Математическая модель подъёма воды в простых криволинейных капиллярах Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 581.1

й01: 10.12737/1288

Математическая модель подъёма воды в простых криволинейных капиллярах* И. А. Кипнис

(Научно-производственная фирма «КАСИОР»), Ю. М. Вернигоров

(Донской государственный технический университет)

Боковые побеги и ветви растений в отличие от стволов часто не прямолинейны — их можно сравнить с разнообразными математическими кривыми линиями. Ксилема таких ветвей повторяет их криволинейность. Этим обусловлена пространственная кривизна составляющих её цепочек трахеид и сосудов. В статье рассматривается математическая модель подъёма и распределения воды, обусловленная силами поверхностного натяжения в симметричных криволинейных капиллярных ветвях различной конфигурации. Анализ данных процессов показывает, что при увеличении количества ветвей продвижение воды в криволинейных ветвях капиллярной системы увеличивается. Объём воды, поднимающейся в боковых криволинейных капиллярных ветвях, при прочих равных условиях больше, чем в прямолинейных. Установлено, что общая высота подъёма воды в вертикальном (прямолинейном) капилляре при наличии криволинейных боковых капилляров увеличивается и не зависит от вида функции, описывающей кривизну боковых криволинейных капилляров. Ключевые слова: криволинейный капилляр, ветвь, ксилема, транспирация, растение, модель.

Введение. Ксилема высших растений представляет собой сложную структуру. Вода в ней продвигается не прямолинейно. Это наглядно доказывает разнообразие форм растений. В работах [1, 2] предполагалось, что сосуды ксилемы прямолинейны, а движение воды может происходить как в вертикальном направлении восходящим током вдоль оси ствола, так и по горизонтали [2].

Многие растения имеют прямолинейные стволы. Однако боковые побеги и ветви часто выглядят как разнообразные математические кривые линии (рис. 1).

В данном случае форма боковых побегов может быть объяснена сложным совместным воздействием на них ауксина и таких явлений, как отрицательный гравитропизм, фото-, термо- и хемотропизмы. Криволинейные ветви могут иметь самый разный вид. Так, например, ствол фа-нерофитов ([3], с. 133, рис. 68) вертикален, а форма боковых ветвей напоминает экспоненциальную кривую. Боковые побеги эвгалофита солероса ^аИсот'а sp.) ([4], с. 242, рис. 231) внешне похожи на параболические кривые, попарно симметрично отходящие от прямолинейного ствола.

Рис. 1. Форма ветвей различных растений

* Работа выполнена в рамках инициативной НИР.

Точно так же расположены боковые побеги погремка большого (Rhinanthus major) ([4], с. 260, рис. 246). Лиана хмеля (Humulus lupulus), обвивающаяся вокруг опоры, образует цилиндрическую спираль ([4], с. 260, 261, рис. 247).

Габитус древесных растений также весьма разнообразен. И здесь можно найти побеговые системы, отходящие от стволов криволинейно [4] — в виде параболической кривой. То есть своею формой они напоминают конструктивные модели Аттимса, Лёйвенберга, Рау, Скарроне. Дихотомически ветвящиеся побеги куртинообразующего поликарлика можно сравнить с моделью Шута. В данном случае ветви первого порядка имеют экспоненциальную форму, ветви второго порядка — параболическую.

Для некоторых листьев характерно дуговидное жилкование, а черешок вместе с центральной жилкой листовой пластины может быть также криволинеен ([3], с. 250, рис. 153; [4], с. 31—36, рис. 29—36). Естественно, что ксилема таких растений (или отдельных их частей) должна быть криволинейной — т. е. соответствовать части растения, в которой она расположена. Криволинейность ксилемы предполагает пространственную кривизну составляющих её цепочек трахеид и сосудов.

Целью работы является уточнение модели движения воды в простых одноуровневых капиллярных системах с учётом их криволинейности.

