности воды до верхнего отверстия. й
Общим для рассмотренных моделей является следующее. Из (25)-(30) и (43)-(48) следует, что величи- ^
ны /1, /2, /3 и Я!в, Я2св, Я3св стремятся соответственно к Я{°, Я0, Я0 при /12, стремящемся к нулю, и 5, стре- 3
мящемся к 1. То есть чем ближе к поверхности воды расположено ближайшее отверстие в системе и чем мень- о
ше разность высот между отверстиями, тем выше поднимается вода в капиллярах. ¡^
Реальные сосуды не являются принятыми в модели классическими цилиндрами, а могут иметь форму ^ от овала до неправильного многоугольника. Поэтому контакт сосудов осуществляется площадями смежных поверхностей, а не по образующей цилиндра. При таком строении появляется возможность реализовать рас-
пределение пор по поверхности сосуда, обеспечивающее почти непрерывное изменение их расстояния от начала до конца сосуда по высоте.
а) b)
Рис. 2. Распределение пор на поверхности стенок сосудов в виде горизонтальных (а) и диагональных (b) рядов
Fig. 2. Distribution ofpores on the surface of vessel walls in the form of horizontal (a) and diagonal (b) series
Ö о
43 M
'S
сл <U
Ü £ Л
Сказанное выше подтверждается распределением пор на поверхности стенок реальных сосудов. Наиболее часто они образуют диагональные ряды (очередная поровость) или короткие горизонтальные ряды [3, 5].
Из рис. 2 видно, что расположение окаймленных пор на площади стенок сосудов обеспечивает почти непрерывное распределение пор по высоте сосуда ксилемы. Это соответствует полученным в рассматриваемой модели результатам.
Обсуждение и заключения. Построенная модель позволяет изучить физические процессы продвижения воды в сосудах ксилемы растений с учетом их анатомического строения. Высота подъема воды в каждом из гидравлически попарно связанных капилляров не одинакова (за исключением случая равенства их радиусов). В растениях это позволяет осуществлять поступление воды в параллельные сосуды, расположенные на разных высотах. Таким образом обеспечивается возможность продвижения воды в растении при газовой эмболии [7] или закупорке пор тилами в отдельных сосудах или их частях.
При равенстве высот отверстий от поверхности воды максимальный ее подъем в капиллярах происходит в двух случаях:
— если их радиусы равны;
— если отверстия, соединяющие капилляры, расположены близко к поверхности воды.
Если высоты отверстий от поверхности воды не равны (количество капилляров больше двух), то максимальная высота подъема воды в капиллярах в рассмотренных моделях обеспечивается при выполнении условий:
— минимальная высота ближайшего отверстия к поверхности воды,
— минимальная разность высот между отверстиями.
Чем ближе к поверхности воды расположено ближайшее отверстие в системе и чем меньше разность высот между отверстиями, тем выше поднимается вода в капиллярах. Это подтверждается характером размещения пор на поверхности стенок реальных сосудов ксилемы, образующим почти непрерывное распределение пор по высоте.
Библиографический список
1. Harvay, B.-R. The theory of rise of sap in trees: Some historical and conceptual remarks / B. R. Harvay // Physics in Perspective. — 2013. — № 15. — P. 320-358.
2. Myburg, A.-A. Xylem Structure and Function. Encyclopedia of life science / A.-A. Myburg, R. Sederoff. — London : Nature Publishing Group, 2001. — P. 1-9.
3.Тимонин, А. К. Ботаника : в 4 т. Т. 3. Высшие растения / А. К. Тимонин. — Москва : Академия. — 2007. — 352 с.
4. Taiz, L. Plant Physiology / L. Taiz, E. Zeiger. — 3rd Edition. — Sunderland : Sinauer Associated, 2002. — 690 p.
5. Уголев, Б. Н. Древесиноведение и лесное товароведение / Б. Н. Уголев. — 3-е изд., стер. — Москва : Академия, 2010. — 272 с.
6. Ботаника. Учебник для вузов. На основе учебника Э. Страсбургера [и др.] : в 4 т. / П. Зитте [и др.]. — Москва : Академия, 2008. — Т. 1. — 367 с.
7. Borghetty, M. Water transport in plant under climatic stress / M. Borghetty, J. Grace, A. Raschi / Cambridge : Cambridge University Press, 1993. — P. 300.
8. Combined application of computer tomography and light microscopy for analysis of condition xylem area in coarse root of European beech and Norway spruce / P.-S. Nicolova [et al.] // European Journal of Forest Research. — 2009. — № 128. — P. 145-153.