Расчётная модель. Рассмотрим капилляр, расположенный наклонно к поверхности воды под углом в. Подъём h воды в наклонном капилляре [1] можно записать в виде:

2а cos а

h = ¿sinp =

rpg

(1)

где а — угол смачивания, зависящим от молекулярного взаимодеиствия на границе раздела трех сред: стенки капилляра, жидкости и воздуха; а — коэффициент поверхностного натяжения; р — плотность воды; г — радиус капилляра; L — величина продвижения воды в надводноИ части капилляра.

Высота подъема воды в наклонном капилляре над поверхностью воды согласно выражению (1) не зависит от угла наклона капилляра к поверхности воды.

Предположим, что капилляр радиуса г изогнут в виде кривой у = f(x). Введем декартову систему координат и совместим ее начало с началом капилляра на поверхности воды при h = 0 (рис. 2, а).

а) б)

Рис. 2. Криволинейный капилляр (а) и его расчётная модель (б)

Условие равновесия воды в таком капилляре можно записать следующим образом

V (х)Р(х) = 2nracosa, (2)

где V(x) — объём поднимаемой в капилляре воды; P(x) — составляющая веса единицы объёма столба воды, противодействующая её подъёму.

Определим величины, входящие в левую часть уравнения (2). Для этого с помощью секущей АВ выделим на рассматриваемой кривой произвольный участок Л/. Объём воды на этом участке может быть записан в виде

ЛV « пг2Л/. (3)

Построим далее прямоугольный треугольник со сторонами Лх и Лу и гипотенузой CD. Тогда для ДР(х) можно записать

ЛР (х)« pgsine, (4)

где e — угол наклона секущей АВ к горизонтали.

Если Л/ ^ 0, то Лх ^ dx, Лу ^ dy, а Л/ ^ d/. При этом секущая АВ превращается в касательную к рассматриваемой кривой в точке x, а тангенс угла наклона этой касательной tge = dy/dxили tge равен производной у' = f '(х).

Интегрируя (3) и (4) соответственно по / и по e, уравнение (2) можно записать в виде

e

nr2pgJ f (x)d/J sine de = 2nracosa .

/ 0

Вводя обозначение L(x) = J f (x)d/ и интегрируя по e, приводим уравнение к виду

/

L(x)nr2pg(l - cose) = 2nracosa. (5)

В уравнении (5) значения х и e не определены. Из рис. 2, а видно, что e также является функцией х. Для устранения неопределённости рассмотрим наклонный прямолинейный капилляр, исходящий из начала координат под углом в. Изогнём прямолинейный капилляр так, как показано на рис. 2, б. При этом нижняя часть капилляра длиной /1 наклонена под углом в1, а верхняя часть расположена под некоторым углом e.

Продвижение воды /х в таком капилляре может быть определено из соотношения

nr2pg/1 sin в1 + nr2pg/x sine = 2nra cos a, (6)

откуда

/x sine = hx = h - /1 sinв1 = h - h (7)

или

h = h + hx. (8) Аналогично можно показать, что при увеличении количества изгибов и любых изменениях угла в, (см. рис. 2, б, кривая 3) общая высота подъёма воды в капилляре всегда будет равна h. Изменится только величина продвижения воды, которая определяется наклоном конечного элемента кривой, то есть углом e,. Учитывая это, можно записать соотношение

у = h = f (х).

Задавая функцию f(x), можно определить величину продвижения воды в криволинейном капилляре. Если капилляр описывается степенной функцией

f (х) = h = kxn, (9)

n-1

то х = nh /k , f'(x) = knxn1 = kn(Пh /k)"- = tge.

Тогда

Ц n[hjk)"

0 = arctg и уравнение (5) примет вид

nr2pgL (x) - cos arctg kn (¡tfh / k) Отсюда, полагая, например, k = 1, n = 2, получим

L{x)= "

= 2nracosa.

1 - cos arctg 2-Jh

При 1ф 1 кривая по сравнению с f(x) = X вытянута в направлении оси OYb |k| раз.

Рис. 3. Степенные функции, соответствующие криволинейным капиллярам различной формы

Аналогично можно показать (рис. 3, 4), что при y = h = x

L(x) = h

1 - cos arctg

2h

при y = h = x3

L(x) =

1 - cos arctg 2

1 ' 3h2

при y = h = x

L(x) =

h

1 - cos arctg

2 '

34h

2

= x3

при y = x

При y = ax -1

L{x) =

h

2

1 - cos arctg ^^h

L{x) =

h

1 - cos arctg

f ln(h+1) Л "

a a Ina

При y = ekx -1

L(x) =

h

1 - cos arctg keln(h+1) ' 113

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

h

В уравнениях задания кривой для (17), (18) введено слагаемое (-1), чтобы кривая при х = 0 проходила через начало координат.

а) б)

Рис. 5. Криволинейные одноуровневые капилляры: несимметричный (а), симметричный (б)

Рассмотрим подъём воды в капиллярной системе при условии, что к вертикальному капилляру присоединяются боковые криволинейные капилляры одинакового радиуса г Примем следующие обозначения индексов для величин L, h и 0:

— верхний индекс в скобках указывает общее количество уровней боковых ветвей в рассматриваемой модели;

— нижний индекс указывает номер уровня, к которому относится рассматриваемая величина;

— дуга над L, h показывает, что рассматриваемая величина относится к капиллярной системе с криволинейными элементами.

Пусть капилляр имеет форму, изображённую на рис. 5, а. То есть имеет вертикальную часть (высотой Л1) и обращённую вправо криволинейную, описываемую степенной функцией

у (х) = Л + кх". (19)

Уравнение подъёма воды в таком капилляре может быть записано в виде

откуда

пг2рдЛ1 + пг2рд^1,Р) (х) = 2пга^а,

¿1(Пр)(х)(1 - cos0 ) =1 - V

(20)

В полученном уравнении необходимо определить величину продвижения воды в криволинейной части капилляра. Учитывая, что согласно (8) высота подъёма воды в капилляре не может превосходить 1, запишем (19) в виде

Л -Л = кх"

Отсюда

х = "

Л -Л

к

и тангенс угла наклона касательной к конечному элементу, то есть к мениску воды в капилляре, согласно (10) примет вид

f '(х) = кпх"-1 = к"

Л -Л

к

= ^0,

011' = агСд

к"

Л -Л

Согласно (20) с учётом (22)

¡П)(х)=-

к

л -1

1 - ^агйд

к"

Л - л

к

л 1

(21)

(22)

(23)

Очевидно, что при Л1 = 0 уравнение (23) совпадает с (12), а при Л1 = Л вода не продвигается в криволинейную часть капилляра. Но в целом продвижение воды в таком капилляре, в отличие от прямолинейного, зависит от величин к и " в уравнениях (22) и (23). Из (22) можно видеть, что изменение обеих этих величин приводит к изменению угла наклона к горизонтали касательной в точке нахождения водяного мениска в капилляре. В рассматриваемом случае нас интересует главное значение функции арктангенса в интервале от 0 до +п/2. Если арктангенс равен нулю, что соответствует углу наклона 0 ^ 0°, то второе слагаемое в знаменателе (23) стремится к единице, а величина продвижения воды в капилляре ¡^пр) — ж, как и в прямолинейном капилляре.

Такой случай реализуется при к^ 0. Если арктангенс принимает значение +п/2, что соответствует углу наклона 0 ^ 90°, то второе слагаемое в знаменателе (23) стремится к нулю, а

¡Пр) -л - л.

Высота подъёма воды в криволинейной части капилляра определяется из соотношения

¡м(х) = 1 - сгелгсЬд

к"

л - л

к

= л - Л = .

1 1(пр)

(24)

"-1

п-1

п-1

п-1

Следует заметить, что величина продвижения воды в криволинейном капилляре всегда больше, чем в наклонном прямолинейном с углом наклона, равным углу наклона касательной к мениску в криволинейном капилляре. Действительно, продвижение воды в прямолинейном наклонном капилляре определяется соотношением [1]:

С,М =Ь-Ь

sin в

Если согласно (22) в = б!1, то

1 - ^аг^д

¿¿р)/ ¿'

№ =

кп

Ь - Ь

к

sinarctg

кп

Ь - Ь

к

При аге1д ^ 0 числитель и знаменатель стремятся к 0, образуя неопределённость вида 0/0. Физический смысл её в том, что и наклонный прямолинейный, и криволинейный капилляры становятся параллельными оси абсцисс и продвижение воды в них стремится к ю. При агйд 90° отношение