9. Кипнис, И. А. Механизм продвижения воды в капиллярах ксилемы растений / И. А. Кипнис, Ю. М. Вернигоров / Вестник Дон. гос. техн. ун-та, 2014. — Т. 14, № 3 (78). — С. 78-88.
10. Кипнис, И. А. Подъем воды в ксилеме растений с трахеидальной проводимостью / И. А. Кипнис, Ю. М. Вернигоров / Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2015. — Т. 15, № 2 (81). — С. 131-145.
11. Яворский, Б. М. Справочник по физике / Б. М. Яворский, А. А. Детлаф. — Москва : Наука, 1968. — 940 с.
References
1. Harvay, B.-R. The theory of rise of sap in trees: Some historical and conceptual remarks. Physics in Perspective, 2013, no. 15, pp. 320-358.
2. Myburg, A.-A., Sederoff, R. Xylem Structure and Function. Encyclopedia of life science. London: Nature Publishing Group, 2001, pp. 1-9.
3. Timonin, А.К. Botanika: Vysshie rasteniya. [Botany: Higher plants.] Moscow: Izdatel'skiy tsentr «Akademiya», 2007, 352 p. (in Russian).
4. Taiz, L., Zeiger, E. Plant Physiology. 3rd Edition. Sunderland: Sinauer Associated, 2002, 690 p.
5. Ugolev, B.N. Drevesinovedenie i lesnoe tovarovedenie. [Wood technology and forest commodity science.] 3rd reimpression. Moscow: Akademiya, 2010, 272 p. (in Russian).
6. Zitte, P., et al. Botanika. Uchebnik dlya vuzov. Na osnove uchebnika E. Strasburgera [i dr.]: v 4 t. [Botany. College textbook. On the basis of the textbook by E. Strasburgeret al.: in 4 vol.] Moscow: Akademiya, 2008, vol. 1, 367 p. (in Russian).
7. Borghetty, M., Grace, J., Raschi, A. Water transport in plant under climatic stress. Cambridge: Cambridge University Press, 1993, 300 p.
8. Nicolova, P.-S., et al. Combined application of computer tomography and light microscopy for analysis of condition xylem area in coarse root of European beech and Norway spruce. European Journal of Forest Research, 2009, no. 128, pp. 145153.
9. Kipnis, I.A., Vernigorov, Y.M. Mekhanizm prodvizheniya vody v kapillyarakh ksilemy rasteniy. [Mechanism of promotion of water in the xylem capillaries plants.] Vestnik of DSTU, 2014, vol. 14, no. 3 (78), pp. 78-88 (in Russian).
10. Kipnis, I.A., Vernigorov, Y.M. Pod''em vody v ksileme rasteniy s trakheidal'noy provodimostyu. [Water rise in the xylem of plants with tracheidal conductance.] Vestnik of DSTU, 2015, vol. 15, no. 2 (81), pp. 131-145 (in Russian).
11. Jaworski, B.M., Detlef, A.A. Spravochnik po fizike. [Physics: Reference book.] Moscow: Nauka, 1968, 940 р. (in Russian).
Поступила в редакцию 19.10.2017 Сдана в редакцию 19.10.2017 Запланирована в номер 15.01.2018
Об авторах:
Кипнис Иосиф Аншелевич,
заместитель генерального директора ООО «Научно-производственная фирма "КАСИОР"» директор по науке (РФ, 119571, г. Москва. Лениский пр-т, 154) кандидат технических наук, ОРСГО: https://orcid.org/0000-0002-2546-8457 ikipnis@vandex.ru
Вернигоров Юрий Михайлович,
профессор кафедры «Физика» Донского государственного технического университета (РФ, 344000, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1), доктор технических наук, профессор,
ОЯСШ: https://orcid.org/0000-0002-1184-1708 ivernigorov@dstu.edu.ru
Received 19.10.2017 Submitted 19.10.2017 Scheduled in the issue 15.01.2018
Authors: Kipnis, Iosif A.,
Associate General Director on science, "KASIOR" Research and Production Company (Russia, 119571, Moscow, Leninskiy prospect, 154) Cand.Sci. (Eng.), ORCID: https://orcid.org/0000-0002-2546-8457 ikipnis@yandex.ru
Vernigorov, Yury M.,
professor of the Physics Department, Don State Technical University (RF, 344006, Rostov-on-Don,. 344000, Gagarin sq., 1), Dr.Sci, (Eng.), professor, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1184-1708 ivernigorov@dstu.edu.ru
<u H о
к
о
й 3
X a <и
X
g
X
к о
ей
3 х к 3
л о о
<U
а о л С