¿пр)/1цпр) = 1, оба капилляра совпадают с осью ординат и вода в них поднимается как в обычном вертикальном капилляре. При изменении угла от 0 до 90° ¿пр)/¿(ПР) < 1, так как при этом числитель в последнем соотношении для ¿пр)/¿¡ПР) всегда меньше знаменателя. Это означает, что в

криволинейных капиллярах при прочих равных условиях содержится больший объём воды, чем в прямолинейных.

Представим капиллярную систему — как показано на рис. 5, б. Примем радиусы в обеих криволинейных ветвях равными г. В этом случае на вертикальную часть воды высотой Л1 одновременно и в равной степени будут действовать силы поверхностного натяжения обеих криволинейных капиллярных ветвей. Тогда сила, необходимая для подъёма воды на высоту Л1, распределится поровну в обеих ветвях, и каждая криволинейная ветвь будет поднимать половину объёма воды в вертикальной части. Как и для правой ветви, введём обозначения для продвижения и

подъёма воды для левой ветви соответственно ¿¡{В и .

Уравнение равновесия воды в рассматриваемой системе можно записать для правой и левой ветвей соответственно в виде:

1

^пг'рдЬ + пг'рд^ (х) = 2пга^а,

1

1пг2рдЬ1 + пг2рдЩ]лв (х) = 2пгагаа.

2'" "--1 ■ ■■ г^-1(лв) '

(25)

(26)

Учитывая, что половина объёма воды вертикальной части пропорциональна половине высоты Ьи уравнение (19) можно записать в виде

Ь - Ь +1Ь = Ь -1Ь = кх„

12 1 2 1 п

Отсюда

х = п

Ь - 0,5Ь

к

б[1) = агсЬд

кп

Ь - 0,5Ь

к

(27)

п-1

п-1

п-1

Физический смысл (27) заключается в том, что мениски воды в обеих ветвях поднимаются выше — и в соответствии с этим увеличивается угол наклона к горизонтали касательной к мениску. Это соответствует величине вертикальной части капилляра над поверхностью воды и равной 0,51.

Уравнения (25) и (26) можно записать относительно ¿¿1)р) (х) и ¿¡{В (х) в виде

/11)

М

{(лв)

О'Х1 - СО50) =1 - 0,51 = ,

¿¡;1в)(х)(1 - ссзе) =1 - 0,511 = ¡¡¡¡в.

После простых преобразований получим

¿(1) _ ¿(1) _ Ыпр)- Н(лв) -

1 - 0,51

1 -ссБагйд

кп

1 - 0,51

к

\ 1

(28)

(29)

(30)

Из (27), (30) видно, что величина под радикалом при прочих равных условиях больше аналогичной в (22) и (23), то есть увеличивается угол е(1). Одновременно увеличиваются продвижение и высота подъёма воды в криволинейных капиллярах.

Определяя из (30) высоту подъёма воды и вычитая из неё высоту, полученную в (24), можно видеть, что высота подъёма воды при наличии двух ветвей увеличивается

(1 - 0,51 )-(1 -1 ) = 0,51 ■ (31)

Усложним предыдущую капиллярную систему, добавив к ней центральный вертикальный капилляр (см. рис. 5, б). Предположим, как и прежде, что радиусы всех ветвей одинаковы и равны г.

Обозначим общую высоту подъёма воды в вертикальном капилляре как 1 = Ю. В этом случае

объём воды в нижней части системы высотой 1 находится под действием трёх одинаковых сил. Угол е и уравнения продвижения воды в криволинейных и вертикальном капиллярах могут быть записаны следующим образом:

е11) = агсДд

кп

1 - 31

■\п

к

1пг2рд1 + пг2рд£П (х) = 2пгассБа,

^ пг2рд1 + пг2рд4Лв) (х) = 2пга ссб а,

пг2рд (Юб -11) + 3 пг2рд1 = 2пга ссб а .

(32)

(33)

(34)

(35)

Решениями этих уравнений относительно ¿р (х), ¿¿Лв (х) и 11(1об будут

Ыпр) г

1 - 3а

1 -ссБагйд

(

кп

1 - 31

лл

к

(36)

- 1 2

и=1 - 311+11=1+311.

п-1

п

п

Выводы. Анализ полученных соотношений для одноуровневой капиллярной системы позволяет сделать следующие выводы.

— При увеличении количества ветвей продвижение воды в криволинейных ветвях одноуровневой капиллярной системы увеличивается (по сравнению с одиночным криволинейным капилляром) и является функцией угла наклона к горизонтали касательной к водному мениску.

— Общая высота подъёма воды в прямолинейном вертикальном капилляре также увеличивается по сравнению с одиночным вертикальным капилляром такого же радиуса и не зависит от вида функции, описывающей кривизну присоединённых боковых криволинейных капилляров.

— Уравнение (37), описывающее подъём воды в вертикальном капилляре рассмотренной системы, совпадает с (19), полученным в [1].

— При прочих равных условиях объём воды, поднимающейся в боковых криволинейных ветвях капилляров, больше, чем в прямолинейных.

Библиографический список

1. Вернигоров, Ю. М. Математическое моделирование распределения жидкости в ветвящихся капиллярных системах / Ю. М. Вернигоров, И. А. Кипнис // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2010. — Т. 10, № 8 (51). — С. 1195-1206.

2. Вернигоров, Ю. М. Капиллярная модель древесных стволов / Ю. М. Вернигоров, И. А. Кипнис // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2012. — № 6 (67). — С. 24-40.

3. Лотова, Л. И. Ботаника. Морфология и анатомия высших растений / Л. И. Лотова. — Москва : Либроком, 2010. — 512 с.

4. Тимонин, А. К. Ботаника. Высшие растения / А. К. Тимонин. — Москва : Академия, 2007. — Т. 3. — 349 с.

Материал поступил в редакцию 2.04.2013.

References

1. Vernigorov, Y. M., Kipnis, I. A. Matematicheskoye modelirovaniye raspredeleniya zhidkosti v vetvyashchikhsya kapillyarnykh sistemakh. [Mathematical modeling of liquid distribution in branch capillary systems.] Vestnik of Don State Technical University, 2010, vol. 10, no. 8 (51), pp. 1195-1206 (in Russian).

2. Vernigorov, Y. M., Kipnis, I. A. Kapillyarnaya model drevesnykh stvolov. [Capillary model of tree trunks.] Vestnik of Don State Technical University, 2012, no. 6 (67), pp. 24-40 (in Russian).

3. Lotova, L. I. Botanika. Morfologiya i anatomiya vysshikh rasteniy. [Botany. Morphology and anatomy of higher plants.] Moscow : Librokom, 2010, 512 p. (in Russian).

4. Timonin, A. K. Botanika. Vysshiye rasteniya. [Botany. Higher plants.] Moscow : Akademiya, 2007, vol. 3, 349 p. (in Russian).

WATER RISE MATHEMATICAL MODEL IN SIMPLE CURVILINEAR CAPILLARIES* I. A. Kipnis

("KASIOR" Research and Production Company), Y. M. Vernigorov

(Don State Technical University)

Side shoots and plant branches unlike trunks are often not rectilinear — they can be compared with various mathematical curves. Xylem of such branches copies their curvilinearity. It motivates the spatial curvature of the chains of its tracheids and vessels. A mathematical model of water lifting and distribution caused by the surface tension forces in the symmetrical curved capillary branches of various configurations is considered. The process analysis shows that with the expansion in number of branches, water advancing in the curvilinear capillary system increases. Water volume rising in the side curvilinear capillary branches, other factors being equal, is greater than in rectilinear ones. It is found that the total water rise height in the vertical (rectilinear) capillary — if there are side curvilinear capillaries — increases, and it does not depend on the type of the function that describes the curvature of the lateral curvilinear capillaries.

Keywords: curvilinear capillary, branch, xylem, transpiration, plant, model.

* The research is done within the frame of the independent R&D.

119